数学模型常用方法
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。
关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。
在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。
一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。
通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。
本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。
1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数)实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ⎰⎰,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。
用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
数学建模10种常用算法
数学建模10种常用算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处参数估计C.F.20世纪60年代,随着电子计算机的。
参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。
数学建模常用算法和模型全集
数学建模常用算法和模型全集数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来求解的方法。
在数学建模中，常常会用到各种算法和模型，下面是一些常用的算法和模型的全集。
一、算法1.线性规划算法：用于求解线性规划问题，例如单纯形法、内点法等。
2.非线性规划算法：用于求解非线性规划问题，例如牛顿法、梯度下降法等。
3.整数规划算法：用于求解整数规划问题，例如分支定界法、割平面法等。
4.动态规划算法：用于求解具有最优子结构性质的问题，例如背包问题、最短路径问题等。
5.遗传算法：模拟生物进化过程，用于求解优化问题，例如遗传算法、粒子群算法等。
6.蚁群算法：模拟蚂蚁寻找食物的行为，用于求解优化问题，例如蚁群算法、人工鱼群算法等。
7.模拟退火算法：模拟固体退火过程，用于求解优化问题，例如模拟退火算法、蒙特卡罗模拟等。
8.蒙特卡罗算法：通过随机抽样的方法求解问题，例如蒙特卡罗模拟、马尔科夫链蒙特卡罗等。
9.人工神经网络：模拟人脑神经元的工作原理，用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机、多层感知机等。
10.支持向量机：用于分类和回归问题，通过构造最大间隔超平面实现分类或回归的算法，例如支持向量机、核函数方法等。
二、模型1.线性模型：假设模型的输出与输入之间是线性关系，例如线性回归模型、线性分类模型等。
2.非线性模型：假设模型的输出与输入之间是非线性关系，例如多项式回归模型、神经网络模型等。
3.高斯模型：假设模型的输出服从高斯分布，例如线性回归模型、高斯朴素贝叶斯模型等。
4.时间序列模型：用于对时间序列数据进行建模和预测，例如AR模型、MA模型、ARMA模型等。
5.最优化模型：用于求解优化问题，例如线性规划模型、整数规划模型等。
6.图论模型：用于处理图结构数据的问题，例如最短路径模型、旅行商问题模型等。
7.神经网络模型：用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机模型、多层感知机模型等。
8.隐马尔可夫模型：用于对具有隐藏状态的序列进行建模，例如语音识别、自然语言处理等。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法数学建模是一种利用数学模型来描述和解决实际问题的方法。
它在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广泛的应用。
在数学建模中，常用的方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、离散事件模拟、蒙特卡洛方法等。
下面将对这些方法进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数的方法。
它适用于有着线性关系的问题，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
线性规划的主要方法是使用线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过线性规划算法求解最优解。
2.非线性规划：非线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化非线性目标函数的方法。
它适用于有着非线性关系的问题，包括优化设计、模式识别、经济决策等。
非线性规划的主要方法是使用非线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过非线性规划算法求解最优解。
3.动态规划：动态规划是一种通过将复杂问题分解为子问题，并利用最优子结构的性质求解问题的方法。
它适用于有着重叠子问题的问题，包括最短路径问题、背包问题、机器调度问题等。
动态规划的主要方法是建立递推关系，通过填表或递归的方式求解最优解。
4.离散事件模拟：离散事件模拟是一种通过模拟系统状态的变化，以评估系统性能的方法。
它适用于有着离散事件发生和连续状态变化的问题，包括排队论、制造过程优化、金融风险评估等。
离散事件模拟的主要方法是建立事件驱动的模拟模型，并通过统计分析得到系统性能的估计。
