2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末考试数学试题 PDF版
高一数学试题 第1页（共10页）普通高中高一期末质量检测数学参考答案一、单项选择题1．D ；2．B ；3．C ；4．B ；5．C ；6．A ；7．A ；8．B ；二、多项选择题：9．AC ；10．BD ；11．AD ；12．AC ；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1[,)2+∞；14．1−或16；15．15，15−；16．1(0,]2． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为α终边上一点()12P ,，所以tan 2y x α==， ……2分 且sin 2cos tan 24sin cos tan 1αααααα++==−−． ……………5分 （2）已知角α终边上一点()12P ,，则r |OP|=== ………6分所以sin y r α===， ……………………………………………7分cos x r α===， ………………………………………………………8分11π9πcos sin sin cos 225αααα⎛⎫⎛⎫−++=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………10分 18．解：（1）若1a =，则{}(1)(1)0(,1)(1,)A x x x =−+>=−∞−+∞， 解不等式21log 1x −<≤，得122x <≤，1(,2]2B =， 所以(1,2]A B =； ……………………………………4分（2）显然1(,2]2B =，若选①A B B =，则B A ⊆，当1a ≥−时，集合(,1)(,)A a =−∞−+∞，高一数学试题 第2页（共10页）要使B A ⊆，则需12a ≤，所以112a −<≤； ……………………………7分 当1a <−时，集合(,)(1,)A a =−∞−+∞，此时B A ⊆ …………………10分 所以若选①，则实数a 的取值范围为12a ≤； ……………………………12分 若选②A B =∅，当1a ≥−时，集合(,1)(,)A a =−∞−+∞， 要使A B =∅，则需2a ≥，所以2a ≥； ……………………………7分 当1a <−时，集合(,)(1,)A a =−∞−+∞，此时B A ⊆，A B B =≠∅…………………10分所以若选②，则实数a 的取值范围为2a ≥； ……………………………12分 若选③()B A ⊆R ，1(,2]2B =， 当1a >−时，集合(,1)(,)A a =−∞−+∞，[1,]A a =−R ， 要使()B A ⊆R ，则需2a ≥，所以2a ≥； ……………………………6分当1a =−时，集合(,1)(1,)A =−∞−−+∞，此时(){1}A =−R ，不满足题意；……………………………8分 当1a <−时，集合(,)(1,)A a =−∞−+∞，此时[,1]A a =−R ，()B A =R ∅…………………………10分所以若选③，则实数a 的取值范围为2a ≥； …………………………12分19．解：（1）由题意知，若π[0,]2x ∈，则ππ7π2666x ≤+≤， 所以π1sin(2)[,1]62x +∈−， ……………………………………2分 又因为0a >，所以3102a b a b +=⎧⎪⎨−+=⎪⎩，得21a b =⎧⎨=⎩； …………………………4分高一数学试题 第3页（共10页） 所以π()2sin(2)16g x x =++； …………………………6分（2）因为(0,π)x ∈，所以ππ13π2666x <+<， ………………………8分 正弦函数sin y x =在区间π13π(,)66上的单调递增区间为ππ(,]62和3π13π[,)26， ………………………10分 此时即πππ2662x <+≤或3ππ13π2266x ≤+<， 得π06x <≤或2ππ3x ≤<， 所以()g x 在(0,π)上的递增区间为(0,)6π和[,)32ππ ………………………12分 另解：当πππ2π22π,262k x k k −≤+≤+∈Z ， 得到ππππ,36k x k k −≤≤+∈Z …………………………7分 当0k =时，ππ36x −≤≤； …………………………8分 当1k =时，2π7,36x π≤≤ …………………………9分 所以()g x 在(0,π)上的递增区间为(0,)6π和[,)32ππ ……………………12分 20．解：（1）由题意得：()()1530f x M x x =−，()()2155330,025*******,251x x x f x x x x x ⎧⨯+−≤≤⎪=⎨⨯−+<≤⎪+⎩ 27530225,027503025,251x x x x x x x ⎧−+≤≤⎪=⎨−+<≤⎪+⎩（每段解析式正确2分）…4分高一数学试题 第4页（共10页）（2）由（1）中()27530225,02,7503025,2 5.1x x x f x x x x x⎧−+≤≤⎪=⎨−+<≤⎪+⎩ 得()2175222,02,5()=25805301,2 5.1x x f x x x x ⎧⎛⎫−+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎡⎤⎪−++<≤⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………………………6分（i ）当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； ………………………8分 （ii ）当25x <≤时，()()258053011f x x x ⎡⎤=−++⎢⎥+⎣⎦80530505≤−⨯= ………11分 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465505<，所以当4x =时，()max 505f x =，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元…………12分21．解：（1）设1212x x <≤， 则221211221212()()(1)(1)()[()1]f x f x ax x ax x x x a x x −=−+−−+=−+−，…………………………3分因为12x x <，得120x x −<；因为1211,22x x <≤，得121x x +<， 且01a <≤，得12()1a x x a +<≤，即12()10a x x +−<；所以12()()0f x f x −<成立，即12()()f x f x <； 函数()f x 在区间1(,]2−∞上单调递减； …………………………6分高一数学试题 第5页（共10页）（2）当0a <时，二次函数的对称轴为12x a =，且102a <， 函数()21f x ax x =−+在区间[1,4]上单调递减，此时min ()(4)1632f x f a ==−=−，得116a =，不符合题意；…………7分 当108a <≤时，二次函数的对称轴为12x a =，且142a ≥， 函数()21f x ax x =−+在区间[1,4]上单调递减，此时min ()(4)1632f x f a ==−=−，得116a =，符合题意；……………8分 当1182a <≤时，二次函数的对称轴为12x a =，且1142a ≤<， 函数()21f x ax x =−+的最小值为min 41()24a f x a −==−， 得112a =，不符合题意； ……………9分 当12a >时，二次函数的对称轴为12x a =，且1012a <<， 函数在区间[1,4]上单调递增，()min ()12f x f a ===−，不符合题意； …………………………10分 所以当函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2−时，实数116a =．………12分 另解：若函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2−，即不等式212ax x −+≥−在区间[1,4]上恰好成立（能取到等号）， 等价于不等式2113()a x x ≥−+在区间[1,4]上恰好成立， …………………8分 构造函数2()3g t t t =−+（11[,1]4t x =∈）高一数学试题 第6页（共10页） 不等式成立只需要a 等于函数2()3g t t t =−+在区间1[,1]4上的最大值； 显然函数2()3g t t t =−+在区间1[,1]4上的最大值为11()416g =， …………10分 所以实数116a =． …………………………………………………………12分 22．解：（1）()()()g x ff x =， 若203x ≤<，则1333x <−≤，所以()3()log 33g x x =−， ()()33()log 331log 1g x x x x x x =⇒−=⇒+−=，因为函数()3()log 11h x x x =−−−在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调递增的， (0)10h =−<，3331111log 11log 21log 02222h ⎛⎫⎛⎫=−−−=+−=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()h x 在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭内存在唯一零点；……………………………………2分 若213x ≤≤，则0331x ≤−≤，所以()()333396g x x x =−−=−， ()96g x x x x =⇒−=，解得34x =；…………………………………3分 若13x <≤，则30log 1x <≤，所以3()33log g x x =−，3()33log g x x x x =⇒−=；3()3log 3x x x ϕ=+−在(]1,3是单调递增的，(3)30ϕ=>，33445143log log 6403333ϕ⎛⎫=−=−< ⎪⎝⎭， 所以3()3log 3x x x ϕ=+−在(]1,3内有唯一零点； ……………………5分 综上所述，()g x 有3个不动点．……………………………………………6分（2）由（1）可知，当20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()()3()log 33g x f f x x ==−，若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题 就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1xk x x−>++成立， 即20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，不等式组110xk x x x k −⎧>+⎪+⎨⎪+>⎩成立，()()21120x k x x k ⎧+++−<⎪⎨+>⎪⎩，解得1122k k x x k ⎧−−+⎪−+<<−+⎨⎪>−⎩，…………………………8分 因为20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，保证0x k +>，所以23k >−因为10k ⎛−−−=> ⎝⎭，()21022k k k −−+−+−−=>，所以12k k x −+−<<−+……………………………………………10分所以10223k k ⎧−−+>⎪⎪⎨⎪−<⎪⎩，解得：213k −<<．