削竹式洞门的放样

削竹式洞门的放样与堵头板的制作
摘要：用数学的方法解决隧道削竹式洞门的放样
削竹式顾名思义就是竹子被斜切形成的截面，这是一种新型的洞门形式，它能够最大限度地保持原有的山体平衡和自然景观，减少切削山体和开挖以不会形成不稳定斜坡，符合“早进晚出”的原则，保护了生态环境，同时能够缓和洞内外光线差异，确保司机眼睛的舒适性、视觉的安全性及心理的适应性。

其形式美观大方，因而在公路隧道洞门中经常被采用。

可是它的放样难倒了很多技术人员，有的无从下手，有的就只是照葫芦画瓢的衬砌台车上画出大致的轮廓，虽然也能就此安装模板，但毕竟不是很标准，总能够看出不太顺畅的曲线，美中不足。

所以我想出了一个用数学解决的办法，并经过实践，非常有效，希望能给大家一点帮助。

如图这是洞门的设计图，看图得知隧道横截面的半径R=550cm的圆、洞门斜截面的坡比1:n=1:1、斜截面最底端与起拱线之间的竖直距离M=690-550-50=90cm。

根据椭圆的性质：椭圆在水平和
如图Ⅱ，其竖直上的投影即为隧
道横截面，其圆曲线方程为：
x2+y12=R2 （方程1）；
洞门曲线为一椭圆，根据洞门坡
比1：n得出其长半轴为R√
(1+n2),短半轴为R,所以此椭圆
的曲线方程为：
x2/ R2+ y2/（R2 (1+n2)）
（方程2）；
水平投影曲线的长半轴为n R，
短半轴为R，其曲线方程为：x2/ R2+ y22/ n2R2=1，（方程3）可以看出当n=1时也是圆，但θ
图Ⅱ
这里暂不把具体数值代入。

这三个截面的关系可以看成是洞门椭圆曲线分别在水平和竖直上的投影，它们共用一个X 轴。

所以洞门椭圆曲线上的任意一点在水平和竖直上的投影存在一一对应的关系,即（x,y ）,(x ,y 1),(x, y 2)三点一一对应。

台车顶上的轴线与Y 2轴平行，k 为y 2平行而得来，k= y 2，取值范围同于y 2，k ∈(-Mn,Rn),根据(x ,y 1)可以算出这点与Y 1轴所夹弧长L 。

L 与k 之间也有一一对应的关系，这样可以建立L 与k 之间的函数方程：
已知k , y 2= k 代入方程3，
得x =√(n 2 R 2-k 2)/ n （这里都取正值），再将x 代入方程1得y 1= y 2/ n= k/ n ， 竖直曲线中弧长L 所对应的角θ=arc tan (x/y 1)= arc tan((√n 2 R 2-k 2)/k ), k ∈(-Mn,Rn),
当Rn ≥k>0时，
θ= arc tan((√n 2 R 2-k 2)/k )
当k=0时，θ=90o ，L=πR/2
因为反三角函数值域为［+π/2，-π/2］，而当-Mn ≤ k ＜0时，为大于π/2的角，包含起拱线以下的部分，所以
θ=π+arc tan((√n 2 R 2-k 2)/k )
L =πR θ/180,将θ代入即得L 与k 之间的函数方程
πR/180·arctan(√(n 2 R 2-k 2)/k ) Rn ≥k>0
πR/2 k=0 πR/180·(180 + arctan(√(n 2 R 2-k 2)/k )) -Mn ≤ k ＜0
我们代入已知的数值M=90cm ，n=1，R=550cm 和k 的取值就可以求出L 了，如表1。

表Ⅰ(cm)
K L K L K L
-90 954.3 330 510.0 533 137.1
-70 934.1 350 484.6 535 128.7
-50 914.0 380 444.4 538 115.1
-30 894.0 400 416.1 540 105.0
0 863.9 430 370.3 542 93.9
50 813.9 450 336.9 545 74.2
100 763.4 470 300.4 548 46.9
150 712.0 500 236.3 549 33.2
180 680.6 510 211.1 549.5 23.5
200 659.2 515 197.3 549.7 18.2
250 604.4 520 182.5 549.9 10.5
300 546.6 525 166.5 550 0.0
x 只取正值，因为在x 为负时与x 为正时相对与y 1轴对称，利用它的对称性就不需要在算x 取负值时的情况了。

在实际的操作中还要将台车的位置根据图纸要求的里程和标高调整好，画出台车顶轴线。

然后根据求出的L 及与之相对应的k 值，在台车顶轴线上量出k 值，在台车环向方向量出弧长L ，用红油漆打点，最后把所有的点再用红油漆平滑的连接L= 图Ⅲ
起来就是洞门的曲线（如图Ⅲ）。

根据经验,最好在越接近洞门顶端，k的取值越密一点，这样在台车上打的点就比较多，连接这些点就容易一些。

那么堵头板的放样就是两个椭圆之间的椭圆环，由图Ⅲ可以看出洞门的外轮廓线也是椭圆，衬砌厚度为60cm，长半轴为（R+60）√(1+n2)=610×√2=862.5,短半轴为550+60=610，其方程为x2/ 6102+ y22/ 862.52=1，（方程4）
图Ⅳ
根据椭圆的定义（平面上到两点距离之和为定值2a的点的集合），放出堵头板的样，步骤如下：
1、在一块较大的平地上用卷尺画出x、y轴，再画出与x轴距离为M√(1+n2)=127.3cm的平行线，标出椭圆的两个焦点(焦点在长半轴y轴上，相对于x轴对称，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5)；
2、量出长度为2a=1725cm的绳子，将绳子的两头分别钉在两个焦点上，然后用粉笔绷紧绳子在地上画出被与x轴平行线所截的大半椭圆弧；
3、用上步的方法画出洞门内环椭圆弧曲线，两椭圆弧曲线所夹的椭圆环即是堵头板的形状；
4、将木板搭铺在椭圆环上，注意木板之间要上下叠搭，保证木板能够覆盖椭圆环的全部，并按从左到右或从右到左的顺序将木板编号；
5、在木板上再次画出这个椭圆环，这次最好用木工红铅笔来画，在压在下面的木板上画出木板之间的搭接缝线以便木工切锯，如图Ⅳ；
6、木工依据木板上的红线切锯出堵头板，并按编号顺序和台车上画出的洞门曲线进行安装。

这样放出的样很精确，完全可以满足公路工程验收规范木模板相邻高差不超过3mm、表面平整度不超过3mm等要求，木工只需根据你的放样来加工和安装模板，做到了心中有数，方便快捷。

所做出的洞门标准美观，为我们争取精品工程作出了
一点贡献。

也可以将此函数用实际图纸上的尺寸代入，然后在excel中输入此函数和要取的k值，用鼠标拖拽托柄，可更快的算出L值。

一点拙见，希望能得到大家的批评和意见，能够与同行和前辈们一起交流，我将不胜荣幸。

台体：上底面积S1，下底面积S2，高H，
体积Ｖ＝[S1 + √(S1*S2) + S2] * H / 3
什么是梯形体?
比如上面长2厘米宽2厘米，下面长4厘米宽4厘米，高2厘米。

就是梯形体。

比如上面长3厘米宽2厘米，下面长6厘米宽4厘米，高2厘米。

也是梯形体。

也就是一块下表面积比上表面积大的梯形物体是梯形体。

梯形物体的体积计算公式
V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*H
注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；H：高。