正方形复习1
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形课时1 矩 形基础过关1. (2019重庆模拟)下列关于矩形对角线的说法中，正确的是( ) A. 对角线相互垂直B. 面积等于对角线乘积的一半C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等2．(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND第2题图3．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E .若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°第3题图4．(2019贵阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交边BC于点E，若ED＝5，EC＝3，则矩形ABCD的周长为()A. 11B. 14C. 22D. 28第4题图5．如图，矩形ABCD中，A(－2，0)，B(2，0)，C(2，2)，将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E处，则点E的坐标为()A. (3，2)B. (23，2)C. (1，2)D. (23－2，2)第5题图6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.已知∠EAD ＝3∠BAE，则∠EAO的度数为()A．22.5°B．67.5°C．45°D．60°第6题图7．(2020原创)如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为()A. 10B. 8＋2 5C. 8＋213D. 14第7题图8．(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第8题图9．(2019徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．第9题图10．(人教八下P55练习2题)如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，△OAB是等边三角形，AB ＝4.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求四边形ABCD的面积．第10题图11．(2019怀化)已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．第11题图12．(2019连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．第12题图能力提升1．(2019台州)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC＝FG＝8 cm.把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于()A. 14 B.12 C.817 D.815第1题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为________．第2题图满分冲关1．(2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①CF＝3AF；②AB＝DF；③DF＝22BC；④S四边形CDEF＝52S△ABF.其中正确的结论有()第1题图A．1个B．2个C．3个D．4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确．2．如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，对角线AC，BD交于点O，∠BCD的平分线CE分别交AB，BD于点E，H，连接OE.(1)求∠BOE的度数；(2)若BC＝1，求△BCH的面积；(3)求S△CHO∶S△BHE的值．第2题图课时2菱形(建议时间：40分钟)基础过关1．(2019玉林)菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等2．(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第2题图3．(2019襄阳)如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是()A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 菱形第3题图4．(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 2 2B. 2 5C. 4 2D. 2105．(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第5题图6．(2019赤峰)如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE 的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 5第6题图7．(2019天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()第7题图A. 5B. 4 3C. 4 5D. 208．(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()第8题图A. 40B. 24C. 20D. 159．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处，且DC′过点P，折痕为DE，则∠CDE的大小为()A．30°B．40°C．45°D．60°第9题图10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，则AB＝______．第10题图11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，点E为AC上一点，若∠CBE＝20°，则∠AED＝________°.第11题图12．(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．第12题图13．(2019宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝DF ＝32.(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)求线段EF 的长．第13题图14．(2020原创)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BD、BC于点E、F、G，连接ED、DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．第14题图15．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若EF＝8，AE＝5，求四边形AECF的面积．第15题图16．(2019北京)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF .(1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．第16题图能力提升1．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上．已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE的值为( ) A. 6＋2B. 6－2C.6－22D.6＋22第1题图2．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD ＝120°，则下列结论正确的个数为( ) ①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形； ③∠AGE ＝∠AFC ；④若AF ＝1，则GF EG ＝14.A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图【错误结论纠正】请将错误结论改正确．满分冲关(2019绵阳模拟)如图，点E 、F 、G 分别在菱形ABCD 的边AB 、BC 、AD 上，2AE ＝BE ，2CF ＝BF ，AG ＝13AD ，已知△EFG 的面积等于1，则菱形ABCD 的面积等于________．题图课时3正方形(建议时间：40分钟)基础过关1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有()A. 对角线互相垂直B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角2．(2019河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3．(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第3题图4．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是()A．45°B．30°C．22.5°D．20°第4题图5．(2018梧州)如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是()A. (－6，2)B. (0，2)C. (2，0)D. (2，2)第5题图6．[人教八下P67第1(3)题改编]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()第6题图A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°7．(2019兰州)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝()第7题图A. 12B.22C. 3－1D. 2－18．(2019包头)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝60°，则CF 的长是( )A. 3＋14B. 32C. 3－1D. 23第8题图9．(2019菏泽)如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第9题图10．(2019扬州)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．第10题图11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C 的坐标是________．第11题图12.(数学文化)(2019大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么(a－b)2的值是________．第12题图13．(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第13题图1．(2018天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是()A. ABB. DEC. BDD. AF第1题图2．(2019绍兴)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变第2题图3．(2019乐山模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC，CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为________．第3题图(2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒．(1)求证：CE＝EF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求△BEF面积的最大值．题图备用图参考答案课时1矩形基础过关1．D2．A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .3．A 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，CD ∥AB ，∴∠DBA ＝∠1＝35°，∴∠CBD ＝55°，由折叠性质可知∠C ′BD ＝∠CBD ＝55°，∴∠2＝∠C ′BD －∠DBA ＝20°.4．C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∵ED ＝5，EC ＝3，∴DC 2＝DE 2－CE 2＝25－9＝16，∴DC ＝4，AB ＝4，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴BE ＝AB ＝4，∴矩形ABCD 的周长为2(4＋3＋4)＝22.5．D 【解析】∵矩形ABCD 中，A (－2，0)，B (2，0)，C (2，2)，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝2，∵将AB 绕点A 旋转，使点B 落在边CD 上的点E 处，∴AE ＝AB ＝4，∴DE ＝AE 2－AD 2＝23，∴点E 坐标为(23－2，2)．6．C 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OB ，∵∠EAD ＝3∠BAE ，∴4∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝22.5°，∵AE ⊥BD ，∴∠ABE ＝90°－∠BAE ＝67.5°，∴∠BAO ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°.7．C 【解析】∵点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE ∥AB ，∴OE ＝12CD ＝12AB ＝3，点E 为AD 中点，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求得BE ＝213.在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得AC ＝10.