所以实数k 的取值范围是2,13⎛⎫−⎪⎝⎭……………………………………………12分解法2：由（1）可知，当20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ()()()3()log 33g x f f x x ==−， 若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭， ()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题 就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1xk x x−>++成立， 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11xk x x−>++成立， 且0x k +>也成立………………………………………8分12(1)11x k x x k x x −>+⇒−+>++， 设()211y x x =−++， 20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11x k x x −>++成立 只要max y k >即可，函数2(1)1y x x =−++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以max 1y =，所以1k <， ……………………………………………10分20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使0x k +>在区间20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭成立，只需要()max 0x k +>即可，即22033k k +>⇒>− 所以实数k 的取值范围是2,13⎛⎫−⎪⎝⎭……………………………………………12分 解法3：由（1）可知，当20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ()()()3()log 33g x f f x x ==− 若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭， ()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1xk x x−>++成立， 它的否定是：20,3x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1x k x x −≤++恒成立， 或20,3x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭，0x k +≤，（原．不等式不存在．．．．．．）注意：命题否定的意义 即()331log log 1x k x x −≤++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 或者0x k +≤在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，……………………………………………8分 若()331log log 1x k x x −≤++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立 则()2110x k x x k ⎧−+≤⎪+⎨⎪+>⎩在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，设2(1)1y x x =−++，只需要max y k ≤且()min 0x k +>即可，所以1k ≥， ……………………………………………10分 若0x k +≤在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，则23k ≤−， 所以，1k ≥或23k ≤−， …………………………………………11分 所以当213k −<<时， 所以20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 实数k 的取值范围是2,13⎛⎫−⎪⎝⎭…………………………………12分。
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末考试化学试题 含答案
4.宏观辨识与微观探析相结合是化学特有的认识物质的方法。NaCl溶于水的过程如图所示。下列说法不正确的是( )
A.水合a离子为水合钠离子
B.水合离子的形成是电性作用的结果
C.水合离子的定向运动，是水溶液导电的原因
D.NaCl溶于水发生电离：NaCl= Na++Cl-
【答案】A
5.NA代表阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是( )
B.过氧化钠放入水中：
C. 通入水中：
D.腐蚀印刷铜电路板：
【答案】D
7.某同学欲用Na2CO3固体配制480mL 0.10mol/L Na2CO3溶液，过程如图所示。其中错误的操作有( )
A.①⑤B.①⑥⑦C.②⑦D.⑤⑥⑦
【答案】B
8.下列关于钠及其化合物性质的叙述中，正确的是( )
A.钠 金属性强于铜，故可用钠与硫酸铜溶液反应置换铜
C.一定没有Fe2+D.可能有K+
【答案】BD
第Ⅱ卷(非选择题，共5题，共60分)
16.Ⅰ.元素X、Y、Z、W、Q在元素周期表中的相对位置如下图所示。
X
Y
Z
W
Q
(1)元素X在周期表中的位置是第_______周期，第_______族。
(2)五种元素中离子半径最小的是_______。
Ⅱ.下图是部分短周期主族元素原子半径与原子序数的关系。
A.向 溶液中滴加稀硫酸B.向 溶液中滴加稀盐酸
C.向纯水中滴加 溶液D.向 溶液中滴加氯水
【答案】A
10.某反应过程中存在 、 、 、 、 和 六种粒子，测得 、 的质量分数(w)随时间变化的曲线如图所示，下列判断错误的是( )
A. 被还原，发生还原反应B.还原性：
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
山东省淄博市2020年高一上学期数学期末考试试卷A卷
山东省淄博市2020年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·绍兴期末) 若集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣1，1，3，5}，则A∩B等于（）A . {﹣1，1}B . {﹣1，0，1}C . {﹣1，0，1，2}D . {﹣1，0，1，2，3，5}2. （2分）(2012·江西理) 若tanθ+ =4，则sin2θ=（）A .B .C .D .3. （2分）已知定义域在上的奇函数是减函数,且,则a的取值范围是（）A . (2,3)B . (3,)C . (2,4)D . (－2,3)4. （2分） (2016高一下·随州期末) f（x）= ，则f（f（﹣1））等于（）A . ﹣2B . 2C . ﹣4D . 45. （2分） (2016高一上·浦东期末) 给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A . x﹣[x]≥0B . x﹣[x]＜1C . 令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立D . 令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立6. （2分）(2017·奉贤模拟) 已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A . 0B .C . πD .7. （2分）已知，，则（）A . 3B . 8C . 4D .8. （2分） (2017高三上·赣州期末) 函数y= （x≠0）的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分）(2013·重庆理) 4cos50°﹣tan40°=（）A .B .C .D . 2 ﹣110. （2分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（）A .B .C .D .11. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A . πB . πC .D .12. （2分）已知关于x的不等式2x2﹣2mx+m＜0的解集为A，其中m＞0，若集合A中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是（）A . （，）B . （， ]C . （，）D . （， ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·郁南月考) 关于下列结论：①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中不正确的是________.14. （1分）已知cos（﹣θ）= ，则sin（+θ）的值是________．15. （1分）函数f（x）=2sin（2x+ ），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3＞0，m＞0，对任意x1∈[0， ]，存在x2∈[0， ]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是________．16. （1分） (2016高一上·六安期中) 已知函数f（x）= ，若f（a）=1，则实数a=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）若cosα= ，α是第四象限角，求．18. （15分） (2018高一上·大石桥期末) 已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，（1）求sin(75°＋α) 的值．（2）求cos(α－15°) 的值．（3）求sin(195°－α)+cos(105o－α)的值．19. （10分）求下列函数的值域．y = 1 − 2 cos 2 x + 2 sin x（1）；（2） .20. （10分） (2017高一上·双鸭山月考) 若是定义在上的增函数，且对一切，，满足．（1）求的值；（2）若，解不等式．21. （5分）已知函数f（x）= sin cos ﹣ sin2（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（2A）=0，且a=1求△ABC面积的最大值．22. （10分） (2019高一上·张家口月考) 已知函数 .（1）判断的单调性，并证明你的结论；（2）求的最大值和最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷
2020-2021学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷1.已知集合A={x|3x<13}，B={−3,−2,−1,0,1,2}，则(∁R A)⋂B=( )A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}2.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为( )A. 2B. 4C. 6D. 83.下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−x 12 B. f(x)=3−x C. f(x)=log2|x| D. f(x)=1x44.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.已知a=212，b=313，c=ln52，则( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c6.函数f(x)=x1−x2的图象大致是( )A. B.C. D.7.已知实数x>3，则4x+9x−3的最小值是( )A. 24B. 12C. 6D. 38.我们知道：y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)−b为奇函数.若f(x)=x3+3x2的对称中心为(m,n)，则f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+ f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)=( )A. 8080B. 4040C. 2020D. 1010A. lg2−lg 14+3lg5=3 B. 命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x ≤0，2x ≤1”C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D. 若幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则α=−310. 若角α为钝角，且sinα+cosα=−15，则下列选项中正确的有( )A. sinα=45 B. cosα=−45 C. tanα=−43D. sinαcosα=−122511. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式成立的是( )A. a −c >b −cB.c 2a>c 2b C. a b <a+cb+cD. a −1a >b −1b12. 三元均值不等式：“当a ，b ，c 均为正实数时，a+b+c 3≥√abc 3，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a =b =c 时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( ) A. 若x >0，则x 2+2x ≥3B. 若0<x <1，则x 2(1−x)≤19C. 若x >0，则2x +1x 2≥3D. 若0<x <1，则x(1−x)2≤1913. 函数f(x)=(12)1−x 2的值域为__________.14. 已知函数f(x)={x 2−3x,x ≤0log 2x,x >0，若f(a)=4，则实数a =__________.15. 若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=__________，cos(5π6−α)=__________.16. 已知函数f(x)=2x +ax 2(a >0)，g(x)=x 2−4x +1.若对任意x 1∈[−1,2]，总存在x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是__________. 17. 已知角α终边上一点P(1,2).(1)求sinα+2cosαsinα−cosα的值； (2)求cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值.18. 已知集合A ={x|(x −a)(x +1)>0}(a ∈R)，B ={x|−1<log 2x ≤1}.(1)当a =1时，求A⋂B ；(2)是否存在实数a ，使得_____成立？请在①A⋂B =B ，②A⋂B =⌀，③B ⊆(∁R A)这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a 存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.19.已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0.(1)求函数g(x)的解析式；(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间.20.某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：M(x)={5(x2+3),0≤x≤250x1+x+53,2<x≤5，单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元).(1)求f(x)的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21.已知一元二次函数f(x)=ax2−x+1(a≠0).(1)若0<a≤1，证明函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为−2，求实数a的值.22. 函数f(x)的定义域为D ，若x 0∈D ，满足f(x 0)=x 0，则称x 0为f(x)的不动点.已知函数f(x)={3−3x,0≤x ≤1log 3x,1<x ≤3，g(x)=f(f(x)).(1)试判断g(x)不动点的个数，并给予证明；(2)若“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题，求实数k 的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义，运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题．【解答】}={x|x<−1}，解：集合A={x|3x<13所以∁R A={x|x≥−1}；又集合B={−3,−2,−1,0,1,2}，所以(∁R A)⋂B={−1,0,1,2}.故选D.2.【答案】B【解析】【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．【解答】解：设扇形的半径为R，所以2R+2R=8，所以R=2，扇形的弧长为4，半径为2，×4×2=4.扇形的面积为S=12故选B.3.【答案】C【解析】可看出选项A，B的函数都是非奇非偶函数，选项D的函数在(0,+∞)上是减函数，从而只能选C.本题考查了函数奇偶性，幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．【解答】解：f(x)=−x 12和f(x)=3−x都是非奇非偶函数；f(x)=log2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增；f(x)=1x4是偶函数，在(0,+∞)上单调递减．故选C.4.【答案】B【解析】【分析】令f(x)=log2x+x−2，分别求出f(1)，f(2)，然后利用零点的存在性定理即可判断得到答案．本题考查了二分法，涉及了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．【解答】解：令f(x)=log2x+x−2，则f(1)=log21+1−2=−1<0，f(2)=log22+2−2=1>0，故f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得，在区间(1,2)内存在函数的零点，故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1,2).故选B.5.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵a =212>20=1，b =313>30=1，a 6=23=8，b 6=32=9，∴a <b ，c =ln 52<lne =1，∴b >a >c.故选C.6.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，结合排除法是解决本题的关键，是中档题． 【解答】解：函数的定义域为{x|x ≠±1}，f(−x)=−x 1−x 2=−f(x)，为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ， 当x >1时，f(x)<0，排除B ， 故选A.7.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．【解答】解：∵x >3，∴x −3>0，4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4(x −3)=9x−3，即x =92时，取得最小值24.8.【答案】B【解析】【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键，是拔高题．【解答】解：若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(m,n)，则y=f(x+m)−n为奇函数，即y=(x+m)3+3(x+m)2−n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m)x+m3+3m2−n为奇函数，必有3m+3=0且m3+3m2−n=0，解得m=−1，n=2，则f(x)的对称中心为(−1,2)，所以f(−2+x)+f(−x)=4，设S=f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)，则S=f(−2021)+f(−2019)+f(−2017)+…+f(3)+f(5)+…+f(2017)+f(2019)，由−2021=2019−2(n−1)，得n=2021，去掉f(−1)项，共2020项，则两式相加得2S=[f(2019)+f(−2021)]+[f(2017)+f(−2019)]+…+[f(−2021)+f(2019)]=4+4+…+4=4×2020，所以S=2×2020=4040，故选B.9.【答案】AC【解析】【分析】A根据对数运算判断；B根据全称量词命题的否定定义判断；C根据充分条件和必要条件概念判断；D 根据幂函数函数值运算判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了幂函数与对数的基本运算，考查了全称量词命题的否定概念，属中档题．【解答】解：对于A ，lg2−lg 14+3lg5=lg2+lg4+lg53=lg(2×4×53)=lg103=3，所以A 正确；对于B ，命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x >0，2x ≤1”，所以B 错误； 对于C ，α=β⇒sinα=sinβ，反之未必成立，如sin0=sinπ，0≠π， 即“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，所以C 正确；对于D ，幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则(18)α=2，α=−13，所以D 错误． 故选AC.10.【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查． 根据sinα+cosα=−15，sin 2α+cos 2α=1，角α为钝角，求得α的三角函数值．【解答】解：∵角α为钝角， ∴sinα>0，cosα<0，联立方程组{sinα+cosα=−15sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=35cosα=−45， ∴tanα=sinαcosα=−34，sinα⋅cosα=−1225. 观察选项，选项BD 符合题意． 故选BD.11.【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项中的命题判断正误即可．本题主要考查了不等式的性质和应用问题，熟练掌握不等式成立的性质是解题的关键，是中档题． 【解答】解：对于A，因为a>b>0，c≠0，所以a−c>b−c，所以A正确；对于B，因为a>b>0，c≠0，所以c2>0，1a <1b，所以c2a<c2b，所以B错误；对于C，因为a>b>0，当b+c<0且a+c>0时，ab >0>a+cb+c，所以C错误；对于D，因为a>b>0，所以1a <1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，所以D正确．