理论力学 第六章 弯曲应力

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第6章 弯曲应力

第6章  弯曲应力

称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt,max yc,max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁( l/h > 5 ),纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况,其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解:
由弯曲曲率公式 可得:
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式:
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中,可根 据截面上弯矩的方向,直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力,哪一侧产生 压应力,而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max

基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设,纵向纤维间无正应 力。

中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知,梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区,中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层,称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。

理论力学 第6章-弯曲变形

理论力学 第6章-弯曲变形
单辉祖,材料力学教程
在x1 =x2 =a 处 w =w2 ,1 在x1 =x2 =a 处 ,
dw dw 1 =− 2 dx1 dx2
15
在x1 =a 处 w =0 ,1
例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
F=qa
F=qa
单辉祖,材料力学教程
16
§4 计算梁位移的奇异函数法
奇异函数 弯矩通用方程 梁位移通用方程 例题
单辉祖,材料力学教程 4
挠度与转角
转角
-挠度
挠度-横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 挠度 横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w= w(x)-挠曲轴方程 =
转角-横截面的角位移 转角 横截面的角位移
θ =θ(x) -转角方程 挠度与转角的关系
忽略剪力影响) θ =θ′(忽略剪力影响)
θ' ≈ tanθ' =
w-弯矩引起的挠度 σmax < σp
单辉祖,材料力学教程 7
挠曲轴近似微分方程
w′′ M( x) =± 3/2 EI ′2 ] [1+ w
小变形时: 小变形时: w′2 << 1
d2w M( x) =± -挠曲轴近似微分方程 2 dx EI
d2w=M(x) dx2 EI
应用条件: 应用条件: σmax ≤ σp 小变形 坐标轴 w 向上
d2w EI 2 = MF ( x) → w = wF ( x) dx d2w EI 2 = Mq ( x) → w = wq ( x) dx
故: = wF ( x) + wq ( x) w
叠加法适用条件:小变形, 叠加法适用条件:小变形,比例极限内
单辉祖,材料力学教程 27
逐段分析求和法

材料力学第6章弯曲应力

材料力学第6章弯曲应力

图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示,矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A,B,C,D 4点处的正应力。
图6.6
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面,弯矩MⅠ=20 kN·m,根据式(6.2),各点正应力分别为
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材料力学
出版社 理工分社
(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴,但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前,x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设,变形前相距为dx的两个横截面,变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ,且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴,必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e),得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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材料力学
出版社 理工分社
式(6.1)表明,EIz越大,则曲率 越小,故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ,得
而对于变截面梁,虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁,在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面,应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
引用记号

弯曲应力(工程力学)

弯曲应力(工程力学)

t 1 QS
其中:Q为截面剪力;
z
bIz
Sz 为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩;
Iz为整个截面对z(中性轴)轴之惯性矩;
b 为计算点处截面宽度。
2、几种常见截面的弯曲剪应力 ①工字钢截面: 腹板:
t min t max
QS t bIZ
*
结论: 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax,只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受(95~97%),且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力
§6–5 提高弯曲强度的措施
§6-1 梁的纯弯曲 1、横力弯曲 q
横截面上既有剪力Q又有 弯矩M的情况
2、横力弯曲构件横截面上的(内力)、应力 剪力Q 剪应力t 正应力s
内力
弯矩M
a A Q
P
P
目录
F
l
100 50 z50 50
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
Q
M
Fl


F
h F b * Q SZ 4F 3 tg t g 3 bh IZb 3bh b 12 3bht g 3 100 150 10 6 0.34 106 F 4 4 3825N 3.825kN
解:求支座反力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
②画弯矩图并求危面内力
拉应力及最大压应力。
P1=9kN
P2=4kN
A
1m M
C
1m 2.5kNm
B
1m
D
M C 2.5kNm(下拉、上压 )

