【历年高一数学期末试题】福建省莆田一中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

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福建省高一数学上学期期末联考试题(有答案)

3福建省高一数学上学期期末联考试题满分 150分考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}Axxx????，集合{24}x Bx??，则集合AB?I（）A{23}xx?? B{23}xx?? C．{23}xx?? D{23}xx??2. 直线3420xy???和直线6810xy???的距离是( ) A.35 B. 12 C. 310 D. 153．已知直线12:220,:410lxylaxy??????, 若12?ll, 则a的值为( ) A . 8B. 2C. 12?D. 2?4. 已知圆221:23460Cxyxy?????和圆222:60Cxyy???，则两圆的位置关系为( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切5. 幂函数223()(1)mm fxmmx?????在(0,)??上是减函数，则实数m的值为（）A. 2或1?B. 2C. 1?D. 2?或1 6．三个数20.60.6,ln0.6,2abc???之间的大小关系是( )A. cab??B.cba??C.bca?? D．acb??7. 关于不同的直线,mn与不同的平面,??，有下列四个命题：①,mn????且???，则mn?；②,mn??PP且??P，则mnP；③,m??n?P且??P，则mn?；④,m?Pn??且???，则mnP．其中正确的命题的序号是( )．A．①② B．②③ C．①③ D．②④8. 方程2122x x=+的一个根位于区间（）A. 3(1,)2B. 3(,2)2C. 1(0,)2D. 1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 4063? B. 40123? C. 123 D. 24310. 奇函数()fx在(,0)??上的解析式是()(1)fxxx??，则()fx在(0,)??上有( )A．最大值14? B．最大值14C．最小值14? D．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABCABC?中，122,4ABBCCC???，90ABC???，,EF 分别为111,AACB的中点，沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径的长度为（）A1442? B22 C32 D23 12. 已知函数??22(0)()22(0)kxkxfxxaxax????????????，其中Ra?，若对任意的非零实数1x，存在唯一的非零实数)(122xxx?，使得)()(12xfxf?成立，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)

高一数学（必修第一册）模块试卷（考试时间：120分钟满分：150分）班级___________ 座号__________ 姓名__________一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小概给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知集合，，则（）{}21,S s s n n ==+∈Z {}41,T t t n n ==+∈Z S T Ç=A. B.C.D.∅S T Z 【答案】C 【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.T S ⊆【详解】任取，则，其中，所以，，故， t T ∈()41221t n n =+=⋅+Z n ∈t S ∈T S ⊆因此，. S T T = 故选：C.2. 已知角终边经过点，若，则（）θ)P a 3πθ=-=aA.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点，可得，θ)P a OP =又由，根据三角函数的定义，可得且，解得. 3πθ=-1cos 32π⎛⎫-== ⎪⎝⎭a<0a =故选：C.3. 若函数f (x )和g (x )分别由下表给出： x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f (x )2341g (x )2143满足g (f (x ))＝1的x 值是（）． A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】解：∵g (f (x ))＝1， ∴f (x )＝2， ∴x ＝1，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题． 4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（） 2sin 3y x =π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 π5π5C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 π15π15【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭平移个单位长度即可得到函数的图象． π152sin 3y x =故选：D.5. 已知，则的值为（） π3ππsin ,,3526αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin αA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出，利用差角公式求解答案.πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为，所以，所以ππ,26α⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,362α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭；π4cos 35α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 333333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 314525=⨯-=故选：A.6. 密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表6000=-73π示为（） A. 25-00 B. 35-00C. 42-00D. 70-00【答案】B 【解析】【分析】利用扇形面积公式先求出圆心角，再根据密位制的定义换算即可.【详解】设扇形的圆心角为，则，则，α217223απ⨯=76απ=由题意可知，其密位大小为密位，用密位制表示为35-00.76600035002ππ⨯=故选：B.7. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区()y f x =()y f x =-[],m n [],m n ()y f x =间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（）[]1,2023()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a A. B. C.D.[]2,1--12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2【答案】B 【解析】【分析】有题意可知，函数与在区间上同增或同减，先分和两()y f x =()y f x =-[]1,20230a ≥a<0种情况讨论，再在中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可.a<0【详解】根据题意，，函数与在区间()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()122xx f x a a -⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭()y f x =()y f x =-上的单调性相同.[]1,2023当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合0a ≥()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,2023()2x f x a -=+[]1,2023题意；当时，，则函数在上a<0()()()221,log 2121,log 2xxxa x a f x a a x a ⎧⎛⎫+<--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪--≥-- ⎪⎪⎝⎭⎩()y f x =()()2,log a -∞--单调递减，在上单调递增.())2log ,a --+∞⎡⎣，则函数在上单调递减，在()()()222,log 22,log xxx a x a f x a a x a ⎧+≥-⎪-=+=⎨--<-⎪⎩()y f x =-()()2,log a -∞-上单调递增.())2log ,a -+∞⎡⎣①在上单调递增，则，解得.[]1,2023()()221log 1log a a ⎧-⎪⎨≥--⎪⎩122a -≤≤-②在上单调递减，则，不等式组无解.