3.2 线性方程组的一般解法
向量代数与线性方程组的解法
向量代数与线性方程组的解法1. 引言在数学中，向量代数和线性方程组是代数学中的重要概念。
本文将探讨向量代数和线性方程组的基本定义以及解法方法。
2. 向量代数的基本概念向量是由大小和方向组成的量，它可以在数学和物理学领域中描述一些物理量，如力、速度等。
在向量代数中，我们可以使用向量进行运算，如加法、减法和数量乘法。
2.1 向量的定义向量可以用加粗的字母表示，如v。
向量有两个主要属性：大小和方向。
在二维坐标系中，向量通常表示为有序的两个实数，如v = (v, v)。
2.2 向量的运算向量的加法是按照对应元素相加的原则进行计算的，即v + v = (v+v, v+v)。
向量的数量乘法是将向量的每个元素与一个标量相乘，如vv = (vv, vv)。
3. 线性方程组的定义与解法线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
每个线性方程由变量和系数构成，变量的幂次为1。
线性方程组的求解是找到满足所有方程的变量值。
3.1 线性方程组的一般形式一个包含v个变量和v个方程的线性方程组可以表示为：v11v1 + v12v2 + ⋯ + v1vvv = v1v21v1 + v22v2 + ⋯ + v2vvv = v2⋮vv1v1 + vv2v2 + ⋯ + vvvvv = vv3.2 线性方程组的解法对于线性方程组而言，可以通过高斯消元法、矩阵运算、克莱姆法则等方法来求解。
3.2.1 高斯消元法高斯消元法是一种通过消去未知数来简化方程组的解法。
它通过一系列的行变换将线性方程组转化为上三角形式，进而找到解的值。
3.2.2 矩阵运算法将线性方程组表示为矩阵形式，即vv = v，其中v为系数矩阵，v 为未知数矩阵，v为常数矩阵。
通过矩阵的逆运算，可以求解出未知数矩阵v的值。
3.2.3 克莱姆法则克莱姆法则是一种适用于v个变量和v个线性方程的解法。
通过计算行列式的值，在一定条件下可以求解出每个变量的值。
4. 实际应用向量代数和线性方程组的解法在科学研究、工程技术等领域具有广泛的应用。
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
线性和非线性方程组的解法
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 松弛法的收敛性分析； – A = Q -R = (D -ωL)/ω –[(1-ω)D+ωU]/ω； – QX = RX + B； – Xk+1 = Q-1RXk + Q-1B； – Xk+1 = (D -ωL)-1[(1-ω)D+ωU]Xk + Q-1B； ♦ 收敛的必要条件； – 0<ω<2；
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法
♦ Gauss-Seidel迭代法；
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
= = L =
= =
[b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
Hale Waihona Puke [b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
1 k 12 2 k 21 1 k 1n n
11
]
X [k] = D−1B − (I − D−1A) X [k−1]
[
]
3.2.1 简单迭代法
♦ 简单迭代法的特征； – X[k] = D-1B - (I - D-1A)X[k-1] – 一阶；
L =
– Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk； – Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk；
第三章 线性方程组
例1 解方程组：
2x1 x2 x3 x4 2, (1)
4xx1 1x62x2
2 x3 2
x3
x4 4, 2x4
4,
( 2) ( 3)
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, (4)
解: 将第一个方程与第二个方程交换位置，并 将第 三个方程÷2， 得
x1 x2 2x3 x4 4, (1)
第三章 线性方程组
本章将讨论一般线性方程组解的理论和求解方法。 本章基本要求： 1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 4、掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
x4 3,
x2
x3
3,
x1
x3
4
x3 R 这 即 为 原 方 程 组 的 解
上述对方程组的消元变形过程中，实际上是对方 程组反复施行了下列三种运算： (1) 交换两个方程在方程组中的位置； (2) 一个方程的两端同乘以一个不等于零的数； (3) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方 程上去。
x1 x2 5 x3 x4 0
例3
解齐次线性方程组：
3
x1 x1
x2 x2
2 x3 8 x3
3x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为阶梯
形矩阵。
1
A
1 3 1
1 1 1 3
5 2 8 9
1 L2 L1 3
L4 3L2
0 0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4
解线性方程组的解法
定理3.1（线性方程组有解判别定理） 线性方程组 Ax β 有解的充要条件是它的系数矩阵 A 与增 广矩阵 A ( A, β ) 等秩，即 r ( A) r ( A) r ( A, β ) 推论3.1（解的个数定理） （1）n元线性方程组 Ax β 有唯一解的充要条件是 r ( A) r ( A, β ) n . （2）n元线性方程组 Ax β 有无穷多解的充要条 件是 r ( A) r ( A, β ) r n . 此时它的一般解中含 n r 个自由未知量. （3）n元线性方程组 Ax β 无解的充要条件 是 r ( A) r ( A, β ) . 由于上述讨论并未涉及常数项 b1 , b2 ,, bm 的 取值，因此对b1 b2 bm 0 时的n元齐次线性 方程组
x (9,1,6)T
9
一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通 过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵 1 0 0 c1r 1 c1n d1 0 1 0 c2 r 1 c2 n d 2 0 0 1 crr 1 crn d r A 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程 组（3.1）的系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩分别为
5
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基 本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解 方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或 三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、 并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更 多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子.
