高中数学新教材《4.5.1函数的零点与方程的解》公开课优秀课年(经典、完美)
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4.5.1函数的零点与方程的解课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
= 2 − 2 − 3图像
4
3
2
–2
–1
1
1
O
–1
2
3
4
x
–2
–3
–4
问题4:在区间[-2,0]上是否也有这种关系？
在零点附近,函数图像是连续不断的穿过轴.
即 −2 0 < 0.
如果函数 = 在区间[a,b]上的图象是一条
连续不断的曲线,且有 < 0.
那么,函数 = 在区间(a,b)内至少有一个零
2
课堂
小结
函数零
点与方
程的解
零点的概念
= 0的解与函数 = 的零点
及与函数 = 的的图像间的关系
零点存在定理
零点存在定理推论
函数的零点
与
方程的解
目
录
函数零点与方程的解
函数零点存在定理
知识
目标
1. 函数零点与方程解的关系.
2. 函数零点存在定理及其应用
核心素
养目标
使学生在从函数观点认识方程过
程中, 体会转化思想、函数与方
程思想和数形结合思想的作用,并
提升学生数学运算素养.
教学
重点
函数零点与方程解的关系
函数零点存在定理的应用
所以 = ()在区间(2，3）和区间（3，4）上一定的
零点.
例2：求方程ln + 2 − 6 = 0实数解的个数
问题7：如何确定方程ln + 2 − 6 = 0实数解所在
区间？
借助计算工具，列出、的对应值表
1
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x
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–4
问题4:在区间[-2,0]上是否也有这种关系？
在零点附近,函数图像是连续不断的穿过轴.
即 −2 0 < 0.
如果函数 = 在区间[a,b]上的图象是一条
连续不断的曲线,且有 < 0.
那么,函数 = 在区间(a,b)内至少有一个零
2
课堂
小结
函数零
点与方
程的解
零点的概念
= 0的解与函数 = 的零点
及与函数 = 的的图像间的关系
零点存在定理
零点存在定理推论
函数的零点
与
方程的解
目
录
函数零点与方程的解
函数零点存在定理
知识
目标
1. 函数零点与方程解的关系.
2. 函数零点存在定理及其应用
核心素
养目标
使学生在从函数观点认识方程过
程中, 体会转化思想、函数与方
程思想和数形结合思想的作用,并
提升学生数学运算素养.
教学
重点
函数零点与方程解的关系
函数零点存在定理的应用
所以 = ()在区间(2，3）和区间（3，4）上一定的
零点.
例2：求方程ln + 2 − 6 = 0实数解的个数
问题7：如何确定方程ln + 2 − 6 = 0实数解所在
区间？
借助计算工具，列出、的对应值表
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4.5.1函数的零点与方程的解课件-优秀公开课(精品课件)2021-2022学年高一上学期数学人教A
（3）y=2x-1-3
解得x=-6
故该函数的零点为-6 .
（2）令y=0,则 1-log2(x+3) =0， 解得x=-1.
故该函数的零点为-1. （3）令y=0,则2x-1 - 3=0，解得x=1+log23=log26.
故该函数零点为log26.
例（2 1）函数y = ln x+ 2x - 6的零点为x0 ,若x0 ∈(n, n+1), n∈ N ,则n = _2_ . 解：（1）令y=0,则lnx+2x-6=0 可变形为lnx= -2 x+6
y
2 1
－1 0 1 2
－1 －2
34 x
由图象可知：m>1或m=0时，该函数有两个零点.
（4）怎样求一个函数的零点？ 方法1 代数法：求方程的根，得出函数的零点．
（可求出具体零点，零点个数及零点所在位置） 方法2 图象法：
①作y=f(x)的函数图象，找出函数图象和 x 轴的交 点的横坐标．
②若F(x)=f(x)-g(x),则可以转换为y=f(x)与y=g(x)交点 的横坐标
当x≤0时，由2x2-3x-2=0,
得x = - 1 或x = 2 (舍)
2
所以函数的零点为- 1
2
6.方程x+log 3 x = 3的解为x0 ,若x0 ∈(n - 1, n), n∈ N ,则n = _3_ .
log3x=3 - x y1=log3x与y2=3 - x交点的横坐标。
y
2 1
－1 0 1 2 3 4 5
函数零点的概念： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点．
注意： 零点指的是一个实数。
4.5.1函数的零点与方程的解课件(人教版)
D.
B 2.函数 f (x) ln x 2 的零点所在的大致区间是( ) x
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (3, 4)
D. (e, )
解析：因为 f (1) 2 0 ，所以 f (2) ln 2 1 0 ， f (3) ln 3 2 0 ， 3
所以 f (2) f (3) 0 ，所以 f (x) 在 (2,3) 内有零点.故选 B.