5.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的模拟方法，通过生成随机样本来估计问题的解。
它适用于有着随机性质的问题，包括随机优化、风险分析、可靠性评估等。
蒙特卡洛方法的主要思想是基于大数定律，通过大量的随机模拟次数来逼近问题的解。
除了上述方法外，在数学建模中还可以使用图论、拟合分析、概率论和统计方法等。
图论可用于描述网络结构和路径问题；拟合分析可用于对实际数据进行曲线或曲面拟合；概率论和统计方法可用于建立概率模型和对数据进行统计分析。
求数学模型的八种方法
求数学模型的八种方法数学模型是实际问题的抽象表示，通过数学方法来描述客观现象和解决实际问题。
下面是求解数学模型的八种方法：一、代数法代数法是利用代数方程来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有代数结构或可以用代数方式解决的问题。
二、几何法几何法是利用几何原理和几何图形来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有几何结构或可以用几何方式解决的问题。
三、概率论与数理统计法概率论与数理统计法是利用概率论和数理统计的知识来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有随机性或涉及到概率和统计的问题。
四、微积分法微积分法是利用微积分的知识来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有连续性或涉及到变化率、极值等问题。
五、优化理论与方法优化理论与方法是利用最优化的原理和方法来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题涉及到优化和最大化、最小化等问题。
六、动力系统理论和混沌理论动力系统理论和混沌理论是利用数学动力学的知识来研究复杂问题的一种方法。
这种方法适用于非线性、复杂的问题。
七、离散数学法离散数学法是利用离散数学的知识来研究问题的一种方法。
这种方法适用于离散结构的问题，如图论、组合数学等问题。
八、计算机模拟方法计算机模拟方法是利用计算机建立模型，并进行数值模拟实验来研究问题的一种方法。
这种方法适用于不能用解析方法求解或难以获得精确解的问题。
以上八种方法并不是完全独立的，有时需要综合运用。
在实际问题中，应该综合考虑问题的特点和求解方法的优缺点，选择最为合适的方法来求解数学模型。
3建立数学模型方法和步骤
3建立数学模型方法和步骤建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，以便进行定量分析和求解的过程。
建立数学模型能够帮助我们更好地理解问题背后的本质，为决策和预测提供依据。
下面将介绍建立数学模型的方法和步骤。
方法一：方程法方程法是一种常用的建立数学模型的方法，其基本步骤包括以下四个方面：1.确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
变量是问题中可变的量，可以进行测量和观察，而参数是固定的量，通常是由以前的实验或者经验确定的。
指标是评价问题结果的标准。
2.建立数学方程或者不等式，用变量、参数和指标之间的关系来描述问题。
这些方程或者不等式可以是线性的，也可以是非线性的。
可以根据问题背景和要求，选择适当的数学模型，常见的数学模型包括数学规划模型、统计模型、差分方程模型等。
3.对建立的数学方程或者不等式进行求解，得到问题的解。
求解方法可以是数值求解，也可以是符号求解，具体方法取决于问题的特点和求解的难度。
4.对问题的解进行分析和解释，对模型的有效性进行验证。
通过对问题解的分析和解释，可以得出有关问题的结论，并对建立的模型的准确性和可靠性进行评估。
方法二：概率论和统计学方法概率论和统计学是建立数学模型的重要工具，其基本步骤如下：1.通过对问题的分析和理解，确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
与方程法相似，变量是问题中可变的量，参数是固定的量，指标是评价问题结果的标准。
2.基于问题的特点和要求，选择适当的概率分布，建立数学模型。
常见的概率分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。
3.通过对问题相关数据的收集和分析，估计模型中的参数。
可以使用最大似然估计、矩估计等方法。
4.利用统计推断的方法对问题进行分析和预测。
可以通过置信区间、假设检验等方法对问题进行定量分析。
5.对模型的有效性和可靠性进行评估。
通过对实际数据和推断结果的比较，可以评估模型的准确性和可信度。
方法三：系统动力学模型系统动力学模型是一种常用的建立动态系统模型的方法，其基本步骤如下：1.确定问题的系统边界。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
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实际问题
数学
• 美国大学生数学建模竞赛(MCM) • 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)
• 竞赛内容与形式简介
（美国大学生）数学建模竞赛(MCM)
• 1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛” • 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 （Interdisciplinary Contest in Modeling – ICM) • 我国(清华等校) 1989年开始每年参加，英文答卷 • MCM-2006有10个国家(地区)748队参赛，其中我国 占62%; ICM-2006有224队参赛，其中我国占87% • 每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志
为什么要学习数学建模?
