圆的最值问题解题技巧

巧解与圆有关的最值问题

巧解与圆有关的最值问题与圆有关的最值一般与圆的切线或圆心和半径有关系.解决这类问题大致可以分两步:1.将题目所给的式子赋予几何意义;2.数形结合解题;常见的数形结合点是过两点的斜率,两点见的距离,圆方程,直线方程,直线在y 轴上的截距等.例:已知实数y x ,满足03422=+-+x y x . 1>.ax b y --型,表示过点()y x ,与点()b a ,的斜率; 如:求2+x y 的最大值;它表示点()02,-与点圆上任意点()y x ,连线的斜率最大值,先设过这两点的直线为()2+=x k y 由图可知直线与圆在第一象限相切时,k 取最大值.此时有41==⊥AC PC AP CP ,,所以1515=∠=PAC k tan .所以2+x y 的最大值为1515.2>.by ax +型,令by ax +t =,则b t x b a y --=.bt -是在y 轴上的截距. 如:x y 2-的最小值;令x y 2-t =,则t x y +=2.t 是直线t x y +=2在y 轴上的截距.由图可知当直线t x y +=2与圆C 在第四象限相切时,()0 t t 取最小值.此时有134=+t,43--=t .所以x y 2-的最小值为43--.3>.()()22b y a x -+-型,表示点()y x ,与点()b a ,之间距离的平方,也可以看成以()b a ,为圆心的圆的标准方程.如:()()2243++-y x 的最值.它表示圆上的点()y x ,与点()43-,的距离的平方的最值.如图所示:很显然两点之间距离的最大值是1AP 1+=AC =117+,最小值是2AP 1-=AC 117-=. 所以()()2243++-y x 的最大值就是()2117+,最小值是()2117-.4>.求直线方程;如：1.经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2123,的且被圆截得的弦长最长的直线方程.弦长最长即就是该弦为直径时,圆心坐标()02,已知,利用两点式可以写出直线方程;2. 经过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,的且被圆截得的弦长最短的直线方程.如图所示:当弦长最短时,AC l ⊥,1-=*L AC K K ,所以1=L k .则直线l 的方程利用点斜式可以写为2321-=-x y ,即:1-=x y。

数学圆和(面积)的最值问题

数学圆和(面积)的最值问题数学圆的最值问题引言数学中，圆是一个重要的几何概念。

在研究圆的性质和应用时，我们经常会遇到关于圆的最值问题，即在一定的条件下，如何找到圆的面积或其他性质的最大值或最小值。

本文将探讨数学圆的最值问题，并介绍一些解决这类问题的方法和策略。

圆的面积最值问题在圆的最值问题中，我们常常涉及到最大面积和最小面积两种情况。

下面分别讨论这两种情况。

圆的最大面积当我们固定圆的半径时，要找到圆的最大面积，需要确定这个半径的取值范围。

根据数学知识，圆的面积公式为：A = πr²，其中π是一个常数，r代表半径。

当半径r取值为正数时，圆的面积是一个关于r的增函数。

因此，我们可以通过求导数的方法来找到最大面积。

具体步骤如下：1.对面积公式A = πr²求导，得到A' = 2πr。

2.令A' = 0，解方程得到r的临界点。

3.将临界点带入面积公式，找到最大面积。

圆的最小面积当我们固定圆的周长时，要找到圆的最小面积，也需要确定周长的取值范围。

根据数学知识，圆的周长公式为：C = 2πr。

由于周长是一个固定值，我们可以将周长公式改写为：r = C / (2π)，然后将该式代入圆的面积公式A = πr²中，得到面积的表达式只包含C一个变量。

通过对这个新的面积表达式进行求导和求临界点，可以找到圆的最小面积。

结论数学圆的最值问题是一个有趣且实用的数学问题。

通过应用求导等数学方法，我们可以找到圆的最大面积和最小面积。

在实际应用中，我们可以将这些方法应用于设计圆形物体的最优尺寸、优化圆形线路的长度等问题中，为实际生活带来便利和效益。

参考文献：数学圆的性质与应用，XXX，XX出版社，20XX年。

数学分析教程，XXX，XX出版社，20XX年。

以上是本文对数学圆的最值问题的讨论和总结，希望对读者有所帮助。

与圆有关的最值问题

“＝”当且仅当a b时成立，此时d min
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值：（） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值：（） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r