[]1,2023()()22log 2023log 2023a a ⎧->⎪⎨-->⎪⎩综上所述：.12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦故选：B.8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，()f x R (2)2()f x f x +=-(23)f x -(0)0f =，则的值为（）1()123nk f k ==∑n A. 117 B. 118C. 122D. 123【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以(2)()2(4)(2)2f x f x f x f x ++=⎧⎨+++=⎩(4)()f x f x +=()f x ，(4)(0)0f f ==因为为偶函数，所以，当时有(23)f x -()()()()233222f x f x f x f x -=+⇒-=+1x =，()()13f f =又因为，所以， ()()132f f +=()()131f f ==所以，，(2)2(0)2f f =-=(3)2(1)1f f =-=所以，1201()30[(1)(2)(3)(4)]120k f k f f f f ==+++=∑所以即，12012011()(121)(122)()(1)(2)123k k f k f f f k f f ==++=++=∑∑1221()123k f k ==∑故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 对于给定的实数a ，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是（） A. {} B. {x |x ≠-1} C. {x |x< -1} D. R1|1x x a＜＜【答案】B 【解析】【分析】根据因式分解求解不等式并分类讨论即可得解. 【详解】①当时,0a >ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为， (1)(1)0ax x -+<所以； 11x a-<<②当时,0a =ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为， (1)0x -+<所以； 1x >-③当时,a<0(i),解集为，10a -<<(1)(1)0ax x -+<1(,)(1,)a∞∞-⋃-+(ii),可以转化为，解集为 {x |x ≠-1} 1a =-(1)(1)0ax x -+<2(1)0x -+<(iii),解集为， 1a <-(1)(1)0ax x -+<1(,1)(,)a∞∞--⋃+综上所述，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是B . 故选：B .10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确()sin()f x A x ωϕ=+0,0,πA ωϕ>><的是（）A. 的图象关于点中心对称 ()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭B. 在区间上单调递增 ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 的图象关于直线对称 ()f x 2π3x =D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 1y =π23π()(1212y f x x =-≤≤8π3【答案】BCD 【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再结合选项及三角函数的性质进行判断即可. ()f x 【详解】由图可知，周期为，所以，又，故；2A =2π5ππ3124T ⎛⎫-⎝== ⎪⎭2π2T ω==0ω>2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为经过点，所以，即， ()f x 2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭4π2sin 23ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，即， 4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈ππZ 62,k k ϕ=+∈因为，，所以取，；π<ϕZ k ∈0k =π6ϕ=所以. π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于A ，令，则，A 不正确； π12x =ππsin 20126⎛⎫⨯+=≠ ⎪⎝⎭对于B ，当时，，所以在区间上单调递增， B 正确；ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，时，，所以的图象关于直线对称，C 正确； 2π3x =2ππsin 2136⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭()f x 2π3x =对于D ，令，则， ()1f x =π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以， π23π1212x -≤≤π024π6x ≤+≤所以或或或，解得或或或，ππ266x +=5π613π617π610x =2π3x =3πx =44π3x =所有交点的横坐标之和为，D 正确. 12348π3x x x x +++=故选：BCD.11. 已知x ，y 是正数，且满足，则下列叙述正确的是（）221x y +=A.B.C. D.126x y+≥+ln ln 4ln 2x y +≥-2x y ->221tan tan 26x y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；B 选项，先计算出，结合对21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭数函数的单调性得到答案；C 选项，由得到，结合得到D 选项，221x y +=12y x =-102x <<2x y ->计算出，结合正切函数在上的单调性得到答案.22211123366x y x ⎛⎫+=-+≥ ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为x ，y 是正数，且满足，221x y +=则， ()221212646224y x x x y x y x y y ⎛⎫+=+≥+=+ ⎪⎝+=+++⎭当且仅当，即时，等号成立，A 正确； 24y x x y=x y ==B 选项，，则， 21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1ln ln ln ln 4ln 216x y xy +=≤=-当且仅当时，等号成立，故B 错误； 14x y ==C 选项，因为，所以，221x y +=12y x =-因为为正数，故， ,x y 102x <<则，C 正确；11222222x x y---=>=D 选项，由得到， 12y x =-222222111112232322366x y x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立， 13x =故，即，22126x y +≥22126x y ≥-因为，，所以， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21112,636y ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为在上单调递增， tan y z =ππ,22z ⎛⎫∈-⎪⎝⎭故，D 正确. 221tan tan 26x y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭故选：ACD12. 已知函数，则下列结论正确的有（） ()cos sin f x x x =-A. 的一个周期是B. 在上单调递增 ()f x 2π()f x 3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.D. 方程在上有7个解()f x ()10f x -=[]2π,2π-【答案】BCD 【解析】【分析】根据的值即可判断A ；写出函数在上的解析式，再根据余弦函数的π7π,44f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性即可判断B ；易得函数为偶函数及当时，函数是以为周期的周期函数，求出()f x 0x ≥()f x 2π函数在的最大值即可判断C ；求出当时，方程的根的个数，再根据函数的奇偶性即[]0,2πx ∈(]0,2πx ∈可判断D .