∴BO ＝OC ＝12AC ＝5.△BOE 的周长为5＋3＋213＝8＋213.8．C 【解析】如解图，作PM ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，∴S 矩形DFPM ＝S 矩形BEPN ，∴S △DFP ＝S △PBE ＝12×2×8＝8，∴S 阴影＝8＋8＝16.第8题解图9．16 【解析】∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴OB ＝2MN ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝2OB ＝16.10．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝OD ，且AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵AB＝4，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝8，则BC＝43，∴S四边形ABCD＝4×43＝16 3.11．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.12．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴∠ABC＝∠DEF.∴∠DEF＝∠ACB.即△OEC为等腰三角形；(2)解：如解图，当E为BC中点时，四边形AECD为矩形．理由如下：∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE ⊥BC ，BE ＝EC ， ∵△ABC 平移得到△DEF ， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴AD ∥EC ，AD ＝EC ， ∴四边形AECD 为平行四边形， 又∵AE ⊥BC ，∴四边形AECD 为矩形．第12题解图能力提升1．D 【解析】如解图，当B 、E 重合时，α最小，∵在△BMF 和△DMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BMF ＝∠DMC ，∠F ＝∠C ，BF ＝DC ，∴△BMF ≌△DMC (AAS)，∴BM ＝DM ，设FM ＝x ，则DM ＝BM ＝8－x ，在Rt △BFM 中，由勾股定理得22＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝154，∴tan α＝BF FM ＝2154＝815.第1题解图2．210－2 【解析】如解图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半圆⊙上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 落在OC 上时，即点E 在E ′处，线段CE 取得最小值，∵AB ＝4，∴OA ＝OB ＝OE ′＝2.∵BC＝6，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝62＋22＝210，则CE ′＝OC －OE ′＝210－2.第2题解图满分冲关1．C 【解析】①∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故①错误；②如解图①，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点N ，交BC 于点M ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，∴AB ＝DF ，故②正确；③∵BE ⊥AC ，∠BAD ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，而∠BAE ＝∠ADC ＝90°，∴△BAE ∽△ADC ，∴ABAE ＝AD CD ，∴AE ×AD ＝AB ×CD ，∴12BC ×BC ＝AB 2，∴AB 2＝12BC 2，∴AB ＝22BC ，∵AB ＝DF ，∴DF ＝22BC ，故③正确；④如解图②，连接CE ，由△AEF ∽△CBF ，可得EF BF ＝AF CF ＝12，设△AEF 的面积为s ，则△ABF的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，∴△ACE 的面积为3s ，∵E 是AD 的中点，∴△CDE 的面积为3s ，∴四边形CDEF 的面积为5s ，∴S 四边形CDEF ＝52S △ABF ，故④正确．图①图②第1题解图2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴∠DCE ＝∠BEC ， ∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°， ∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°， ∴BE ＝BC ，∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ， ∴∠BOC ＝60°，∠OBA ＝30°， ∵∠BOC ＝60°，BO ＝CO ， ∴△BOC 是等边三角形， ∴BC ＝BO ＝BE ，且∠OBA ＝30°， ∴∠BOE ＝75°；(2)如解图①，过点H 作FH ⊥BC 于F ， ∵△BOC 是等边三角形， ∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ， ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ， ∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ， ∴CF ＝FH ＝3BF ， ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1， ∴BF ＝3－12， ∴FH ＝3－32，∴S △BCH ＝12×BC ×FH ＝3－34；第2题解图①(3)如解图②，过点C作CN⊥BO于N，∵△BOC是等边三角形，∴∠FBH＝60°，FH⊥BC，∴BH＝2BF，FH＝3BF，∵∠BCE＝45°，FH⊥BC，∴CF＝FH＝3BF，∴BC＝3BF＋BF＝BO＝BE，∴OH＝OB－BH＝3BF－BF，∵∠CBN＝60°，CN⊥BO，∴CN＝32BC＝3＋32BF，∵S△CHO∶S△BHE＝12×OH×CN∶12×BE×BF，∴S△CHO∶S△BHE＝3－32.第2题解图②课时2 菱 形基础过关1．D 【解析】菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，其对角线互相垂直且平分，但不一定相等． 2．D 【解析】根据菱形的性质可知：∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∠1＝12∠DAB ＝15°.3．D4．C 【解析】∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－1＝4 2.5．C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形；当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．6．A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝5，∠COD ＝90°.在Rt △COD 中，OE 是CD 边上的中线，∴OE ＝12CD ＝2.5.7．C 【解析】∵A (2，0)，B (0，1)，∴OA ＝2，OB ＝1，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝22＋12＝5，∵四边形ABCD 为菱形，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4 5.8．B 【解析】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO ＝12BD ＝4，∴AO ＝3，∴AC ＝6，∴四边形ABCD 的面积为12×6×8＝24.9．C 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB .∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵P 为AB 中点，∴∠ADP ＝12∠ADB ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝120°.∴∠CDP ＝90°.由折叠的性质可知，∠CDE ＝∠C ′DE ＝12∠CDP ＝45°.第9题解图10．4 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∠ACD ＝30°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝2∠ACD ＝60°，AB ＝AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝4.11．70 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝100°，∴∠ACD ＝12∠BCD ＝50°，在△BCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCE ＝∠DCE CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CDE ＝∠CBE ＝20°，∴∠AED ＝∠ACD＋∠CDE ＝70°.12.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝OB ·AC ，∴AH ＝245.13．(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF ，AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵BE ＝DF ＝32，AB ＝4，∴AE ＝AB －BE ＝52.在Rt △BCE 中，CE 2＝BE 2＋BC 2， ∴CE 2＝(32)2＋22，∴CE ＝52，∴CE ＝AE .∴平行四边形AECF 是菱形；(2)解：如解图，连接AC ，交EF 于点O ， ∵在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝2， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2 5. ∵AC ·EF ·12＝AE ·BC ，∴25×EF ×12＝52×2，∴EF ＝ 5.第13题解图14．解：(1)四边形EBGD 是菱形． 理由：∵EG 垂直平分BD ， ∴EB ＝ED ，GB ＝GD ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∵BD 平分∠ABC ， ∵∠EBD ＝∠DBC ， ∴∠EDF ＝∠GBF ， 在△EFD 和△GFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF DF ＝BF ∠EFD ＝∠GFB， ∴△EFD ≌△GFB (ASA)，∴ED ＝BG ，∴BE ＝ED ＝DG ＝GB ， ∴四边形EBGD 是菱形； (2)如解图，作DH ⊥BC 于H .∵四边形EBGD 为菱形，ED ＝DG ＝2，∠ABC ＝30°，∴∠DGH ＝30°， ∴DH ＝1，GH ＝3， ∵∠C ＝45°， ∴DH ＝CH ＝1， ∴GC ＝GH ＋CH ＝1＋ 3.第14题解图15．(1)证明：∵AB ∥DC ， ∴∠FCO ＝∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FCO ＝∠EAO OC ＝OA ∠FOC ＝∠EOA， ∴△CFO ≌△AEO (ASA)， ∴OF ＝OE ， 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：∵四边形AECF 是菱形，EF ＝8， ∴OE ＝12EF ＝12×8＝4，又∵在Rt △AEO 中，AE ＝5，∴由勾股定理得OA ＝AE 2－OE 2＝52－42＝3， ∴AC ＝2AO ＝2×3＝6，∴S 菱形AECF ＝12EF ·AC ＝12×8×6＝24.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴AC ⊥EF ；(2)解：由题意作图如解图， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G ＝∠AEG . 由(1)知EF ⊥AC . 又∵BD ⊥AC . ∴EF ∥BD .∴∠AEG ＝∠ABO . ∴∠G ＝∠ABO . ∵tan G ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.第16题解图能力提升1．D 【解析】如解图，过点E 作EN ⊥AB 于点N ，连接AC ，∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，∠BAC ＝60°，∠BAE ＝45°，设AN ＝x ，则NE ＝x ，AE ＝2x ，BN ＝NE tan 30°＝3x ，∴AB AE ＝x ＋3x2x＝6＋22.第1题解图2．C 【解析】在菱形ABCD 中，∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝60°.∴△BAC 为等边三角形．∴CB ＝CA ，∠CBA ＝∠CAD .又∵BE ＝AF ，∴△BEC ≌△AFC (SAS)．故①正确；由①得．CE ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF .∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°.∴△ECF 为等边三角形．故②正确；∴∠CFG ＝∠CAE ＝60°.∴∠CGF ＝∠AFC .又∵∠AGE ＝∠CGF ，∴∠AGE ＝∠AFC .故③正确；由③得：△AGE ∽△BEC 由△AGE ∽△BEC 可知：AE BC ＝AG BE ＝EG EC ＝34，∴EG ＝34EC ＝34EF .