6电路分析基础第六章

1 2 电容储存能量： CU S 2
电阻消耗能量：
¥ 0
i (t )R dt =
2 C
¥ 0
US ( R
- t
RC 2
1 2 = CU ) R dt S 2
1 1 2 2 2 = CU S 电源提供总能量： CU S + CU S 2 2
电源提供的能量一半消耗在电阻上， 一半转换成电场能量储存在电容中。
1. 单位阶跃响应s(t)：单位阶跃输入作用下的零状态响应。
R + – USe(t) uC (0-)=0 C
i
+ – + US –
S(t=0)
R C
i
+ –
uC
uC
uC = U S (1 - e
-
t RC
uC US
uC (0-)=0
)e (t )
O
US i R
t
US i= e R
t RC
e (t )
一阶电路分析方法：
1. 把给定的网络分为两个单口网络 N1和N2。 2. 将含电阻网络N1，用戴维南（或诺顿）等效电路 简化。 3. 写出电路方程和元件的伏安特性VCR。 4. 由给定的初始条件及t≥t0时的uoc值，来解方程。 5. 解得uc(t)，根据置换定理，以电压源uc(t)去置换 电容 C， 将 原电路变成 了 电阻电路， 然 后用电阻电 路分析方法分析电路。
小结： RC电路
uC (t ) = U S (1 - e
1 t RC
RL电路
) t³0
R - t US iL ( t ) = (1 - e L ) R
t³0
uC ( ¥ )
1 t U S - RC e iC (t ) = R
iL ( ¥ )
t³0
uL (t ) = U S e
R - t L
t³0
t = RC
前一个稳定状态 0
US
t1
新的稳定状态
t
过渡状态
电感电路
K未动作前(t=0)，电路处于稳定状态
uL = 0，iL = 0
K 接通电源后很长时间 (t→¥) ，电路 达到新的稳定状态，电感视为短路
uL = 0，iL = Us /R
iL 有一过渡期
前一个稳定状态 0
US/R
t1
新的稳定状态
t
过渡状态
换路 电路结构、状态发生变化
§
' '' uC (t ) = uC (t ) + uC (t )
零状态响应
叠加
全响应
零状态响应
零输入响应
在 t≥t0 时，零 输 入 情况下 ， 仅 由非零初始状态引起的响应
在t≥t0时，零初始状态下， 仅由电路的输入引起的响应
t=0 RC 电 路 零 状 态 响 应
US O
uS
t
duC RC + uC = U S dt
2
uC + 2 t
uC + uC = t
2
iL + 2 t
iL + iL = t
§
分解方法在动态电路分析中的应用
RC串联电路
uR0 t + uC t = uOC t
uR0 (t ) = R0i (t )
duC (t ) i (t ) = C dt
duC (t ) R0C + uC (t ) = uOC (t ) dt
t
2t
3t
4t
5t
US 0.368US 0.135US 0.05US 0.02US 0.007US
t ：f(t)衰减到初始值的36.8%所需的时间。
uC (t ) = U S (1 - e
US uc
-
1 t RC
)
uC (0 + ) = uC (0 - ) = 0
0
连续 函数 跃变
US R
ic
直 流 稳 态
t³0
uC (0) = 0
uC (t ) = U S (1 - e US iC (t ) = e R
1 t RC
)
t³0 t³0
1 t RC
uC (t ) = U S (1 - e
-
1 t RC
t t
)
t³0
1 t U S - RC iC (t ) = e R
U S -tt = e 令t =RC，称t为一阶RC电路的时间常数。 R
t³0
L t= R
iL ( t ) = I 0 e
-
t t
t³0
I0
iL
连续 函数 t
= U S (1 - e )
-
t³0
é库ù é 安秒 ù t = RC = 欧 法 = 欧 ê ú = 欧 ê = 秒 ú ë 伏 û ë伏 û
从理论上讲 t®¥ 时，电路才能达到稳态。但实际上一般认 为经过4t-5t的时间，过渡过程结束，电路已达到新的稳态。 t
f (t ) = U S e
t t
0
t
duC dt
0+
U S iC (0 + ) = = RC C
直流 电路中 各 个元件的电 压 和电 流 都 不随 时间变化。
