太极图的数学描述
太极图,河图,洛书,八卦四位一体论
太极图、河图、洛书、八卦四位一体论苏开华太极图、河图、洛书、八卦是中国古代文化史上的四个千古之谜。
作为“易学”之源,它们之间一定存在着某种必然的内在关系,正因为如此,所以自《易传》始,古代“易学”家们早就把它们四者拴在一起了。
可这种必然的内在关系究竟表现在哪里?古往今来,谁也没有说清楚。
笔者经过长期深入的研究,现在,终于揭开了其中的奥秘:原来,太极图、河图、洛书、八卦都是我国史前的文化遗产,统属“符号文明”的范畴(因为当时尚未产生文字);从时间上讲,太极图产生最早,由于它有着非同寻常的内涵和价值,先祖们唯恐自己的本意不为后人所理解,于是又用其它符号方式创作了变相的太极图,这便是河图、洛书、八卦的由来;因此,太极图、河图、洛书、八卦四者实际上是一回事,是远古先民们分别以图象、数字、卦爻三种方式向后人发出的同一个非凡的信息。
限于篇幅,本文对上述四者的时代属性和固有本质暂不论证,只想专门谈一谈它们之间的内在联系。
一、从文献资料看太极图、河图、洛书、八卦的相关性关于太极图、河图、洛书、八卦之间的内在关系问题,古代学者们虽未完全搞清楚,但从他们的一些论述来看,不少人似乎早就朦胧地意识到了这一点。
这方面的证据不胜枚举,以下不妨略举数例:第一、《易经・系辞》云:“是故天生神物,圣人则之,……河出图,洛出书,圣人则之。
”这是说河图、洛书是圣人们创作八卦的依据。
第二、《尚书・顾命篇》“孔安国传”曰:“伏牺氏王天下,龙马出河,遂则其之以图八卦,谓之河图。
”这是说远古伏羲氏在参照河图的基础上创作了八卦。
第三、《汉书・五行志》云:“伏羲氏继天而王,受河图,则而画之,八卦是也”;《汉书・律历志》又云:“自伏羲画八卦,由数起,至黄帝、尧、舜而大备。
”这也是说,由奇妙的数字方式排列而成的河图、洛书乃是伏羲氏据以创设八卦的直接源泉。
第四、《易传》有云:“圣人有以见(现)天下之迹,而拟诸其形容,象其物宜,是故谓之象;圣人有以见(现)天下之动,而观其会通,以行其典礼,系辞焉以断其吉凶,是故谓之爻”;又说:“圣人立象以尽意,设卦以尽情伪,系辞焉以尽其言。
中国太极图理论的数学模型及应用（Ⅱ）
中国太极图理论的数学模型及应用（Ⅱ）陈克恭;马如云【摘要】借助陈‐马的数学模型，通过简单的比例关系，将陈‐马给出的方形阴阳图变换成与经典太极阴阳图类似的圆形阴阳图。
通过数值计算给出了精准的二十四节气曲线和二十四节气阴阳值列表。
%In this paper the square diagram of Chen‐Ma’s Yin‐Yang double‐fish is transformed into the circular diagram of Yin‐Yang double‐fish via a simple proportionalrelationship .Meanwhile ,the precision curve of the 24 solar terms is plotted , and a list of Yin‐Yang values to the 24 solar terms is given via a numerical computation .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】5页(P1-5)【关键词】太极图;数学模型;相对偏离量;阴阳值;二十四节气【作者】陈克恭;马如云【作者单位】西北师范大学，甘肃兰州 730070;西北师范大学，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O112马如云，男，教授，博士研究生导师.主要研究方向为大范围分析和微分方程.E-mail:*************.cnKey words:Yin-and-Yang double-fish diagram;mathematical model;relative deviation;Yin-Yang values;24 solar terms老子曰：“人法地，地法天，天法道，道法自然.”陈克恭在《“转型”张掖——生态经济之路》[1]及《关于生态文明的实践感悟与哲学思考》的讲座中，运用中国古代的阴阳平衡理论，阐释张掖绿洲中沙与水的辩证关系.张掖荒漠化地区是绿洲与荒漠以水为要素平衡而存在的，“水”和“沙”相互博弈、相互依存，有水即为绿洲，无水则成沙漠.