∴GF EG ＝13.故④错误．满分冲关92 【解析】如解图，在CD 上截取一点H ，使得CH ＝13CD ，连接AC 、BD 相交于点O ，BD 交EF 于点Q ，EG 交AC 于点P ，∵AE AB ＝AG AD ＝13，∴EG ∥BD ，同法可证：FH ∥BD ，∴EG ∥FH ，同法可证：EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥EG ，∴四边形EFHG 是矩形，易证点O 在线段FG 上，四边形EQOP 是矩形，∵S △EFG ＝1，∴S 矩形EQOP＝12，即OP ·OQ ＝12，∵OP ∶OA ＝BE ∶AB ＝2∶3，∴OA ＝32OP ，同法可证OB ＝3OQ ，∴S菱形ABCD＝12·AC ·BD ＝12×3OP ×6OQ ＝9OP ×OQ ＝92.解图课时3正方形基础过关1．C【解析】逐项分析如下：2.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴∠BFC＝∠AEB.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC＝∠AEB.∴与∠AEB相等的角有3个．3. B【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝3，则正方形ABCD的面积为(3)2＝3.4．C【解析】在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE ＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.5．B【解析】根据正方形的性质结合题图可知，点D的坐标为(－3，2)，将正方形ABCD向右平移3个单位，根据平移的规律，可得平移后点D的坐标是(0，2)．6．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.7．D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝∠DCM＝45°，BC＝CD＝ 2.∴AC＝BD＝2.∴OC ＝1.由折叠的性质知，DE＝CD＝2，CF＝EF，∴BE＝2－2，∠DFC＝90°，∴∠CDM＋∠DCE＝90°.又∠BCE＋∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠CDM.∴△BCE≌△CDM.∴BE＝CM＝2－ 2.∴OM＝OC－CM＝1－(2－2)＝2－1.8．C【解析】如解图，连接EF.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠ABE＝∠ADF＝90°，又∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌△Rt △ADF (HL)．∴BE ＝DF ，∴EC ＝FC ，设EC ＝FC ＝x ，则BE ＝1－x ，∴AE ＝AF ＝1＋（1－x ）2＝x 2－2x ＋2.∵∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，∴△EAF 为等边三角形，∴EF ＝AE ＝AF ＝x 2－2x ＋2.∴EF EC ＝x 2－2x ＋2x＝2，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去)．∴CF 的长为3－1.第8题解图9．85 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC .∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第9题解图10.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第10题解图11．(1，－1) 【解析】如解图，连接AC .∵四边形OABC 是正方形，∴点A 、C 关于x 轴对称，∴AC 所在直线为OB 的垂直平分线，即A 、C 的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，AC ＝BO ＝2，又∵A 、C 关于x 轴对称，∴A 点纵坐标为1，C 点纵坐标为－1，故C 点坐标(1，－1)，第11题解图12．1 【解析】设大正方形的边长为c ，∵大正方形的面积是13，∴c 2＝13，∴a 2＋b 2＝c 2＝13，∵直角三角形的面积是13－14＝3，又∵直角三角形的面积是12ab ＝3，∴ab ＝6，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝13－2×6＝1.13．证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90° ，AB ＝AD ， ∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB . 在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠AFB ∠DAG ＝∠ABF ，AD ＝AB∴△DAG ≌△ABF (AAS)， ∴AF ＝DG , BF ＝AG ， ∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG ， ∴BF －DG ＝FG .能力提升1．D 【解析】如解图，连接CE 交BD 于点P ，则P 即为所求点. ∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，∴点A 关于BD 的对称点为C ，AP ＋EP 的最小值为CE . 又∵AD ∥BC ，AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE , ∴AP ＋EP 的最小值为AF .第1题解图2．D 【解析】如解图，连接DE ，∵在正方形ABCD 中，S △DEC ＝12AD ·CD ＝12S 正方形ABCD ，在矩形ECFG中，S △DEC ＝12EC ·GE ＝12S 矩形ECFG .而点E 从点A 移动到点B 的过程中，△DEC 的面积保持不变，∴矩形ECFG的面积保持不变．第2题解图3．6－25 【解析】如解图，延长AF 交DC 的延长线于点H .∵点E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ＝12×4＝2，由勾股定理得AE ＝42＋22＝2 5.∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠EAF .∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠H ，∴∠EAF ＝∠H ，∴EH ＝AE ，∴CH ＝25－2.∵AB ∥CD ，∴△HCF ∽△ABF ，∴CF BF ＝CH BA ，即CF BC －CF ＝CHBA ，∴CF4－CF＝25－24，解得CF ＝6－2 5.第3题解图4.5－1 【解析】在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABC ＝∠BCD BE ＝CF，∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴点G在以AB为直径的圆上，如解图，连接OG，当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，∵在正方形ABCD中，AD＝BC＝2，∴AO＝1＝OG，∴OD＝AD2＋AO2＝22＋12＝5，∴DG＝5－1.第4题解图满分冲关(1)证明：如解图，过点E分别作AB、BC的垂线，垂足分别为点G、H，则四边形GBHE为矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC.∵BD是对角线，∴BD所在直线是正方形的对称轴，∴CE＝AE，EG＝EH，∴四边形GBHE为正方形．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠GEH＝90°.∵∠AEG＋∠GEF＝90°，∠FEH＋∠GEF＝90°，∴∠AEG＝∠FEH.∵∠AGE＝∠FHE＝90°，∴△AGE≌△FHE(ASA)，∴AE＝EF，∴CE＝EF；解图(2)解：∵EF ＝EC ，EH ⊥BC ， ∴FH ＝HC .∵△EHB 是等腰直角三角形，BE ＝2x ， ∴EH ＝BH ＝2x ，∴HC ＝10－2x ， ∴FH ＝HC ＝10－2x ， ∴FB ＝10－22x ，∴y ＝12×(10－22x )×2x ＝－2x 2＋52x (0≤x ≤52)；(3)解：∵y ＝－2x 2＋52x ＝－2(x －524)＋254(0≤x ≤52)，a ＝－2＜0，∵x ＝524<52，∴当x ＝524时，y 有最大值，y 的最大值为0－（52）24×（－2）＝254，即△BEF 面积的最大值为254cm 2.。
人教版三年级数学上册期末复习：《长方形和正方形》(一)
人教版三年级数学上册期末复习：《长方形和正方形》（一）一、单选题1.四条边都相等，四个角都是直角的图形是（）。
A. 圆B. 长方形C. 正方形2.用边长1厘米的小正方形，拼成如下的图形，周长最长的是（）。
A. B. C.3.一张长方形的纸对折后（如图）折痕把长方形分成了两个边长10厘米的正方形，原来长方形的周长是（）厘米。
A. 80B. 60C. 1004.下图甲的周长与乙的周长比较，甲的周长（）乙的周长。
A. 大于B. 等于C. 小于5.下面由4个边长为1厘米的正方形摆成的图形中，（）的周长最短。
A. B. C.6.如图，甲图形和乙图形的周长（）。
A. 一样长B. 甲长C. 乙长7.甲、乙、丙三张图的周长相比，（）A. 甲最长B. 乙最长C. 丙最长二、填空题8.小明绕正方形花坛跑了2圈，一共走了80米，花坛的周长是________米。
9.用一根线正好能围成一个边长是20厘米的正方形，这根线长________厘米。
10.一个正方形果园边长250米，沿着这个果园的四周走一圈，一共走了________米。
11.一张长方形纸长11厘米，宽比长短2厘米，宽是________厘米，它的周长是________厘米。
12.用两个边长是4厘米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的长是________厘米，宽是________厘米，周长是________厘米。
13.用一根铁丝围成一个圆，半径正好是10cm，如果用这根铁丝围成一个正方形，那么正方形的边长是________。
14.长方形长是20分米，宽10分米，周长是________15.有一张长方形纸，长8厘米，宽6厘米。
在纸的一角剪去一个边长是4厘米的正方形（如图），剩下图形的周长是________厘米。
16.3个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，拼成的长方形的周长是________厘米。
17.长方形的周长是24分米，宽是5分米，长是________分米。
三、计算题18.计算下面图形的周长。
中考数学复习题《正方形(1)》自助餐(无答案)(2021年整理)
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《正方形（1）》自助餐一、单项选择题（共5题，共46分)1。
平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等2。
在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A。
12+12 B.12+6 C。
12+ D。
24+63.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm4.如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为( )A．1 B．2 C．3 D．35.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于点O，下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF；③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（共3题，共27分)1. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点坐标（0，4），B点坐标（－3,0），则C点坐标为．2.正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折,得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF,E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．3.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F，连接OF，则OF的长为．三、解答题（共3题，共27分）1.在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA,分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为E、F，如图①．(1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论;(2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．2. 如图,E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中点P，连接AP、BP．（1）若AB=4,∠DAE=30°，求四边形ABCE的面积；（2）求证:∠BPF=45o－∠BAP．3.如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC，AB上的点,且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE,使EG=DE，连接FG,FC．(1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是;（2）如图2,若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，(1）中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；（3)如图3,若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断．。