t®¥ 0 t
1 t RC
US iC (0 + ) = R
iC (0 - ) = 0
US iC (t ) = e R
t®¥ ， 进 入 直 流 稳 态 后，电容相当于开路！
能量关系
iL ( 0 + ) = iL ( 0 - ) = 0
diL dt U S uL (0 + ) = = L L
0
连续 函数 跃变
US
uL
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直 流 稳 态
t
0+
t®¥ 0 t
R - t L
uL (0 + ) = U S
uL (0 - ) = 0
t®¥ ， 进 入 直 流 稳 态 后，电感相当于短路！
uL (t ) = U S e
+ -
i
（t=0）
R1 R2 0
i
i = U S / R2
i = U S ( R1 + R2 )
us
t
过渡期为零
电容电路
K未动作前(t=0) ，电路处于稳定状态
iC = 0，uC = 0
K 接通电源后很长时间 (t→¥) ，电容 充电完毕，电路达到新的稳定状态
iC = 0，uC = Us
uc 有一过渡期
¥ 0
i (t )R dt =
2 C
¥ 0
U0 (R
- t
RC
1 2 = CU ) R dt 0 2
2
电容不断释放能量被电阻吸收， 直至全部消耗完毕。
t=0 RL 电 路
diL L + RiL = 0 dt
iL ( 0 ) = I 0
iL ( t ) = I 0 e
-
t t
t³0
t t
u L (t ) = - RI 0 e
支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量 发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时 间来完成。
Dw p= Dt
Dt Þ 0
pÞ¥
描述动态电路的电路方程为微分方程； 动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数； 一阶电路：一阶电路中只有一个动态元件，描述
2. 延时单位阶跃函数
ì 0 e (t - t0 ) = í î 1
f(t)
(t < t0 ) (t > t0 )
1 O
e (t-t0)
t0 t
延时单位阶跃函数可以“起始”任一函数
f(t)e(t- t0)
O
t0
t
O
t0
t
(t < t0 ) ì 0 f (t )e (t - t0 ) = í î f (t ) (t > t0 )
电路的方程是一阶线性微分方程。
dx a1 + a0 x = e(t ) t ³ 0 dt
二阶电路： 二 阶电路中有 二 个动态元件， 描述
电路的方程是二阶线性微分方程。
d 2x dx a2 2 + a1 + a0 x = e(t ) t ³ 0 dt dt
例：列写图示电路uC的微分方程和iL的微分方程。
t U S - RC i= e e (t ) R
U S - RC0 e e (t - t0 ) i= R
t -t
例1：试用阶跃函数表示如图所示波形。
f(t) 3 O -3 2 4 t/s f(t) 4 O 1 2 3 4 5 t/s
f t f t t
t t
t t
t t
例2：求图中所示零状态RL电路在所示脉冲电压 作用下的电流i(t)。已知L=1H，R=1Ω。
d (t)
O t
d (x )dx = 1
2. 单位延时冲激函数d (t-t0)：
δ ( t - t 0 ) = 0 ( t ¹ t0 )
t -¥
d (t-t0)
O t0 t
δ (x - t0 )dx = 1
3. 冲激函数d (t)的取样性质（筛分性 分 质）
f (t )d (t ) = f (0)d (t )
直流稳态时，电容开路
L t= R
直流稳态时，电感短路
零状态响应：线性或比例性，叠加性
例 1 ： 电 路 如 图 ， 开 关 在 t=0 时 打 开 ， 已 知 uC(0)=0，求uC(t)，i(t)和iC(t)。
例 2 ： 图 示 电 路 在 t=0 时 开 关 S 闭 合 ， 求 iL(t) ， i(t)，t≥0。
分段常量信号：可分解为一系列阶跃信号之和。 矩形脉冲
f(t) 1 O t0 t 1 O
e(t)
t0 -e(t-t0) t