工程力学B(二)第10讲第六章弯曲应力

工程力学B(二)第10讲第六章弯曲应力
1

Ey


M EI z

My Iz
三、最大弯曲正应力
max
Mymax M Iz Iz ymax
Iz Wz , 抗弯截面系数 ymax
max
M Wz
最大弯曲正应力与弯矩成正比,与抗弯截面 系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截 面形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
b
h h 2 2
min

o
max
y
min
上下盖的切应力很小,强度计算不予考虑。
三、圆形截面梁的弯曲切应力 圆截面上的最大弯曲切应力仍发生在中性轴上,并 可近似认为各点处的切应力均平行于剪力,且沿中 性轴均匀分布。
Fs
Fs
max
z
2d 3
C
z

m
y
d
n
y
S z, max
d 2 2d d 3 8 3 12
d
C
z
bh2 Wz 6
C
z
Wz
d 3
32
y
y
例1 如图承受矩为Me=20KN.m的力偶作用,试计算梁内的最 大弯曲正应力与梁的曲率半径。梁用工字形标准型钢, 其牌号为No18,钢的弹性模量E=200GPa。
Me
l
z
y
解:
1 内力与应力分析
M M e 20.0kN.m M max 108 .1MPa Wz

b1 dx
1 2
dA

y
z
m
1
第三节 弯曲切应力
Fx 0 'bdx ( y )bdx dF 1 dF ( y) b dx M F dA Iz

理论力学 第六章 弯曲应力[研究材料]

理论力学 第六章 弯曲应力[研究材料]

m
(受拉)
-m
当dx 微段的弯曲上凸(即该段的下半 部受压)时,横截面m-m上的弯矩为负.
调研学习
m
(受压)
31
调研学习
32
[例]:求图(a)所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1 1a
2q 2b
图(a) qL
A
M1
x1Fs1
图(b)
解(1)确定支座反力(可省略)
(2)截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
为剪力;梁的横截面上作用
在纵向平面内的内力偶矩是与
梁的弯曲相对应,故称为弯 矩。
调研学习
28
2、剪力、弯矩符号规定
为使无论取横截面左边或右边为分离体,求得同一横截面 上的剪力和弯矩其正负号相同,剪力和弯矩的正负号要以 其所在横截面处梁的微段的变形情况确定,如图。
调研学习
29
1.剪力符号
+m FS
FAY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
FBY
Fa , l
FAY
F(l a) l
调研学习
25
②求内力
m FAX A
FAY
x
m
A
Fs
C
FAY
Fs
M C
F B
FBY
M F
研究对象:m - m 截面的左段:
Y 0, FAY Fs 0.
Fs
FAY
F(l a) l
mC 0, M FAY x 0.
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
调研学习
2 1
1a
2b

材力06弯曲应力详解

材力06弯曲应力详解

M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
(Iyz=0)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式(2)和(3)
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
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材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的(内力)应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如:
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时,该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图

材料力学第六章弯曲应力

材料力学第六章弯曲应力
3l/8 H
CD
Bx
l/4 l/4
x

1 ql
8
1 ql2 32
x
D
知正应力、正应变最 大值发生在H截面。
应用下述关系求应力与内力
应力~变形 关系:
E y
max

E
ymax

内力~变形或内力~应力关系:
1 M
EI z

M maxW
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第六章 弯曲应力
2. 应力计算
max

E
ymax

D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
Page 5
第六章 弯曲应力
二、 组合变形
杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本 变形的组合。
三、 梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
四、 对称弯曲 梁具有对称截面,且在 纵向对称面承受横向外 力(或外力的合力)时 的受力与变形形式。
对称截面
Page 7
第六章 弯曲应力
§6-2 弯曲正应力
一、实验观测与假设(动画) 1. 外部变形观测
•纵向线:成圆弧线,上方纵向线 缩短,下方伸长
•横向线:保持直线,与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比:符合 单向受力泊松效应
2. 内部变形假设
•平面假设:变形后横截面保持平面,仍与纵线正交 •单向受力假设
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲: L3
o
y
z
z
dA
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Fs 2 q( x2 a L)
qL
图(a) B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
M2
1 q( x2 a)2 qLx2 2
图(c)
从上面例题的计算过程,可以总结出如下 规律: (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面 左侧或右侧梁段上外力的代数和。 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上 向下的外力将引起正值的剪力;反之,则
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b * 在 集中力F 作用 处,剪力图有突变, 突变值为集中力的 大小;弯矩图有尖 角转折
A
x Fb l
FS
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时,M max
Fl 为极大值。 4
讨论 由剪力图可见,在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变,
y
F
2.求截面1-1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
同理,对于C左截面: 2 FSC左 FA F 3 2 l 2 M C左= F Fl 3 3 9 对于C右截面:
F l 2 FSC右 FA F M C右 FA Fl 3 3 9 FSC左 FSC右 , M C左=M C右
M2
FS2
FB
建议:求截面FS和M时,均按规定正向假设,这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力,如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。