专题1-4 正方形的性质与判定-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.4 正方形的性质与判定-重难点题型【北师大版】【题型1 正方形的性质（求角的度数）】【例1】（2021春•海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE 的度数是．【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE=12（180°﹣∠BAE）＝15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式1-1】（2021春•黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE ＝75°，则∠AFB＝°．【分析】根据等腰三角形的性质得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案．【解答】解：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠BAE＝90°+30°＝120°，∴∠ABE=180°−120°2=30°，∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60．【点评】此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余．【变式1-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG ＝°．【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．【变式1-3】（2021春•大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数．【分析】由对称的性质可得AE＝AB，∠EAB＝40°，即可求得∠EAD的度数，根据正方形的性质可得∠ADF＝∠AED，进而可求解．【解答】解：∵点B关于直线AP的对称点为E，∴AP是对称轴，∴∠P AB＝∠P AE＝20°，∴∠EAB＝2∠BAP＝40°，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，∴AE＝AD，∴∠ADF＝∠AED，∴∠ADF=180°−130°2=25°．【点评】本题主要考查正方形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，证得AE＝AD是解题的关键．【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】【例2】（2021春•崇川区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AD＝ED，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：过E作EF⊥AB于F，设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD=√2AB=√2，EF＝BF＝x，∴BE=√2x，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED=√2x+1=√2，∴x＝1−√2 2，∴BE=√2−1，故答案为：√2−1．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键．【变式2-1】（2021春•余杭区月考）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到/A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝2√2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝BC ＝4，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴AE ＝CF =12×4=2，∵AD ∥BC ，∴∠DPH ＝∠FCH ，在△PDH 和△CFH 中，{∠DPH =∠FCH ∠DHP =∠FHC DH =FH，∴△PDH ≌△CFH （AAS ），∴PD ＝CF ＝2，∴AP ＝AD ﹣PD ＝2，∴PE =√AP 2+AE 2=√22+22=2√2，∵点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，∴GH =12EP =√2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．【变式2-2】（2021春•南开区期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，求CT 的长．【分析】连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC =√2，AB ＝5√2，CF =√2CE ＝2√2，∠ACD ＝45°，∠GCF ＝45°，则利用勾股定理得到AF =√58，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT 的长．【解答】解：连接AC 、CF ，如图，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴AC =√2AB ＝5√2，CF =√2CE ＝2√2，∠ACD ＝45°，∠GCF ＝45°，∴∠ACF ＝45°+45°＝90°，在Rt △ACF 中，AF =√(5√2)2+(2√2)2=√58，∵T 为AF 的中点，∴CT =12AF =√582，∴CT 的长为√582． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．【变式2-3】（2021春•綦江区校级月考）正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF ＝45°．（1）求证：EF ＝AE +CF ；（2）当AE ＝1时，求EF 的长．【分析】（1）延长BC 至H ，使CH ＝AE ，连接DH ，可得△DAE ≌△DCH ，则DE ＝DH ，∠ADE ＝∠CDH ；由于∠ADE +∠FDC ＝45°，所以∠FDC +∠HCD ＝45°，可得∠EDF ＝∠HDF ，这样△EDF ≌△HDF ，可得EF ＝FH ，结论得证；（2）设EF ＝x ，由（1）的结论可知CF ＝x ﹣1，BF ＝4﹣x ，在Rt △BEF 中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）证明：延长BC 至H ，使CH ＝AE ，连接DH ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠DCE ＝90°．∴△DAE ≌△DCH （SAS ）．∴DE ＝DH ，∠ADE ＝∠CDH ．∵∠ADC ＝90°，∠EDF ＝45°，∴∠ADE +∠FDC ＝45°．∴∠FDC +∠CDH ＝45°．即∠FDH ＝45°．∴∠EDF ＝∠FDH ＝45°．在△EDF 和△HDF 中，{DE =DH ∠EDF =∠HDF DF =DF．∴△EDF ≌△HDF （SAS ）．∴EF ＝FH ．∵FH ＝FC +CH ＝FC +AE ，∴EF ＝AE +FC ．（2）设EF ＝x ，则FH ＝x ．∵正方形ABCD 的边长为3，∴AB ＝BC ＝3．∵AE ＝1，∴BE＝2，CH＝1．∴FC＝x﹣1．∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2．解得：x=5 2．∴EF=5 2．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理．证明一条线段等于两条线段的和的题目一般采用补短法或截长法，通过构造三角形的全等来解决．【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】【例3】（2020春•仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为．【分析】由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，可求S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，可得2AO•BO＝4，由勾股定理可求AO+BO的值，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，∴S△ABO＝S四边形ECFO，∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CBF+∠AEB＝∠AOB，∵图中阴影部分的面积为14，∴S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，∴12×AO ×BO ＝1， ∴2AO •BO ＝4，∵AB 2＝AO 2+BO 2＝16，∴（AO +BO ）2＝20，∴AO +BO ＝2√5，∴△ABO 的周长＝AB +AO +BO ＝2√5+4，故答案为：2√5+4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出AO +BO 的值是本题的关键．【变式3-1】（2021春•仓山区期中）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点H ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为3：4，则△BCH 的周长为（ ）A ．2√5−4B ．2√5C ．2√5+4D ．2√6+4【分析】先计算出正方形的面积，再由比例求出空白部分的面积，通过证明△BCE ≌△CDF 可求解S △BCH ，∠BHC ＝90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH +CH 的长，即可求出△BCG 的周长﹒【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝CD ＝AB ＝4，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，∴S 正方形ABCD ＝16，∵S 阴影：S 正方形ABCD ＝3：4，∴S 阴影=34×16=12， ∴S 空白＝16﹣12＝4，在△BCE 和△CDF 中，{BC =CD ∠BCE =∠D =90°CE =DF，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF，∵∠DCF+∠HCB＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠BHC＝90°，∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH•CH＝4，∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH•CH＝16+2×4＝24，∴BH+CH=2√6，∴△BCH的周长为BH+CH+BC=2√6+4，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及面积的和差相关知识，关键是证明全等两个三角形面积全等，得到△BCH面积．【变式3-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．12【分析】由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE＝2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解．【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED=√CD2+CE2=√82+62=10，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线，求解ED的长是解题的关键．【变式3-3】（2021春•河西区期中）将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）A．2cm2B．1cm2C．4cm2D．6cm2【分析】在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，即可证得：△A1EN≌△A1MF，则四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1F A2的面积=14正方形ABCD的面积，据此即可求解．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，两边相交于M和N，∠A1EN＝∠A1MF＝90°，∠EA1N+∠ENA1＝90°，∠EA1N+∠F A1M＝90°，∴∠ENA1＝∠F A1M，A1E＝A1F，∴△A 1EN ≌△A 1MF （ASA ），∴四边形A 1MA 2N 的面积＝四边形EA 1F A 2的面积=14正方形ABCD 的面积，同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于14正方形ABCD 的面积， ∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD 的面积＝4cm 2，故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确作出辅助线，证得：四边形A 1MA 2N 的面积＝四边形EA 1F A 2的面积=14正方形ABCD 的面积是解题的关键．【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】【例4】（2020秋•和平区期末）如图，若在正方形ABCD 中，点E 为CD 边上一点，点F 为AD 延长线上一点，且DE ＝DF ，则AE 与CF 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【分析】延长AE 交CF 于点G ，根据四边形ABCD 是正方形，证明△ADE ≌△CDF ，进而可得AE ＝CF ，AE ⊥CF ．