【详解】对于A ，因为，π7π0,44f f ⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是函数的一个周期，故A 错误； 2π()f x 对于B ，当，，3π7π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭由，可得， 3π7π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π7π,2π44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以在上单词递增，故B 正确； ()f x 3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C ，因为，所以函数为偶函数， ()()cos sin f x x x f x -=-=()f x 则当时，，0x ≥()cos sin f x x x =-因为， ()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+-+=-所以当时，函数是以为周期的周期函数， 0x ≥()f x 2π则当时，[]0,2πx ∈，()ππ3π,0,,2π422cos sin ππ3π,,422x x f x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+∈⋃ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩当时，， π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ππ3π7π9π,,44444x ⎡⎤⎡⎤+∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则，则， πcos 4x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()f x ∈-⎡⎣当时，，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ5π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，则， πcos 4x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣()f x ⎡∈-⎣综上，()f x ∈-⎡⎣所以，故C 正确； ()f x对于D ，当时，，π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得 ()10f x -=πcos 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以或， ππ2π44x k +=-+ππ2π44x k +=+所以或， π2π2x k =-+2π,Z x k k =∈又，所以或或，π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 0x =3π22π当时，，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，得， ()10f x -=πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或， π3π2π44x k -=+π5π2π44x k -=+所以或， π2πx k =+3π2π,Z 2x k k =+∈又，所以， π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭πx =综上可得当时，方程有3个解，(]0,2πx ∈()10f x -=又函数为偶函数，所以当时，方程有3个解， [)2π,0x ∈-()10f x -=综上所述方程在上有7个解，故D 正确.()10f x -=[]2π,2π-故选：BCD .【点睛】本题考查了三角函数的周期性单调性及最值问题，考查了分类讨论思想三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出一个定义域不是R ，但值域是R 的奇函数f (x )=___.【答案】tan x （答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根据所学函数合理构造选择即可.【详解】由正切函数性质可知满足条件，即. (tan f x x =）故答案为：(答案不唯一)tan x14. 已知为第四象限的角，________. θsin cos θθ+=cos 2θ=【解析】【分析】给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式sin cos θθ+=2sin cos θθcos sin θθ-可得结果.22cos 2cos sin θθθ=-【详解】∵，∴， sin cos θθ+=11sin 23θ+=2sin 23θ=-∴， ()25sin cos 1sin 23θθθ-=-=∵为第四象限角，∴，，∴， θsin 0θ<cos 0θ>cos sin θθ-=∴()()cos 2cos sin cos sin θθθθθ=-+=【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.15. 函数，若命题“”是假命题，则实数a 的取值范围为()22f x ax ax =-[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-___________．【答案】 24,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-【详解】因为命题“”是假命题，[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-所以命题“”是真命题，[]()0,1,3x f x a ∀∈>-即在上恒成立， ()2213a x x -+>[]0,1x ∈因为当时，， []0,1x ∈2721,28x x ⎡⎤+∈⎢⎣-⎥⎦所以在上恒成立， 2321a x x >-+[]0,1x ∈而， 2max 332472178x x ⎛⎫== ⎪-+⎝⎭所以， 247a >所以实数a 的取值范围为. 24,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. 24,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零R a ∈()()()22tan 2π,249,x a x a f x x a x a x a⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-+++>⎪⎩()f x ()0,∞+点，则a 的取值范围是_______．【答案】 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】由题意，分别求出当时，零点分别为0个，1个，2个时，x a >()()22249f x x a x a -++=+的范围，再分别求出当时，零点分别为4个，5个，6个时，的范围，a (]0,x a ∈()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦a从而可得出答案.【详解】因为函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多2个零点，()f x ()0,∞+所以当时，函数至少有4个零点，则，x a ≤()f x 0a >①当时，， x a >()()22249f x x a x a -++=+，22416163641620a a a a ∆=++--=-当，即时，无零点， Δ0<54a <()()22249f x x a x a -++=+当，即时，有1个零点， Δ0=54a =()()22249f x x a x a -++=+当时，， 54a >()()2224949f a a a a a a =-+++=-+函数的对称轴为， ()()22249f x x a x a -++=+2x a =+则在对称轴的左边，x a =当，即时，有2个零点， 490a -+>5944a <<()()22249f x x a x a -++=+当，即时，有1个零点， 490a -+≤94a ≥()()22249f x x a x a -++=+综上所述，当时，无零点， 54a <()()22249f x x a x a -++=+当或时，有1个零点， 54a =94a ≥()()22249f x x a x a -++=+当时，有2个零点， 5944a <<()()22249f x x a x a -++=+②当时，， (]0,x a ∈()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦因为，所以，(]0,x a ∈()(]2π2π,0x a a -∈-当，即时，有4个零点， 4π2π3πa -≤-<-322a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦当，即时，有5个零点， 5π2π4πa -≤-<-522a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦当，即时，有6个零点， 6π2π5πa -≤-<-532a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦由①②可得，要使函数在区间内恰有6个零点，()f x ()0,∞+则或或，解得或， 53254a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<⎪⎩5225944a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩或3225944a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩9542a ≤≤322a <≤所以a 的取值范围是. 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：. 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查了根据零点的个数求参数的范围，考查了正切函数和二次函数的性质，考查了分类讨论思想，综合性较强，属于难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，集合，定义集合6{|211}x A x x -=<-()222{|10}B x x a x a a =-+++<{|A B x x A -=∈且}x B ∉（1）若，求．2a =A B -（2）若，求a 的取值范围．