“点差法”韦达定理在解析几何题中的应用
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。
求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。
能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。
请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。
解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。
由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。
韦达定理在解析几何中的一点应用
韦达定理在解析几何中的一点应用职业中专数学教材中，解析几何的内容是直线和圆以及圆锥曲线。
其要求比较简单，但职业中专的学生数学基础参差不齐，对一部份学有余力的同学如何拓展数学知识面，又不能太难太繁，就显得格外重要。
本文试引进“韦达定理”来探索解析几何中的一些新思路，确能化繁为简，既拓展了学生的数学知识面，又适合职业学校学生接受能力，对培养职业学校学生的数学兴趣作一些尝试。
一、向量运算加韦达定理学生对向量运算比较熟练，可结合向量的加法，数乘，数量积运算，从中找出韦达定理的应用。
引例1设椭圆C：x25a2+y25b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，AF=2FB.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=1554，求椭圆C的方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y10.（Ⅰ）直线l的方程为y=3（x-c），其中c=a2-b2.联立y=3（x-c），x25a2+y25b2=1 得（3a2+b2）y2+23b2cy-3b4=0∴y1+y2=-23b253a2+b2，y1y2=-3b453a2+b2∵AF=2FB，∴-y1=2y2.∴y1 + y2 = -y2y1 y2 = -2y22消去y2得2y1+y22+y1y2=0…………（注意此处构造使用韦达定理的条件）即2-23b253a2+b22-3b453a2+b2=0整理得4a2=9c2得离心率e=c5a=253.（Ⅱ）因为AB=1+153y2-y1，所以253·43ab253a2+b2=1554.由c5a=253得b=553a.所以554a=1554，得a=3，b=5.椭圆C的方程为x259+y255=1.说明：向量是研究解析几何的重要工具，通过向量运算所得式子与韦达定理的积式和和式联立方程组，利用解方程的思想进行消元，最终达到我们的计算目的。
二，在拓展解析几何中，常常碰到直线与圆锥曲线的交点、求弦长、弦中点或求点的轨迹等问题，用常规方法计算量大，不适合职业学校的学生，试用韦达定理化繁为简。
5.解析几何中韦达定理的运用
(2)证明：将直线 l 的方程 y kx 1代入圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 ，
得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0 ，设 M (x1 , y1) 、 N (x2 , y2 ) ，则
x1
x2
4(1 k 1 k2
)
，
x1
x2
3 x1x2 2(x1 x2 ) 4
1点 2k 3睛
4k 2 12 4k2 3
3k
8k 2 4k2
3
4k 2 4k 2
12 3
2
8k 2 4k2
3
4k 4
1 k
所以 k·k 为定值 1.
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
k2 1
3
3
点 所睛以实数
k
取值范围为
(
4
7 , 4
7)
3
3
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 , 1) 且斜率为 k 的直线与圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
，则
x1
x2
8m 5
线点段 睛
AB
的中点为
P(4 5
,
1) ， 5
x1
x2
8 5
，
8m 5
8 5
，即 m
1，满足（**）式
圆锥曲线韦达定理和点差法运用(1)
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
例2、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。
（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。
例6、已知椭圆)52(1122≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
1.分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。
解：（1）（2，2）连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+)1(13024---=x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会2.分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '或准线作出来考虑问题。
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用【摘要】平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。
它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。
因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。
这里着重讨论韦达定理的应用。
【关键词】韦达定理；结合方法；应用平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。
它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。
因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。
这里着重讨论韦达定理的应用。
韦达定理的内容是：若一元二次方程的两根是，则。
它是关于一元二次方程的根与一元二次方程未知量系数关系的一个结论。
解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科，在中学数学教学中，解析几何知识的考查，往往综合性较强，是学生学习的难点。
二次曲线的方程与直线方程结合可化为一元二次方程，与韦达定理有相通之处，分析问题中的一些结论与韦达定理的关系，在解题时活用韦达定理，求出方程中的待定系数，可以巧妙的解决学生认为的所谓“难题”。