【解答】解：AE ＝CF ，AE ⊥CF ，理由如下：如图，延长AE 交CF 于点G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝∠CDE ＝90°，在△ADE 和△CDF 中，{AD =CD ∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝CF ，∠DAE ＝∠DCF ，∵∠DCF +∠F ＝90°，∴∠DAE +∠F ＝90°，∴AG ⊥CF ，即AE ⊥CF ．∴AE ＝CF ，AE ⊥CF ．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．【变式4-1】（2020春•西山区期末）如图（1），正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接DE ，过点A 作AM ⊥DE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）直接写出OE 与OF 的数量关系： ；（2）如图（2）若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥DE 于点M ，AM 交BD 的延长线于点F ，其他条件不变．试探究OE 与OF 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB ＝OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，从而求证出△AOF ≌△BOE ，得到OE ＝OF ．（2）由“ASA ”可证△AOF ≌△BOE ，得到OE ＝OF ．【解答】解：（1）∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥DE ，∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠AME ＝90°，OA ＝OD ，∴∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，∴∠AFO ＝∠MEA ，在△AOF 和△DOE 中，{∠AFO =∠MEA AO =DO ∠AOF =∠DOE =90°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ），∴OE ＝OF ，故答案为：OE ＝OF ；（2）OE ＝OF ，理由如下：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥DE ，∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠AME ＝90°，OA ＝OD ，∴∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，∴∠AFO ＝∠MEA ，在△AOF 和△DOE 中，{∠AFO =∠MEA AO =DO ∠AOF =∠DOE =90°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ），∴OE ＝OF ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式4-2】（2020春•安阳县期末）四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上任意一点，BE ⊥AG 于点E ，DF ⊥AG 于点F ，当点G 在BC 边上时（如图1），易证DF ﹣BE ＝EF ．（1）当点G 在BC 延长线上时，在图2中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，并证明．（2）当点G 在CB 延长线上时，在图3中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，不用证明．【分析】由ABCD 是正方形，得到AB ＝DA 、AB ⊥AD ，由BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，结合题干得到∠ABE ＝∠DAF ，于是得出△ABE ≌△DAF ，即可AF ＝BE ．（1）同理证明△ABE ≌△DAF ，得AF ＝BE ，DF ＝AE ，根据图2可得结论；（2）同理证明△ABE ≌△DAF ，得AF ＝BE ，DF ＝AE ，根据图3可得结论．【解答】证明：如图1，∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA 、AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴DF ﹣BE ＝AE ﹣AF ＝EF ．（1）如图2，DF 、BE 、EF 的数量关系是：BE ＝DF +EF ，理由是：∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA 、AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴BE ＝AF ＝AE +EF ＝DF +EF ；（2）如图3，DF 、BE 、EF 的数量关系是：EF ＝DF +BE ；理由是：∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴EF ＝AE +AF ＝DF +BE ．【点评】本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质定理，此题难度适中．【变式4-3】（2021春•天河区校级期中）如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ．（1）如图1，设E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF ＝90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF ＝45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△EOA ≌△FOB ，推出AE ＝BF ，从而得出结论；（2）在BC 上取一点H ，使得BH ＝AE ．由△OAE ≌△OBH ，推出AE ＝BH ，∠AOE ＝∠BOH ，OE ＝OH ，由△FOE ≌△FOH ，推出EF ＝FH ，由∠FBH ＝90°，推出FH 2＝BF 2+BH 2，由此即可解答．【解答】解：（1）EF 2＝AF 2+BF 2．理由：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠OAE ＝∠OBF ＝45°，AC ⊥BD ，∴∠EOF ＝∠AOB ＝90°，∴∠EOA ＝∠FOB ，在△EOA 和△FOB 中，{∠EOA =∠FOB OA =OB ∠OAE =∠OBF，∴△EOA ≌△FOB （ASA ），∴AE ＝BF ，在Rt △EAF 中，EF 2＝AE 2+AF 2＝AF 2+BF 2；（2）在BC 上取一点H ，使得BH ＝AE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠OAE ＝∠OBH ，∠AOB ＝90°，在△OAE 和△OBH 中，{OA =OB ∠OAE =∠OBH AE =BH∴△OAE ≌△OBH （SAS ），∴AE ＝BH ，∠AOE ＝∠BOH ，OE ＝OH ，∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE +∠BOF ＝45°，∴∠BOF +∠BOH ＝45°，∴∠FOE ＝∠FOH ＝45°，在△FOE 和△FOH 中•，{OF =OF ∠FOE =∠FOH OE =OH，∴△FOE ≌△FOH （SAS ），∴EF ＝FH ，∵∠FBH ＝90°，∴FH 2＝BF 2+BH 2，∴EF 2＝BF 2+AE 2，【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【题型5 正方形的性质综合应用】【例5】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，延长CD 到点G ，使DG ＝BE ，连接EF ，AG ．求证：EF ＝FG ；（2）如图2，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．【分析】（1）证△ADG ≌△ABE ，△F AE ≌△F AG ，根据全等三角形的性质求出即可；（2）过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．通过证明△ABM ≌△ACE （SAS ）推知全等三角形的对应边AM ＝AE 、对应角∠BAM ＝∠CAE ；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN ＝45°得到∠MAN ＝∠EAN ＝45°，所以△MAN ≌△EAN （SAS ），故全等三角形的对应边MN ＝EN ；最后由勾股定理得到EN 2＝EC 2+NC 2即MN 2＝BM 2+NC 2．【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，∠ABE ＝∠ADG ，AD ＝AB ，在△ABE 和△ADG 中，{AD =AB ∠ABE =∠ADG DG =BE，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAG ，AE ＝AG ，∴∠EAG ＝90°，在△F AE 和△GAF 中，{AE =AG∠EAF =∠FAG =45°AF =AF，∴△F AE ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝FG ；（2）解：如图，过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°．∵CE ⊥BC ，∴∠ACE ＝∠B ＝45°．在△ABM 和△ACE 中，{AB =AC ∠B =∠ACE BM =CE ，∴△ABM ≌△ACE （SAS ）．∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠CAE ．∵∠BAC ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠BAM +∠CAN ＝45°．于是，由∠BAM ＝∠CAE ，得∠MAN ＝∠EAN ＝45°．在△MAN 和△EAN 中，{AM =AE ∠MAN =∠EAN AN =AN，∴△MAN ≌△EAN （SAS ）．∴MN ＝EN ．在Rt △ENC 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2+NC 2．∴MN 2＝BM 2+NC 2．∵BM ＝1，CN ＝3，∴MN 2＝12+32，∴MN =√10．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；【变式5-1】（2021春•余杭区月考）已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）求证：BF ＝DP ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（3）求证：CP ＝BM +2FN ．【分析】（1）由“ASA ”可证△CDP ≌△CBF ，可得BF ＝DP ；（2）根据等角对等边易证AP ＝AC ，根据勾股定理求得AC 的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）由全等三角形的性质可得CP ＝CF ，在CN 上截取NH ＝FN ，连接BH ，则可以证明△AMB ≌BHC ，得到CH＝BM，即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，∵CP⊥CF，∴∠FCP＝90°＝∠BCD，∴∠BCF＝∠DCP，∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，∴△CDP≌△CBF（ASA）∴BF＝DP；（2）∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，∴∠BFC＝67.5°，∵△CDP≌△CBF，∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，∴∠ACP＝∠P＝67.5°，∴AC＝AP，∵AC=√2AB＝4√2，∴S△ACP=12AP×CD＝8√2；（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，∵△CDP≌△CBF，∴CP＝CF，∵FN＝NH，且BN⊥FH，∴BH＝BF，∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，∴∠HBC＝∠BAM＝45°，∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，∴△AMB≌△BHC（ASA），∴CH＝BM，∴CF＝BM+2FN，∴CP＝BM+2FN．【点评】本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是关键．【变式5-2】（2021春•莆田期末）如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（2）成立，延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（3）存在，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，证明△ADM≌△BAE（ASA），得到DM＝AE，由（1）AE＝EF，所以DM＝EF，所以四边形DMEF为平行四边形．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90°∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°，∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ，在△AHE 和△ECF 中，{∠1=∠2AH =CE ∠AHE =∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ，∵∠AEF ＝90°，∴∠FEG +∠AEB ＝90°．∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEG ，∴∠MAE ＝∠CEF ．∵AB ＝BC ，∴AB +AM ＝BC +CE ，即BM ＝BE ．∴∠M ＝45°，∴∠M ＝∠FCE ．在△AME 与△ECF 中，{∠MAE =∠CEF AM =CE ∠M =∠FCE，∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ．（3）存在，理由如下：点E 是BC 边上的中点，如图3，作DM ⊥AE 于AB 交于点M ，则有：DM ∥EF ，连接ME 、DF ，在△ADM 与△BAE 中，{∠ADM =∠BAE AD =AB ∠DAM =∠ABE ，∴△ADM ≌△BAE （ASA ），∴DM ＝AE ，由（1）AE ＝EF ，∴DM ＝EF ，∴四边形DMEF 为平行四边形．【点评】此题考查学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解决本题的关键是作出辅助线．【变式5-3】（2021春•江津区期中）在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段OC 上，点F 在线段AB 上，连接BE ，连接EF 交BD 于点M ，已知∠AEB ＝∠OME ．（1）如图1，求证：EB ＝EF ；（2）如图2，点N 在线段EF 上，AN ＝EN ，AN 延长线交DB 于H ，连接DF ，求证：DF =√2AH ．【分析】（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，进而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；（2）连接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE ＝AH＝EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论．【解答】证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN ＝EN ，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，AC ⊥BD ，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH 和△BOE 中，{∠5=∠4OA =OB ∠7=∠8，∴△AOH ≌△BOE （ASA ），AH ＝BE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝BC ，∠1＝∠2＝45°，在△DCE 和△BCE 中，{DC =BC ∠1=∠2CE =CE，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴DE ＝BE ＝AH ＝EF ，∵AC ⊥BD ，∴∠6＝∠AEB ，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB ＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DF =√DE 2+EF 2=√2EF =√2AH ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是对全等三角形的判断．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【题型6 判定正方形成立的条件】【例6】（2020春•上蔡县期末）下列说法正确的个数是（）①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据正方形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的性质即可求解．【解答】解：①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，故①正确；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，故②正确；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③正确；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④正确；综上所述，正确的个数为4个，故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的性质，解题关键是逐个判断即可得出答案．【变式6-1】（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关定理是解题关键．【变式6-2】（2020春•开原市校级月考）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【变式6-3】（2020秋•陕西期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD、AC应满足的条件是．【分析】依据条件先判定四边形EFGH为菱形，再根据∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．【点评】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【题型7 正方形判定的证明】【例7】（2020秋•富平县期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．【分析】作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论．【解答】证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式7-1】（2021春•娄星区校级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．【解答】证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．【点评】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式7-2】（2020春•新乡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．（1）求证：∠ADB ＝∠CDB ；（2）若∠ADC ＝ °时，四边形MPND 是正方形，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD ≌△CBD ，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB ＝∠CDB ；（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形MPND 是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND 是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，{AB =BC ∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB ＝∠CDB ；（2）当∠ADC ＝90°时，四边形MPND 是正方形，理由如下：∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴∠PMD ＝∠PND ＝90°，∵∠ADC ＝90°，∴四边形MPND 是矩形，∵∠ADB ＝∠CDB ，∴∠ADB ＝45°，∵∠PMD ＝90°，∴∠MPD ＝∠PDM ＝45°，∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形，故答案为：90．【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．【变式7-3】（2020秋•渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．【分析】（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=12（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，则AN∥BC，根据三角形中位线的性质得FD∥AB，可得四边形ABDE为平行四边形，则AE＝BD＝CD，得出四边形ADCE为平行四边形，再证出AD⊥AE即可得出四边形ADCE为矩形．（2）由（1）知四边形ADCE是矩形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出CD和AD长，则四边形ADCE的面积可求出；（3）由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD＝DC即可【解答】（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，。
课时22 正方形专题1
设CE=x，先表示出BE，再表示出GB，即 DF，然后表示出FC，在Rt△CEF中，利用 勾股定理列式整理表示出CE•FC，再根据 三角形的面积解答即可．
2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD),∠D=90°,BC=CD=12, 4或6 ∠ABE=45°。若AE=10，则CE的长为________。
五、学案巩固和提高
请同学们认真完成练习学案上 的题目，相信自己一定能行！
课时二十二
正方形专题1
一、专题简析
旋转变换在正方形中的运用 1.旋转变换问题是全等问题。 2.旋转问题中要注意对应边、对应角的确定。 3.正方形的性质在旋转变换中的应用。
典例讲解
1，如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，把△ADF绕着点A 按顺时针方向旋转90°后，得到△ABM．试说明ME=EF．
根据旋转的性质得到AM=AF，BM=DF，∠ABM=∠D=90°，∠FAM=90°， 由∠ABC=90°得到点M、B、E共线，由∠EAF=45°得到∠MAE=45°，利用 “SAS”可证明△MAE≌△FAE，则ME=EF．
2，如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点， 满足∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF；
分析：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证 证明：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG △GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等 （如图） 三角形的性质得出GD+DF=BE+DF=EF进而求出 ∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF， 即可； ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠3=∠2∠1+∠2=45°， ∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF， ∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GB+BE=EF， ∴DF+BE=EF；
长方形、正方形的周长和面积复习题1
长方形、正方形的周长和面积复习题一．填空1．长方形周长＝()长方形的长＝() 长方形的宽＝() 长方形的面积＝()长方形的长＝() 长方形的宽＝() 正方形周长＝() 正方形的边长＝() 正方形的面积＝()2．一个正方形周长80厘米，它的边长是()，面积是()。
3．一个长方形长9厘米，宽比长少3厘米，它的周长是()，面积是()。
4．一个正方形的游泳池，围着这个游泳池走一圈要走120米，这个游泳池的面积是()。
5．右图是一个长方形，长和宽如图所示。
在这个长方形中剪出一个正方形，能剪出的最大的正方形的周长是（）厘米，面积是()。
剩下的图形是一个（）形。
6．填表：18cm二、判断1．正方形是特殊的长方形。
( )2．一个长方形长5厘米，宽2厘米，周长是7厘米．( )3．正方形的边长是6厘米，周长是24厘米．( )4．长方形的周长是60厘米，长18厘米，宽是42厘米．()三、选择1．一个长方形的长是8米，宽是4米，这个长方形的周长是()米，面积是()平方米。
A、12B、24C、322．一个正方形的周长是64米，它的边长是()米，面积是()平方米。
A、16B、128C、2563．边长是15厘米的正方形周长比长25厘米，宽10厘米的长方形周长()4、一个正方形剪成2个长方形后，两个长方形的周长和（）原来正方形的周长。
A、相等B、大于C、小于四．计算下面图形的周长和面积12cm 10dm五、解决问题1．一块长方形菜地，长18米，宽9米，一面靠墙（如下图），其它三面墙围上竹篱笆。
竹篱笆长多少米？菜地的面积时多少平方米？2．一个长方形操场，长是100米，宽40米，这个操场的面积是多少平方米?围着这个操场跑两圈，要跑多少米？3．一段长60厘米的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？面积时多少平方厘米？4．一个长方形和一个正方形的周长相等．长方形的长为12米，宽为8米，那么正方形的面积是多少平方米?5．长方形的长16分米，长是宽的2倍，周长是多少分米？6．把两个完全相同的长方形拼在一起，原来长方形的长是4厘米，宽是2厘米。
长方形和正方形 复习课PPT课件
三、动手操作
用两个长6cm、宽3cm的长方形，将它们拼成一个新的 长方形。（也可以画一画）
要求：①看看有几种不同的拼法； ②分别算出它们的周长。
3cm 6cm 3cm
6cm6cm3cm源自（6+6+3）×2=30（cm） （6+3+3）×2=24（cm）
三、动手操作
3cm
6cm
6cm
周长30cm
3cm 6cm
3cm 周长24cm
周长不同的原因是什么?