A B A -=【答案】（1）(][)1,23,5⋃（2）(][),05,-∞+∞ 【解析】【分析】（1）化简A 、B ，根据定义求即可；A B -（2）由得，列不等式组求解即可. A B A -=A B ⋂=∅【小问1详解】， ()()()()261265{|1}{|0}{|0}{|510}1,5111x x x x A x x x x x x x x x -----=<=<=<=--<=---.()()()()2221{|{|10}10},B x x a x a a x x a x a a a éù=-+++<=-+-<=+ëû由，则，故.2a =()2,3B =(][)1,23,5A B -= 【小问2详解】由得，即有或，故.A B A -=A B ⋂=∅11a +≤5a ≥(][),05,a ∞∞∈-⋃+故a 的取值范围为.(][),05,-∞+∞ 18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与()()cos f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<π,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点最近的一个最低点的坐标为． P 7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭-（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；()f x （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小()f x ()0m m >()y g x =m 值．【答案】（1），图象见解析； ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2） 5π12【解析】【分析】（1）由最低点的坐标得出，由周期求出，利用五点作图法得出，求出函数的解析式，A ωϕ()f x 进而画出图象；（2）通过平移得出的解析式，利用函数为偶函数列方程求出的最小值．()y g x =m 【小问1详解】由题意可得，，且周期，则， 2A =7ππ4π123T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π2T ω==()()2cos 2f x x ϕ=+又，解得，，，()7π2π2πZ 12k k ϕ⨯+=+∈()π2πZ 6k k ϕ=-+∈π2ϕ< π6ϕ∴=- ()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】， ()()ππ2cos 22cos 2266y g x x m x m ⎡⎤⎛⎫==--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数是偶函数，则，解得 ()y g x =()π2πZ 6m k k --=∈()ππZ 212k m k -=-∈又，则当时，的最小值为． 0m >1k =-m 5π1219. 已知函数 ()1lg 1x f x x -+＝（1）判断函数的单调性并用定义法加以证明()y f x ＝（2）求不等式的解集()()()lg 30f f x f +＞【答案】（1）减函数;证明见解析；（2） 19,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）用单调性的定义证明即可；（2）结合奇偶性与单调性求解，注意函数定义域的作用.【小问1详解】为减函数.()y f x ＝证明如下: 的定义域为，()y f x ＝()1,1-任取两个实数，且，12x x ，1211x x -<<<， ()()21212111lg lg 11x x f x f x x x ---=-++()()()()212111lg 11x x x x -+=+-()()()()21211111x x x x -+-+- ()()2112211211x x x x x x x x =----++-，()1220x x =-<，()()()()2121110,110x x x x -+>+-> ， ()()()()212111111x x x x -+∴<+-， ()()()()212111lg011x x x x -+∴<+-，()()21f x f x ∴<所以在上为单调减函数.()y f x ＝()1,1-【小问2详解】对，， ()1,1x ∀∈-11()lglg ()11x x f x f x x x +--==-=--+故函数为奇函数，()y f x ＝由可得，()()()lg 30f f x f +＞()()()()lg 3lg 3f f x f f -=-＞由（1）知在上为单调减函数，()y f x ＝()1,1-， 1()1,()lg 3f x f x -<<⎧∴⎨<-⎩11lg 11,11lg lg 13x x x x -⎧-<<⎪⎪+∴⎨-⎪<⎪+⎩111lg lg 13x x -∴-<<+解可得， 111,1013x x -∴<<+19211x <<故不等式的解集为. 19,211⎛⎫⎪⎝⎭20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m ，最低点距离地面10m ，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min ．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．（1）当游客距离地面高度不低于85m 时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？【答案】（1）203（2） 41min 4【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出旋转角速度，得到距离地面的高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出，得到答案； 204033t ≤≤（2）设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m 和m ，从而求出和min t 1H 2H 1H 2H 关于时间的解析式，解方程，得到时二人距离地面的的高度相等. 41min 4【小问1详解】以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P ，游客坐上座舱开始转动后距离地面的高度为， min t m H当时，游客位于点，以为终边的角为， 0min t =()0,50P -OP π2-因为摩天轮半径，旋转角速度为， 1101050m 2r -==2ππ2010ω==()/min rad 所以，， ππ50sin 60102H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭020t ≤≤当，即，， ππ50sin 6085102H t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭ππ1sin 1022t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭π1cos 102t ≤-解得：，解得：， 2ππ4π3103t ≤≤204033t ≤≤因为min ， 402020333-=故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌 203【小问2详解】设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m 和m ，min t 1H 2H ，， 1ππ50sin 60102H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭020t ≤≤因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为， 2ππ4020=故，， 2ππππ11π50sin 6050sin 60102201020H t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭020t ≤≤因为，所以， 12H H =πππ11πsin sin 1021020t t ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，解得：， 020t ≤≤πππ11ππ1021020t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41min 4t =所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，时二人距离地面的的高度相等. 41min 421. 已知函数，，且满足，恒()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝4π()2sin 133g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,π[]0x ∀∈()()0f x g x ⋅≤成立．（1）求解的零点以及的函数解析式．()g x ()f x （2）求函数在区间上最大值与最小值之差的取值范围． ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】（1）零点为或，；解析式为; 3π3π82k x =+7π3π82k x =+Z k ∈()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）.