现在自然会问：怎样在数学上找到依据，以便利用太极阴阳图(图1)来准确地刻画沙水相互依存和相互作用的数量关系？运用数学理论研究中国古代的阴阳学说已有一些很好的工作[2-8].近来，陈克恭和马如云[9]通过引入单纯属性层面的概念并借助单纯属性的状态平衡点及其相对偏离量δ来定义相对于δ的阳值和阴值坐标为进而为中国太极图建立了一个新的数学模型.为了叙述简单，记阳值则阴值为1-h.在边长为1的正方形中，高度为h的水平线段被分成长度分别为h 和1-h的两段，如图2所示.图2是直角坐标系下陈-马模型的阴阳鱼示意图.但在中国古人的观念中，圆能更好地刻画事物的整体和全局，因此，如何将直方图所反映的阴阳值关系在单位圆内合理地表示出来是一个非常有意义的问题.将图2中单位正方形的边长由1增加到2，然后作边长为2的正方形，以正方形的左下顶点为原点建立直角坐标系，如图3所示.以点(1,1)为中心、1为半径作图3中正方形的内接圆，如图4所示.对任意h∈(0,1)，过(0,2h)作水平线交圆于C,D两点，交正方形于A,B两点,设它们的坐标分别为C(x-,2h),D(x+,2h),A(0,2h),B(2,2h).过原点O作正方形的对角线OP，交AB于R(2h,2h)，则存在线段CD上的唯一点Q(x,2h)，使得即进而联立方程组解得将x+,x-代入(3)式可得运用Mathematica 4，可以描绘出函数(4)的横卧S形图像(图5).将图5按单位圆的圆心逆时针旋转90度，得到与陈-马直方阴阳鱼对应的阴阳双鱼图(图6).注1 在圆内，可将任何一条水平线与圆周交得的线段CD的长度看成1,尽管它的实际长度随着h的变化而改变！曲线S上的点Q满足即(5)式表明：在图7中，若以k表示圆形阴阳鱼中的“阳值段”，则1-k表示“阴值段”.由于当2h增大时，单调递增，进而也随之增加，所以在陈-马阴阳图中，水平线升高，不论是方形太极图还是在圆形太极图，阳值与阴值之比也随之增加；水平线降低，阳值与阴值之比也随之减少.这从另一方面说明了陈-马模型的合理性.事实上，陈-马圆形阴阳图借助函数(4)，精准地描述了圆内阳值和阴值的分布情况. 注2 陈-马的圆形阴阳图(图7左)与传统的阴阳图(图1)结构相似.由于古人没有完整的三角函数理论，无法推出精确的函数(4)来，所以只好运用两段半径为1/2的圆周来替代函数(4)的图像，进而绘出图1中的传统太极阴阳鱼.我们可以找到一个变换，将方形阴阳鱼(图2)变换为传统的阴阳鱼(图1)，但这个变换远没有变换(2)中的比例关系简单明了，故我们建议使用由函数(4)确定的图6来表示阴阳双鱼图. 注3 通过计算可知：在陈-马的圆形阴阳鱼(图7左)中，当水平高度时，阴鱼水平宽度最大，约为1.29904；当水平高度时，阳鱼水平宽度最大，约为1.29904.因此在陈-马的圆形阴阳图中，鱼眼睛位于高为和的水平线上.相应地，在陈-马的直方阴阳图(图2)中，当时,阳值为0.25,阴值为0.75;当时，阳值为0.75,阴值为0.25.2.1 二十四节气的来源二十四节气起源于黄河流域，远在春秋时代，就定出仲春、仲夏、仲秋和仲冬四个节气，但这四个节气的变化不能与日期和四季的变化密切配合起来，不能用来指导农业生产.因此，我们的祖先又根据丰富的农业气象经验，不断地改进与完善，到秦汉年间，二十四节气已完全确立.公元前104年，由邓平等制定的《太初历》，正式把二十四节气订于历法，明确了二十四节气的天文位置.图8、图9分别为《周髀算经》和《后汉书》给出的二十四节气晷景曲线.二十四节气，基本上反映了黄河流域中下游气候的变化规律，是一部简要、明确、灵活而又紧密结合农业生产需要的农事历，与夏历配合使用十分方便，并且对指导农业生产很有帮助，所以广为社会所采用[10-13].2.2 二十四节气的划分和含义先民将一年内太阳在黄道上的位置变化和引起的地面温度的演变次序分为24段，每段约隔半个月的时间，分列在12个月里面.现代天文学把地球公转一周即1年分为4段，化周天为360度，自春分开始，夏至为90度，秋分为180度，冬至为270度，再至春分合成360度；每一段即每相距90度又分为6个小段.这样，一年便分为24个小段，每段的交接点就是二十四节气.二十四节气的制定，结合了天文学与气象学，也综合了一年四季动植物的生长规律，它能准确地反映出一年间的自然特征，也可以看出地球运转而让事物产生的变化.二十四节气在中国古代发挥了巨大的作用，是一种人类文化、文明的变现.十二星座是西方的一个伟大发明，它源于天文学的一部分.