这样，不仅可以体会灵活应用知识的技巧，提高分析问题和灵活运用知识的能力，还可以培养学生学习数学的兴趣。
下面举例说明韦达定理结合解析几何中的有关结论的应用。
1．韦达定理与中点坐标公式的结合解析几何中中点坐标公式：若，则中点的坐标为。
其中含有“ ”，与韦达定理中的结论“ ”相联系。
例：已知椭圆的某一条弦被点平分，求所在直线的方程。
分析：要求直线方程，根据确定直线的条件，已经知道直线上一点，再找一个条件，如斜率。
作为直线方程未知量的系数，通过整理，可以和韦达定理联系，巧列方程求出。
解：设所在直线的方程为，再设由方程组消去得：由韦达定理得：即：解得：所在直线的方程为当然，若应用中点纵坐标求解，只须由表达，即。
然后由解出。
这种类型的题目在解析几何习题中有许多，有的还将条件进一步变通。
例：抛物线，和直线相交所得弦的中点在上，求抛物线方程。
(完整)点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。
“点差法”在平面解析几何中应用举例
“点差法”在平面解析几何中的应用举例摘要:平面解析几何是高中数学的重要部分，是高考的必考知识点，不但历年高考解答题必考，选择填空题也考查，所以高考所占分值比重大。
运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，特别是圆锥曲线的二次方程相对于直线一次方程来说计算难度明显加大，简化计算，提高运算水平，提升数学核心素养势在必行。
关键词: 点差法;核心素养；高中数学数学核心素养是数学学习者在学习数学时所应达到的综合性能力,运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，运算是平面解析几何学习中的难点。
繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题.特别是圆锥曲线由于运算量大、思维量大、推导烦琐,学生经常望题兴叹,甚至自动放弃.其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的。
“点差法”常用来解决平面解释几何有关中点弦，参数，对称等方面的问题，出奇制胜，简化解题过程。
“点差法”就是设点，作差二个步骤:若设直线与曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种设点（设而不求）代入再作差的方法为“点差法”．本文就点差法公式在平面解析几何中应用举例说明，做一些粗浅的探讨.一．求弦中点的坐标．例1．已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标．解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则210=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+又 125752121=+xy ，125752222=+x y两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴212123y x x y y -=--32121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y∴点M 的坐标为)21,21(-.二．求中点弦所在的直线方程例2 已知椭圆221164x y +=，求以点P ()2,1-为中点的弦所在的直线方程． 解析：设所求直线与椭圆相交于()()1122,,,A x y B x y ，把A ，B 的坐标代入椭圆方程并相减得12121212()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，又因为点P 为弦AB 的中点，则12124,2x x y y +=+=-，从而得到12k =，∴所求直线方程为240x y --=． 例3．已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的坐标为 ．解析：设()()1122,,,A x y B x y ，由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2480y y --=，从而1212124,48y y x x y y +=+=++=，因此，线段AB 的中点的坐标为()4,2例4双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩.∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x xk x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.三．求弦的中点的轨迹方程例5 已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解析几何题型方法归纳(配例题)
解析几何解题方法归纳一．求轨迹方程（常出现在小题或大题第一问）： 1.【待定系数法】（1）已知焦点在x 轴上的椭圆两个顶点的坐标为（4,0±），离心率为12，其方程为 ．2211612x y += 提示：2a c =，且24,2,12a c b =∴==.（2）已知椭圆中心在原点，焦距为2倍，则该椭圆的标准方程是 ．提示：已知2222242,16b a b c a a b c⎧⎧===⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩221164x y +=与221416x y +=为所求. (3)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； 解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2. 【定义法】由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为 ．解：设(,)P x y ，连结OP ,则90,30PAO APO ∠=︒∠=︒, 所以22OP OA ==. 3.【几何性质代数化】与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________．y 2=8x （x >0）或y =0（x <0） 提示：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴．4.【相关点法】P 是抛物线2210x y -+=上的动点，点A 的坐标为（0,1-），点M 在直线PA 上，且2PM MA =，则点M 的轨迹方程为解：设点(,)M x y ，由2PM MA =，()3,32P x y ∴+，代入2210x y -+=得22(3)3210x y --+=即218310x y --=5.【参数法】一元二次函数22()(21)1()f x x m x m m R =+++-∈的图象的顶点的轨迹方程是提示：设22(21)1()y x m x m m R =+++-∈顶点坐标为(,)x y ，则22211224(1)(21)544m x m m m y m +⎧=-=--⎪⎪⎨--+⎪==--⎪⎩，消去m ，得顶点的轨迹方程34x y -= 二．常见几何关系转化与常见问题类型 （1）中点问题：韦达定理、点差法变式：A 、B 、C 、D 共线且AB ＝CD 问题，可以转化为共中点问题，或者弦长相等； 例1:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 。