【解析】【分析】（1）令得的零点，根据的图象可知的图象经过，()0g x =()g x ()g x ()f x 3π7π0088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，求得的值； ω（2）若的对称轴在区间内，当满足时最大值与最小值之差最小；若当()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的对称轴不在区间内，直接求的最大值即可. ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π()4f t f t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【小问1详解】令得，， 4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭4π1sin 332x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或，， 4ππ2π336x k -=+4π5π2π336x k -=+Z k ∈解得或，， 3π3π82k x =+7π3π82k x =+Z k ∈的图象恒过定点， ()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛ ⎝当时，令得或， [0,π]x ∈4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭3π8x =7π8x =当时，；当时；当时，， 3π0,8[x ∈()0g x ≤3π7π,88[]x ∈()0g x ≥7π[],π8x ∈()0g x ≤故的图象如图所示： 4π()2sin 133g x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭故依条件可知当且仅当函数的图象经过时满足条件 ()f x 3π7π,0,,088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0f x g x ⋅≤此时最小正周期为，所以或， ()f x 7π3π2π2(88ω-=2ω=2ω=-当时，，故， 2ω=-()3πππsin 2sin 0842f x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ω=下面验证当时满足，此时， 2ω=()()0f x g x ⋅≤()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭当时，，，，故成立； 3π0,8[x ∈ππ2[,π]44x +∈()0f x ≥()0g x ≤()()0f x g x ⋅≤当时，，，，故成立； 3π7π,88[x ∈π2[π,2π]4x +∈()0f x ≤()0g x ≥()()0f x g x ⋅≤当时，，，，故成立， 7π[],π8x ∈ππ2[2π,2π44x +∈+()0f x ≥()0g x ≤()()0f x g x ⋅≤所以的函数解析式. ()f x ()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】区间的长度为，函数的周期为， π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π4()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， π8x =π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π(0)4f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为；其它的对称轴在内时结果同上. 1=π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦值，则最大值与最小值之差为：ππππ()sin 2sin 24244f t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()ππcos 2sin 22244t t t t ⎛⎫⎛⎛=+-+-≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. ()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦22. 设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数()f x ()g x 1D 2D 01x D ∀∈n ，使（其中，），则称为的“重1232,,,,n x x x x D ∈L ()()0i g x f x =1,2,3,,i n = *n ∈N ()g x ()f x n 覆盖函数”．（1）试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02πx ≤≤()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由；（2）已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数()()2223121log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨>⎩，()222log 21x x f x +=+的取值范围. a 【答案】（1）答案见解析；（2）. 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）作出在上的图象，求出函数的值域为，结合图象，即可2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x [)1,0-得出判断；（2）求出的值域为.易知，时，显然对任意，有1个实()222log 21x x f x +=+()0,11x >01k <<()g x k =根.然后根据在有且只有一个实根，结合二次函数的性质，即可得出实数的取值范围.()g x k =[]2,1-a 【小问1详解】因为，所以. 02x π≤≤ππ11π2333x -≤-≤作出在上的图象如下图， 2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，为单调递增函数，则， 0x ≥()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f x -≤<又为偶函数，所以函数的值域为. ()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x [)1,0-由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有4个交点， 10t -≤<y t =2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据定义可得，是的“4重覆盖函数”. ()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02πx ≤≤()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】可得的定义域为， 22221()log log (1)2121x x x f x +==+++R 即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）. 0x ∈R [)12,2,x x ∈-+∞0()()i g x f x =1,2i =因为，所以，所以，则，所以， x ∈R 20x >211x +>10121x <<+111221x <+<+所以. ()222()log 0,121x x f x ++=∈即， ()00121()()log (1)0,121i x g x f x ==+∈+即对任意，有2个实根.01k <<()g x k =当时，，则在上必有一个根，1x >2()log 0g x x =>()g x k =()1,+∞故只需时，仅有1个根.1x ≤()g x k =当时，，0a =()31g x x =-+因为，所以，即，根据一次函数的性质知，在21x -≤≤2317x -≤-+≤()27g x -≤≤()g x k =仅有1个根，符合题意；[]2,1-当时，. 0a >()()2231g ax x a x =+-+因为，要使在仅有1个根，则需满足()()2231724g a a =-+--=()g x k =[]2,1-，解得； (1)231320g a a a =+-+=-≤203a <≤当时，，图象为抛物线开口向下.a<0()()2231g ax x a x =+-+因为，要使在仅有1个根，则需满足， ()27g -=()g x k =[]2,1-(1)320g a =-≤解得，所以满足． 23a ≤a<0综上，实数a 的取值范围是． 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：小问2中，根据“重覆盖函数”的概念，对任意，存在2个不同的实数20x ∈R ，使得（其中）.进而根据分段函数可推得，任意，[)12,2,x x ∈-+∞0()()i g x f x =1,2i =01k <<在上仅有1个实根.()g x k =[]2,1-。

【最新文档题库】福建莆田一中2012届高三数学上学期期末试卷文新人教A版-(10956)

)
A． -3<a<-1 B． -3≤ a≤ -1
C． a≤ -3 或 a≥ -1 D． a<-3 或 a>-1
3．我市某学校在 “ 9.11”举行老师、学生消防知识比赛，报名的学生和教师的人数之比为 6： 1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取 35 人组
队进行比赛，已知教师甲被抽到的概率为
D．若 p q 为假命题 , 则 p, q 均为假命题
5． △ ABC 中， A A. 或 3 44
， BC
3 3
B.
