八年级上册数学模型构建专题：共顶点的特殊等腰三角形
最新人教版初中八年级上册数学《共顶点的等腰三角形问题》精品教案
等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么 将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数 量和位置上有着特殊的关系.
常见的有共顶点的等腰直角三角形和等边三角形，我们一起来探究.
类型一：共顶点的等腰三角形问题
如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求
证：⑴BE＝CF；⑵BE⊥CF；
C
⑴证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
EM 1 A
B∴∠BAC＋∠1＝∠EAF＋∠1 即∠EAB＝∠FAC
又∵AB＝AC，AE＝AF
∴△EAB≌△FAC
F
∴BE＝CF
类型一：共顶点的等腰三角形问题
如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求
如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个 三角形中会得到全等三角形，并且我们会发现：改变两个三角形的相对位置并 不会改变所得的三角形的全等关系.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
类型二：共顶点的等边三角形
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=பைடு நூலகம்M.
N M
A
1
2 3
B
C
证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(学生版)
模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b a>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形C DE叠放在一起(C与C 重合)的图形．(1)将△C DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图3：在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二共顶点的等腰直角三角形】1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°，点E在边AB上，ED与AC交于点F，连接AD．(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE =90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD= CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC=BC，CD=CE，∠ACB 与∠DCE为“同源角”．(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE=90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE．则△ADB≌，此时线段BD和线段CE的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P．请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．。
共顶点的等腰三角形问题课件PPT
基本了解这本书的内容,然后再决定是否值得去读。
变式题
感谢观看
∵AC=BC ∴BC＝EF ∴BC－FC＝EF－FC 即BF＝CE ∴BF＝FD ∴△BFD是等腰直角三角形 ∴∠DBE＝45°.
典例精解
类型二：共顶点的等边三角形
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=BM.
N M
A
1
2 3
B
C
证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
03
的短文来进行群读,训练自己一次扫视3~5个字或词。
经常进行这样训练,快速阅读速度就能大大提高。
变式题
以跳读的方式翻阅全书
优翼微课
当拿到一本书时,我们不要一页一页地去翻,要先看书的
初中数学知识点精讲课程 标题和副标题、作者和出版者、编者的话和关于作者的说
明;然后浏览目录,阅读内容提要、前言或后记;最后,以跳读
变式题
刘峻琳同学的阅读习惯非常好,有快读有慢读, 既保证了一定的阅读速度,同时也没有落下重点。 下面我们来介绍另外一种快速阅读法。这种方法 由美国教育学家比尔·科斯比和前苏联著名学者 奥库兹涅佐夫等人提出,并在实践中不断丰富和 完善。
快速阅读有三种表现方式
1.跃式阅读。读书时不要逐句逐段,而是跳跃式的,
课堂小结
如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个 三角形中会得到全等三角形，并且我们会发现：改变两个三角形的相对位置并 不会改变所得的三角形的全等关系.
人教版八年级数学上册7.模型构建专题：共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B ＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.。
人教版初中数学八上小专题(十二) “手拉手”模型问题——共顶点的等腰三角形(教材P83习题T12变式
（2）判断BD，CE之间的关系并证明；
（2）解：BD＝CE且BD⊥CE.证明如下： 设BD交AC于点F. 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. ∵∠BFA＝∠CFP，∴∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE.
（3）连接PA，求∠APB的度数.
类型二 共顶点的等边三角形 2.如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点
（2）求∠APB的度数；（用含α的式子表示） 图1
（3）解：如图，点P即为所求. 图2
类型三 共顶点的一般双等腰三角形 3.如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD，CE交于点P，连接
AP.
（1）求证：BD＝CE；
图1
（1）证明：Leabharlann ∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE.
P.求证：∠AOB＝60°. 证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠APC＝∠BPO， ∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°.
小专题（十二） “手拉手”模型问题——共顶点的等腰三角形
（教材P83习题T12变式）
类型一 共顶点的等腰直角三角形 1.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，
CE交于点P. （1）求证：△ABD≌△ACE；
（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）.