西方天文学家根据太阳在黄道上现行的位置，将黄道带分成十二个区段，以春分为0°，自春分点(即黄道零度)算起，每隔30°为一宫，并以当时各宫内所包含的主要星座来命名，依次为白羊、金牛、双子、巨蟹、狮子、处女、天秤、天蝎、人马、山羊、水瓶、双鱼等，称之为黄道十二宫，如图10所示.2.3 二十四节气与陈-马阴阳太极图数学模型根据陈克恭和马如云[9]的阳值计算公式容易绘出精准的二十四节气曲线，见图11.根据(6)式可以计算出每个节气所对应的阴阳值，见表1.结合图11及表1可以看出，自夏至→秋分→冬至→春分→夏至，阳值的变化是1→0.5→0→0.5→1，而阴值的变化是0→0.5→1→0.5→0，仅春分和秋分阴阳值相同.二十四节气的阴阳值表可以帮助人们理解相邻两个节气之间的气候变化的剧烈程度.【相关文献】[1] 陈克恭．“转型”张掖——生态经济之路[M].兰州：甘肃文化出版社,2012.[2] 赵喜新．中医阴阳学说的数学模型[J].河南中医，1997，17(5):264.[3] 翟忠信．中医阴阳学说的一个数学模型[J].数理医药学杂志，1999，12(4):302．[4] 吴昌国．复数在中医阴阳理论中的应用研究[J].中国中医基础医学杂志，2002，8(4):65.[5] 王正山.中医阴阳的本质及相关问题研究[D].北京：北京中医药大学，2014.[6] 李金林.阴阳相关性的泛系模型[J].西北民族学院学报(自然科学版)，2002，23(1):1．[7] 赵致镛，赵威.中医阴阳理论的数学模型之建立及其徼积分定量的研究[J].四川中医，2005，23(11):8.[8] 秦建增，陈宝田.中医阴阳数字模型[J].第一军医大学学报，2004，24(8):933.[9] 陈克恭,马如云.中国太极图理论的数学模型及应用[J]. 西北师范大学学报(自然科学版)，2015，51(5):1.[10] 牟重行.太极图的制作原理源于二十四节气观测数据[J].中华医史杂志，2011，41(4):195.[11] 李仕澂. 论太极图的形成及其与古天文观察的关系[J].东南文化，1991(Z1):9.[12] 罗翊重,胥良. 解析中华太极图的阴阳数字化之谜[J].云南社会科学,2006(06):38.[13] HSU Jong-ping,HSU Leonardo.Space-Time Symmetry and Quantum Yang-Mills Gravity:How Space-Time Translational Gauge Symmetry Enables the Unification of Gravity with Other Forces[ M].New Jersey:World Scienctific,2013.。
太极图的象数理
太极图的象数理在中国稍有传统文化知识的人都知道，太极图象是宇宙万象的结构与生化模式，是宇宙最高道理的表述，是宇宙终极真理的揭示概括。
那么太极图是用什么样的象数理形式把它所具备的特殊功能表现出来的呢？见过太极图象的人都知道，太极图是由太极图中间S曲线及连体的阴阳二鱼三要素图象组成的。
此阴阳二鱼抽象形成为阿拉伯数字6，9～♋️，象征阴阳。
中间的S曲线抽象则形成阿拉伯数字5，象征五行（形）气。
那么这样一来我们把宇宙模式太极图抽象形成的695三数连成一体则解读为阴阳五行。
因此我们就自然可以把太极图理解为阴阳五气的表象。
也就是说宇宙就是由阴阳五行气生成的！因此695数也就自然形成为宇宙模式太极图的特征符号象数，这就是太极图自然形成的第一个象数理！但是我们再细心深入的端详一下，连体的♋️阴阳二鱼本来也可以6/9的形式表现为阴阳，而6/9则可以简约为2/3来表现为阴阳，那么这样一来阴阳五行气象数695则有理由转换为235来解读为阴阳五行。
而通过这样一转换：2 3=5则无形中为我们揭示了一个道理：阴阳二气原来是五行气分体的存在方式。
即阴阳二气是生成宇宙五行气统一的存在方式。
同时我们还可以看到，235三象数实际也就与695象数一样，同样自然形成为宇宙模式太极图的特征符号象数。
那么这样一来我们此时则不由自主的联想到一个道理，那就是宇宙运动如果走完了235（阴阳五行）数，即2 3 5=10➡️=一➡️（象数语言解读为一周）那么它也就必然是走完了以235为宇宙运动一周期的定数。
然而这种定数的逻辑推理是否合理呢？合理！为什么？鬼斧神工，天意使然，客观实在的天体运动历数证明，地球运动235个朔望月（合19年）竟然完整的走完了一个冬至点回归的时间周期。