“点差法”韦达定理在解析几何题中的应用
“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例2直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是A B ，则弦A B 的中点轨迹方程是的中点轨迹方程是 . 2 求曲线方程例3 已知A B C D 的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且A B C D 的重心G 是抛物线的焦点，求直线B C 的方程. 例4 已知椭圆()222210xy a b a b +=>>2a c =，有一条倾斜角为4p 的直线交椭圆于A B 、两点，若A B 的中点为11,24C æö-ç÷èø，求椭圆方程. 3 确定参数的范围例6 若抛物线若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围的取值范围. ..4 证明定值问题例7已知A B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是A B 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线A B 和直线O P 的斜率之积是定值. . 5 处理存在性问题例8 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由明理由. .点差法练习 1、已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)B 能否作出直线m ，使m 与所给双曲线交于1Q ，2Q 且点B 为线段12Q Q 的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。
《解析几何问题的解决策略---点差法的应用》教案
【设计意图】：帮助学生回顾点差法相关结论，提炼出工具性知识，为方法的应用提供基础。
二、典例分析
典例.已知斜率为13
-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.直线纵截距的取值范围是_________ 问题引导：
【设计意图】：1.本题改编于2021年成都一诊15题，在原题的基础上多增加了对直线纵截距范围的考察，体现了在一轮复习后对学生相关知识的综合性考查的目的，并从题目本身和所放位置来看，具有一定的难度。
根据学生的反馈，其主要表现对该题核心条件的转化；无法锁定点差法；只会用点差法结论；对点差法中的其他关系不清晰，就算想到点差法也无法有效求解；用韦达定理的方法计算繁复，导致出错。
2.本题的解决以问题研讨的形式，帮助学生分化难点、解决重点，体会关键条件的识别和题型确定之间的联系，核心条件与目标的处理和具体方法之间的关系。
有利于学生对知识的掌握，并强化对点差法的理解，并希望学生在解决问题中充分体会成功的愉悦。
22
22
=1x y a b +y kx m
=+。
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“点差法”在解析几何题中的应用
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.
1 求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆2212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .
2 求曲线方程
例3 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
例4 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2a c =，有一条倾斜角为4
π的直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求椭圆方程. 3 确定参数的范围
例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.
.
4 证明定值问题
例7 已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
.
5 处理存在性问题
例8 已知双曲线22112
x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
点差法练习
1、已知双曲线2
2
12y x -=，过点(1,1)B 能否作出直线m ，使m 与所给双曲线交于1Q ， 2Q 且点B 为线段12Q Q 的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。
2、已知直线1y ax =+和双曲线22
31x y -=交于,A B 两点，是否存在实数a ，使,A B 两点关于
直线2y x =对称？
3、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，求证：2222
0a b a b x a a
---<<
4、已知椭圆13
42
2=+y x ，直线:l 4y x m =+，如果椭圆C 上总存在两点关于直线l 对称，求m 的取值范围。
二.直线与二次曲线（韦达定理）
例1、已知圆 062
2=-++m x y x 与直线032=-+y x 相交于,P Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥求m 的值。
例2、设直线l 方程为1y kx =-，等轴双曲线222
:(0)C x y a a -=>的中心在原点，右焦
点坐标为
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点,A B ，记AB 中点为M ，求k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；
（3）在第二小问的条件下，若设点(1,0)Q -，求直线QM 在y 轴上截距的取值范围
例3、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>且短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且a = （1）求椭圆方程 （2）直线l 过点(0,2)P 且与椭圆相交于,A B 两点，当AOB ∆面积取得最大值时，求直线l 方程。
例4、直线2:+=kx y l 与双曲线C .13
22
=-y x 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.。