第4讲.特殊三角形之等腰三角形.尖子班.学生版

等腰？
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4
特殊三角形之 等腰三角形
三角形5级 全等中的 基本模型
三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 三角形7级 倍长中线与 截长补短
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模块一 等腰三角形
【例1】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，
则B ∠的度数是（ ）
A ．40︒
B ．35︒
C ．25︒
D ．20︒
⑵ ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是
( )
A ．140︒
B ．80︒或100︒
C ． 100︒或140︒
D ． 80︒或140︒
⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，则BDC ∠的大小是（ ） A.100︒ B.80︒ C.70︒ D.50︒
【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个
等腰三角形的底边的长为（ ）
A ．17cm
B ．5cm
C ．17cm 或5cm
D ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数
为_________．
【例3】 如图1，AB AC =，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠．问：
⑴ 图1中有几个等腰三角形？
⑵ 过D 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，如图2，图中又增加了几个等腰三角形?
⑶ 如图3，若将题中的ABC △改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
⑷ 如图4，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠.DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
夯实基础
能力提升
D
C
B A
D C
B A
A n
A 4
A 3A 2A 1E D
C A B
⑸ 如图5，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
图1
D
C
B
A
图2F E D
C
B
A
图3
F E D
C
B
A
图4
G F
D
C A E
B
图5
N
M
F
E
D C
B A
【例4】 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长
线上的一点，且CE ＝CA ． ⑴求证：DE 平分∠BDC ； ⑵若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．
E
模块二等边三角形
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夯实基础
【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是60︒的三角形；④有一个角是60︒的等腰三角形；⑤以等边三角
形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解析】D. 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形．
【例5】 ⑴如下左图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =CE ，BE 、
CD 交于P 点，则图中︒
60的角共有（ ）
A. 6个
B. 5个
C. 4个
D. 3个
⑵如下右图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）
A.13
B.12
C.2
3 D.不能确定
【例6】 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED =EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.
E
D
C
B A
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图1确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB （填“>”,“<”或“=”）.
F
D A
B
C
E
图2
图1
E
D C B
A
⑵特例启发，解答题目
解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由
能力提升
P
E D
C
B
A Q
P
E
D
C
B
A
如下：如图2，过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F .（请你完成以下解答过程） ⑶拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC △的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.
【例7】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=o ，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，
FG ，…
添加的钢管长度都与OB 相等．
⑴当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．
⑵假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?
D N
M
F
E
O C
B
G
探索创新
思维拓展训练(选讲)
训练1.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25︒，则该三角形的一个底角为()
A．32.5︒B．57.5︒C．65︒或57.5︒D．32.5︒或57.5︒
训练2.已知ABC
∠.
=，求D C E
ACB
△中，90
∠=︒，点D、E在AB上，且AD AC
=，BE BC
训练3.已知等腰三角形的高与三角形一边的夹角为40，求三角形的三个内角．
训练4.已知如图，在正ABC
△所在平面上找点P使PAB
△同时为等腰
△、PCA
△、PBC
三角形，作出这些点．
A
B
知识模块一 等腰三角形 课后演练
【演练1】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底边
长．
【演练2】 7cm AB =，:2:5BC AC =，如果ABC △恰好是等腰三角形，试求BC 、AC 的
值．
【演练3】 如图，在ABC △中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F
作DE BC ∥，交AB 于D ，交AC 于E ，若9B D C E +=，则线段DE 之长为 ．
知识模块二 等边三角形 课后演练
【演练4】 在ABC △中，如果只给出条件60A ∠=°，那么还不能判定ABC △是等边三角形，
给出下面四种说法：
① 如果再加上条件“AB AC =”，那么ABC △是等边三角形； ② 如果再加上条件“B C ∠=∠”，那么ABC △是等边三角形； ③ 如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD BC ⊥”，则ABC △是等边三角形； ④ 如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么ABC △是等边三角形． 其中正确的说法有 （把你认为正确的序全部填上）．
【演练5】 已知如图等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长
线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO =30°；
实战演练
F E D C
B
A
②△OPC 是等边三角形；③AC =AO +AP ；④S △ABC =S 四边形AOCP ．其中正确的有（ ）．
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
P
O
D
C B
A
第十五种品格：创新
将头脑打开一毫米
美国有一间生产牙膏的公司，产品优良，包装精美，深受广大消费者的喜爱，每年营业额蒸蒸日上．记录显示，前十年每年的营业增长率为10 20％，令董事部雀跃万分．不过，业绩进入第十一年，第十二年及第十三年时，则停滞下来，每个月维持同样的数字．董事部对此三年业绩表现感到不满，便召开全国经理级高层会议，以商讨对策．会议中，有名年轻经理站起来，扬了扬手中的一张纸对董事部说：“我有个建议，若您要使用我的建议，必须另付我5万元！”总裁听了很生气说：“我每个月都支付你薪水，另有红包奖励．现在叫你来开会讨论，你还要另外要求5万元．是否过分？”“总裁先生，请别误会．若我的建议行不通．您可以将它丢弃，一毛钱也不必付．”年轻的经理解释说．“好！”总裁接过那张纸后，阅毕，马上签了一张5万元支票给那年轻经理．那张纸上只写了一句话：将现有的牙膏开口扩大1mm．总裁马上下令更换新的包装．
试想，每天早上，每个消费者多用1mm的牙膏，每天牙膏的消费量将多出多少倍呢？这个决定，使该公司第十四年的营业额增加了32％．
好点子的身价是没有上限的，点子是所有财富的起点．
今天我学到了。