第三章2线性方程组解的结构定理
1 ,2 , ,n线性相关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 ,
系数矩阵A的秩R(A) n.
,n ) n;
推论：齐次线性方程组只有零解：
1,2 , ,n线性无关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 , ,n ) n;
系数矩阵A的秩R(A) n. 5
例 讨论齐次方程组解 的
a1n
a22
a2n
am 2
amn
Ax b
x1
x=
x2
xn
b1
b=
b2
bm
a1i
i
=
a2i
ami
b 0，对应齐次线性方程组；
b≠0，对应非齐次线性方程组。
x11 x22 xnn b
4
线性方程组的一般理论
定理：齐次线性方程组有非零解：
1
记为 1,2 , ,nr ;
（2）显然 1,2 ,nr 线性无关；
14
（3）设 Ax 0 的解为 k1
kr kr 1
kn T
则
(kr 11 kr 22 knnr )
k1 b11kr 1
k2
b21kr 1
kr
br1kr 1
0
0
b1,n r kn
b2,
n
r
kn
0
之间的过渡矩阵，即
C ' CQ.
1
对于任意v V ,有
v BX B ' X ',T (v) CY C 'Y '.
设A是线性映射T在基B和C下的矩阵，可知
Y AX
由向量在不同基下的坐标之间的关系可知
QY ' A(PX ')
计算方法第三章线性方程组的直接解法
5 3
3 1
r3
r1 6
6 1 18 2
1 0
4 5 1 3
3 1
r3 r225
1 0
4 1
5 3
3 1
0 25 48 16
0 0 27 9
林龙
计算方法
6
化原方程组为三角方程组的过程为消元过程. 解三角方程组的过程为回代过程.
也可将上边的增广矩阵进一步化简.
1 4 5 3
1 0 7 1
xi
Di D
(i
1, 2,3,
)，由于方程含有n 1个
行列式.如对每个行列式按展开定理来计算.
用克莱姆法则求解,所需要的乘除运算量为
n!(n2 1) n次,若n 20用每秒一千万次的
计算机要三百万年,所以并不是凡直接法都
可以用来做实际运算.
林龙
计算方法
4
设有
§3.1直接法
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
解 : 10
7
0
7
r1 r2
5 1 5 6
林龙
计算方法
16
10 3 5
7 2 1
0 6 5
7 4 6
r2
3 10
r1
r3
5 10
r1
10
0
0
7 0.1 2.5
0 7 6 6.1 5 2.5
r2 r3
r3
1 25
r2
10 7 0 7 x3 1
0
2.5
5
2.5
x2
2.5 5x
nn
a11 a12 .... a1n 1 0 0
a21
a22
高等代数 第3章线性方程组 3.2 线性方程组解的结构
7 2 1 - 3 - 2 1 2 6 23 4 3 - 1 12 1 1 1
1 1 0 - 2 ~ 0 0 0 0 1 0 ~ 0 0
( 2) 设x = 是方程 Ax = b的解, x = 是方程 Ax = 0的解, 则x = + 仍是方程 Ax = b 的解.
证明 A( + ) = A + A = 0 + b = b,
所以x = + 是方程 Ax = b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
例5 求下述方程组的解 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x - 3 x = -2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 - x 5 = 12.
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 - 1 - p 15 3 1 - 5 - 10 12 t
2 3 1 1 1 4 -2 2 0 2 ~ 0 -4 - p-6 6 0 0 - 6 12 9 t 1
x2 1 0 x1 1 1 = 及 , 则 = 及 , x4 0 1 x3 0 2
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一般地，个未知量，个方程组成的线性方程组可以表示为：
其中是方程组的个未知量，是第个方程中第个未知量的系数，是第个方程的常数项
，，
其中矩阵称为线性方程组（矩阵称为未知量矩阵，矩阵称为常数项矩阵
. 矩阵称为线
如果用常数依次代替线性方程组中的个未知量时中个方则称为
也称解矩阵为或者说是的解
设,
,即方阵可逆
,
若线性方程组的解都是线性方程组的解反之的解
的解则称线性方程组与是同解方程组
将第一个方程的倍、倍分别加到第二、第三两个方程上，得到与原方程同解的方程组
第一个方程两端同乘以，第三个方程两端同乘以，得
将第三个方程的倍、
项。
因此，对线性方程组施行的初等变换，相当于对增广矩阵
施行初等行变换，反之依然。
那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增广矩阵化为
这时已将增广矩阵化为简化的行阶梯型矩阵，它代表线性方程组
对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵，有
将含未知量的项移到等号的右端，得
对于未知量，其系数行列式
对任给的未知量的一组值，依据克莱姆法则，得到未知量的唯一解，它们构成线性方
选择为自由未知量, 为非自由未知量则由表示的表达式为当自由未知量取任意常数,取任意常数时
(,为任意常数
证明：若无穷多解的一般表达式中含一个任意常数,
与
若无穷多解的一般表达式中含两个任意常数,与及
与及
与及
对增广矩阵进行初等行变换。