§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
A B L
剪力方程 弯矩方程
FS FS ( x)
M M (x)

Fs ( x) qx, (0 x l )
a
F C
l
b
A FAy
x
B FBy
解:1、求支反力
Fb FAy l
Fa FBy l
2、列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用,两端方程不一样,需分两段列出
a
F C
l
b
A FAy AC段 A FAy
x x
B FBy
M(x) FS(x)
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
F (l a) x l
F (l a) l
M FAY x
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力: s -剪力, M -弯矩。 F
若研究对象取m - m 截面的右段:
M C
FBY
Y 0, m 0,
C
Fs F FBY 0.
FBY (l x) F (a x) M 0.
(a)集中荷载
F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
静定梁与超静定梁 静定梁:由静力学方程可求出支反力,如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁:由静力学方程不可求出支反力或不能求出全
部支反力。
静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
超静定梁
在竖直荷载作用下,图a,b,c所示梁的约束力均可由
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
b)。从而也就可知,要问集中力作用处梁的横截面上的剪
力值是没有意义的。
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
q
A
B
l
FAy x FBy
ql FAy FBy 2
解:1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
q A FA
x
2 x qlx qx 2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
M
当dx 微段的弯曲下凸(即该段的下半部 受拉 )时,横截面m-m上的弯矩为正;
m
(受拉)
当dx 微段的弯曲上凸(即该段的下半 部受压)时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
(受压)
[例]:求图(a)所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 解(1)确定支座反力(可省略) (2)截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图(b)示。
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
AX
A BY AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa F (l a) , FAY l l
②求内力
m
FAX A FAY A FAY m x
Fs
F B FBY
研究对象:m - m 截面的左段: Y 0, FAY Fs 0.
m
Fs FAY
C
0,
M FAY x 0.
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M 1 FA 2 F (2 1.5) 26 kN m
FA
M1
FS1
3、计算2-2截面的内力
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN M 2 FB 1.5 q 1.5 1.5 30 kN m 2
qL
2
1
1 a 2 b
图(a) qL A M1 x1 Fs1
F
y
0 qL Fs1 0
Fs1 qL
m
A
( Fi ) 0 qLx1 M 1 0
M 1 qLx1
图(b)
2--2截面处截取的分离体如图(c)
qL
2 1 1 a 2 b
F
y
0
qL Fs 2 q ( x2 a ) 0
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx qlx qx 2 M x 2 2
FS,max
ql 2
M max
M
l/2
ql 8
2
由剪力图与弯矩图可知,在靠近、支座的横截面上剪力的绝对值最大, 在梁的中央截面上,剪力为0,弯矩最大
ql2 8
例6.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
CB段 B FBy
Fa FS x FBy a x l M(x) l Fa M x FBy (l x) l x l FS(x) a x l
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FAy
FS
Fb l
Fb FS1 x l Fa B FS2 x l FBy Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别为剪力图和弯矩图
x
O FS 图的坐标系
x
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴下侧(受拉侧),负值画在x 轴上侧 符号可以不表示
O M(x)
M 图的坐标系
FS(x)
例6.3 图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试作梁的剪 力图和弯矩图。
1.剪力符号
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
+
m
FS
FS
m
dx
-
m
FS
m dx
2.弯矩符号
+
M m
RA
M
NB
弯曲实例
起重机大梁
1
镗刀杆
车削工件
火车轮轴
楼房的横梁:
阳台的挑梁:
对称弯曲:若梁上所有外力都作用在纵向对称面内 ,梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 非对称弯曲:若梁不具有纵向对称面,或梁有纵向 对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时,梁的挠 曲线与外力所在平面相重合,这种弯曲称为平面弯 曲。
引起负值的剪力。
•“左上右下”为正 •(左右段上的外力)
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁 段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
“左顺右逆”为正(左右段上的外力)
•截面左侧梁上的外力对该截面形心的 矩为顺时针转向(或右侧梁上的外力对 该截面形心的矩为逆时针转向)为正, 反之为负。
剪力值=截面左侧(或右侧)所有外力的代数和
第六章 弯曲内力
§6-1 概述 §6-2 剪力和弯矩
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§6-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
§6-5 平面刚架与曲梁内力
§6-1 概述
一、弯曲变形的概念
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 P q 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线,且都在 梁的纵向对称平面内(通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心)。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
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