4
3 ， AB 6 ，则
C. 4
C（） D. 6
6．已知椭圆x
2 2
ky 3k(k 0)
的一个焦点与抛物线
2
y 12x
的焦点重合，则该椭圆
的离心率是 ()3 NhomakorabeaA．
2
2
B．
2
6
C．
莆田一中 2011-2012 学年上学期期末试卷
2012.1.
高三
数学（文科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。
1．已知复数 Z1=m+2i,Z2=3+4i 若, Z1·Z2 为实数，则实数 m 的值为 (
)
8 A．
3
3 2 B．
8 C．－ 3
3 D．－ 2
2．设S={x||x － 2|>3} ， T={x|a<x<a+8},S ∪T=R, 则 a 的范围是 (
3
23
D．
3
7. a、 b 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若 a⊥b， a⊥α，b α，则 b∥α； ③若 a⊥β，α⊥β，则 a∥α或 a α；

福建高一高中数学期末考试带答案解析

福建高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．D．2.已知为等差数列，且有，则=（）A．28B．24C．20D．163.角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（3，4），则sinα的值为（）A．B．C．D．4.已知函数的图象经过点，则可以是（）A．B．C．D．5.若，则（）A．B．C．D．6.等差数列中，，若其前项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（）A．8B．9C．10D．117.已知在R上恒满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.下列函数的最小值为2的是（）A．B．C．D．9.已知等比数列的前项和为，若，则（）．A．7B．16C．27D．6410.中，若，则必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形11.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对二、填空题1.已知函数的图象如下图所示，则该函数的解析式是（）A．B．C．D．2.= ．3.已知，则的最大值是．4.已知直线与轴、轴的正半轴分别交于A（，0），B（0，）两点，且满足，O为坐标原点，则面积的最小值为．5.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖---________块．三、解答题1.已知，且为第三象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值2.（本小题满分12分）如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。

3.本小题满分12分）已知等差数列的前项和，且．（1）求的通项公式；（2）设，求证：是等比数列，并求其前项和．4.（本小题满分12分）已知数列，分别为等差、等比数列，且．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．5.（本小题满分12分）已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由。

福建省莆田一中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

莆田一中2012-2013学年高一上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.化简AC -AB -BD +CD 得（）A. 0B.C.D. AB 2.已知3cos(),||,tan 222ππϕϕϕ-=<且则等于（） A．3- B．3CD ．3. 函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则c o s 2a b+=（）A. 0B.2C. 1-D. 1 4.函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值范围是( ) A ．1≥ω B ．21<≤ω C ．31<≤ω D ．3<ω5．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值是（）A. 1925B. 1625C. 1425D. 7256.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩则15()4f π-等于（） A.2 B. 1 C . 0 D .2-7. 已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2π.B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到 .D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数.8. 0=（）A. 1B. 2C.D. 9. 若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥， (2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（）A. 6πB. 3πC. 32πD. 65π10.如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量： ①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +； ⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③D ．⑤二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.平面向量,a b 中，若(1,1)a =-，(cos ,sin )b αα=，且1a b ∙=，则向量= .12. 函数())3f x x πω=+(0)ω>部分图象如图所示, A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆ 为正三角形.则ω= .13.△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则∙的值等于．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若)())((c b b c a c a +=-+，则角A 的大小是__________．15.函数[]π,0,cos sin cos sin ∈+-=x x x x x y 的值域是 .三、解答题：（本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．）16. (9分)已知向量(1,2)a =，(2,)b m =-,2(1)x a t b =++，1y ka b t=-+，m R ∈，,k t 为正实数.（Ⅰ）若//a b ，求m 的值; （Ⅱ）若a b ⊥，求m 的值;（Ⅲ）当1m =时，若x y ⊥，试确定k 与t 的关系式.17. (8分)已知sin2cos 0.22x x-= （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求cos 2)sin 4xx xπ+⋅的值.18．(8分) 设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上两点，O 是坐标原点，且6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（Ⅰ）若点Q的坐标是m ⎛ ⎝⎭，求)6cos(πα-的值；（Ⅱ）若函数()f OP OQ α−−→−−→=∙，求()αf 的值域．19. (10在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos b A B =．（I ）求角B 的值；（Ⅱ）若cos2A =sin C 的值．20. (10分)已知向量.)()(),21,sin 3(),1,(cos m n m x f x n x m ⋅+=-=-=函数向量（Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）若a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，]2,0[)()(,3,1π在恰是且x f A f c a ==上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.21. (10分)已知函数()()α+=x x f sin , ()()β+=x x g cos ,R x ∈,α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)若4,4πβπα=-=，判断()()()x g x fx h 22+=的奇偶性；(Ⅱ) 若3πα=，()()()x g x f x t +=是偶函数，求β;（Ⅲ）是否存在α、β，使得()()()x g x f x t +=是奇函数但不是偶函数？若存在，试确定α与β的关系式；如果不存在，请说明理由.莆田一中2012-2013学年度上学期期末考试试卷高一数学必修4参考答案三、解答题：（本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．） 16.