故选AD.12.【答案】AC【解析】【分析】根据已知将原式变形为，a+b+c3≥√abc3，即可判断．本题考查了新定义三元均值不等式的应用，属于拔高题．【解答】解：对于A：x>0，x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，当且仅当x=1时取等号，故A正确，对于B：∵0<x<1，∴1−x>0，x2(1−x)=12x⋅x⋅(2−2x)≤12(x+x+2−2x3)3=427，当且仅当x=23时取等号，故B错误，对于C：x>0，2x+1x2=x+x+1x2≥3√x⋅x⋅1x23=3，当且仅当x=1时取等号，故C正确，对于D：∵0<x<1，∴1−x>0，x(1−x)2=12×2x(1−x)(1−x)≤12(2x+1−x+1−x3)3=427，当且仅当x=13时取等号，故D错误．故选AC.13.【答案】[12,+∞)【解析】【分析】本题主要考查指数函数值域的求解，注意换元法的使用．利用换元法，结合指数函数的性质进行求解即可．解：设t =1−x 2，则t ≤1， 所以y =(12)t ≥(12)1=12，所以函数f(x)=(12)1−x 2的值域为[12,+∞),故答案为[12,+∞).14.【答案】−1或16 【解析】 【分析】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用. 直接利用分段函数的解析式，分两种情况分别求解，即可得到答案． 【解答】解：当a ≤0时，则有a 2−3a =4，解得a =−1或a =4(舍)； 当a >0时，则有log 2a =4，解得a =16. 故a =−1或16. 故答案为：−1或16.15.【答案】15−15【解析】 【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果． 本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 【解答】解：若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=sin[π−(π3−α)]=sin(π3−α)=15； cos(5π6−α)=cos(π2+π3−α)=−sin(π3−α)=−15， 故空1答案为：15；空2答案为：−15.16.【答案】(0,12]【解析】【分析】本题考查了恒成立问题，涉及了二次函数求最值、函数单调性的应用，对于此类问题一般会转化为两个函数值域的包含关系进行研究，属于较难题．先求出g(x)在[−1,2]上的值域，设函数f(x)的值域为A，然后将问题转化为A⊆[−3,6]，进而研究函数f(x)的取值情况，得到f(x)>0恒成立，又f(x)的最大值为f(2)，则f(2)≤6，求解即可．【解答】解：函数g(x)=x2−4x+1=(x−2)2−3，因为x2∈[−1,2]，所以g(x2)∈[−3,6]，因为对任意x1∈[−1,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)，设函数f(x)的值域为A，所以A⊆[−3,6]，又2x>0，ax2≥0，故f(x)>0在[−1,2]上恒成立，又f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)=4+4a≤6，解得a≤12，又a>0，所以实数a的取值范围是(0,12].故答案为(0,12].17.【答案】解：(1)因为α终边上一点P(1,2)，所以tanα=yx=2，所以sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=4.(2)角α终边上一点P(1,2)，则r=|OP|=√12+22=√5，所以sinα=yr =√5=2√55，cosα=xr=√5=√55，所以cos(11π2−α)+sin(9π2+α)=−sinα+cosα=−√55.【解析】(1)由α终边上一点P(1,2)，得tanα=y x=2，由此能求出sinα+2cosαsinα−cosα的值．(2)由角α终边上一点P(1,2)，求出sinα=y r=√5=2√55，cosα=x r=√5=√55，由此能求出cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值．本题考查三角函数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)若a =1，则A ={x|(x −1)(x +1)>0}=(−∞,−1)⋃(1,+∞)， 解不等式−1<log 2x ≤1，得，12<x ≤2，所以集合B =(12,2], 所以A⋂B =(1,2]. (2)由于B =(12,2],若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使B ⊆A ，则需a ≤12，所以−1≤a ≤12；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时满足B ⊆A ， 所以若选①，则实数a 的取值范围为{a|a ≤12}；若选②A⋂B =⌀，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使A⋂B =⌀，则需a ≥2，所以a ≥2；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时不满足A⋂B =⌀， 所以若选②，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}； 若选③B ⊆(∁R A)，B =(12,2],当a >−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)，∁R A =[−1,a]， 要使B ⊆(∁R A)，则需a ≥2，所以a ≥2；当a =−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，此时(C R A)={−1}，不满足条件B ⊆(∁R A)；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时∁R A =[a,−1]，B⋂(∁R A)=⌀，不满足条件B ⊆(∁R A)； 所以若选③，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}.【解析】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．(1)求出a =1时集合A ，化简集合B ，根据交集的定义写出A⋂B ； (2)由集合知识可以解出集合B ，若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集解出； 若选②A⋂B =⌀，对集合A 进行分类求解，再利用集合的交集解出； 若选③B ⊆(∁R A)，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集，补集解出．19.【答案】解：(1)由题意知，若x ∈[0,π2]，则π6≤2x +π6≤7π6，所以sin(2x +π6)∈[−12,1]，又因为a >0，所以{a +b =3−12a +b =0，得a =2，b =1；所以g(x)=2sin(2x +π6)+1；(2)令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得到kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ，当k =0时，−π3≤x ≤π6； 当k =1时，2π3≤x ≤7π6，所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π).【解析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)+b 的图象及性质，属于中档题． (1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x +π6)∈[−12,1]，又a >0，可得{a +b =3−12a +b =0，解得a ，b 的值，即可求g(x)的函数解析式； (2)根据正弦函数的单调性即可求解．20.【答案】解：(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ， 则函数f(x)的解析式为：f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x−30x +25,2<x ≤5；(2)由(1)得f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x −30x +25,2<x ≤5；(i)当0≤x ≤2时，f(x)=75(x −15)2+222， 当x =2时，f(2)=465；(ii)当2<x ≤5时，f(x)=750x 1+x−30x +25=805−30[251+x+(1+x)]≤805−30×2√251+x ⋅(1+x)=505，当且仅当251+x =1+x 时，即x =4时等号成立， 因为465<505，所以当x =4时，f(x)max =505，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元．【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型，涉及到分段函数求最大值的问题，考查了学生的运算能力．(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ，然后即可求解； (2)根据(1)，分段求出函数的最大值，比较即可求解．21.【答案】(1)证明：根据题意，设x 1<x 2≤12，则f(x 1)−f(x 2)=(ax 12−x 1+1)−(ax 22−x 2+1)=(x 1−x 2)[a(x 1+x 2)−1]， 因为x 1<x 2，得x 1−x 2<0； 因为x 1<12,x 2≤12，得x 1+x 2<1，且0<a ≤1，得a(x 1+x 2)<a ≤1，即a(x 1+x 2)−1<0； 所以f(x 1)−f(x 2)>0成立，即f(x 1)>f(x 2)； 函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)解：根据题意，f(x)=ax 2−x +1，其对称轴为x =12a ， 分4种情况讨论：①当a <0时，此时f(x)的对称轴12a<0，函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，不符合题意； ②当0<a ≤18时，此时f(x)的对称轴12a ≥4， 函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，符合题意； ③当18<a ≤12时，此时f(x)的对称轴满足1≤12a <4， 此时函数f(x)=ax 2−x +1的最小值为f(x)min =f(12a )=4a−14a=−2，解得a =112，不符合题意；④当a >12时，此时f(x)的对称轴满足0<12a <1，函数在区间[1,4]上单调递增，f(x)min =f(1)=a =−2，不符合题意． 综合可得：a =116.【解析】(1)根据题意，作差分析可得结论．(2)根据题意，结合二次函数的对称轴和单调性，按a 的取值范围分4种情况讨论，求出a 的值，综合可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性证明．22.【答案】解：g(x)=f(f(x))={log 3(3−3x),(0≤x <23)3−3(3−3x),(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3)={log 3(3−3x),(0≤x <23)9x −6,(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3). (1)下面分区间讨论g(x)的不动点个数．