共顶点的等腰三角形问题课件
边长性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的边长关系，即两腰相等，底 边与其中一腰不等。
详细描述
由于是等腰三角形，两腰的长度必然相等。而共顶点的两个 等腰三角形共享一个顶点，因此它们的边长关系也是固定的 。具体来说，两腰相等，而底边与其中一腰的长度不等。
面积性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的面积关系，即两个等腰三角形的面积之和等于以底边为基的三角形的 面积。
02
等腰三角形两腰之间的角称为顶 角，底边与两腰之间的角称为底 角。
共顶点的等腰三角形的特性
共顶点的等腰三角形是指两个或多个 等腰三角形共用一个顶点，且各等腰 三角形的腰和底边分别相等。
共顶点的等腰三角形具有轴对称性， 即沿对称轴对折后，两侧图形能够完 全重合。
共顶点的等腰三角形的分类
根据共顶点的等腰三角形的数量，可分为双共顶点的等腰三角形和多共顶点的等 腰三角形。
共顶点的等腰三角形 问题课件
目录
• 共顶点的等腰三角形的基本概念 • 共顶点的等腰三角形的性质 • 共顶点的等腰三角形的构造方法 • 共顶点的等腰三角形的应用 • 共顶点的等腰三角形的习题与解析
01
共顶点的等腰三角形的基本概念
等腰三角形的定义
01
等腰三角形是两边长度相等的三 角形，其中两个等长的边称为腰 ，另一边称为底边。
高难度习题
题目5
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F为AD上两点，且∠BEC=160°，∠BDC=5°。求 ∠EDF的度数。
题目6
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F、G为AD上三点，且∠BEC=170°，∠BDC=10° 。求∠DEFG的度数。
人教版八年级上册模型构建专题共顶点的等腰三角形
人教版八年级上册模型构建专题共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE .(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .。
模型构建：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题12模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (10)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图所示，A 、C 、B 三点在同一条直线上，DAC △和EBC 都是等边三角形，AE 、BD 交于点P ，且分别与CD 、CE 交于点M ，N ，证明：(1)ACE DCB △△≌；(2)CM CN ；(3)60APD ∠=︒．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）先证明EMC BNC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（3）由三角形内角和定理可得APD ACM ∠=∠，即可证明．【详解】（1）证明：∵DAC △和EBC 都是等边三角形，∴AC CD =，CE BC =，60ACD ECB ∠=∠=︒，∴ACE DCB ∠=∠，在ACE △与DCB △中，AC CD ACE DCB CE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌ ；（2）∵ACE DCB △△≌，∴AEC DBC ∠=∠，∵180DCE ACD ECB ∠+∠+∠=︒，60ACD ECB ∠=∠=︒，∴60DCE ECB ∠=∠=︒，∵CE BC =，60DCE ECB ∠=∠=︒，AEC DBC ∠=∠，在EMC △与BNC 中，DCE ECB CE BC AEC DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMC BNC ≌ ，∴CM CN =；（3）∵180MDP DMP APD MAC AMC ACM ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，又∵MDP MAC∠=∠∴60APD ACM ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．【变式训练】【答案】（1）（2）（4）【分析】根据ABC 与CDE ACE BCD ∠=∠，可证ACE 的度数时，BCE ∠的度数也会发生变化，同时也会出现∵AGC BGF ∠=∠，CBD ∠∴60BFA ACB Ð=Ð=°；(1)如图1，若BD AD⊥．①求CED∠的度数；=；②延长ED交BC于点F，求证：BF CF(2)如图2，若点D在边AC上，延长BD交CE于点60AB AC AD AE BAC DAE AED ∴==∠=∠=∠=︒，，，BAD CAE ∴∠=∠，∴()SAS ABD ACE ≌△△，∴ADB AEC ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90AEC ADB ∠=∠=︒，又∵60AED ∠=︒，∴30CED AEC AED ∠=∠-∠=︒，∴CED ∠为30︒．②证明：如图1，过点C 作CH BD ∥，交EF 的延长线于点H ，则H BDF ∠=∠，由①知，906030AEC ADB ADE AED CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=︒，，，∴180180906030BDF ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴BDF CEH ∠=∠，∴H CEH ∠=∠，∴CH CE =，∵()SAS ABD ACE ≌△△，∴BD CE =，∴BD CH =，又∵BFD CFH ∠=∠，BDF H ∠=∠，∴()AAS BDF CHF △≌△，∴BF CF =．（2）证明：如图2，过点A 分别作AP BG ⊥于点P ，AP BG ⊥于点Q ，AB AC BAD CAE =∠=∠ ，∴()SAS ABD ACE ≌△△∴BD CE =，ABD ACE S S = ∵AP BG ⊥，AQ CE ⊥，(1)将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30︒，连接AD ，BE ．如图2：在图样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的C DE ' ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【分析】（1）先由等边三角形判断出AC BC =，CE CD =，再由旋转判断出BCE ACD ∠=∠，进而判断出BCE ACD ≌，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a b -，即可得出结论．【详解】（1）解：BE AD=证明： 点C 与1C 重合，ABC 和1C DE △，ABC ∴ 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，30BCE ACD ∠=∠=︒，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=，（2）解：BE AD =，证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=；（3）解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC CD a b +=+，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC CD a b -=-，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出BCE ACD ≌是解本题的关键．4．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践特例感知：如图1，在等边三角形ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且CD BC <，以CD 为边作等边三角形CDE ，连接BE ，分别过点B 作BF ED ∥，过点D 作DF BE ∥，交于点F ，连接AF AC ，与BE 交于点G ．