此19年中有7个闰年。
而此19年乃又是一个我们民族历代时间运动大元的周期基数（三统历一大周期数是19*9*138240=23639040年）。
这就是太极图为我们自然形成的又一个奇妙的象数理。
太极图式数学
太极图式数学理论简介曹俊云1，曹凯2（1. 河南理工大学数信学院，河南焦作，454000; 2. 河南理工大学电气学院，河南焦作，454000;） 摘要：时段、线段的长度具有测不准的性质。
线段可以被看作是连接近似点构成的；但不是由理想点构成的，因为理想点没有大小。
每一个实数都有它的理想实数，近似实数与全能近似实数（无穷数列）三部分构成。
如果要问理想实数√2究竟多大呢，就可以用1.4、 1.414或它的其它近似实数进行近似刻画，但其精确值则是其全能近似实数（无穷数列1.4, 1.41,1.414, ……）的极限。
关键词：实数；数轴；导数；函数；点；平行线Simple Introduction to Mathematical Theory on shape of Diagram of the universeCao Jun Y un 1, Cao Kai 2(1. School of Mathematics and Information engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, 454000;2. School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, 454000 ) Abstract: The length of time segment and line segment possesses the character of which could not accuracy to measure. Line segment may be regard constitution by to link approximation points, but it could not regard constitution by to link ideal points, because ideal points have not the size. Every real number is constituted by its ideal real number, its approximation real number and its omnipotent real number (infinite sequence). If ask the question of that how many the ideal real number √2 is? May be roughly depicted by its approximation real number 1.4, 1.414 or others, but its accurate value is the limit of its omnipotent real number (infinite sequence1.4,1.41,1.414,……).Keywords : Real number; number axis; Derivative; Function; Point; Parallel lines 0前言经过50年的研究，我和杨健辉合著了《全能近似分析数学理论基础及其应用》[1]一书，由中国水利水电出版社出版（ISBN 978-7-5084-7090-0）。
太极的数学函数表达式
太极的数学函数表达式
太极图生动形象地揭示了宇宙构成的奥秘，阴阳对立而又统一，相应而又合抱。
太极图中心的反Ｓ曲线，判分阴阳两仪，展现彼此依存、制约、消长、转化的动态变化规律。
周敦颐的《太极图说》“无极而太极。
太极动而生阳，动极而静，静而生阴，静极复动。
一动一静，互为其根。
分阴分阳，两仪立焉。
”是从事物运动变化状态对太极阴阳理论进行的深刻阐述。
从图形上分析，老子《道德经》中“万物负阴抱阳，冲气以为和”是文字表述太极图最早的形式，这是《道德经》被奉为道学之源的原因之一。
为了更好地用数学语言来表示太极图理论，我们先定义太极、阴、阳这几个概念。
太极是一个整体系统，是阴阳合和体，太极用字符H表示。
太极系统可分为阴和阳两个特性，阴和阳是太极处于两仪层次的表现形式，阴的特性用字符Y-表示，阳的特性用字符Y+表示。