四、综合运用，实践提炼
左图中小正方形的边长是10厘 米，大正方形的周长是多少？
（单位：厘米）
（10+5+5）×4 = 80（厘米）
答：大正方形的周长是80厘米。
四、综合运用，实践提炼
都要留45厘米用来打结。 捆这两个盒子分别需要多长的彩带？
30×4＋40×2＋60×2＋45 =365（厘米） 40×8＋45 =365（厘米） 答：捆这两个盒子分别需要365厘米长的彩带。
封闭图形一周的长 度，就是它的周长。
长方形的周长＝（长＋宽）×2 正方形的周长＝边长×4
三、动手操作
用两个长4cm、宽3cm的长方形，将它们拼成一个新的
长方形。（也可以画一画）
要求：①看看有几种不同的拼法； ②分别算出它们的周长。
4cm
3cm
3cm
4cm
4cm
3cm
（4+4+3）×2=22（cm） （4+3+3）×2=20（cm）
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
中考数学一轮复习之正方形1
中考数学一轮复习之正方形【例】如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。
变式：若条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？ 你还能得到哪些结论？【问题一】如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。
问题一图 1O FGEDC BA问题一图2【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。
探究：设A 、P 两点间的距离为x 。
（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当点P 在线段AC 上滑行时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。
DC B ADC B ADCB A跟踪训练：一、填空题：1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形。
其中真命题是 （填序号）。
2、如图，将正方形ABCD 的BC 边延长到E ，使CE ＝AC ，AE 与CD 边相交于F 点，那么CE ∶FC ＝ 。
第2题图EFDCBA第3题图3、如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ''''的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形移动的距离A A '是 。
初三数学复习 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形(1)
第二节 矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2019·无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A ．内角和360° B ．对角线互相平分 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直2．(2019·合肥模拟)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线BD ＝24.若过点C 作CE⊥AB，垂足为E ，则CE 的长为( )A.12013 B ．10 C ．12 D.240133．(2019·台州)如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2 cm ，BC ＝FG ＝8 cm ，把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于( )A.14B.12C.817D.8154．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(3，3)5．(2019·临沂)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD⊥ACD ．∠AMB＝∠CND6．(2019·乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为( )A.16B.13C.15D.147．(2019·庐阳区二模)在矩形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE⊥BD，垂足为点F ，则tan∠AED 的值是( )A.63B.263C ．2 3D ．2 2 8．(2019·庐江县模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点E 在边AD 上，点G 在边BC 上，点F 、H 在对角线BD 上．若四边形EFGH 是正方形，则AE 的长是( )A ．5 B.11924 C.13024 D.169249．(2019·鸡西)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB∶BC＝3∶2，过点B 作BE∥AC，过点C 作CE∥DB，BE ，CE 交于点E ，连接DE ，则tan∠EDC ＝( )A.29B.14C.25D.31010．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AC 与 BD 交于点 O ，E 为 CD 延长线上的一点，且 CD ＝DE, 连接 BE 分别交 AC ，AD 于点 F ，G ，连接 OG ，AE ，则下列结论： ①OG＝12BD;②与△EGD 全等的三角形共有 5 个； ③S △ABF ∶S △CEF ＝1∶4;④由点 A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形. 其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④11．(2019·达州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(23，2)，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点(不与原点重合)，连接PC ，过点P 作PD⊥PC 交x 轴于点D.下列结论： ①OA ＝BC ＝23；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2＋PD 2＝7； ③在运动过程，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(233，0)．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．(2019·江西)我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪(通‘斜’)七，见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七，已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为2，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是________．13．(2019·广西)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH⊥BC 于点H.已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．14．(2019·扬州)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M ，N 分别是DC ，DF 的中点，连接MN.若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．15．(2019·兰州)如图，矩形ABCD ，∠BAC＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E.若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于________．16．(2019·怀化)已知：如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E ，F 分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF 是矩形．17．(2019·长丰县二模)已知，如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF＝90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.18．(2019·宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝DF ＝32.(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)求线段EF 的长．19．(2019·昆明二模)如图，在▱ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF∥DB，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF. (1)求证：△ADE≌△BCF；(2)若∠ABE＋∠BFC＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．20．(2019·甘肃)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG⊥ED 于点F ，交CD 于点G. (1)求证：△ADG≌△DCE； (2)连接BF ，证明：AB ＝FB.1．(2019·深圳)已知菱形ABCD ，E ，F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD＝120°，则下列结论中正确的个数是( )①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF ＝1，则GFEG＝13.A ．1B ．2C ．3D ．42．(2019·广元)如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使得∠CDE＝15°，连接BE 并延长BE 到F ，使CF ＝CB ，BF 与CD 相交于点H.若AB ＝1，有下列结论：①BE＝DE ；②CE＋DE ＝EF ；③S △DEC ＝14－312；④DHHC ＝23－1，则其中正确的结论有( )A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④3．(2019·孝感)如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G.若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为( )A.135B.125C.195D.1654．(2019·金华)如图，矩形ABCD 的对角线交于点O.已知AB ＝m ，∠BAC＝α，则下列结论错误的是( )A ．∠BDC＝αB ．BC ＝m·tan α C ．AO ＝m 2sin αD ．BD ＝mcos α5．(2019·安顺)如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB 于点M ，DN⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．6．(2019·温州)三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2 cm.若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为________cm.7．(2019·哈尔滨)已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD 于点E ，CF⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.8．(2019·合肥模拟)如图1，点E为正方形ABCD内部一点，AF⊥BE于点F，G 为线段AF上一点，且AG＝BF.(1)求证：BG＝CF；(2)如图2，在图1的基础上，延长BG交AE于点M，交AD于点H，连接EH，移动E点的位置使得∠ABH＝∠GAM.①若∠EAH＝40°，求∠EBH的度数；②求证：HE∥AF.参考答案基础训练1．C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B9．A 10.B 11.C12．1.413.245 14.13215.3 316．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D，AB ＝CD ，AD∥BC. ∵AE⊥BC，CF ⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°. 在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，AB ＝CD ，∴△ABE≌△CDF(AAS)． (2)证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF 是矩形． 17．