14.3.1《提公因式法》任亚杰
人教版八年级上册14.提公因式法课件
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6； 解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值． 解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进 行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子， 然后将a±b，ab的值整体带入即可.
数学人教版八年级上册14.3.1因式分解—提公因式法.3.1因式分解提公因式法
(2) 12xyz-9x2y2
=3xy(4z-3xy)
(3)x(x- y)-y(y-x)
=(x-y)(x+y)
(4)p(a2+b2)-q(a2+b2)
=(a2+b2)(p-q)
• 2、利用分解因式进行计算： （1）2.186×1.237-1.237×1.186
=1.237
+ 43 + 93 （2） 53
系数： 4 最大公约数
b 的指数为 2
a,b 字母： 相同的字母
2
指数：相同 字母的最低 次幂
所以，公因式是 4 a b
【活动二】:类型一
把下面的式子分解因式
（1）3x3-6xy+x
=x 3x2-x 6y +x1
=x(3x2-6y+1)
类型二
例：
-6x+2y =(-2) 3x +(-2) (-y) =-2(3x-y) (2) -4a3+16a2 =-4a2(a-4)
(人教版）义务教育课程标准实验教科书
14.3.1
因式分解-提公因式法
大港五中
赵新梅
一.自 一 主 .自 学主 习学 习
计算下列各式: 2+ x X (1)x(x+1)= (2)p(a+b+c) = pa+pb+pc (3)(x+1)(x-1)= x2-1 2-6x+9 2 x (4)(x-3) =
请根据学练稿左面的算式填空: (1)x2+x= x(x+1 ) p(a+b+c) (2)(2) pa+pb+pc= (x+1)(x-1) (3)(3) x2-1= (4) x2-6x+9= (x-3)2
14.3.1因式分解——提公因式法
课题：14.3.1因式分解——提公因式法课型：新授课时：1 执笔人：孙冉冉审核：授课人：授课时间：班级：姓名：小组：编号：流程具体内容方法指导目标导学1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；2．掌握提取公因式的方法；3．会用提取公因式法分解因式．重难点重点：了解因式分解的意义以及它与正式乘法的关系；难点：能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法分解因式自主学习1. 下列变形错误的是（）A 2x(x2+1)=2x3+2xB x2-x=xC (1-y)(1+y)=1-y2D (x+2)2= x2+4x+42.把下列多项式写成乘积的形式:(1)x2+2x= (2)x2-9= (3)ma+mb+mc=3．在下列各式右边括号前添上适当的符号，使左式与右式相等：① a-b=____(b-a) ② -a+b=____(b-a)方法指导：合作探究仔细阅读教材P114到P115，然后完成下面的问题：1．m(a+b+c)=ma+mb+mc 是整式乘法，反过来ma+mb+mc= m（a+b+c）是多项式变为整式的积形式.又如：ax-ay+2a= a(x-y+2),是多项式变为整式的积形式，这种变形就叫做因式分解因式分解：把一个多项式化为几个整式的__________的形式叫做____________，也叫做把这个多项式__________.(因式分解与整式乘法是互逆变形的关系)1.公因式：如多项式：ma mb mc++的各项都有一个，我们把这个叫做这个多项式的。
2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个公因式，从而将多项式化成与的形式，这种分解因式的方法叫做提．例1、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式：3mx-6mx2 4a2+10ah 4x2－8x6 x2y + xy2 12xyz-9x2y2 16a3b2－4a3b2－8ab4通过以上学习探究活动，总结一下提取公因式的方法：①一看系数：公因式的系数取各项系数的；②二看字母：公因式字母取各项的字母，③三看指数：公因式字母的指数取相同字母的最次幂．方法指导：m(a+b+c)m a+m b+m c因式分解整式乘法展示交流例1：把下列各式进行因式分解:（1）3a2+12a (2) -4x2y-16xy+8x2解：(1) 3a2+12a=3 a·a+ 3a·4=3 a（）(2) -4x2y-16xy+8x2=-4x·xy -4x·4y + 4x ·2x(注：首项是负时要提负号)=-4x（）教材P115练习1、2、3(完成书上)例2、将下列多项式分解因式⑴8a3b2+12ab2c ⑵2a（b+c）-3（b+c）⑶3x3-6xy+3x ⑷-4a3+16a2-18a例3、将下列多项式分解因式3a2（x－y）3－4b2（y－x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2达标训练1、把多项式m2（a-2）+m（2-a）分解因式等于（）A、(a-2)（m2+m）B、(a-2)（m2-m）C、m(a-2)（m-1）D、m(a-2)（m+1）2、把多项式（1+x）（1-x）-（x-1）提公因式（x-1）后，余下的部分是（）A、（x+1）B、-（x+1）C、xD、-（x+2）3、填空，分解因式：（1）3mx-6my= ；15a2+5a= ；（2）12xyz-9x2y2= ； x2y+xy2-xy= ；（3）21a2-21a = ； -3ma3+6ma2-12ma = ；4、把下列各式分解因式：(1) -x3y3-x2y2-xy (2) p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )（3）x（a-b）-y（b-a）（4）a2（x-3y）2- b（3y-x）25、计算：2.186×1.237-1.237×1.1866、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为总结反思课堂总结：课后反思：。
第十四章 14.3 14.3.1 提公因式法
(x－3y)2(9x－6y)＝3(x－3y)2(3x－2y)． 又3x－x－32y＝y＝1，6， ∴7x(x－3y)2－2(3y－x)3＝3×12×6＝18.