9.已知函数
f
(x)
x2
log
1 2
1, x 1 x, x 1
，若关于
x
的方程
f
(x)
k
有三个不同的实根，
(-1 , 0) 则实数 k 的取值范围是____________________.
解析：关于 x 的方程 f (x) k 有三个不同的实根，等价于函数 y f (x) 与 函数 y k 的图象有三个不同的交点，作出两函数的图象如图，由图可知 实数 k 的取值范围是 (1,0) .
所以函数 g(x) 有三个零点，分别为 1，3， 2 7 .故选 ABD.
8.已知函数 f (x) ln x m 的零点位于区间(1,e) 内，则实数 m 的取值
范围是____(_0__,__1__)_______.
解析：令 f (x) ln x m 0 ，得 m ln x ， 因为 x (1,e) ，所以 ln x (0,1) ，故 m (0,1) . 故答案为 (0,1) .
3.已知函数
f
(x)
2 x
,
x
2
，若关于 x 的方程 f (x) k 有三个不同的
(x 1)2, x 2
A 实根，则实数 k 的取值范围是( )
4.5.1函数的零点与方程的解(第2课时)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
达
你会了
吗？
小结
若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)实数根的散布
问题，构造函数，数形结合（提醒：化a>0）
1.判别式
2.对称轴
三看
3.特殊点对应的函数值
思想方法——化归思想 数形结合
作业
1、方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间
（-1，0）上，另一个在区间（1，2）上 ，
求a的取值范围。
求零点所在区间.
函数方程思想；
数形结合思想.
点
与方程
的解
三种解法：
定义法；
判断零点个数；
求零点所在区间.
例 1.若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[ －1,1] 有零点，则实数 a
探
究
函
数
的取值范围是________．
解析：∵函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[ －1,1] 有零点，
∴方程 4x－2x－a＝0 在[ －1,1] 上有解，
(2)当原方程的两个根都大于1时,f(x)对应的草图可能如
图③,④所示.
图③
图④
数
学
的
语
因此原方程的两个根都大于1等价于
> 0,
> 0,
< 0,
> 0,
(1) > 0,
(1) < 0,
2(+1)
或 2(+1)
解得 a∈⌀.
> 1,
> 1,
2
2
言
表 所以不存在实数a,使原方程的两个根都大于1.
即方程 a＝4x－2x 在[ －1,1] 上有解．
方程 a＝4 －2 可变形为
你会了
吗？
小结
若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)实数根的散布
问题，构造函数，数形结合（提醒：化a>0）
1.判别式
2.对称轴
三看
3.特殊点对应的函数值
思想方法——化归思想 数形结合
作业
1、方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间
（-1，0）上，另一个在区间（1，2）上 ，
求a的取值范围。
求零点所在区间.
函数方程思想；
数形结合思想.
点
与方程
的解
三种解法：
定义法；
判断零点个数；
求零点所在区间.
例 1.若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[ －1,1] 有零点，则实数 a
探
究
函
数
的取值范围是________．
解析：∵函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[ －1,1] 有零点，
∴方程 4x－2x－a＝0 在[ －1,1] 上有解，
(2)当原方程的两个根都大于1时,f(x)对应的草图可能如
图③,④所示.
图③
图④
数
学
的
语
因此原方程的两个根都大于1等价于
> 0,
> 0,
< 0,
> 0,
(1) > 0,
(1) < 0,
2(+1)
或 2(+1)
解得 a∈⌀.
> 1,
> 1,
2
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言
表 所以不存在实数a,使原方程的两个根都大于1.
即方程 a＝4x－2x 在[ －1,1] 上有解．
方程 a＝4 －2 可变形为
4.5.1函数的零点与方程的解 优秀公开课(精品课件)——2021-2022学年高一上学期数学人教A
高一—人教版—数学—第四章
4.5.1 函数的零点与方程的解
教学重点：函数零点存在定理及应用． 教学难点：会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数． 数学思想：函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想. 核心素养：
1.借助零点的求法培养数学运算素养和逻辑推理素养. 2.借助函数的零点与方程根的关系培养直观想象素养.
2
8
8
2
2
2
不符合零点存在定理条件，学生误认为函数在区间( 1 ,2)内无零点， 2
实际上，f
(1)
1
1 2
2
1 2
0,
f
(1) 2
•
f
(1)
0,
且函数在（1 2
,1）内连续，
由零点存在定理，在区间（
1 2
,1）内有零点，当然在更大的区间（1 2
,2）内有零点,故C对；
对于D选项，f (2) 1 2 2 1 0,f (3) 1 9 2 17 0,
2
2
32
6
不符合零点存在定理的条件，且由图象可知，在区间(2,3)内无零点，故不选D；
类比：
一元二次方程ax2 bx c 0有实根
二次函数y ax2 bx c有零点
二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点.