根据以上定义，太极图理论的数学表达式可表示为：
H = Y+ + Y- （1）
式（1）表明，太极系统H是由阴Y-、阳Y+ 两部分组成。
如果知道了系统的阴Y-、阳Y+，并可确定系统的和H。
如果知道了系统的和H及阴Y- 或阳Y+ ，也可由（1）式求得系统的阳Y+ 或阴Y- ：
Y+ = H - Y- （2）
Y- = H - Y+ （3）
当系统的状态为原始初态H=0时，则有
Y+ = - Y- （4）
（4）式也表示阴与阳的转换关系，它是表明两个系统之间的阴与阳的相互
作用，相当于牛顿运动定律中的作用力与反作用力之间的关系。
一个稳定系统H=常数时的太极阴阳关系可用太极坐标表示。
河图洛书是做什么用的？
河图洛书是做什么用的？《周易》的两个数学猜想古人在推演周易模型时，天盘的象数和地盘的象数各产生一个数学规律。
这两个数学规律未经证明，故称为数学猜想。
一、伏羲-太愚数学猜想伏羲当年在推演天盘八卦时，要给八卦配置象数，由此得到两个图式，在头条首页悟空问答“太极图是什么意思”我已作过解答。
天盘八卦的象数隐藏着一个数学猜想。
为了将这个数学猜想介绍清楚，现将原先文章的有关内容转贴如下。
古人推演出的太极简图如图一。
图一太极简图太极简图包括0-10数，其中的0即混沌，10表象极大。
其数分两列行进：阳数艮1-坎3-（5）-震7-乾9-（10）；阴数兑2-离4-（5）-巽6-坤8-（10）。
两列数交汇到10之后，再沿着平分卦图的道（即卦图的水平直经10-0线），返回到0，这个过程，就称为原始反终，用来表象宇宙及万物的一个生命周期（初极至终极）。
这就是所谓“两极”说。
图中的5数和10数不是八卦之数，其5数是中分卦图之数（5用来表象鬼的概念，称五鬼。
鬼可上天，可入地，故它不分阴阳），10数是易道之数。
易道的两端分别表象极大和极小，故古人把0-10线称为太极。
这根线以“一”字的形态出现，故又称为太一。
要注意的事，图中的0既是始也是终。
因为，事物发展达到极大时，即通过10-0线返回到0，故0为始终。
这就是所谓物极必反。
宇宙万物是可以通过更新换代实现生生不息的。
所以，古人又推演出另一个图式，用来诠释这个概念。
把上述图一图式的0-10作为第一级基数，然后以10为单位逐级上推，则第二级数为10-20，第三级数为20-30，第四级数为30-40，一直排到无穷大。
再按太极简图的数的配置形式，把每级数配置到太极简图上，成象为太极全图如图二。
图二太极全图（太极数扩展图）如太极全图所示，从第二级数起，其数呈如下规律排列：第二级数：阳数第二级：艮11-坎13-（15）-震17-乾19-（20）；阴数第二级：兑12-离14-（15）-巽16-坤18-（20）。
“中国太极图”与物理、数学和哲学的统一
“中国太极图”与物理、数学和哲学的统一有人为藏宝在手，不顾生命去满世界寻求，固九死一生却没有找到宝藏而万分沮丧，不是岁月催人老，而是人心催人老！您若能读懂“中国太极图”这幅瑰宝图，您就能藏宝在心，它永远只属于您自己，它不仅使您具有不老的生命青春，而且让您拥有了整个智慧世界！对“中国太极图”中目前能挖掘和领悟的信息来看，它蕴含了宇宙物质运动的全部内容！值得科学家们深究和探求。
通过以上各章对“中国太极图”和近代宇宙学的讨论，我们已发现了许多以前我们不知道的秘密：一、“中国太极图”是古往今来最简单、最经济和谐的宇宙模型图，它表达出了最复杂的宇宙全景形态。
它从宏观的可扩展性到微观的可收缩性均显示了奇妙无穷的百变天韵。
此图一显身就标志着地球人有了最伟大的认识和发现并且进入了一个新的文明时代，让地球人能大踏步地跨越对宇宙认识从未知到有知的分水岭，其千变万化的梦幻奇景令人惊叹不已！图6.1旋涡星系 M51图片提供与版权： S. Beckwith(STScI) Hubble Heritage Team，(STScI/AURA)，ESA，NASA顺着北斗七星的斗柄往远离斗杓的方向移动，到了斗柄最末端的亮星“摇光”停住，然后再把望远镜略微向西南方移动，您就有机会看见这对很美丽的对撞星系。
M51是一个典型的旋涡星系，距离地球约3?100万光年，位于猎犬座内，银河系的形状与它相似，它另一个常见的编号是 NGC 5194，画面右方较小的星系是 NGC 5195。
二、“中国太极图”十分准确地明示了：宇宙从小到大、从大到小；从渐变到突变，由量变到质变；从无形生有形，由有形变无形；静中有动，动中有静；从无机到有机，从非生命到生命；一面生生息息，一面息息生生；周而复始、循环发展的自然规律。