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1. 把一个多项式化为几个 整式的积的形式 ，叫 做因式分解．
2. 运用提公因式法因式分解的关键是确定多项式各 项的公因式，公因式是指各项系数的 最大公约数 ， 各项公有字母的 最低次幂 ．
知识点 因式分解的定义 1. (2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于分解 因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
(2)若因式分解 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)2017，则需应用上述方法 2017 次，结果是 (1＋x)2018 ；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)n(n 为正整数)．
解：原式＝(1＋x)n＋1.
1．确定公因式的方法：①系数：取各项系数的最大 公约数；②字母：取各项都含有的相同字母；③指数： 取相同字母的最低次幂．
【解析】∵2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2(x2－2x－3) ＝2x2－4x－6，∴b＝－4，c＝－6.
2. 阅读下面因式分解的过程，再回答问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝ (1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次；
人教版数学八年级初二上册 提公因式法分解因式 名师教学教案 教学设计反思
课堂练习（难点巩固）三、思考讨论（改错练习）
议一议:这是小明进行的因式分解,有什么问题吗？
1.把12x2y+18xy2分解因式
解:原式 =3xy(4x + 6y).
公因式没有提尽,还可以提出公因式2, 原式= =6xy(2x+3y)
注意:公因式要提尽
2.把3x2 - 6xy+x分解因式
解:原式 =x(3x-6y)..
当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是1. 原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1).
注意:某项提出莫漏1.
3.把 - x2+xy-xz分解因式
解:原式 = - x(x+y-z)
提出负号时括号里的项没变号,
原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
注意:首项有负常提负. 提正不变号,提负就变号。
小结
当通过本节课学习,你有什么收获？
1.确定公因式的方法:
①定系数；②定字母；③定指数
2.提公因式法步骤:
①找公因式；②用公因式去除多项式的各项得另一因式；③写成这两个因式的积的形式。
3.注意事项:（口诀）
找准公因式,一次要提净；若搬全家走,留1把家守；提负就变号,看准再下手。
课后练习题1.多项式3(x-4)+x(4-x)的公因式是（）
A.x+3
B.x-3
C.x-4
D.(x+3)(x-4)
2．如上图,图中的四边形均为长方形,根据图形,写出一个正确的等式:_______。
3．分解因式
（1 ）3x+6y （2 ）12xyz-9x2y2
（3）-4ab2+6a2b-2ab （4 ）p(a2+b2)-q（a2+b2）。
14.3.1 提公因式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
可得 pa+ pb +pc = p (a+b+c)
公因式
(pa+ pb +pc)÷p
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提 取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这 种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3 把下列各式分解因式:
(1) 8a3b2 + 12ab3c 公因式为4ab2 (2) 2a(b+c) - 3(b+c) 公因式为(b+c)
(3) a2-b2= (a+b)(a-b) √
(4) a2-2a+1 = (a-1)2 √
因式分解的特征: 左边:多项式， 右边:几个整式的 乘积.
