6.4 二次型的正定性
二次型的分类
正定的充分必要条件是di>0 (i=1,2,...,n).
设可逆变换 x Cy使 f x f Cy d y . (1)充分性：
n 2 i 1 i i
(2)必要性（反证法）, 设di0,
取yi=1, yj=0(ji), 代入二次型, 得
f(0,...,0,1,0,...,0)=di0,
定理正定矩阵具有以下一些简单性质定矩阵均为正矩阵也是正定阶正定矩阵均为判别二次型xzxy222112112019121616例判断的类型所以a是正定矩阵f是正定二次型
6.4 二次型的分类
1 2018/1/4
定义
如果对于任意的非零向量X=(x1,x2,...,xn)T, 恒有
T a x x X AX 0 ij i j i 1 j 1 n n
A2
2 1 1 2
3 0,
A3 A 4 0
所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。 方法二 A的特征方程为
2l A lE 1 1 1 2l 1 1 1 2l
(1 l )2 (4 l ) 0
特征值 l1 l2 1 0, l3 4 0
就称XTAX为正定二次型, 称A为正定矩阵. 例如 f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
2 2018/1/4
根据定义可得结论:
2 2 (i) 二次型f ( y1, y2 ,, yn ) d1 y12 d2 y2 dn yn
A 80 0, 根据定理13知f为负定.
2 2 例6、判断f 2x12 2x1x2 2x1x3 2x2 2x2 x3 2x3 的类型
二次型正定求取值范围
二次型正定求取值范围二次型是数学中一类重要的函数形式，在多元函数和线性代数中广泛应用。
而二次型的正定性是研究二次型性质的关键。
本文将讨论二次型正定求取值范围的问题。
首先，我们先来定义什么是二次型。
二次型是指形如\[f(x_1,x_2,\dots,x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \dots + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + \dots + 2a_{ij}x_ix_j + \dots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]的函数，其中\(a_{ij}\)为常数，\(x_1,x_2,\dots,x_n\)为变量。
可以看出，二次型包含了平方项、交叉项和常数项。
接下来，我们来讨论二次型的正定性。
一个二次型被称为正定的，如果对于所有非零向量\(\mathbf{x} = (x_1,x_2,\dots,x_n)^T\)，都有\(f(\mathbf{x}) > 0\)。
也就是说，正定二次型的取值恒大于零。
现在我们来确定二次型正定的取值范围。
为了简化讨论，我们假设二次型的系数矩阵是对称矩阵，即\(A = (a_{ij})\)满足\(a_{ij} = a_{ji}\)。
这样的假设并不失一般性，因为对于非对称的情况可以通过调整对应项的系数使之对称。
首先，我们来考虑二次型的判别式。
对于一个\(n\)元二次型，其判别式为\[\Delta = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}\]如果判别式\(\Delta >0\)，则二次型是正定的。
6-4正定二次型及正定矩阵
1 2
=
t + 2 2t + 2 2 3t + 2
= (3t 2 + 4t) > 0.
由 可得
，
2 t 2 > 0 (3t + 4)t < 0
4 <t <0 3
于是当 4 < t < 0 时， f (x1, x2 , x3 ) 为正定 3 二次型．
例5
为可逆矩阵, 设 U 为可逆矩阵 A = UTU, 证明 是正定二次型. f = X AX 是正定二次型
X 1T AX 1 > 0 ，而对另一 3）如果对某向量 X 1 ，有 ）
X 2 ，有 X 2T AX 2 > 0 ，则称该二次型为不定 向量
二次型。矩阵A称为不定矩阵。 二次型。矩阵 称为不定矩阵。 称为不定矩阵
例如
2 2 2 (1) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为正定二次型
( 1)
r
ar 1
> 0, arr
(r = 1,2, , n ).