三、“中国太极图”对爱因斯坦“重力和时空曲率”及一些著名科学家的天体学说表述得最为完美和谐，无论是宇宙创生时的各向同性，还是演化后局部的“微小扰动差异”都能从“中国太极图”中得到说明。
太极图
太极图太极图、周易、先天八卦图[ft=,+0,][ft=,+0,]太极图[ft=,+0,]黑[ft=,+0,]白二色，[ft=,+0,]代表阴阳两方，天地两部；[ft=,+0,]黑白两方的的界限就是划分天地阴阳界的人部。
白中黑点表[ft=,+0,]示阳中有阴，[ft=,+0,]黑方白点[ft=,+0,]表示阴中有阳。
太极图是研究周易学原理的一张重要的图象。
太有至的意思；极有极限之义，就是至于极限，无有相匹之意。
既包括了至极之理，也包括[ft=,+0,]了至大至小的时空极限，放之则弥六合，卷之退藏于心。
可以大于任意量而不能超越圆周和空间，也可以小于任意量而不等于零或无，以上是太极二字的含义。
[ft=,+0,]所谓道生一，一生二，二生三，三生万物；就是无极生太极，太极生两仪，阴阳化合而生万物。
宇宙有无限大，所以称为太极，但是宇宙又是有形的，即有实质的内容。
按易学的观点，有形的东西来自于无形，所以无极而太极。
太极这个实体是健运不息的，即宇宙在运动，动则产生阳气，动到一定程度，变出现相对静止，静则产生阴气，如此一动一静，阴阳之气互为其根，运转于无穷。
[ft=,+0,]自然界也是如此，阴阳寒暑，四时的生长化收藏，即万物的生长规律，无不包含阴阳五行。
就人部阴阳而言"乾道成男，坤道成女"，阴阳交合，则化生万物，万物按此规律生生不已，故变化无穷。
这些内容提出了立天之道，立地之道，立人之道三纲领，也就是三才之道，所谓"六爻之动，三极之道也。
" 八卦产生图解：在宋代陈抟和邵雍画阴阳太极图，把这一思想表达的更为形象。
从太极图中我们可以直观地看出，任何事物都是由两个相反的对立面组成，二者的相互转化处于一个动态过程中，同时它们又组成了一个统一、平衡的体系。
在黑白阴阳鱼中的白黑点则表示任何事物不是绝对的，只有相对而言。
太极阴阳图直观的揭示了万事万物发展变化最根本的哲理，是适应于自然界万物的普遍法则。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、太极图数学模型的物理意义
理想太极图数学模型为：
H = Y
+ + Y
-
Y
－
= （1-COSφ）/2
Y
+
＝（1+COSφ）/2
φ ∈［0±2 KЛ，2Л±2（K+1）Л］（K为自然数）
用理想太极图数学模型绘制的图形是一个以φ为相角的周期性曲线。
太极图形可以顺时针也可以逆时针方向绘制。
图形的顺时针或逆时针取决于系统的初始位置是以阴性主导还是阳性主导。
阴阳曲线呈旋转对称性，当阳线转过180度（Л弧度）后，其图形与阴线重
合。
阴线也有同样性质，即Y
－（φ+Л）＝ Y
+
（φ）或Y
+
（φ+Л）＝Y
－
（φ）。
阴阳曲线都为偶函数：
Y －（-φ）＝Y
－
（φ）或 Y
+
（-φ）= Y
+
（φ）
我们还可以通过设置不同的初相位φ
，获得任意角度时的太极图形：
Y －= （1-COS（φ+φ
））/2
Y +＝（1+COS（φ+φ
））/2
由式（5）可以知道，当一个质点做匀速圆周运动时，其质点的能量在平面直角坐标系中的表达式为：
E
X
= m R2ω2 COS2θ/2= m R2ω2（1+COS2θ）/4
E
y
= m R2ω2 SIN2θ/2= m R2ω2（1-COS2θ）/4
E= E
X + E
y
= m R2ω2/2
其中：m为质点质量，R为圆周运动半径，ω为圆周运动角频率。
E
X 、 E
y
分别为质点在X轴、Y轴方向的能量，E为质点总能量。
当该质点用太极系统来描述时，系统的和H、阴Y
－、阳Y
+
为：
H = Y
+ + Y
－
= E= m R2ω2/2
Y
－
= m R2ω2 SIN2θ/2= H SIN2θ= H（1-COS2θ）/2= H（1-COSφ）/2
Y
+
= m R2ω2 COS2θ/2= H COS2θ= H（1+COS2θ）/2= H（1+COSφ）/2太极因子（1-COSφ）/2、（1+COSφ）/2是系统的和H为1个单位时阴阳特性的最简形式。
由此可见，太极、阴阳概念在不同的系统中可以有不同的含义，太极图数学模型描述的是事物普遍遵循的周期运动规律。