北京四中八年级下册数学线段的垂直平分线-----知识讲解(提高)

线段的垂直平分线---知识讲解(提高)

【学习目标】

1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.

3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.

4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．

【要点梳理】

要点一、线段的垂直平分线

1.定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB 的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于2

1AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．

要点诠释：

(1)作弧时的半径必须大于2

1AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.

要点二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：

线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

要点三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

要点四、三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

要点诠释:

1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.

3.外心到三顶点的距离相等.

要点五、尺规作图

作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.

【典型例题】

类型一、线段的垂直平分线定理

1.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相

交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）

A、7

B、14

C、17

D、20

【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ ABC的周长．

【答案】C ；

【解析】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交

于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．

∴MN是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△ADC的周长为10，

∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，

∵AB=7，

∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．

【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．

举一反三：

【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明．

已知：线段AB，要作线段AB的垂直平分线．

作法：（

1）分别以A 、B 为圆心，大于 12

AB 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C 、D ； （2）作直线CD ．

直线CD 即为所求作的线段AB 的垂直平分线．

根据上述作法和图形，先填空，再证明．

已知：如图，连接AC 、BC 、AD 、BD ，AC=AD=___=___．

求证：CD ⊥AB ，CD 平分AB ．

证明：

【答案】

已知：如图，连接AC 、BC 、AD 、BD ，AC=AD=BC=BD ． 求证：CD ⊥AB ，CD 平分AB ． 证明：设CD 与AB 交于点E ．

∵在△ACD 和△BCD 中，

,AC BC AD BD CD CD =??=??=?

∴△ACD ≌△BCD （SSS ）．

∴∠1=∠2．

∵AC=BC ，

∴△ACB 是等腰三角形．

∴CE ⊥AB ，AE=BE ．

即 CD ⊥AB ，CD 平分AB ．

2. 如图，已知线段AB ，分别以A 、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，两弧相交于点

C 、Q ，连接CQ 与AB 相交于点

D ，连接AC ，BC ．那么：

（1）∠ADC= _________ 度； （2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC 的面积等于 ___ （面积单位）．

【思路点拨】利用线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点计算．

【答案】（1）90°； （2）43.

根据等腰三角形性质，我们可知：

AD 是等腰△ACQ 底边的高、中线和顶角的平分线．

∴∠ADC=90°．

（2）AC=AB ，∠ACB=60°，

∴△ABC 是等边三角形．

CD⊥AB，

∴∠CAD=∠BCD=30°．

CD= 22

1()164232BC BC -=-=.

【总结升华】本题运用了线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和勾股定理等知识点，虽然知识点比较多，但只要找准所求与已知的关系，本题并不难解．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC 中，已知BC=7，AC=16，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，求△BEC 的周长．

【答案】∵DE 是AB 的垂直平分线，

∴BE=AE，

∴BE+EC=AE+EC=AC．

∴△BEC 的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23．

要点二、线段的垂直平分线的逆定理

3.已知，如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，点M 、N 分别是AB 、BC 边的中点．求证：

直线MN是线段BD的垂直平分线．

【思路点拨】先连接DM、DN，由于BD⊥AC，那么∠ADB=90°，于是在Rt△ADB中，M是AB

的中点，可得DM=1

2

AB=BM，可证M在线段BD垂直平分线上，同理可证N线段BD垂直平分

线上，从而可知MN是BD垂直平分线．

【答案与解析】证明：如图所示，连接DM、DN，∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，M是AB的中点，

∴DM=1

2

AB=BM，

又在Rt△BDE中，N是BC的中点，

∴DN=1

2

BC=BN，

∴MN是线段BD的垂直平分线．

【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．解题的关键是连接DM、DN．

4.（2012?绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=1

2

AB，求∠APB的

度数．

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

【思路点拨】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；

探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．

【答案与解析】

应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，

∵CD为等边三角形的高，

∴AD=BD，∠PCB=30°，

∴∠PBD=∠PBC=30°，

∴PD=

3

3

DB=

3

6

AB，

与已知PD=1

2

AB矛盾，∴PB≠PC，

②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，

③若PA=PB，由PD=1

2

AB，得PD=BD，

∴∠APD=45°，

故∠APB=90°；

探究：解：∵BC=5，AB=3，

2222

534

AC BC AB

∴=-=-=

①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，

∴x=7

8

，即PA=

7

8

，

②若PA=PC，则PA=2，

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或7

8

．

【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．

举一反三：

【变式】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.

【答案】40°；

解：∠B=x，∠c=y，则，∠B+∠C=180°-∠BAC，即x+y=70°①，

∵DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，

∴BE=AE，AG=CG，

∴∠BAE=∠B=x，∠CAG=∠C=y，

∵∠BAE+∠CAG+∠EAC=∠BAC，

∴x+y+∠EAC=110°②，

联立①②得，∠EAC=110°-70°=40°．

故答案为：40°．

要点四、尺规作图

5.如图，每个格的单位长度是1，△ABC的外心坐标是 (_____________).

【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为△ABC 的外心，继而可求得答案．

【答案与解析】

分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，

则点G即为△ABC的外心，

∴△ABC的外心坐标是（-2，-1）．

故答案为：（-2，-1）．

【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．