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
2 5 1 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 2 4 2 它的顺序主子式 5 2 5 2 1 5 > 0, = 1 > 0, 2 2 1 4 2 故上述二次型是正定的. 故上述二次型是正定的
X ，都有 X T AX ≥ 0 2) 如果对于任意非零向量
成立，并且存在某向量X 使得 （或 ≤ 0 ）成立，并且存在某向量 0,使得
二次型的正定性及正定矩阵
X T AX = CY T ACY = Y T CT AC Y = Y T BY ，
其中 CT AC = B ，由于矩阵 C 可逆，对任意的Y 0 ， 均有 X 0 ，所以 X T AX > 0 ，从而 Y T BY > 0 ，因此 Y T BY 也为正定二次型。
则取Y0 ( 0 ,
, 0, 1 xk
,0,
,
0，)相应0 X0
CY0 0 ，
且
X
T 0
AX 0
d1 02
dk12
dn 02 dk „ 0 ,
这与二次型 X T AX 正定相矛盾。由此：
di 0 , i 1, 2, , n 。
【推论 1】 n 元实二次型正定的充分必要条件是其正
信息系 刘康泽
第 6-5 节 二次型的正定性及正定矩阵
一、基本概念
信息系 刘康泽
【定义】设任意一个 n 元实二次型
f ( x1, x2 , , xn ) X T AX
（1）若对任意的非零向量 X ，有 X T AX > 0 ( 0 )
成立，则称二次型 X T AX 为正定(负定)二次型，称 A 为
f x1, x2, , xn 0 ，
故该二次型是正定的。
d1
由此对角矩阵 D
d2
dn
为正定矩阵充要条件是对角线上的 n 个元素全大于零。
例 2 二次型 f x1, x2 x1 x2 2 是半正定的，
因为 f x1, x2 …0 ，且 f 1, 1 。 0
则 X T AX 正定的充要条件是 di 0 , i 1, 2, , n 。
§6.4二次型的定性
魏尔斯特拉斯 (1815.10~1897.2)
德国数学家。以ε-δ语言，系统地建立了分析学的严谨基 础；比较系统的完成了二次型的理论，对同时化两个二次型为标 准形给出了一个一般的方法 。
小 结：
1．用正交替换法与配方法化二次型为标准形； 2．正交变换的几何意义； 3．判别实二次型的定性。
例 设 A是 n阶实对称矩阵，证明：当 t充分大时，
定义 对实二次型
f ( x1 , x2 ,
) = X T AX , xn
, cn ，恒有
若对任意n个不全为零的实数 c1 , c2 , （1） f ( c1 , c 2 , （2） f ( c1 , c2 ,
, cn ) > 0 ，则称实二次型 f 是正
, cn ) ≥ 0 ，且至少存在n个不全为
=
T X 0 AX 0
>0
g = Y T BY 是正定二次型。 即
（2）设 g = Y T BY 是正定二次型。因 g = Y T BY 可通过可逆线性替换 Y = C −1 X 化为 f = X T AX ， 故由（1）的结论可得
f = X AX
T
是正定二次型。 同理可证，f 与 g 也同为负定、半正定、半负定 或不定。 ▌
A = BT B ； （3）存在不可逆的实矩阵B，使得
（4）A的特征值全部非负，且其中至少有一个等 于零； （5）A的各阶主子式全部非负，且其中至少有一 个等于零。
西尔维斯特 (1814.9~1897.3)
英国数学家，他在二次型的化简和创立标准形理论方面起了 重要作用。西尔维斯特得到了著名的惯性定理，以及利用顺序主 子式判别正定性的西尔维斯特定理。
则 Q是正交矩阵且
⎛9 ⎞ ⎜ ⎟ T −1 18 Q AQ = Q AQ = ⎜ ⎟ ⎜ − 18 ⎟ ⎠ ⎝
正定二次型
从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零， 式全大于零，
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的，那么二次 为正定的，
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的， 因实二次型 f = X T AX为正定的，所以对
任意的 X ≠ 0，均有 X T AX > 0， i 于是， 于是，取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ，
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理（惯性定理） 定理（惯性定理） 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .
东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型
教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数， 负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一 特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一 矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性 设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。
二次型正定型的判断与性质本科毕业论文
本科毕业论文(设计)题目：二次型正定型的判断与性质学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2011级1班姓名：刘蓉指导教师：赵环环完成日期：2015年1月14日关于的二次型正定型的判断与性质教学设计摘要:在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文是关于二次型正定性的判断与性质的教学设计.总结了正定二次型的一些判断方法及性质。
，该设计的主要想法是以学生为主体,老师为主导,一同研究探讨二次型正定性的等价条件和性质，有效地提高课堂教学效果,培养学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
关键词：正定二次型；主子式；顺序主子式一．绪论..................................................................................(错误！未定义书签。
)二．教学设计的思路..............................................................(错误！未定义书签。
)2.1教材分析.................................................................................(错误！未定义书签。
)2.2学情分析.................................................................................(错误！未定义书签。
)2.3.1知识与技能.................................................................(错误！未定义书签。
)2.3.2过程与方法.................................................................(错误！未定义书签。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18
§6.4 二次型的正定性
第 补：二次型的正定性在二元函数极值问题中的应用
六
章
在 (0, 0) 点的一个“微小”邻域内，有
二
2[ f ( x, y) f (0, 0)] ax2 2bxy cy2 ,
次 型
记 ~f ( x, y) 2[ f ( x, y) f (0, 0)],
g( x, y) ax2 2bxy cy2 ( x, y) a b x , b c y
§6.4 二次型的正定性
第 六
§6.4 二次型的正定性
章
一、惯性定理与惯性指数
二
次 二、正定二次型
型 *三、负定(半正定、半负定) 二次型
1
§6.4 二次型的正定性
第 一、惯性定理与惯性指数
六 章
1. 惯性定理
定理 对于一个给定的实二次型 f ( X ) X T A X , 经过非退化
二
次 型
P186 定理 6.8
第 六 章
二 次 型
轻松一下吧 ……
21
0 3
0 1,
二 次 型
0 1 3
200
方法一
2 0,
2
0 6 0,
0
3
1 16 0,
03 013
即 A 的顺序主子式全大于零， 故 f ( x1, x2 , x3 ) 正定。
9
§6.4 二次型的正定性
第 例 判断 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 3 x22 3x32 2x2 x3 的正定性。
P189 定义 6.9
a11
即
Dk
a21
ak1
a12 a22
ak2
a1k
a2k
0,
k 1, 2, , n.
akk
证明 (略)
8
§6.4 二次型的正定性
第 例 判断 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 3 x22 3x32 2x2 x3 的正定性。
六 章
解
已知
A
2 0
六 章
解
已知
A
2 0
0 3
0 1,
二 次 型
0 1 3
2 0 0
方法二 由 | I A| 0 3 1
0 1 3
( 2)2( 4),
可得 A 的特征值为 2、2、4，
即 A 的特征值全大于零，
故 f ( x1, x2 , x3 ) 正定。
10
§6.4 二次型的正定性
第 例 已知 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 t x22 t x32 2 x1 x2 4 x1 x3 正定，
(4) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 ;
(5) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 .
(正定) (半正定、非负定) (负定) (半负定、非正定) (不定)
16
§6.4 二次型的正定性
第 *三、负定(半正定、半负定)二次型
六 章
定理
n 元实二次型 f ( X ) X T A X 负定(或 n 阶实对称阵 A
则在 (0, 0) 点“附近”，可由g( x, y) “代替~f ( x, y) .
”
(2) 当 a 0, ac b2 0 时，二次型 g( x, y) 负定，
即 g( x, y) 0, f ( x, y) f (0, 0),
故 f (0, 0) 为极大值。
20
§6.4 二次型的正定性
第 补：二次型的正定性在二元函数极值问题中的应用
六
章
在 (0, 0) 点的一个“微小”邻域内，有
二
2[ f ( x, y) f (0, 0)] ax2 2bxy cy2 ,
次 型
记 ~f ( x, y) 2[ f ( x, y) f (0, 0)],
g( x, y) ax2 2bxy cy2 ( x, y) a b x , b c y
二
P193 定义
的 X 0 , 都有
次 6.10 型
(1) f ( X ) 0 , 称 f (X ) 为负定二次型，
称 A 为负定矩阵；
(2) f ( X ) 0 , 称 f (X ) 为半正定二次型， 称 A 为半正定矩阵；
(3) f ( X ) 0 , 称 f (X ) 为半负定二次型， 称 A 为半负定矩阵 .
n
1
CT
2
1
n
2
C
n
CT C CT C CT C B2 ,
其中，B CT C, 满足 BT B 且 |B| 0 .