①当0≤x <23时，g(x)=x ⇒log 3(3−3x)=x ⇒x −log 3(1−x)−1=0，因为函数ℎ(x)=x −log 3(1−x)−1在[0,23)上单调递增，ℎ(0)=−1<0，ℎ(23)=23>0，所以ℎ(x)在[0,23)内存在唯一零点，即g(x)在[0,23)内存在唯一不动点；②当23≤x ≤1时，g(x)=x ⇒9x −6=x ，解得x =34， 即g(x)在[23,1]内存在唯一不动点；③当1<x ≤3时，g(x)=x ⇒3−3log 3x =x ；φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]上单调递增，φ(1)=−2<0，φ(3)=3>0， 所以φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]内有唯一零点，即g(x)在(1,3]内存在唯一不动点； 综上所述，g(x)有3个不动点．(2)因为“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题， 所以{ log 3(3−3x)−1>log 3(x +1)+log 3(x +k)0≤x <23x +1>0x +k >0有解，即{log 3(1−x)−log 3(x +1)>log 3(x +k)0≤x <23x >−k有解，所以{1−x 1+x>x +k0≤x <23−x <k有解，即{k <2x+1−(x +1)−x <k 0≤x <23有解，即{−x <k <2x+1−(x +1)0≤x <23有解， 令p(x)=−x ，q(x)=2x+1−(x +1)，函数p(x)与q(x)在[0,23)上都是减函数，值域分别为(−23,0]和(−715,1]；所以k 的取值范围是(−23,1).【解析】本题主要考查命题的真假应用，考查了不等式性质，考查了复合函数，理解新定义是是解决本题的关键，属于难题．(1)用函数复合运算求出函数解析式，理解新定义，分段讨论，解方程确定不动点个数； (2)对命题等价变换，用函数值域确定取值范围．第18页，共1页。
2022年山东省淄博市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析
2022年山东省淄博市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=sin2x﹣2sin2x+1的最大值为（）A．2 B．C．3 D．参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】使用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的性质得出最大值．【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+）．∴y的最大值是．故选：B．2. 设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2参考答案：D【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．3. 幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．2参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义与性质，得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．4. 数列{a n}前n项和为S n，，，，若，则k= （）A. 1344B. 1345C. 1346D. 1347参考答案：C【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．5. 已知|a|=3，|b|=5，且a+b与a-b垂直，则等于( )(A) (B) ±(C) ±(D) ±参考答案：B6. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．参考答案：A7. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（）＜f（x）的x取值范围是( )A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】根据已知中偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，我们易分析出函数f（x）的单调性，进而将不等式f（）＜f（x）转化为一个关于x的一元二次不等式，解不等式后，结合不等式有意义的x的取值范围，即可得到答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]单调递减，则不等式f（）＜f（x）可化为：||＜|x|即x+2＜x2，即x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1，或x＞2又∵当x＜﹣2时，无意义故满足f（）＜f（x）的x取值范围是[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）故选C．【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中根据已知条件判断出函数f（x）的单调性是解答本题的关键，但本题解答过程中易忽略当x＜﹣2时，无意义，而错选B．8. 计算的值等于（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B为( )A．{0，2} B．{1，3} C．{0，1，3} D．{2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析集合A与B的全部元素，由交集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}；故选B．【点评】本题考查集合交集的计算，关键是理解交集的含义．10. 已知映射f：M→N，其中集合M={（x，y）|xy=1，x＞0}，且在映射f的作用下，集合M中的元素（x，y）都变换为（log2x，log2y），若集合N中的元素都是集合M中元素在映射f下得到的，则集合N是（）A．{（x，y）|x+y=0} B．{（x，y）|x+y=0，x＞0} C．{（x，y）|x+y=1} D．{（x，y）|x+y=1，x＞0}参考答案：A【考点】映射．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知N中元素的横纵坐标之和为0，以此确定N中元素的条件即可．【解答】解：∵xy=1，x＞0，∴log2x+log2y=log2xy=log21=0，由此排除C，D，由题意可知，N中的元素横坐标是任意实数，故选：A．【点评】本题考查映射的概念，注意对题目隐含条件的挖掘是解题的关键，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，，，. 若，，且，则的值为______________.参考答案：,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.12. 定义运算：.若，则______ 参考答案：【分析】根据定义得到，计算，，得到，得到答案.【详解】，，故，.，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键.13. 对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________．参考答案：1略14. 直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+2a=0平行，则的值为. 参考答案：-115. 已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则 t的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，可将f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0转化为﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得 t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且是奇函数，故f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0可化为：即f（1﹣t）＜﹣f（1﹣t2），即f（1﹣t）＜f（t2﹣1），即﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得：t∈（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．16. （4分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为．参考答案：6考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：求出点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，直接利用空间零点距离公式求出距离即可．解答：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B（1，2，3），点A（1，﹣2，3）关于x轴的对称点为C（1，2，﹣3），则B、C间的距离为：=6．故答案为：6点评：本题考查空间点的对称坐标的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．17. 若，则___________,_____________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年山东省淄博市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x ＝1的倾斜角是（ ） A ．0B ．π4C ．π2D ．不存在2．抛物线y ＝2x 2的准线方程为（ ） A ．y =−18B ．y =−12C ．x =−18D ．x =−123．过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直的直线方程为（ ） A ．3x +2y ﹣1＝0B ．3x +2y +7＝0C ．2x ﹣3y +5＝0D ．2x ﹣3y +8＝04．甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（ ）A ．58B ．15C ．110D ．3105．直线x 4+y2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝06．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为BC ，AE 的中点，G 为△ACD 的重心，则FG →=（ ）A ．−13AB →+112AC →+14AD →B ．−14AB →+112AC →+13AD →C ．14AB →−112AC →+13AD →D ．13AB →+112AC →−14AD →7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若P 是棱B 1C 1的中点，则异面直线A 1P 和CD 1夹角的余弦值为（ ） A ．15B ．√25C ．√55D ．√1058．