证明：如解图，在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME. ∵∠B＝90°，BM ＝BE ， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∴∠AME＝∠B＋∠BEM＝135°. ∵CF 是∠DCG 的平分线， ∴∠DCF＝12∠DCG＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°，∴∠AME＝∠ECF. ∵AB＝BC ，BM ＝BE ， ∴AM＝EC.在△AME 和△ECF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE＝∠CEF，AM ＝EC ，∠AME＝∠ECF，∴△AME≌△ECF(ASA)．18．(1)证明：∵四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2， ∴CD＝AB ＝4，AD ＝BD ＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°. ∵BE＝DF ＝32，∴CF＝AE ＝4－32＝52.又∵AF＝CE ＝22＋（32）2＝52，∴AF＝CF ＝CE ＝AE ＝52，∴四边形AECF 是菱形．(2)解：如解图，过点F 作FH⊥AB 于H ，则四边形AHFD 是矩形，∴AH＝DF ＝32，FH ＝AD ＝2，∴EH＝AE －AH ＝52－32＝1，∴EF＝FH 2＋HE 2＝22＋12＝ 5.19．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC ，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC. ∵CF∥DB， ∴∠BCF＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠BCF.在△ADE 与△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CF ，∠ADE＝∠BCF，AD ＝BC ，∴△ADE≌△BCF(SAS)． (2)解：四边形ABFE 是菱形． 理由：∵CF∥DE，且CF ＝DE ， ∴四边形CFED 是平行四边形， ∴CD＝EF ，CD∥EF.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD ，AB∥CD， ∴AB＝EF ，AB∥EF，∴四边形ABFE 是平行四边形． ∵△ADE≌△BCF， ∴∠AED＝∠BFC. ∵∠ABE＋∠BCF＝180°， ∴∠ABE＋∠AED＝180°. ∵∠AED＋∠AEB ＝180°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE ，∴四边形ABFE是菱形．20．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°.又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE.在△ADG和△DCE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG＝∠CDE，AD＝DC，∠ADG＝∠C，∴△ADG≌△DCE(ASA)．(2)如解图，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE.又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点．又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝12AH＝AB.拔高训练 1．D 2.A 3.A4．C 【解析】A.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC ＝BD ，∴AO ＝OB ＝CO ＝DO ，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得∠BAC＝∠BDC＝α，故本选项不符合题意；B.在Rt△ABC 中，tan α＝BCm ，即BC ＝m·tan α，故本选项不符合题意；C.在Rt△ABC 中，AC ＝m cos α，即AO ＝m2cos α，故本选项符合题意；D.∵四边形ABCD 是矩形，∴DC＝AB ＝m ，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB 中，BD ＝mcos α，故本选项不符合题意．故选C.5.1256.12＋8 2 7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB＝CD ，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD 于点E ，CF⊥BD 于点F ， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，AB ＝CD ，∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AE＝CF.(2)解：S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .∵AD∥BC，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE ＝60°. ∵AE⊥BD， ∴∠BAE＝30°， ∴BE＝12AB ，AE ＝12AD ，∴S △ABE ＝12BE×AE＝12×12AB×12AD ＝18AB×AD＝18S 矩形ABCD ，∵△ABE≌△CDF， ∴S △CDF ＝18S 矩形ABCD .作EG⊥BC 于G ，如图解所示．∵∠CBD＝30°，∴EG＝12BE ＝12×12AB ＝14AB ，∴S △BCE ＝12BC×EG＝12BC×14AB ＝18BC×AB＝18S 矩形ABCD ，同理S △ADF ＝18S 矩形ABCD .8．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABF＋∠CBF＝90°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，在△ABG 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠BAG＝∠CBF，AG ＝BF ，∴△ABG≌△BCF(SAS)， ∴BG＝CF.(2)①解：∵∠EAH＝40°， ∴∠BAM＝90°－40°＝50°. ∵∠ABH＝∠GAM，∴∠BGF＝∠BAG＋∠ABG＝∠BAG＋∠GAM＝∠BAM＝50°， ∴在Rt△BGF 中，∠EBH＝90°－∠BGF＝40°. ②证明：∵正方形ABCD 中，AF⊥BE， ∴∠ABH＋∠AHB＝90°，∠GAM＋∠AEF＝90°. 又∵∠ABH＝∠GAM， ∴∠AHB＝∠AEF. 又∵∠AMH＝∠BME， ∴△AMH∽△BME. ∴AM∶BM＝HM∶EM， 即AM∶HM＝BM∶EM， 又∠AMB＝∠EMH， ∴△ABM∽△HEM， ∴∠ABH＝∠AEH， 又∵∠ABH＝∠GAM，∴∠AEH＝∠GAM，∴HE∥AF.。
专题1.3 正方形的性质与判定(第1课时)【北师大版九上数学精品课件】
正矩方形 形
〃
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形 框架的形状.
正方形
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结 矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形.
轴对称图形（4条对称轴）
知识点三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延
长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说
明理由.
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
E
∴BC=DC,∠BCE =90° .
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平分 6
M
N
A
Q 87 B
∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB,
∠CON =∠NQB = 90°.
∴BM⊥CN.
当堂练习
1、如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O， (1)求证：△DAF≌△ABE； (2)求∠AOD的度数；
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(2)已知：如图，点E为正方形ABCD的边BC 上的一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂 足为点G，延长DG交AB于点F 求证：BF=CE
(三）利用正方形性质求面积 A B C D (1)正方形ABCD与正方形 边长相等，那么两个正方形重叠部 分的面积和正方形ABCD的面积有 什么关系
(2)将n 个边长都为 1的正方形按如图所示 摆放，点 A1,A2,A3,A4,A5分别是正方形 的中心，则 n个正方形重叠形成的重叠部 分的面积和为
（3）边长为6的正方形ABCD绕点 B按顺时针方向旋转30°后得到正 方形EBGF，求FH长
（4）边长为3的正方形ABCD绕G点 C按顺时针方向旋转30°，得到的正 方形EFCG，则阴影部分的面积为
(2)△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点， 过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF=BD, （1）求证：△AEF≌△DEC （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是 矩形？
• (3)在正方形ABCD中，点P是CD上一动点， 连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、 DF⊥PA，垂足分别为E、F． • （1）如图1，求证BE=DF+EF． （2）若点P在DC的延长线上（如图2），那 么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关 系，并证明． （3）若点P在CD的延长线上呢（如图3）？ 请分别直接写出结论并简要说明理由．
(4)如图，在四边形ABCD中，点E是线段 AD上的任意一点（E与A，D不重合），G， F，H分别是BE，BC，CE的中点。若 EF⊥BC，且EF= BC。 求证：四边形EGFH是正方形。
(5)已知：如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线， CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC与点 E，O，F。 求证：四边形CEDF是正方形。
（四）正方形中的动点问题
1在△ABC中，D是BC边上一动点，E是AD的中 点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F， 且AF=BD (1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是 矩形？并说明理由 （3）在（2）的条件下，△ABC满足条件（ ） ，矩形AFBD是正方形。
（2）如图，在正方形ABCD中，E， F，G，H分别在它的四条边上，且 AE=BF=CG=DH。四边形EFGH是 什么特殊四边形？你是如何判断的？
(3)如图，在四边形ABCD中，AB=BC， ∠ADC=90°，对角线BD平分∠ABC，P是 BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD， 垂足分别为，M,N。求证：四边形MPND是 正方形。
(4)在正方形ABCD中，AB=3，AD=4，P是 AD上不与A和D重合的一个动点，过P分别 作AC和BD的垂线，求PE+PF的值
（1）
（5)E是正方形ABCD边BC上任意 一点，EF⊥BO，EG⊥CO，若 AC=10，则四边形EGOF周长为
（五）利用判定定理证明正方形 （1）已知：如图，在矩形ABCD中， BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF//CE,CF//BE。求证：四边形 BECF是正方形。
（2)四边形ABCD是正方形， 延长AB到E，使AE=AC，则 ∠BCE度数为
（3)如图，在正方形ABCD中， ∠DAF=25°，AF与对角线BD相 交于点E，连接CE，求∠BEC的度 数。
（二）利用正方形性质证边长 (1)如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在
正方形城镇的四个角上。仓库P和Q分别位于 AD和DC上，且PD=QC。证明两条直路 BP=AQ且BP⊥AQ.
正方形的性质
性质1 （定义）：有一组邻边相等 的矩形 性质2 正方形的四个角都是直角， 四条边都相等 性质3 正方形的对角线相等且互相 垂直平分,一条对角线平分一组对 角。
正方形的判定 1.有一组邻边相等的矩形 2.对角线相等的菱形 3.对角线垂直的矩形 4.有一个角是直角的菱形
题型练习
（一）利用正方形性质求角度 （ 1 ） 如 图 ， E 为 正 方 形 ABCD 外 一 点 ， 且 △ABE为等边三角形，求∠CED的度数。
(6)已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，E是BD延长线上的点，△ACE是等边 三角形。（：四边形ABCD 是正方形。