与圆有关的最值问题

( (0, )) 令 2 2 PA PB PA PB cos 2 PA COS 2 APB 2

O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。（ 3）（4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2

八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)

八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。

圆中最值问题10种求法

圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。

初中圆的最值问题三种解法

在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。

以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。

然后，利用几何性质和定理来分析问题。

对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。

通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。

2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。

首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。

然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。

最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。

3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。

首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。

然后，将几何关系转化为代数方程或函数。

接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。

最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。

与圆有关的最值问题的解题策略例说

与抛物线## %#F" 交于不同的两点6)7!再以线段
67 为直径作圆 L%设 L 为该圆的圆心&!
试证抛物线顶点落在圆 L 的圆周上!并求出圆
L 的面积最小时这条直线67 的方程!
解析如图 $!由题知!直线
67 不可能与" 轴平行!于是可
设它的方程为*#%"&#F!再设
6%"6 !#6 &!7%"7 !#7 &! 则由
!$ !$
!所以
! $"
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复习
#(##年$月上半月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!解法探究
备考
% & +B
的最小值为0 槡!$!这时 !$
+
!#!!& !$ !$
!
点评本题的计算量不大但学生的思维要求比
% 函数或方程法
函数与方程思想是数学中最基本的思想方法之
一!圆的方程本身就是方程!而方程又可以向函数转
化!最终转化为函数的最值问题!函数与方程之间的
相互转化!体现了它们之间的对立统一关系!
例! 设F ,(且为常数!过点C%#F!(&的直线
所以2TB94B4+!=B4+:%
B44+(B=4+ 4B4+ ( B=4+
"$2TB!&槡$B6@! %
槡#($&%2TB!&槡$B6@!&

圆中最值问题10种求法(供参考)

圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。

几种常见的有关圆的最值问题

责任编辑:彭深2020748334@几种常见的有关圆的最值问题圃石爱英有关圆的最值问题,在中考中常常以选择、填空的形式出现,这类试题“小而精”，但涉及的知识面广，综合性强。

很多同学对解决这类问题常会感到束手无策。

本文以常见的几种类型入手，带大家一起感悟解决这类问题的思路和方法。

一、利用垂线段最短求最值例1（2019-嘉兴）如图1,在（00中，弦4B=1,点C在AB上移动，连接0C,过点C作CD丄0C交于D点，则CD的最大值为________O【分析】首先连接0D,因为OC1CD.根据勾股定理得CD2^OD2-OC2，因为0D 是定值，所以当0C最小时，CD取到最大值。

解:^OD,.-.OC±CD,根据勾股定理,有cD^oiy-oc2,•••0。

是定值，当0C最小时,CD最大,此时D与B重合，由垂径定理可得:CD=^AB=|o［点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，难度适中。

掌握辅助线的作法,得到当OC1AB时,0C最短是关键o二、利用对称求最值例2如图2,在中，AB是G>0的直径,AB=8cm,AC^CD=BD,M是<4/?上一动点，则CM+DM的最小值是【分析】如图3,作点C关于的对称点C,连接CD与相交于点M.根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM最力、时的位置,根据垂径定理可得AC=AC',然后求出C'D为直径,从而得解。

解:作C关于的对称点C',连接CD,与仙相交于点M,如图3,此时，点M为CM+DM最小时的位置，由垂径定理得紀=紀，，策略方法•••犹=丽=而肿为直径，：.C'D为直径，CM+DW的最小值是8cm。

【点评】本题考查了用轴对称确定最短路线问题、垂径定理,熟记定理并作出图形,判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。

三、利用坐标求最值例3如图4,在平面直角坐标系中，已知点4(l,0),B(l-a,0),C(l+a,0) (a>0),点P在以0(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足Z_BPC=90°,图4【分析】首先得到AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出上的点P 到点4的最大距离即可解决问题。