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |＝2|BF 2|，且cos ∠F 1BF 2=14，则直线A 1B 与A 2B 的斜率之积为（ ） A ．53B ．35C ．43D ．34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （5，y 0）在抛物线上，且|PF |＝6，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，则（ ） A ．p ＝2B ．抛物线的准线为直线y ＝﹣1C ．y 0=2√5D ．△FPQ 的面积为4√510．若P(AB)=16，P(A)=23，P(B)=12，则下列说法正确的是（ ）A ．P(A)=12B ．事件A 与B 相互独立C ．事件A 与B 不互斥D ．P(A +B)=5611．点P 在圆C 1：x 2+y 2＝1上，点Q 在圆C 2：x 2+y 2﹣6x +8y +24＝0上，则（ ） A ．|PQ |的最小值为3B ．|PQ |的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为−43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x ﹣8y ﹣25＝012．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 满足AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，A 1四点不重合），则下列说法正确的是（ ） A ．当λ+μ+γ＝1时，|P A |的最小值是1 B ．当λ＝1，μ＝γ时，PB ∥平面AB 1D 1C ．当λ＝μ＝1，γ=12时，平面PBD ⊥平面A 1BDD ．当λμ＝1，γ＝0时，直线P A 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值最大，最大值为√22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 ．14．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(3，2)的直线方程为 ．15．如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ．若已知AB ＝3，AD ＝4，P A ＝1，则点P 到直线BD 的距离为 ．16．已知F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 2b 2=1的左、右焦点，以F 2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x −√3y +8＝0相切．P 为椭圆上一点，I 为△PF 1F 2的内心，且S △IPF 1=λS △IF 1F 2−S △IPF 2，则λ的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且A 1M →=2MB →，B 1N →=2NC 1→．设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →．（1）试用a →，b →，c →表示向量MN →；（2）若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．18．（12分）已知圆C 的圆心在直线x ﹣y +2＝0上，与直线x +√3y −2=0相切于点(−1，√3)． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点（2，0）的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若△MNC 的面积为4√23，求该直线的方程．19．（12分）已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32．（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上； （2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，求|AB |．20．（12分）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过“．并给予录取．甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为56，35，在面试中“通过”的概率依次为23，34，笔试和面试是否“通过”是独立的．（1）甲、乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由；（2）求甲、乙两人中至少有一人获得录取的概率．21．（12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =√2，AF ＝t ，M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若t ＝1，求平面ADF 与平面DFB 所成角；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，且经过点A(2，√3)． （1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得|DQ |为定值．2023-2024学年山东省淄博市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x ＝1的倾斜角是（ ） A ．0B ．π4C ．π2D ．不存在解：∵直线x ＝1与x 轴垂直，因此倾斜角是π2．故选：C ．2．抛物线y ＝2x 2的准线方程为（ ） A ．y =−18B ．y =−12C ．x =−18D ．x =−12解：∵抛物线方程可化为x 2=12y ，∴p =14，∴抛物线y ＝2x 2的准线方程为y =−p 2=−18．故选：A ．3．过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直的直线方程为（ ） A ．3x +2y ﹣1＝0B ．3x +2y +7＝0C ．2x ﹣3y +5＝0D ．2x ﹣3y +8＝0解：∵所求直线方程与直线2x ﹣3y +4＝0垂直，∴设方程为﹣3x ﹣2y +c ＝0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c ＝0 ∴c ＝1∴所求直线方程为3x +2y ﹣1＝0． 故选：A ．4．甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（ ） A ．58B ．15C ．110D ．310解：甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为：P ＝1﹣（1−12）（1−14）=58．故选：A ．5．直线x 4+y2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0解：直线x 4+y2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，所以：A （4，0），B （0，2）故圆心坐标为（2，1），圆的半径满足2R =√42+(−2)2=2√5，解得R =√5， 所以圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5，整理得：x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 故选：C ．6．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为BC ，AE 的中点，G 为△ACD 的重心，则FG →=（ ）A ．−13AB →+112AC →+14AD →B ．−14AB →+112AC →+13AD →C ．14AB →−112AC →+13AD →D ．13AB →+112AC →−14AD →解：因为E ，F 分别为BC ，AE 的中点，所以AF →=12AE →=14(AB →+AC →)．因为G 为△ACD 的重心，所以AG →=13(AC →+AD →)，所以FG →=AG →−AF →=13(AC →+AD →)−14(AB →+AC →)=−14AB →+112AC →+13AD →．故选：B ．7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若P 是棱B 1C 1的中点，则异面直线A 1P 和CD 1夹角的余弦值为（ ） A ．15B ．√25C ．√55D ．√105解：令正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，连接BA 1，BP ，则A 1P =BP =√5，A 1B =2√2，四边形A1BCD1是正方体AC1的对角面，则四边形A1BCD1是矩形，即A1B∥CD1，所以∠BA1P是异面直线A1P和CD1所成的角，在等腰△P A1B中，cos∠BA1P=12A1BA1P=√25=√105，所以异面直线A1P和CD1夹角的余弦值为√10 5．故选：D．8．双曲线C：x 2a2−y2b2=1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|＝2|BF2|，且cos∠F1BF2=14，则直线A1B与A2B的斜率之积为（）A．53B．35C．43D．34解：易知{|AF2|−|AF1|=2a |BF1|−|BF2|=2a，又|AB|＝2|BF2|，不妨设|BF2|＝m，此时|AB|＝2m，|BF1|＝m+2a，|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝2a﹣m，|AF2|＝4a﹣m，在△ABF2中，cos∠F1BF2=1 4，由余弦定理得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2−2|AB|⋅|BF2|⋅cos∠F1BF2，即3m2+8am﹣16a2＝0，解得m=43a，在△F1BF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos∠FF1BF2，即4c2=(m+2a)2+m2−2(m+2a)m×1 4，此时8c2＝3m2+6ma+8a2，又m=43a，解得3c2＝8a2，又a2+b2＝c2，所以3b2＝5a2，不妨设B（x0，y0），因为点B在双曲线C上，所以x02a2−y02b2=1，即y02=b2a2(x02−a2)，又A1（﹣a，0），A2（a，0），则k A1B ⋅k A2B=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=b2a2=53．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（5，y0）在抛物线上，且|PF|＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则（）A．p＝2B．抛物线的准线为直线y＝﹣1C．y0=2√5D．△FPQ的面积为4√5解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为直线x=−p 2，设点P在第一象限，过点P向准线作垂线垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|=|PM|=5+p2=6，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，准线为直线x＝﹣1，故A正确，B错误；将x＝5代入抛物线方程，解得y0=±2√5，故C错误；焦点F（1，0），点P(5，±2√5)，即|PQ|=2√5，所以S△FPQ=12×2√5×(5−1)=4√5，故D正确．