方程 f (x) 0有实数解
函数y f (x) 有零点 函数 y f (x)的图象与 x 轴有交点.
所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？下面从 考察二次函数存在零点时函数图象的特征以及零点附近函数值的变化规律 入手.我们一起动手画出二次函数f (x) x2 2x 3的图象.
例1. 求方程ln x 2x 6 0的实数解的个数.
4.5.1 函数的零点与方程的解
教学重点：函数零点存在定理及应用． 教学难点：会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数． 数学思想：函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想. 核心素养：
1.借助零点的求法培养数学运算素养和逻辑推理素养. 2.借助函数的零点与方程根的关系培养直观想象素养.
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不符合零点存在定理条件，学生误认为函数在区间( 1 ,2)内无零点， 2
实际上，f
(1)
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1 2
0,
f
(1) 2
•
f
(1)
0,
且函数在（1 2
,1）内连续，
由零点存在定理，在区间（
1 2
,1）内有零点，当然在更大的区间（1 2
,2）内有零点,故C对；
对于D选项，f (2) 1 2 2 1 0,f (3) 1 9 2 17 0,
2
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不符合零点存在定理的条件，且由图象可知，在区间(2,3)内无零点，故不选D；
类比：
一元二次方程ax2 bx c 0有实根
二次函数y ax2 bx c有零点
二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点.
方程 f (x) 0有实数解
函数y f (x) 有零点 函数 y f (x)的图象与 x 轴有交点.
所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？下面从 考察二次函数存在零点时函数图象的特征以及零点附近函数值的变化规律 入手.我们一起动手画出二次函数f (x) x2 2x 3的图象.
例1. 求方程ln x 2x 6 0的实数解的个数.
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：4.5.1 函数的零点与方程的解
A.(－1，0)
B.x＝－1
C.x＝1
D.x＝0
(2)设函数 f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之
和为________.
(3)若 3 是函数 f(x)＝x2－mx 的一个零点，则 m＝______________________.
解析 (1)令 1＋1x＝0，解得 x＝－1，故选 B. (2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝ 0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2. (3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3. 答案 (1)B (2)－2 (3)3
规律方法 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则 函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函 数的零点.
【 训 练 1 】 函 数 f(x) ＝ ax ＋ b 有 一 个 零 点 是 2 ， 那 么 函 数 g(x) ＝ bx2 － ax 的 零 点 是
又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.
(2)由题意知，x≠0，则原方程即为 lg(x＋2)＝1x，在同一平面直角坐标系中作出函 数 y＝lg(x＋2)与 y＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在 区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以 k＝－2 或 k＝1.故选 C.
2.若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( × ) 提示 反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
4.5.1 函数的零点与方程的解 课件 高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
高中数学/人教A版/必修一
思 维
素 养
如图是函数 y=2x-8的图象，请对照图象填空：
(1)函数 y=2x-8 的图象与x轴的交点为 (3,0) ;
(2)方程 2x-8=0 的根为 x=3 ;
(3)使函数 y=2x-8 的值为零的实数x为 3
称实数3为函数y=2x-8的零点.
.
1 函数零点的概念
则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
（
）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.
（
）
答案：(1)×;
(2)×;
(3)×
.
y
y
y
a
a
O
(1)反例
b
x
O
O a
b
x
b x
(2)反例
(3)反例
练一练
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断
曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程
f(x)=0的一个根.
思考：区间(a,b)内零点存在，是否唯一？
练一练
方程lnx =
2
在其内必有一个根的区间是(
A.(1, 2)
B.(2,
1
C.( , 1)
4
2. 已知函数 f(x)=x2+2ax+1 .
(4)若f(x)在区间[0,2]上有零点，求a的取值范围；
数
形
结
合
解析：将f(x)在区间[0,2]上有零点转化为关于x的
思 维
素 养
如图是函数 y=2x-8的图象，请对照图象填空：
(1)函数 y=2x-8 的图象与x轴的交点为 (3,0) ;
(2)方程 2x-8=0 的根为 x=3 ;
(3)使函数 y=2x-8 的值为零的实数x为 3
称实数3为函数y=2x-8的零点.
.
1 函数零点的概念
则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
（
）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.
（
）
答案：(1)×;
(2)×;
(3)×
.
y
y
y
a
a
O
(1)反例
b
x
O
O a
b
x
b x
(2)反例
(3)反例
练一练
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断
曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程
f(x)=0的一个根.
思考：区间(a,b)内零点存在，是否唯一？
练一练
方程lnx =
2
在其内必有一个根的区间是(
A.(1, 2)
B.(2,
1
C.( , 1)
4
2. 已知函数 f(x)=x2+2ax+1 .