(1)试判断AF 和BE 的数量关系，并说明理由．(2)猜想论证：将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中AF 和BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．(3)拓展延伸：将如图1所示的CDE 绕点C 按逆时针方向旋转角度()0180αα︒<<︒，当90ABF ∠=︒时，请直接写出α的值．【答案】(1)AF BE =，理由见解析(2)（1）中AF 和BE 的数量关系仍然成立，理由见解析(3)α的值为30︒【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS 证明ABF BCE ≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）延长BC ，交ED 于点M ，根据等边三角形的性质和SAS 证明ABF BCE ≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）利用（2）中的结论解答即可．【详解】（1）解：AF BE =，理由：ABC 和CDE 都是等边三角形，60AB BC CE ED ABC ECD EDC ∴==∠=∠=∠=︒，，，180120BCE ECD ∴∠=︒-∠=︒，DF BE BF ED ∥，∥，∴四边形BFDE 是平行四边形，BF ED ∴=，60FBD EDC ∠=∠=︒，BF CE ∴=，120ABF ABC FBD ∠=∠+∠=︒ ，180120BCE ECD ∠=︒-∠=︒，ABF BCE ∴∠=∠，ABF BCE ∴ ≌，AF BE ∴=；（2）解：仍然成立，理由：如图，延长BC ，交ED 于点M ，，ABC 和CDE 都是等边三角形，60AB BC CE ED ABC ECD EDC ∴==∠=∠=∠=︒，，，E BF D ∥Q ，FBM BME ∴∠=∠，60ABF ABC FBM FBM ∠=∠+∠=︒+∠ ，60BCE CEM CME BME ∠=∠+∠=︒+∠，ABF BCE ∴∠=∠，同（1）可知，BF CE =，()SAS ABF BCE ∴ ≌，AF BE ∴=；（3）解：当90ABF ∠=︒时，如图，，由（2）可知，ABF BCE ∠=∠，90BCE ∴∠=︒，60ECD ∠=︒ ，18030BCE ECD α∴=︒-∠-∠=︒，∴α的值为30︒．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知ABC 和DBE 均为等腰直角三角形，且90ABC DBE ︒∠=∠=(1)试说明：AD CE=(2)试判断AD 和CE 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AD CE ⊥，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AB BC =，BD BE =，90ABC DBE ︒∠=∠=，得出ABD CBE ∠=∠，证出ABD CBE ≌，即可得出AD CE=（2）ABD CBE ≌得出BAD BCE ∠=∠，再由180BAD ABC BGA BCE AFC CGF ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=，得90AFC ABC ︒∠=∠=，即可证出结论【详解】（1）∵ABC 和DBE 是等腰直角三角形，∴AB BC =，BD BE =，90ABC DBE ︒∠=∠=，∵.ABC DBC DBE DBC ∠-∠=∠-∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中,AB BC =，BD BE =，ABD CBE∠=∠∴ABD CBE≌∴AD CE=（2）延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F ，如图所示：∵ABD CBE ≌，∴BAD BCE ∠=∠，∵180BAD ABC BGA BCE AFC CGF ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=，∵BGA CGF ∠=∠，∵180BAD ABC BGA BCE AFC CGF ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=，∴90AFC ABC ︒∠=∠=，∴AD CE⊥【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC 内部，点E 在ABC 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE =，BD CE⊥(2)BD CE =，BD CE ⊥，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ⊥，∴BD CE ⊥；（2）BD CE =，BD CE ⊥，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴AB AC =，AD AE =，∵BAD BAC DAC ∠=∠-∠，CAE DAE DAC ∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABC 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵A F B G F C ∠=∠，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，即BD CE ⊥；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，ABD △和ACE △都是等腰直角三角形，且90DAB EAC ∠=∠=︒，CD 与BE 交于点O ，(1)求证：BE CD =；(2)求证：BE CD ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明CAD BAE ∠=∠，进而证明()SAS ABE ADC ∠≌△，根据全等三角形的性质即可得证；（2）设CA 、BE 交于N ，根据ABE ADC △≌△得出ACD AEB ∠=∠，进而根据三角形内角和定理即可得证．【详解】（1）解：在ABD △和ACE △中，AB AD =，AC AE =，=90BAD CAE ∠=∠︒，∴BAD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即CAD BAE ∠=∠，∵在ABE 和ADC △中AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADC ∠≌△，∴BE CD =；（2）设CA 、BE 交于N ，∵ABE ADC △≌△，∴ACD AEB ∠=∠，∵ANE CNO ∠=∠，180ANE NAE AEN ∠+∠+∠=︒，180ONC NOC OCN ∠+∠+∠=︒，∴90NOC NAE ∠=∠=︒，∴BE CD ⊥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）ABC 与BDE △均为等腰直角三角形，90ABC DBE ∠=∠=︒．(1)如图1，当D ，B ，C 在同一直线时，CE 的延长线与AD 交于点F ．求证：90CFA ∠=︒；(2)当ABC 与BDE △的位置如图2时，CE 的延长线与AD 交于点F ，猜想CFA ∠的大小并证明你的结论；(3)如图3，当A ，E ，D 在同一直线时（A ，D 在点E 的异侧），CE 与AB 交于点G ，BAD ACE ∠=∠，求证：BG AB AC +=．【答案】(1)见解析(2)∠CFA ＝90°，证明见解析(3)见解析【分析】（1）证明△ABD ≌△CBE （SAS ），由全等三角形的性质得出∠BAD ＝∠BCE ，由对顶角的性质可得出答结论；（2）同理可证△ABD ≌△CBE （SAS ），得出∠BAD ＝∠BCE ，则可得出结论；（3）过点G 作GH ⊥AC 于点H ，同（2）可知∠BAD ＝∠BCE ，证出BG ＝GH ，证明Rt △BCG ≌Rt △HCG （HL ），由全等三角形的性质得出BC ＝CH ，则得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，在△ABD 和△CBE 中，AB BC ABD CBE BD BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＋∠AFE ＋∠FEA ＝∠BCE ＋∠ABC ＋∠BEC ＝180°，又∵∠FEA ＝∠BEC ，∴∠CFA ＝∠ABC ＝90°．