…… 数学美学 数学哲学 数学精神
…… 随机数学 代数与几何 微积分
…… 应用数学 数学技术 数学实验
数学应用 数学发现
数学知识 数学技巧பைடு நூலகம்
数学素质 数学文化
数学建模竞赛(MCM )简介
Mathematical Contest in Modeling
Mathematical Modeling
[问]：公开竞赛达三天之久，是否会出现舞 弊或其他不公正现象？ [答]：实践证明，从未出现过这种现象，固 然与参赛师生信守参赛誓言有关。我认为， 更重要的是这种竞赛十分紧张，在进行过程 中，别人很难插进去。何况赛题来自许多不 同领域，一般没有现成答案，即使是数学家， 未经深思熟虑，并查阅一定资料，也很难发 表中肯意见。
些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质 的序列片段，即由这4个字符组成的64种不同的3字符串，其中 大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于 编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些 碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果 。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关 性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全 局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意 义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节， 突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒 化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。 作为研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分 类的问题：
数学的重要性：众所周知？
E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142) ……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。
资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告:
(NSF Report, March 1998) 现如今的数学科学对科学的三个方面： 观察、理论和模拟来说都是必不可少的。
例如，2000网易杯全国大学生数学建模竞赛的A题，
就是一个现在正在进行的科研问题，有关DNA的碱基
排列的特点问题。
A题 DNA序列分类 2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计 2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着 自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写 的“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿 的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示 4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。 破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任 务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4 个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这 部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课 题之一。 虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一
管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表：
i
si
pi
1 800 160
2 800 155
3 1000 155
4 2000 160
5 2000 155
6 2000 150
7 3000 160
1 单位钢管的铁路运价如下表：
里程(km) 运价(万元) 里程(km) 运价(万元) ≤300 20 501～600 37 301～350 23 601～700 44 351～400 26 701～800 50 401～450 29 801～900 55 451～500 32 901～1000 60
数学模型 Mathematical Modeling
引 言
1. 数学的重要性 2. 为什么要学习数学建模？ 3. 数学建模的形式、内容和方法
数学的重要性：众所周知？
一门科学，只有当它成功地运用数学时， 才能达到真正完善的地步。 ——马克思
数学之所以有如此高的声誉，是因为它 给予自然科学以某种程度的可靠性。 ——爱因斯坦 一个国家的科学水平可以用它消耗的 数学来度量。 ——拉奥
Art-model-data 1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacg aggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg 2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggttt aaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga
1）下面有20个已知类别的人工制造的序列（见下页），其 中序列标号1—10 为A类，11-20为B类。请从中提取特征，构
造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足
够好。然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别的人 工序列（标号21—40）进行分类，把结果用序号（按从小到大
的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）： A类 __________________ ；B类 ___________________。 请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了 现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。 这40个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件Artmodel-data 标识，供下载： 网易网址： 教育频道在线试题； 教育网： News mcm2000
从我国多年竞赛的实践看，一般也不会出现舞弊 或其他不公正现象，仅有个别参赛队出现过违规现象。 一旦出现违规现象，将取消该队的评奖资格，并向全 国通报。所以各参赛队应引以为戒，严格信守参赛誓
言，这也是对各参赛队员诚信意识的一个考验。
近年来，随着参赛队的逐渐增多，水平逐渐提高，
题目的难度也越来越大，而且涉及的领域也越来越广。
的发展和真正的科研条件不同。
三是个人独立做，而现代科研往往要一个团体
合作进行。
于是我和一些看法相同的同行发起，在1985年 举办了首届美国大学生数学建模竞赛。全称是 Mathematical Competition in Modeling，1988年 后改称Mathematical Contest in Modeling(MCM)
……数盲和文盲一样是极其有害的。
数学的重要性：似是而非？
不少同学（甚至社会）的反映：
---- 无用 原因：很少用；用不好 ---- 难学
• 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力
• 利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力 • 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望 最常用的大学数学内容有哪些?
总数 中国
年份
与弗萨罗(Fusaro)教授的谈话记录
我们从数学建模竞赛的历史讲起，它 的历史不长，仅有20年左右。 先介绍美国数模竞赛的发起人之一—— 美国工业与应用数学学会教育委员会主席、 美国马里兰大学弗萨罗(Fusaro)教授，于 1990年7月应邀到上海交通大学访问。以下 是座谈会纪要的摘录：
并不评分，而是按水平分为三档：优秀奖、良 好奖和鼓励奖。
关于在竞赛过程中，教练起什么作用的
问题，弗萨罗教授作了如下回答。 [答]：每个队可以有一名教练，其作用是， 参赛前对队员进行培训，竞赛开始后收发试 题和答卷。除了开始可以与队员一起搞清题 意外，竞赛过程中，教练不得跟队员讨论与 竞赛有关的问题。
[问]：你们的竞赛有什么特点？ [答]：针对普特南数学竞赛的问题，我们采取的 办法是命题来源于真实世界，通常由工业部门
提出，然后由数学工作者简化或修正。每次出
两道题，一道连续型，一道离散型，学生任选
一题。可以用计算机，软件包，可以参阅任何
资料。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间
可以讨论，分工协作。最后交一篇论文。论文
再看2000网易杯全国大学生数学建模竞赛的B题，
B题 钢管订购和运输 要铺设一条A1 A2 · · · A15的输送天然气的主管道, 如图 一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 S1，S2，· · · ，S7 。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细 线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施 工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯 数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位 钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。 钢厂Si 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si 个单位，钢
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分 按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A1, A2 ,· · ·
, A15，而是管道全线）。 （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用 最小（给出总费用)。 （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对 购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变 化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁 路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解 决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。