14
§6.4 二次型的正定性
第 *三、负定(半正定、半负定)二次型
六 章
定义
设 n 元实二次型 f ( X ) X T A X , 如果对空间 Rn 中任意
线性变换化为标准形(或规范形)，即
f (X )
X PY
d1 y12
d
p
y
2 p
d
p1
y2 p1
d
pq
y
2 pq
(di
0)
Y QZ
z12
z
2 p
z2 p1
z
2 pq
,
则其中正、负项的项数是惟一确定的，它们的和等于矩
阵 A 的秩 。
证明 (略)
2
§6.4 二次型的正定性
第 一、惯性定理与惯性指数
(杀青了!)
17
§6.4 二次型的正定性
第 补：二次型的正定性在二元函数极值问题中的应用
六
章
设 (0, 0)点为某二元函数 f ( x, y) 的驻点，即
二
f x (0, 0) 0, f y (0, 0) 0 ,
次 型
记 a f xx (0, 0) , b f x y (0, 0) , c f y y (0, 0) ,
六 章
证明 k A lB, A1, M T AM 均为正定阵。
二 证 首先 k A lB, A1, M T AM 均为对称阵。
次 型
对于任意的 X 0 , 有 A1 X 0 , M X 0，且
(1) X T (k A lB)X k X T AX l X T BX 0;
(2) X T A1 X X T A1 AA1 X ( A1 X )T A( A1 X ) 0;
次
AT (B2 )T BT BT B2 A ,
型
A B2 BT B BT I B ,
即 A 对称且 A 与 I 合同，
故 A 为正定矩阵。
13
§6.4 二次型的正定性
第
必要性 若 A 为正定矩阵，则 A 的特征值全大于零且存在
六
正交矩阵 C ，使得
章
二 次 型
1
A CT
2
C ,
一般说来，由于
f(X) XTAX
X PZ
z12
z
2 p
z
2 p1
z2 pq
记为
g( Z )
且 X 与 Z 一一对应，
故 f (X ) 的正定性取决于 g (Z ) 正定性。
6
§6.4 二次型的正定性
第 二、正定二次型
六 章
2. 二次型正定的充要条件
二 定理1 n 元实二次型 f ( X ) X T A X 正定(或 n 阶实对称阵 A
则二元函数 f ( x, y) 在 (0, 0) 点的泰勒展开式为
f ( x, y) f (0, 0) 1 (ax2 2bxy cy2 ) o ( x2 y2 ) , 2!
在 (0, 0) 点的一个“微小”邻域内，有
2[ f ( x, y) f (0, 0)] ax2 2bxy cy2 ,
六 章
(1) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 ; (是)
二
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22;
(不是)
次
(3) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 ; (不是)
型
(4) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 . (不是)
§6.4 二次型的正定性
第 二、正定二次型
六 章
2. 二次型正定的充要条件
二 定理2 (Sylvester定理) 西尔维斯特 史泰龙 (Sylvester Stallone )
次 P190 型 定理
6.14
n 元实二次型 f ( X ) X T A X 正定(或 n 阶实对称阵 A 正定)的充要条件是 A 的顺序主子式全大于零，
(3) X T M T A M X (M X )T A(M X ) 0 .
故 k A lB, A1, M T AM 均为正定阵。
12
§6.4 二次型的正定性
第 例 证明 A 为正定矩阵的充要条件是存在可逆对称矩阵 B ，
六
使得 A B2 .
章
证 充分性 若存在可逆对称矩阵 B ，使得 A B2 , 则 二
矩阵 C 的特征值为：1, 1, 2
矩阵 D 的特征值为：1, 2, 1
B, C, D 与 A 等价；（秩相同）
C, D 与 A 合同； （惯性指数相同）
D 与 A 相似。
（特征值相同且可相似对角化）
4
§6.4 二次型的正定性
第 二、正定二次型
六 章
1. 正定二次型与正定矩阵
二 定义 设 n 元实二次型 f ( X ) X T A X , 如果对空间 Rn 中任意
则在 (0, 0) 点“附近”，可由g( x, y) “代替~f ( x, y) .