(5) x3+x = x2(x+ ) ×
探究新知2
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
相同因式 x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
解：原式=x(3x-6y)
×
解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提完后莫漏 1
课堂小结
课堂练习
1. 用简便方法计算:
(1) 1.992+1.99×0.01
解：原式=1.99(1.99+0.01)
=3.98
(2) (-2)101+(-2)100
解：原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1) =-2100
公因式：m
公因式：5y2
(3) 4(x-y)+2(x-y) ； (4) m(a-3)+2(3-a).
公因式：2(x-y)
山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 14.3.1 提公因式法教案 (新版)新人教版
( x 2 2)(x 2 )(x 2 )
1
设计意图
（三） 得到新知 2 1.分析例题： x +x
2
am+bm+cm
（1）中各项都有一个公共的因式 x， （2）中各项都有一个公共因式 m, 2．因此，我们把每一 项都含有的因式叫做：公因式 3．认识公因式 例：多项式 14m n 7m n 28m n 的公因式是？
预习要点
3
2 2 2 2 2 2 2
_ 【1】
等号的右边：几个整式的乘积形式【2】
(7) x 1 x(1
1 ) ；(8)18a3bc=3a2b·6ac． x
4. 分解范围：在不同的范围内，分解的结果是不一样的 例如： x 4 ，在有理数范围里是： ( x 2 2)(x 2 2)
4
在实数范围里是 ：
3 2 2 3 3
练习：找出公因式：
4a 2 b 2 3ab2 8ab3 c
1 2 x 2 xy xz 2
7(2x 3 y) 2 14(2x 3 y) 3 21(2x 3 y) 5 10x 3 y 2 z 3 35xy 3 z 2 15x 2 yz
（四）小结
附 加 练 习
作业 板书设计 §14．3．1 提公因式法 一、理解概念 1．分解因式 2．公因式 二、例题讲解 [例 1]（略） [例 2]（略） 一、 随堂练习 二、 小结 教学反思
2
设计 意图
第二课时 （一） 回顾旧知识 1． 因式分解 2.公因式 （二） 学生动手，总结方法 1．我们上节课已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解 3 2 3 把 8a b -12ab c 分解因式 2．学生动手 3．分析过程：①先确定公因式： 4ab ②然后用每一项去除以公因式 ③结果： 4ab2 (2a 2 b 3bc) 4．总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提取公因式 （三） 加强练习 例：因式分解： 3 2a（b+c）-3（b+c） 3x -6xy+x 3 2 -4a +16a -18a 6（x-2）+x（2-x） 练习：教科书练习 1，2 例：简便计算：
人教版初中数学八年级上册14.3.1提公因式法(教案)
3.增强学生问题解决能力，使学生能够运用提公因式法解决实际数学问题，体会数学在实际生活中的应用价值；
4.培养学生数学抽象思维，让学生从具体的数学问题中提炼出一般性规律，形成对数学知识的深入理解。过这次教学反思，我深刻认识到教学是一个不断学习和成长的过程。在今后的教学中，我会努力改进自己的教学方法，提高教学效果，让每个学生都能在数学的世界里快乐地探索和成长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“提公因式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了提公因式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对提公因式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何找出公因式和分解多项式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与提公因式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何找出多项式的公因式，并进行分解。
2019年第十四章 143 1431 提公因式法语文
(2)20182－2018×2017＋1.
解：原式＝2018×(2018－2017)＋1 ＝2019.
10. 多项式 710－79－78 能被 41 整除吗？说明你的理 由．
解：能， 710－79－78＝78(72－7－1)＝78·41.