(t < 0) ì0 ï f (t ) = í1 (0 < t < t0 ) ï0 (t > t0 ) î
f (t ) = e (t ) - e (t - t0 )
二、阶跃响应
§
一、阶跃函数
1. 单位阶跃函数
ì 0 e (t ) = í î 1
阶跃响应 冲激响应
(t < 0) (t > 0)
1 O
e (t)
t -e (t) t
ì 0 - e (t ) = í î -1
(t < 0) (t > 0)
O -1
ì 0 (t < 0) U Se (t ) = í î U S (t > 0)
t=0 RL 电 路 零 状 态 响 应
US O
uS
t
diL L + RiL = U S dt
iL ( 0 ) = 0
t³0
US iL ( t ) = (1 - e R uL (t ) = U S e
R - t L
)
t³0 t³0
时间常数
R - t L
L t= R
US R
R - t US iL ( t ) = (1 - e L ) R iL
u(t) A O t0 t
例 3 ： 若 作 用 于 图示 电路的电 压 uS(t)=[-3+4e(t)] V，试求u(t)，对所有t。
de (t ) e (t) 的导数。 d (t ) = 1. 单位冲激函数： dt
ì 0 d (t ) = í î 0
t -¥
三、冲激函数
(t < 0) (t > 0)
O
t
2. 延时阶跃响应 R i
+ – US O t0
t RC
uC (t0- )=0 + uC –
USe (t-t0)
C
激励在t=t0时输入， 则响应从t=t0开始。
US R
uC
i
t
O
t0
t
uC = U S (1 - e
)e (t ) )e (t - t0 )
uC = U S (1 - e
-
t - t0 RC
ds(t ) h( t ) = dt
例 1 ： 求 RC 并 联 电路在 冲激 电 流 源 d (t) 作 用下 的 电压u(t)的单位冲激响应。
§
t=0 RC 电 路
零输入响应
无外施激励电源，仅由元件初始储能所产生的响应。
duC RC + uC = 0 dt
uC (0) = U 0
uC (t ) = U 0 e
f (t )d (t - t0 ) = f (t0 )d (t - t0 )
四、冲激响应
单位冲激响应h(t)：单位冲激输入作用下的零状 态响应。
d (t )
h(t) 零状态
由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃函数 单位阶跃响应 s(t) 单位冲激响应 h(t)
e (t)
单位冲激函数
d (t)
de ( t ) d (t ) = dt
6-1 分解方法在动态电路分析中的应用 6-2 零状态响应 6-3 阶跃响应 冲激响应 6-4 零输入响应 6-5 线性动态电路的叠加原理 6-6 三要素法 6-7 瞬态和稳态
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要
经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 这个变化过程称为电路的过渡过程。 电阻电路
-
t t
t³0
U0 iC (t ) = e R
t t
t = RC
t³0
uC (t ) = U 0e
t t
t³0
U0
uC
连续 函数 t
uC (0 + ) = uC (0 - ) = U 0
O
U0 iC (t ) = e R
iC (0 - ) = 0
-
t t
t³0
O
U0 R
iC t 跃变
U0 iC (0 + ) = R
uC (t0 )
uOC (t ) t ³ t0
RL串联电路
L
uR0 t + uL t = uOC t
uR0 (t ) = R0iL (t )
diL (t ) uL (t ) = L dt
diL (t ) L + R0iL (t ) = uOC (t ) dt
iL (t0 )
uOC (t ) t ³ t0
t = RC
时间常数 t 的大小反映了电容充放电时间的长短
uc
t 大 → 放电时间长 t 小 → 放电时间短
物理含义
C 大（R一定）
U0 0
t大 t小
t
电压初始值一定
W=Cu2/2 储能大 放电电流小 放电时间长
R 大（C一定） i=u/R
能量关系
1 电容释放能量： CU 02 2
电阻消耗能量：