18年高考数学专题1.3一题多变分段函数求值或范围小题大做

专题1.3 一题多变分段函数求值或范围
【经典母题】已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1
－2，x ≤1，
－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A.－74
B.－54
C.－34
D.－1
4
答案A.
【迁移探究1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，
若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解：法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3
，因为0<12<1，所以a >－3，此
时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C. 法二：取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D. 答案：C
【迁移探究2】已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 2x ＋a ，x >0
ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )
A ．{x |x >－1}
B ．{x |－1<x ≤0}
C ．{x |x >－1且x ≠0} D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1<x ≤0或x >
1
2 解：因为x >0时，f (x )＝log 2x ＋a ，所以f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1.
所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
x >0，
log 2x ＋1>0，即x >1
2，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤0x ＋1>0，即－1<x ≤0，
所以f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1<x ≤0或x >
1
2. 答案D
规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【变式训练】
1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.
若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A.1
B.7
8 C.34 D.12
答案D
2.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，
2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2
(log 2
12－1)＝2
log 2
6＝6，
因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C
3.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92
，则f (5a )的值是( )
A.12
B.14
C.－25
D.1
8
解 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－12＋a ，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
25－12＝1
10
， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35
，
故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.
答案 C
4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 3x ，x >0，
a x
＋b ，x ≤0，
且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3
答案：B
5.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )
的a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1
B.[0，1]
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D.[1，＋∞)
解 由f (f (a ))＝2f (a )
得，f (a )≥1.
当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴2
3≤a <1.
当a ≥1时，有2a
≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥2
3.
答案 C
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 1
3，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.
解：当x <1时，e
x －1
≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.
当x ≥1时，x 1
3≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞，8]. 答案(－∞，8]
7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，
lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.
解 ∵f (－3)＝lg[(－3)2
＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，
当x ≥1时，f (x )＝x ＋2
x
－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；
当x <1时，f (x )＝lg(x 2
＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.
答案 0 22－3
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x >0x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．
解：∵f (1)＝2>0，且f (1)＋f (a )＝0，
∴f (a )＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3
9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，
－（x －1）2，x >0，
则不等式f (x )≥－1的解集是________.
10.．定义新运算
：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2
.设函数f (x )＝
x )x －x )，x
∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．
解：由题意知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2，x ∈[－2，1]，
x 3
－2，x ∈，2]，
当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]． 故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]． 答案[－4,6]
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1
的值域为R ，那么a 的取值范围是________．
解：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨
⎪
⎧
1－2a >0，ln1≤1－2a ＋3a ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a <12
，
a ≥－1.
所以－1≤a <1
2
.
答案⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 12.已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x
x
－
x ＞，h x
x ＜
，
则函数h (x )的最大值为________．
答案：1－e。