3x－2y＝6， 11. 已知方程组x－3y＝1， 试用简便方法求 7x(x－ 3y)2－2(3y－x)3 的值．
2. (a＋2)(a－2)＝a2－4，由左到右的变形是 整式的 乘法 ，由右到左的变形是 因式分解 ．
知识点 公因式的概念
3. 把 12a2b3c－8a2b2c＋6ab3c2 因式分解时，应提取的
公因式是( C )Biblioteka A．2B．2abc
C．2ab2c
D．2a2b2c
4. 指出下列各多项式的公因式： (1)a2－10ab a ； (2)12xy－9x3y2 3xy ； (3)3m(x＋y)2－(x＋y) (x＋y) ； (4)4x(p－q)＋2(q－p)2 2(p－q) ．
C．－2a(b－a)2
D．2a(b－a)2
5. (2017·潍坊)因式分解：x2－2x＋(x－2)＝ (x－2)
(x＋1)
．
6. 已知 x(x＋3)＝1，则代数式 2x2＋6x－5 的值为－3．
7. 已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式 为(3x＋a)(x＋b)，其中 a，b 均为整数，则 a＋3b＝ －31 ， ab＝ 56 ．
知识点 提公因式法
5. 把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)
后，余下的部分是( D )
A．m＋1
B．2m
C．2
D．m＋2
《提公因式法》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨《提公因式法》。了解提公因式法的定义、 应用场景、使用方法、原理、细节、优缺点以及其他数学知识的联系。
什么是提公因式法？
提公因式法是一种代数化简的方法，用于将多项式表达式简化为可分解为公因式和提公公式的形式。
提公因式法的应用场景
提公因式法广泛应用于数学问题的解决中，特别是在因式分解、方程求解和代数表达式化简等领域。
如何使用提公因式法简化多项式？
1
步骤一
识别多项式中的公因式，将其提取出来
步骤二
2
作为公因式。
利用分配律将多项式分解为公因式和提
公公式的乘积。
3
步骤三
继续使用提公因式法对提公公式进行化 简，直到无法继续为止。
提公因式法的原理
提公因式法基于数学的分配律和因式分解的概念。通过识别多项式中的公因式并将其提取出来，可以简化多项 式的表达形式。
提公因式法的历史渊源和发展过程
提公因式法是古希腊数学家欧几里得等人发展出来的一种代数化简方法。在历史上经过数学家们的研究和应用， 逐渐成为常用的数学工具。
提公因式法的数学证明和理论 基础
提公因式法的数学证明和理论基础基于多项式的因式分解和分配律的相关概 念和理论，以及数学逻辑推导的基本原理。
提公因式法在初中和高中数学中的教 学要点
1 导入实例
通过实际问题的例子引出提公因式法的需求和应用。
2 解释原理
详细讲解提公因式法的原理和步骤，并进行示范演示。
3运用。
提公因式法的应用案例和练习题
通过实际的应用案例和练习题，加深学生对提公因式法的理解和掌握。
提公因式法在数学竞赛中的应 用和技巧
在数学竞赛中，掌握提公因式法可以帮助解决复杂的代数题目，提高解题的 效率和准确性。
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§14.3.1 提公因式法
教学目标
（一）知识目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法因式分解.
（二）能力目标
通过找公因式，培养学生的观察能力.
（三）情感与价值观目标
养成学生独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识。
教学重点
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
教学难点
让学生识别多项式的公因式.
教学过程
一.创设问题情境,引入新课
投影片
分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.
二.新课探究
1.公因式与提公因式法、因式分解的概念.
若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.
ma+mb+mc=m（a+b+c）
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？
等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.
由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.
即：几个多项式的公共的因式是它们的公因式。
由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
即：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.
2写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma +mb （m ）
（2）4kx －8ky （4k ）
（3）5y 3+20y 2 （5y 2）
（4）a 2b －2ab 2+ab （ab ）
3.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x +6;
（2）7x 2－21x ;
（3）8a 3b 2－12ab 3c +abc
（4）－24x 3－12x 2+28x .（如何判定符号）
（5）z xy y x 242128
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
(请大家互相交流.)
4.议一议
通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.
首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.
其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab ,相同字母的指数取次数最低的.
5.想一想
大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？
(提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.)
三.课堂练习
（一）随堂练习
把下列各式分解因式
（1）8x －72=8（x －9）
（2）a 2b －5ab =ab （a －5）
（3）4m 3－6m 2=2m 2（2m －3）
（4）a 2b －5ab +9b =b （a 2－5a +9）
（5）－a 2+ab －ac =－（a 2－ab +ac ）=－a （a －b +c ）
（6）－2x 3+4x 2－2x =－（2x 3－4x 2+2x ）=－2x （x 2－2x +1）
大家同意他的做法吗？如果不同意，请改正
改正：3x 2－6xy +x =x （3x －6y +1）
后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.
在分解因式时应如何减少上述错误呢？
将x 写成x ·1,这样可知提出一个因式x 后，另一个因式是1.
四.课时小结
1.提公因式法分解因式的一般形式，如：
ma+mb+mc=m（a+b+c）.
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
（5）如何判定符号
4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.
5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.
五．课后作业：小卷
六．课后反思。