(9分)解：解（Ⅰ）//a b ，1(2)20m ∴⋅--=， …………2分∴4m =-. …………3分（Ⅱ）a b ⊥,0a b ∴⋅=, …………4分1(2)20m ∴⋅-+=, …………5分1m ∴=. …………6分（Ⅲ）当1m =时,a b ⋅0=, x y ⊥ 0x y ∴⋅=.则 x y ⋅=22211(1)()0ka a b k t a b t b t t-+⋅-+⋅++=, …………8分 1k t t∴=+.…………9分17. (8分)解：（Ⅰ）由sin2cos 0,tan 2222x x x-=⇒=, …………2分222tan2242tan .1231tan 2xx x ⨯∴===--- …………4分18. (8分)解：（Ⅰ）由已知可得cos m α==，sin α=2分所以cos()cos cos sin sin 666πππααα-=+=. …………4分（Ⅱ）()(cos ,sin )(cos ,sin )66f OP OQ ππααα==1sin sin()23πααα+=+. …………6分因为[)0,απ∈，则4,333πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以sin()13πα<+≤，故()f α的值域是⎛⎤⎥ ⎝⎦. …………8分19. (10分)解：（I ）由正弦定理得B A A B cos sin 3sin sin =， ……………1分0sin ≠A 因为，即3tan =B ， ……………3分由于π<<B 0，所以3π=B ． ……………4分（II ）5312cos 2cos 2=-=A A ， …………6分因为0sin >A ，故54sin =A ， …………8分所以10334cos 23sin 213sin sin +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=A A A C π． …………10分20. (10分)解：(Ⅰ)23()()cos cos 2f x m n m x x x =+⋅=++ ……1分1cos2312cos222sin(2)22226x x x x x π+=++=++=++ ……4分.22,.2T πωπ===因为所以 …………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知：7()sin(2)2,[0,],2,62666f A A x x πππππ=++∈≤+≤时2,()3,2,.62626x f x x A πππππ+=∴+==当时取得最大值 ………7分2222,2cos ,132cos ,6a b c bc A b b π=+-∴=+-⨯由余弦定理12,b b ∴==或 ………9分111sin 2sin 2626S S ππ=⨯⨯==⨯=从而 ………10分21. (10分) 解：(Ⅰ) 方法一（定义法）：()222cos 1222cos 14cos 4sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππx x x x x h x xx 2sin 122sin 12sin 1-=-+-=. ………2分所以()x h 是非奇非偶函数. ………3分方法二（特殊值法）：由(0)1h =知()x h 不是奇函数. ………1分又由04h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，24h π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知()x h 不是偶函数. ………2分所以()x h 是非奇非偶函数. ………3分(Ⅱ) 方法一（定义法）：()()βπ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x h cos 3sin ，()()βπ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x h cos 3sin ()x h 偶函数，()()x h x h -=，()()βπβπ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x cos 3sin cos 3sin 0sin 3cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-βπx， ………5分21sin =β ， 6,2,2πβππβ=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈. ………6分方法二（特殊值法）：()()()x g x f x t +=为偶函数所以()()()()βπβπ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x t x t cos 3sin cos 3sin ,,33⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴ππt t 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπππβπππ3cos 33sin 3cos 33sin …5分21sin =β ，6,2,2πβππβ=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，经验证6πβ=满足题意. ………6分当2παβ-=-时，()()()x g x f x t +==()sin x α++()cos x β+=()sin x α++cos 2x πα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()sin x α+-()sin x α+=0，此时()t x 既是奇函数又是偶函数.不合题意，舍去. ………9分当2παβ+=-时，()()()x g x f x t +==()sin x α++()cos x β+=()sin x α++cos 2x πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=()sin x α+-()sin x α-=2cos sin x α此时()t x 是奇函数但不是偶函数.。

福建省莆田一中2011-2012学年高一下学期期末考试数学试题

莆田一中2011-2012学年高一下学期期末考试数学试题满分：100 时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（） A.1 B.2 C.3 D.4 2．21+与21-，两数的等比中项是（） A. 1 B. 1- C. 1± D.213．在ABC ∆中, 已知4,43,60a b C ===,则ABC ∆的面积为（） A ． 24B ．12C ．83D ．1634．数列{}n a 中，如果492n a n =-，则S n 取最大值时， n 等于 ( ) A ． 23B ．24C ．25D ．265．等腰三角形腰长是底边的32倍，则顶角的余弦值是（） A ．89B ．23 C ．149D ．796．已知变量y x ,满足4001x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+有（）A ．有最大值5，最小值3B ．有最大值6，最小值3C ．无最大值，有最小值3D ．既无最大值，也无最小值7．若数列{}n a 的通项公式为),1n a n N n n *=∈++若前n 项和为10，则项数为（）A ． 11B ．99C ．120D ．1218．已知0,0x y >>，且232x y+=，则2x y +的最小值为（） A ．843+ B ．43 C ．43+D ．423+9．设实数y x ,满足0102103≥-≥-≤-+⎪⎩⎪⎨⎧x x y y x , 则 y xx y u -=的取值范围为（）A ．．．．10.下列四种说法中： ①函数()211y x x x=++-在(0,)+∞的最小值为2； ②()1sin 0sin y x x xπ=+-<<的最小值为2； ③函数2212y x x =++的最小值为-1；④已知2(0,0)x y x y +=>>其中正确的个数有（） A ．0 B ．1 C ． 2 D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)11.若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ .12．二次函数)(2R x c bx ax y ∈++=的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是。