（2）解：∠CFA ＝90°．理由如下：同理可证△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BAD ＝∠BCE ，∴∠CFA ＝∠ABC ＝90°．（3）过点G 作GH ⊥AC 于点H ，同（2）可知∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＝∠ACE ，∴∠ACE ＝∠BCE ，∵AB ⊥BC ，GH ⊥AC ，∴BG ＝GH ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠AGH ＝45°，∴GH ＝AH ，∴AH ＝BG ，在Rt △BCG 和Rt △HCG 中CG CG BG HG⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △BCG ≌Rt △HCG （HL ），∴BC ＝CH ，∴AC ＝AH ＋CH ＝BG ＋BC ＝BG ＋AB ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①中，若ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，AB AC =，AD AE =．则①BAD ∠___________CAE ∠（填>、＜或=）②连接线段BD 和CE ，则BD ___________CE （填>、＜或=）(2)如图②，ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，AB AC =，AD AE =，若点D 、点E 均在ABC 外，连接BD 、CE 交于点M ，连接AM ，则线段BD CE 、还满足以上数量关系吗？请说明理由【答案】(1)①=，②=(2)BD CE =，见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义可知两个三角形的顶角相等，利用角的和差即可得到①的结论；再结合“SAS ”即可得到BAD ≌CAE V ，根据全等三角形的性质即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到BAD CAE ∠=∠，再结合“SAS ”即可得到()SAS BAD CAE ≌△△，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）①BAD CAE ∠=∠；∵ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB AC =，AD AE =，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠；②BD CE =；在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴BD CE =．（2）满足以上关系证明：如图②，∵ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠，即CAE BAD ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴BD CE =．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，根据题目信息识别出来全等三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，ABC 与CDE 都是等腰三角形，42AC BC CD CE ACB DCE AD BE ==∠=∠=︒，，，、相交于点M ．(1)试说明：AD BE =；(2)求AMB ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)42︒【分析】（1）由“SAS ”可证≌ACD BCE V V ，可得BE AD =；（2）根据全等三角形的性质可得CAD CBE ∠=∠，再利用三角形内角和定理计算AMB ∠．【详解】（1）解：证明：ACB DCE ∠=∠ ，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ACD BCE ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）ACD BCE ≌，CAD CBE ∴∠=∠，18042138BAC ABC ∠+∠=︒-︒=︒ ，138BAM ABM BAC CAD ABC CBE BAC ABC ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒，18013842AMB ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ≠≠．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE ∠=∠=︒时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE ∠=∠≠︒，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE ∠=∠=︒∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAC DAB BAC ∠=∠+∠，BAE CAE BAC ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC =．（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．理由：如图，∵AB AD =，BAE DAC ∠=∠，AE AC =，∴()SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC =；②当AB DB =，AC EC =时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ∠=∠≠︒，∴AB DB AD =≠，AC EC AE =≠，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ≠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB ∠与DCE ∠为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ∠=︒，则∠=EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ∠=∠，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE ∠=︒可求出45DCE ACB ∠==︒，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ∠∠=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD ∠的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE =．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ∠=∠，所以ACD BCE ∠=∠．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE =．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ∠=∠．∵90ACE ∠=︒，∴45DCE ACB ∠==︒．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ∠∠=．∵MOE COD ∠=∠，∴45EMD DCE ∠=∠=︒．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP =．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠．又因为90BCP PCA ︒∠+∠=，所以90ACQ PCA ︒∠+∠=．所以90PCQ ∠=︒，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．。