计算方法龙格现象和用最小二乘法拟合曲线
2-1一二次曲线插值及曲线拟合2
大家知道，船体型线图是通过船体三组不同的剖面 投影得来的，是一组三向光顺的曲线。 这些曲线是船舶建造的基础，在数学放样大量应用以 前，主要是采用手工放样，这样的劳动强度大，误差大， 大大阻碍了造船工业的发展。从本世纪60年代初成功研究 出了应用计算机进行数学放样，大大推动了造船向数字化、 自动化发展。 本课题要讨论的主要内容是：如何根据给定的型值 生成需要的型线。
2 y x 如对于函数 ，其曲线经过点 (1,1), (0,0), (1,1) ，但是反过
来我们不能说通过上述3点的曲线就是 y x 2 ，我们知道， 也过上面的 个点。 ( y 1) 2 1 y x x 23
所谓曲线插值就是选择的函数（曲线）表达式点点通 过已知型值点 。
也显然有： N0 ( x0 ) 1, N0 ( x1 ) 0, N0 ( x2 ) 0
N1 ( x1 ) 1, N1 ( xபைடு நூலகம் ) 0, N1 ( x2 ) 0 N 2 ( x2 ) 1, N 2 ( x0 ) 0, N 2 ( x1 ) 0
满足通过三点 的条件。
由
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 N2 ( x) y2
p(2.3) 0.368 10.6 1.077 15.2 0.291 20.3
得
18.377
p ( x ) f ( x)
因
故
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
最小二乘法拟合原理
最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。
它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。
这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。
在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。
线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。
其中，a称为斜率，b称为截距。
当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。
它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。
残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。
对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。
S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。
求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。
解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。
最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。
对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。
然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。
方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。
函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。
1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
最小二乘,切比雪夫,拉格朗日,牛顿,样条差值及仿真之令狐文艳创作
令狐文艳第一题：曲线拟合最小二乘法和切比雪夫的相同和不同，以及适用的场合令狐文艳背景及意义：在很多日常生活以及科研活动中，我们需要对一些离散的点集进行拟合，使得拟合的曲线尽量多的穿过所给出的离散点，并且误差小。
从而通过拟合的函数，找出离散点的规律，以此进行进一步的研究。
下面，就最小二乘法和切比雪夫两种拟合方法进行研究和分析。
1、最小二乘法它的标准是，所求得的拟合函数*()y S x =与给出的实际离散点{(,),0,1,,}i i x y i m =之间的误差平方和最小。
公式为：其中ϕ是规定区间上的线性无关函数族，01{,,,}m span ϕϕϕϕ=。
为了使问题提法更具一般性，在各自的离散点的区间中添加权函数()0x ω≥以表示各个离散点数据的比重不同。
要想求出函数*()S x ，就要求出其各阶系数，转而变成求多元函数极小点***01,,,n a a a其中：()j x ϕ取21,,,,n x x x的问题。
为了求取极值，其必要条件为 简化上式可得到矩阵形式其中01(,,,)T n a a a a =，01(,,,)T n d d d d =，要想使所求极值有唯一解，就要求G 非奇异。
又因()j x ϕ的组所组成向量为非奇异，则G 为非奇异，故而存在唯一的解*,0,1,.k k a a k n ==使得*()S x 为所求最优解。
例题：在相同离散点下用最小二乘法完成曲线拟合程序及结果如下clear all; clc; x0=1:10;y0=[1.1 3.5 9.7 2.6 9.4 6.5 5.6 2.1 6.5 5.9];plot(x0,y0,'o');hold on;x=1:0.1:10;hold on;q=polyfit(x0,y0,3);for i=1:length(x);y1(i)=q(4)+q(3)*x(i)+q(2)*x(i)*x(i)+q(1)*x(i)*x(i)*x(i) plot(x(i),y1(i),'*');hold on;end阶次为一的时候拟合曲线阶次为二的时候拟合曲线阶次为三时拟合曲线分析：最小二乘法的拟合需要提前确定离散点分布情况的阶次，即使是相同的离散点所拟合的多项式阶次不同所得曲线会有很大差异，并且当离散点的规律超过三次多项式的时候所拟合曲线的误差就会很大并出现病态问题。
工程数值分析实验龙格库塔,最小二乘法
工程数值分析实验报告指导老师班级 学号 姓名实验一：最小二乘法拟合曲线实验一、实验名称：最小二乘法拟合曲线实验实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
三、实验要求：（1）根据最小二乘法和加权最小二乘法的基本理论，编写程序构造拟合曲线的法方程，要求可以方便的调整拟合多项式的次数；（2）采用列主元法解（1）中构造的法方程，给出所拟合的多项式表达式； （3）编写程序计算所拟合多项式的均方误差，并作出离散函数 和拟合函数的图形； （4） 用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）的结果进行比较。
四、算法描述（实验原理与基础理论）基本原理：从整体上考虑近似函数 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m) i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m)绝对值的最大值imi r ≤≤0max ，即误差 向量Tm r r r r ),,(10 = 的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir2来 度量误差 i r (i=0，1，…，m)的五、实验内容：共有两组给定数据，把给定的数据拟合成多项式。
第一组给定数据点如表1所示如下：表1 数据表表2 数据表六、程序流程图七、实验结果ans =27-May-2015ans =7.3611e+05ans =1.0e+03 *2.0150 0.0050 0.0270 0.0140 0.0010 0.0213 >>八、实验结果分析实验程序 quxiannihe.m clear alldate,now,clockx0=[0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y0=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; w=ones(size(x0)); x=0:0.01:1; %进行五次曲线拟合 N=5;for i=1:Na1=LSF(x0,y0,w,i) ; y=polyval(a1,x); figure(i)plot(x0,y0,'ok',x,y,'r') title('最小二乘法'); legend('y0','y'); xlabel('x'); ylabel('y'); end实验二：4阶经典龙格库塔法解常微分方程一、实验名称： 4阶经典龙格库塔法解常微分方程实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学习掌握4阶经典R-K 方法，体会参数和步长对问题的影响。
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
龙格现象
在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以 计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测 量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系， 但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满 足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项 式函数 f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情 况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。 例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日 期数）越多多项式就越精确。著名的例子是 f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数 在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。究其原因，是舍入误差造成的。 具体的情况可参考下列 Mathematica 程序： n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2); p = Transpose[{x, y}]; Clear[t]; f = LagrangeInterpolation[x, y, t]; Show[ Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}], ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]] ] 程序演示 Matlab 程序演示 （一） 代码 >> f=inline('1/6-y/30','t','y'); [t,y]=ode45(f,[0,5],[0]); plot(t,y) >> hold on plot(t,5-5*exp(-t/30面是 MATLAB 中演示插值的 M 文件： %演示龙格函数的插值情况 for i=3:2:11
最小二乘法拟合原理
最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设x 和y 的函数关系由理论公式y ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-1）给出，其中c 1，c 2，……c m 是m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（x i ，y i ）i ＝1，2，……，N 。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组y i ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-2） 式中i ＝1，2，……，m.求m 个方程的联立解即得m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
在N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y 的观测值y i 围绕着期望值 <f （x ；c 1，c 2，……c m ）> 摆动，其分布为正态分布，则y i 的概率密度为()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=22212,......,,;exp 21i mi i i i c c c x f y y p σσπ,式中i σ是分布的标准误差。