故选：AD．10．若P(AB)=16，P(A)=23，P(B)=12，则下列说法正确的是（）A．P(A)=12B．事件A与B相互独立C．事件A与B不互斥D．P(A+B)=56解：∵P(A)=23，∴P(A)=1−23=13，故A错误；∵P(A)⋅P(B)=13×12=16=P(AB)，则事件A与B相互独立，故B正确；又P(AB)=16≠0，所以事件A与B不互斥，故C正确；P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）=13+12−16=23，故D 错误． 故选：BC ．11．点P 在圆C 1：x 2+y 2＝1上，点Q 在圆C 2：x 2+y 2﹣6x +8y +24＝0上，则（ ） A ．|PQ |的最小值为3B ．|PQ |的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为−43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x ﹣8y ﹣25＝0解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2＝1，其圆心C 1（0，0），半径R ＝1，圆C 2：x 2+y 2﹣6x +8y +24＝0，即（x ﹣3）2+（y +4）2＝1，其圆心C 2（3，﹣4），半径r ＝1， 圆心距|C 1C 2|=√16+9=5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|﹣R ﹣r ＝3，最大值为|C 1C 2|+R +r ＝7，故A 正确，B 正确； 对于C ，圆心C 1（0，0），圆心C 2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k =−4−03−0=−43，C 正确， 对于D ，两圆圆心距|C 1C 2|＝5，有|C 1C 2|＞R +r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，D 错误． 故选：ABC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 满足AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，A 1四点不重合），则下列说法正确的是（ ） A ．当λ+μ+γ＝1时，|P A |的最小值是1 B ．当λ＝1，μ＝γ时，PB ∥平面AB 1D 1C ．当λ＝μ＝1，γ=12时，平面PBD ⊥平面A 1BDD ．当λμ＝1，γ＝0时，直线P A 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值最大，最大值为√22解：对于选项A ：当 λ+μ+γ＝1时，即γ＝1﹣（λ+μ）， 则AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→=λAB →+μAD →+[1﹣（λ+μ）AA 1→]， 可得AP →−AA 1→=λ(AB →−AA 1→)+μ(AD →−AA 1→)， 则A 1P →=λA 1B →+μA 1D →，可知点P 在平面A 1BD 内，设点A 到平面A 1BD 的距离为d ，可知A 1B =A 1D =BD =√2，由V A−A 1BD =V A 1−ABD 可得13×d ×12×√2×√2×√32=13×1×12×1×1，解得d =√33，所以|P A |的最小值是d =√33，故A 错误；对于选项B ：当λ＝1，μ＝γ时，则AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→=AB →+μAD →+μAA 1→， 可得AP →−AB →=μ(AD →+AA 1→)，则BP →=μAD 1→，由正方体的性质可知：AB ||C 1D 1，且 AB ＝C 1D 1，则ABC 1D 1为平行四边形，可得AD 1||BC 1，且AD 1＝BC 1，即AD 1→=BC 1→，则BP →=μBC →1，可知点P 在直线BC 1上，直线PB 即为直线BC 1， 且AD 1||BC 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊂平面 AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1，即PB ∥平面AB 1D 1，故B 正确；对于选项C ：当λ＝μ＝1，γ=12时，则AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→=AB →+AD →+12AA 1→=AC →+12CC 1→，取CC 1的中点M ，可得AP →=AC →+12CC 1→=AC →+CM →=AM →，可知点P 即为点M ，因为AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则AA 1⊥BD ，设AC ∩BD ＝O ， 连接OP ，可知AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，AA 1，AC ⊂平面 AA 1C 1C ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C ，且AC 1⊂平面AA 1C 1C ，可得BD ⊥AC 1，同理可得：A 1B ⊥AC 1，且BD ∩A 1B ＝B ，BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥平面A 1BD ，又因为O ，P 分别为AC ，CC 1的中点，则OP ||AC 1，可得OP ⊥平面A 1BD 且OP ⊂平面A 1BD ，所以平面PBD ⊥平面A 1BD ，故C 正确；对于选项D ：当λμ＝1，γ＝0时，则AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→=λAB →+μAD →，可知点P 在平面ABCD 内，因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，则直线P A 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角即为直线P A 1与平面ABCD 所成的角，因为AA 1⊥平面ABCD ，则直线P A 1与平面ABCD 所成的角为∠A 1P A 可得tan ∠A 1PA =AA 1AP =1AP， 又因为μ＝1，即μ=1λ，则AP →=λAB →+1λAD →，可得AP →2=λ2AB →2+1λ2AD →2+2AB →⋅AD →=λ2+1λ2≥2√λ2⋅1λ2=2，当且仅当λ2=1λ2，即λ＝±1时，等号成立，可知|AP →| 的最小值为√2，则tan ∠A 1PA =1AP 的最大值√2=√22，所以直线P A 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值的最大值为√22，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为35． 解：从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数有10个，分别为： （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）， 所取的两个数互斥包含的基本事件有：（2，3），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（5，6），共6个基本事件，则这2个数互质的概率为P （A ）=610=35． 故答案为：35．14．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(3，2)的直线方程为 2x﹣3y +1＝0 ．解：根据题意，联立两直线的方程， 有{x +y =22x −y =1，解得{x =1y =1，故交点坐标为（1，1），因为直线的一个方向向量v →=(3，2)，所以直线方程为y −1=23(x −1)，即2x ﹣3y +1＝0．故答案为：2x ﹣3y +1＝0．15．如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ．若已知AB ＝3，AD ＝4，P A ＝1，则点P 到直线BD 的距离为135．解：∵P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝3，AD ＝4，P A ＝1， ∴BD =√9+16=5，过A 作AE ⊥BD ，交BD 于E ，连结PE ，则PE ⊥BD ， ∵12×AB ×AD =12×BD ×AE ，∴AE =AB×AD BD =125， ∴PE =√PA 2+AE 2=√1+14425=135． ∴点P 到BD 的距离为 135． 故答案为：135．16．已知F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 2b 2=1的左、右焦点，以F 2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x −√3y +8＝0相切．P 为椭圆上一点，I 为△PF 1F 2的内心，且S △IPF 1=λS △IF 1F 2−S △IPF 2，则λ的值为32．解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），F 2为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R ＝a +c ＝3+c ， 根据题意可知R =|c+8|√1+3，解得c ＝2 设△PF 1F 2的内接圆半径为r ，则S △IPF 1=12|PF 1|⋅r ，S △IF 1F 2=12|F 1F 2|⋅r ，S △IPF 2=12|PF 2|⋅r故12|PF 1|⋅r =λ2|F 1F 2|⋅r −12|PF 2|⋅r ，化简可得|PF 1|+|PF 2|＝λ|F 1F 2|，即2a ＝λ•2c ，解得λ=32．故答案为：32．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且A 1M →=2MB →，B 1N →=2NC 1→．设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →．（1）试用a →，b →，c →表示向量MN →；（2）若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：（1）因为A 1M →=2MB →，B 1N →=2NC 1→，所以MA 1→=23BA 1→，C 1N →=13CB →，所以MN →=MA 1→+A 1C 1→+C 1N →=23BA 1→+AC →+13CB →=−23AB →+23AA 1→+AC →+13(AB →−AC →)=−13AB →+23AA 1→+23AC →， 又因为AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，所以MN →=−13a →+23b →+23c →．（2）因为∠BAC ＝90°，所以a →⋅b →=0， 因为AB ＝AC ＝AA 1＝1，所以|a →|=|b →|=|c →|=1，因为∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，所以a →⋅c →=b →⋅c →=12，所以|MN →|2=19(−a →+2b →+2c →)2=19(a →2+4b →2+4c →2−4a →⋅b →−4a →⋅c →+8b →⋅c →)=19(1+4+4−4×12−0+8×12)=119， 所以|MN →|=√113．