(4)若f(x)在区间[0,2]上有零点，求a的取值范围；
数
形
结
合
解析：将f(x)在区间[0,2]上有零点转化为关于x的
4.5.1函数的零点与方程的解课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
方程f (x) 0的实根
函数y f (x)的零点
说明： 根据函数零点的定义可知，函数f(x)的
零点就是f(x)＝0的根．因此判断一个函数是 否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x) ＝0是否有实根，有几个实根．
变式1. 求函数 f x xlnx 1 的零点个数
（易错，你注意了吗）
启示
找函数零点的方法
（1）图象在区间 a,b上是连续不断的一条曲线
（2） f (a) f (b) 0 那么，函数 y f (x) 在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b) 使得 f (c) 0 ，这个 c 就是方程 f (x) 0 的根.
例1. 判断正误
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则
3、三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
4、掌握零点的三种求法技能：方程法，零点存在性 定理（结合单调性），数形结合
课后作业 P144练习T1，T2， P155习题4.5 T2 ，T3， T7
◆方程 ln x 2x 6 0
有实数根吗? 如果有，能确定根的个数吗？
能求出根的近似值吗?
即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数， 即求y=lnx和y=－2x＋6=0图象交点个数. 画图可知这两个函数图象只有1个交点. ∴函数f(x)＝lnx＋2x－6零点只有一个.
反思
1、一个概念、一个定理 （1）函数零点的概念 （2）函数零点的等价说法 （3）零点存在性定理及推论
2、两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
视察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： y
在区间[-2，1]上有零点_－__1___；
f(-2)=___5____，f(1)=__－__4___，
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y
a 0b
c dx
2020/11/19
思考：如果函数y=f(x)在[a,b]上满足 f(a).f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)上 一定有零点吗？
y
Oa
bx
归纳：函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点的条件？
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续 不断的曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的解.
1.在区间(－2,0)上有零点－1 ;f(－2)= 5 , f(0)= －3 , f(－2).f(0) < 0(<或>);
2.在区间(2,4)上有零点 3 , f(2).f(4) < 0(<或>).
探索新知
观察函数的图象 ①在区间(a,b)上_有___(有/无)零点；
f(a) f(b)__＜___0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上__有____(有/无)零 点；f(b) f(c) _＜____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上__有____(有/无)零 点；f(c) f(d) __＜___ 0（＜或＞）．
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[ 解析] f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝e12－4<0， f(－1)＝e－1－1－2＝1－3<0，
e f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴函数 f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．
思考1.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续,
且f(a).f(b)<0, 则y=f(x)在区间(a,b)内
只有一个零点吗？
y
y
b
a
a
x
bx
思考2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续, 且f(a).f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内有 没有零点吗？
思考3：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 一定能得出f(a).f(b)<0的结论吗？
当堂练习1 求下列函数的零点
(1) f(x)=x3-x
0 , -1, 1
(2) f(x)=2x－1
0
思考3：函数f(x)=2x+x－2有零点吗？
函数y=f(x)有零点m ⇔方程f(x)=0有实数解m ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点（m,0)
等价关系
方程f(x)=0有实数解
方程f(x)=g(x)不同解的个数
⇔函数y=f(x)的图象与
x轴有交点
推广
⇔函数y=f(x)与y=g(x)图象的 交点个数
⇔函数y=f(x)有零点
ห้องสมุดไป่ตู้
⇔函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数
问题1：如何判断函数y=f(x)在某个区间上是否有零点？
探究 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象：
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的， 并且“穿过”x轴。
a
b
a
b
11
思考4：f(x)在[a,b]上图像是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)<0是f(x)在(a,b)上有零点的 充分不必要 条件.
例题讲解
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数. 利用零点存在定理，判断函数y=f(x)零点个数
单调 连续
异号
零点唯一
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
4 5．函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
课堂小结
知识层面： 1、函数零点的定义 2、等价关系 3、函数零点的存在定理
数学思想层面： 数形结合 函数与方程的思想
中外历史上 的方程求解
作业 1、 课本P155 第2, 3题 2、金版P100-P101
4.5 函数的应用 (二)
4.5.1函数的零点与方程的解
情境引入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二 次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二 次函数的零点. 例如，方程x2-5x+6=0的根为2和3。 所以2和3就是二次函数f(x)=x2-5x+6的零点， 我们有f(2)=0, f(3)=0
根据二次函数的零点， 猜想:什么叫函数y=f(x)的零点呢？
2020/11/19
函数的零点
定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做 函数y=f(x)的零点.
思考：1.函数的零点是点吗？ 函数的零点不是点，是实数. 2.如何求函数的零点？
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0；(3)写出零点
34．已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下 x，f(x)的对应
值表：
x 1 2 34 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( B )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析：由题表可知 f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，故 f(x)在区间[1,6]上至少有 3 个零点．