4流体流动基本原理

t0 t
t0 t
t 时刻的 系统边界
I
t+Δt 时刻的 系统边界
II III
固定的 控制体
t 时刻的流 线
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于是，对于控制体所包括的流体系统，其质量变化 率可表述为：
(dm/dt)系统=
输出控制体 的质量流量
— 输入控制体 的质量流量
+
控制体内的 质量变化率
控制体净输出 的质量流量
t 时刻的 系统边界
4 流体流动基本原理
主要内 容
系统与控制体
输运公式
质量守恒方程
动量守恒方程
能量守恒方程 动量矩守恒方程
1
流体流动过程必然遵循物质运动的基本原理: 质量守恒、动量守恒、能量守恒等。
本章采用控制体分析方法，建立流体流动系统 质量守恒、动量守恒、动量矩守恒和能量守恒的积 分方程，分析研究流体运动的宏观行为。
t 时刻的 系统边界
固定的 控制体
t 时刻 的流线
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起始时刻t，系统的边界与控制体表面相重合， 系统所占据的空间与控制体空间相重合。
在经过Δt的时间后，系统的边界移动到一个新的 位置，所占据的空间变为区域II和区域III，但控制 体空间是固定不动的，仍然是区域I和区域II。
t 时刻的 系统边界
t+Δt 时刻的 系统边界
4.1 概述
在研究流体运动的宏观行为时，既可在流场中选 定部分流体即系统为对象，也可以选择确定的流场 空间即控制体为对象。
2
4.1.1 系统与控制体
流体力学中既有区别又有联系的一对重要概念。
（1）系统
——是一团流体质点的集合，在运动中系统的形 状和位置可以不断变化，而它所包含的流体质点却 始终不变。
t 0
t
15
引入t+Δt时刻区域I的质量。于是上式得
(dm / dt)系统
lim mII |tt mIII |tt mI |t mII |t mI |tt mI |tt
t 0
t
lim (mII mI ) |tt (mII mI ) |t
t 0
t
(lim mIII |tt lim mI |tt )
能量交换
不发生质量交换。
质量不变是系统的特点。
1
2
3
5
以系统为对象研究流体运动，就必须随时对系 统进行跟踪识别其边界，这在实际流动过程中显然 是很困难的。
工程上所关心的问题也不在于跟踪质量确定的 流体的运动，而在于确定的设备空间中流体的流动 行为。
所以在工程流体力学中，更多的是采用以控制 体为对象而不是以系统为对象的研究方法。
21
ρvcosθ=ρ( v→·n→ )
称为质量通量，其单位为kg/（m2s）。 于是通过微元面积dA的质量流量可表示为：
ρ( v·→ n →)dA
→n θ →v
ρ dA
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② 控制体净输出的质量流量
质量流量 ρ( v→·有n→正)d负A 之ρ分( 。v·n )dA>0 ；
“系统” ？ “控制体” 输运公式
10
4.1.2 雷诺输运公式
关键问题是将
(dm/dt)系统
系统
(dmv/dt) (dE/dt)系统
转换成与控制体相关的表达式。
11
下面以(dm/dt)系统为例进行推导。图中阴影部 分为固定于流场中的控制体，将控制体所包括的 流体区域即所要观察的系统，称为控制体系统。
I II III
固定的 控制体
t 时刻的流线
13
于是，在起始时刻t，系统的质量m|t将等于该时刻 区域I和区域II的流体质量之和，即：
m |t mI |t mII |t
在t+Δt时刻，系统的质量m|t+Δt则等于该时刻区域II和 区域III的质量之和，即
m |tt mII |tt mIII |tt
主要 特征 对应方法
系统与控制体小结
系统
控制体
流体质点集合
流场空间
形状、位置变化 位置、体积、形状确定
力的作用
力的作用
能量交换
能量交换
无质量交换
质量交换
质量
质量随时间
不变
变化
拉格朗日方法
欧拉方法
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由于有关物质运动的基本原理都是针对具有确 定质量的系统而言的，所以，以控制体为研究对象 时就存在这样一个问题：
3
1
2
3
上图示为一流道，t1时刻在位置1选取一个系 统（虚线），在t2时刻这个系统运动到了位置2，t3 时刻在位置3。在运动中系统的形状和位置都发生 了变化，但其所包含的流体质点却不变。
由于系统始终包含相同的流体质点，所以 系统是与拉格朗日方法相联系的概念。
4
系统以外的物质称为外界。 系统与外界的分界面称为边界。 系统可通过边界与外界发生力的作用
+
控制体内的 质量变化率
=0
控制体净输出的质量流量
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① 质量流量
→n
在流场中取一任意控制 体。设在微元面积dA上， 流体密度ρ，流体速度矢 量与微元面外法线单位矢 量n的夹→角为θ。
ρ
θ
→v
dA
任意时刻t 的流线
微元面上流体的法向速度为：
vcosθ=( v·n →) →
流体流过dA单位面积的质量
I
t+Δt 时刻的 系统边界
II III
固定的 控制体
t 时刻的流 线
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同理可表述动量mv、能量E：
(dmv/dt)系统=
输出控制体 的动量流量
—
输入控制体 的动量流量
+
控制体内的 动量变化率
控制体净输出的动量流量
(dE/dt)系统=
输出控制体 的能量流量
பைடு நூலகம்
—
输入控制体 的能量流量
+
控制体内的 能量变化率
t 时刻的 系统边界
t+Δt 时刻的 系统边界
I II III
t 时刻的流线
固定的 控制体
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t 时刻的
根据导数的定义， 系统边界
t+Δt 时刻的 系统边界
系统的质量变化率为
I II III
t 时刻的流线
(dm / dt)系统
固定的 控制体
lim m |tt m |t
t 0
t
lim mII |tt mIII |tt mI |t mII |t
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（2）控制体
——根据需要选择的具有确定位置和体积形状 的流场空间。它是与欧拉方法相联系的概念。
控制体的表面称为控制面。在控制面上不仅可以 有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。
7
图中，实线即为控制体。一般来说，控制体的 体积形状不变，但控制体内流体的质量是随时间而 变化的。
8
定义 特性 与外界 关系
控制体净输出的能量流量
上述三式即为雷诺输运公式。
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4.2 质量守恒积分方程——连续性方程
4.2.1 控制体系统的质量守恒方程
根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质量 守恒方程为
dm ( dt )系统 0
由输运公式，以控制体为研究对象时质量守恒方程 可表述为
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输出控制体 输入控制体 的质量流量 — 的质量流量