18．（12分）已知圆C 的圆心在直线x ﹣y +2＝0上，与直线x +√3y −2=0相切于点(−1，√3)． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点（2，0）的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若△MNC 的面积为4√23，求该直线的方程．解：（1）依题意，过点(−1，√3)且垂直于直线x +√3y −2=0的直线方程为y −√3=√3(x +1)， 则圆C 的圆心C 在直线y =√3x +2√3上，由{x −y +2=0y =√3x +2√3，解得{x =−2y =0，即点C （﹣2，0），因此圆C 的半径r =√(−2+1)2+(√3)2=2， 所以圆C 的标准方程为（x +2）2+y 2＝4．（2）显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k ＝0， 则点C 到直线MN 的距离d =4|k|√1+k，|MN|=2√r 2−d 2=4√1−3k21+k2，于是△MNC 的面积S △MNC=12|MN|⋅d =8|k|√1−3k 21+k2=4√23，解得k =±√1111或k =±√55， 所以直线MN 的方程为y =±√1111(x −2)或y =±√55(x −2)，即x ±√11y −2=0或x ±√5y −2=0．19．（12分）已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32． （1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上； （2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，求|AB |．（1）证明：设这组平行直线的方程为y =32x +m ，设交点坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则{y =32x +mx 24+y29=1，整理可得：9x 2+6mx +2m 2﹣18＝0， 由Δ＝（6m ）2﹣4×9×（2m 2﹣18）＝36（18﹣m 2）＞0，得−3√2＜m ＜3√2， 则x 1+x 2=−23m ，y 1+y 2=32（x 1+x 2）+2m ＝m ，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为(−13m ，12m)，显然点(−13m ，12m)始终在直线y =−32x 上，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线y=−32x上；（2）解：椭圆x24+y29=1的焦点坐标为(0，±√5)，由对称性，设上焦点F（0，√5），直线AB：y=32x+√5，设A（x3，y3），A（x4，y4），由（1）知，9x2+6√5x﹣8＝0，可得x3+x4=−23√5，x3x4=−89，所以|AB|=√1+(32)2⋅√(x3+x4)2−4x3x4=√132√(−23√5)2+329=133．20．（12分）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过“．并给予录取．甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为56，35，在面试中“通过”的概率依次为23，34，笔试和面试是否“通过”是独立的．（1）甲、乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由；（2）求甲、乙两人中至少有一人获得录取的概率．解：记“甲通过笔试”为事件A1，“甲通过面试”为事件A2，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件B1，“乙通过面试”为事件B2，“乙获得录取”为事件B，则由题意得P(A1)=56，P(A2)=23，P(B1)=35，P(B2)=34，因为笔试和面试是否“通过”是独立的，所以P(A)=P(A1)P(A2)=56×23=59，P(B)=P(B1)P(B2)=35×34=920，因为59＞920，即P（A）＞P（B），所以甲获得录取的可能性大；（2）记“甲、乙两人中至少有一人获得录取”为事件C，则由题意得P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=59×(1−920)+(1−59)×920+59×920=3445，所以甲、乙两人中至少有一人获得录取的概率为3445． 21．（12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =√2，AF ＝t ，M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若t ＝1，求平面ADF 与平面DFB 所成角；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．解：（1）证明：设AC ∩BD ＝O ，连接EO ，因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以EM ∥AO ，EM ＝AO ，所以OAME 为平行四边形， 所以AM ∥EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ， 所以AM ∥平面BDE ；（2）由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD ∩平面ACEF ＝CA ，EC ⊥AC ， 所以EC ⊥平面ABCD ，所以，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 若t ＝1，则B(0，√2，0)，D(√2，0，0)，F(√2，√2，1)， 则BD →=(√2，−√2，0)，DF →=(0，√2，1)，可知平面ADF 的一个法向量为n →=(1，0，0)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅DF →=0m →⋅BD →=0，可知{√2y +z =0√2x −√2y =0， 不妨令x ＝1，则y ＝1，z =−√2，即m →=(1，1，−√2)， 设平面ADF 与平面BDF 所成角为θ， 因为θ为锐角，所以cosθ=|cos ＜n →，m →＞|=|11×2|=12， 所以平面ADF 与平面BDF 所成角的大小为π3，（3）A(√2，√2，0)，C(0，0，0)，E(0，0，t)，则CA →=(√2，√2，0)，因为点P 在线段AC 上，设CP →=λCA →，其中λ∈[0，1]， 则CP →=(√2λ，√2λ，0)，从而P 点坐标为(√2λ，√2λ，0)， 于是PF →=(√2−√2λ，√2−√2λ，t)，而BE →=(0，−√2，t)， 则由PF ⊥BE 可知PF →⋅BE →=0，即﹣2（1﹣λ）+t 2＝0， 所以t 2＝2（1﹣λ）≤2，解得t ≤√2． 故t 的最大值为√2．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，且经过点A(2，√3)．（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得|DQ |为定值．解：（1）由题意可得e =c a =√1+b2a2=2，可得b 2＝3a 2，将A （2，√3）代入可得4a 2−33a 2=1，解得a 2＝3，b 2＝9，所以双曲线的方程为：x 23−y 29=1；（2）证明：①设直线MN 的方程为y ＝kx +m ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 23−y 29=1，整理可得：（k 2﹣3）x 2+2kmx +m 2+9＝0，显然{k 2−3≠0Δ=4k 2m 2−4(k 2−3)(m 2+9)＞0，即{k 2≠3m 2＞3k 2−9，且x 1+x 2=−2km k 2−3，x 1x 2=m 2+9k 2−3， 因为AM ⊥AN ，可得AM →•AN →=0，而AM →=（x 1﹣2，y 1−√3），AN →=（x 2﹣2，y 2−√3）， 则（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（y 1−√3）（y 2−√3）＝0， 即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（kx 1+m −√3）（kx 2+m −√3）＝0，整理可得（1+k 2）x 1x 2+[k （m −√3）﹣2]（x 1+x 2）+4+（m −√3）2＝0， 即（1+k 2）•m 2+9k 2−3+（km −√3k ﹣2）•（−2km k 2−3）+4+（m −√3）2＝0，整理可得（2k +m −√3）（4k ﹣m +2√3）＝0，因为直线MN 不过点A(2，√3)，即2k +m −√3≠0， 因此4k −m +2√3=0，即m =4k +2√3，符合题意， 直线MN ：y ＝k （x +4）+2√3过定点P(−4，2√3)， 当直线MN 斜率不存在时，点N （x 1，﹣y 1），（x 1﹣2）2+（y 1−√3）（﹣y 1−√3）＝0，而3x 12−y 12=9，显然x 1≠2，解得x 1＝﹣4，直线MN ：x ＝﹣4过点P(−4，2√3)， 所以直线MN 过定点P(−4，2√3)；②由①知，直线MN 过定点P(−4，2√3)，而点A(2，√3)，线段AP 中点Q(−2，3√32)，又AD⊥MN，当点D与P不重合时，点D是以线段AP为斜边的直角三角形的直角顶点，则|DQ|=12|AP|=√392，当点D与P重合时，|DQ|=12|AP|=√392，所以存在定点Q(−2，3√32)，使得|DQ|为定值√392．。
山东省淄博市2020-2021学年度上学期高一期末考试语文试题(含答案)
淄博市2020-2021学年度上学期高一期末考试语文试题注意事项∶1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置。
2.选择题答案必须使用 2B铅笔（按填涂样例）正确填涂;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、现代文阅读（35 分）（一）现代文阅读I（本题共 5 小题，19 分）阅读下面《乡土中国》的文字，完成1～5题。
材料一∶家庭在西洋是一种界线分明的团体，而在中国，这个"家"字可以说最能伸缩自如了。
为什么我们这个最基本的社会单位的名词会这样不清不楚呢?在我看来却表示了我们的社会结构本身和西洋的格局是不相同的，我们的格局不是一捆一捆扎清楚的柴，而是好像把一块石头丢在水面上所发生的一圈圈推出去的波纹。
每个人都是他社会影响所推出去的圈子的中心。
被圈子的波纹所推及的就发生联系。
每个人在某一时间某一地点所动用的圈子是不一定相同的。
我们社会中最重要的亲属关系就是这种丢石头形成同心圆波纹的性质。
亲属关系是根据生育和婚姻事实所发生的社会关系。
从生育和婚姻所结成的网络，可以一直推出去包括无穷的人，过去的、现在的和未来的人物。
我们俗语里有"一表三千里"，就是这个意思，其实三千里者也不过指其广袤的意思而已。
这个网络像个蜘蛛的网，有一个中心，就是自己。
我们每个人都有这么一个以亲属关系布出去的网，但是没有一个网所罩住的人是相同的。
在，一个社会里的人可以用同一个体系来记认他们的亲属，所同的只是这体系罢了。
体系是抽象的格局，或是范畴性的有关概念。
当我们用这体系来认取具体的亲亲戚戚时，各人所认的就不同了。
我们在亲属体系里都有父母，可是我的父母却不是你的父母。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.