福建省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知A ＝{－1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x －3＜0}，（） R A B = ðA ．{0，1} B ．{－1，1，3}C ．{－1，0，1}D ．{3，5}【答案】D【分析】求出集合B ，然后求出即可 R A B ⋂ð【详解】因为 32302x x -<⇒<所以 R 3|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭ð所以 R {3,5}A B = ð故选：D. 2．函数的零点所在区间是（） ()26log f x x x=-A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()4+∞，【答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案 ()()3,4f f 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 6y x=()0,+∞2log y x =()0,+∞所以函数在上单调递减， ()26log f x x x=-()0,+∞又， ()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ．D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ， ()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ， 0x =()01f =-()01f =故选：B.4．已知）20.30.3,2,a b c ===A ． b<c<a B ． b a c <<C ． c<a<b D ． a b c <<【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果. 01a <<12b <<2>c 【详解】根据指数函数的单调性知，即；200.30.31a =<=01a <<，即；00.31222b <=<12b <<根据对数函数的单调性知，故，22c =>=2>c 所以. a b c <<故选：D5．若，则（） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方()31x f x a -=+0a >1a ≠A A x y 程，则的最小值为（） ()40,0mx ny m n +=>>23m n+A ．4 B ．6C ．12D ．24【答案】B【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最()31x f x a -=+A ()3,2A 324m n +=后利用基本不等式求最值即可.【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所()31x f x a -=+A ()3,2A A 324m n +=以， ()2312314913266126444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即，时等号成立. 49n mm n =23m =1n =故选：B.7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（）()lg(3)(1)f x ax a =--≠(0,4]a A ．B ．C ．D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,1)(1,)+∞【答案】A【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减(]0,4x ∈30ax ->3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩3t ax =-3t ax =-函数即可得结果.【详解】因为时,恒成立,(]0,4x ∈30ax ->所以, 3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩设,3t ax =-因为函数是增函数,所以要使在上是增函数, lg y t =()f x (]0,4则需函数是减函数,可得, 3t ax =-0a >所以, 304a <<实数的取值范围为.a 30,4⎛⎫⎪⎝⎭故选:A.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则R ()f x ()()2f x f x -=01x <≤()2xf x =（）()21log 2022f +=A ． B ． C ．D ．10111024-10241011-1011102410241011【答案】B【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求()f x 4得的值.()21log 2022f +【详解】因为，所以，，且， 101121024202222048=<<=2111log 202212<+<2011log 20221<-<由题意可得，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()42f x f x f x +=-+=故函数为周期函数，且周期为，()f x 4所以， ()()()211log 20222221log 2022log 20221111log 20222f f f -+=-=--=-. 112102420221011=-=-故选：B.二、多选题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一xOy αOx (1,)(0)P m m ->定为负的是（） A ． B ． sin cos αα+sin cos αα-C ． D ．sin cos ααsin tan αα【答案】CD【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解. αsin 0,cos 0,tan 0ααα><<【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限， α(1,)(0)P m m ->α所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα><<如果，所以，所以选项A 不满足题意；23απ=1sin cos 02αα=>+；；，故CD 正确. sin cos 0αα->sin cos 0αα<sin 0tan αα<故选：CD10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中p R x ∀∈240x ax ++>p 的（）A ．B ． []1,1a ∈-()4,4a ∈-C ．D ．[]4,4a ∈-{}0a ∈【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得，p R x ∀∈240x ax ++>2160a ∆=-<44a -<<故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确. p a ()4,4-故选：AD.11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函D ()f x x D ∈M ()f x M ≤数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（） ()f x DA ．B ．C ．D ．()2022f x x=-()f x =()220222f x x =+()320221f x x =-【答案】BC【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.【详解】选项A ：显然，，对任意，不存在正数，使得，0x ≠()0f x ≠{}0x x x ∈≠M ()f x M ≤故不是“有界函数”； ()2022f x x=-选项B ：显然，，所以对任意，存在正x ≤≤()0f x ≤≤x ⎡∈⎣数，都有成立，故是“有界函数”；M ()f x M ≤()f x =选项C ：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故x R ∈()01011f x <≤x R ∈M ()f x M ≤是“有界函数”； ()220222f x x =+选项D ：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故x R ∈()f x R ∈x R ∈M ()f x M ≤不是“有界函数”. ()320221f x x =-故选：BC12．关于函数的性质的描述，正确的是（）()22log 1()|1|1x x f x x -=--A ．的定义域为 B ．有一个零点 ()f x (1,0)(0,1)- ()f x C ．的图像关于原点对称 D ．的值域为()f x ()f x (,0)-∞【答案】AC【分析】对于A ：由得出定义域；对于B ：由，便可求出零点；对于C ：先2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩()=0f x 化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D ：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域. 【详解】对于A ：由题意可知，函数有意义，则满足, 22log (1)()11x x f x x -=--2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩解得，且，即函数的定义域为，所以选项A 正确； 11x -<<0x ≠()f x ()()1,00,1-U 对于B ：因为的定义域为，所以()f x ()()1,00,1-U 22log (1)()11x x f x x -=--，由得，解得（舍），22log (1)=x x x--()=0f x 22log (1)0x -=0x =即没有零点，所以选项B 不正确；()f x 对于C ：由上可知，则满足，22log (1)()x x f x x-=-()()f x f x -=-所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C 正确； ()f x 对于D ：当时，，所以()0,1x ∈()210,1x -∈22log (1)()x x f x x-=-，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项()22=log (1),0x -∈-∞()f x ()f x (),0(0,)-∞⋃+∞D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是______.()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭【答案】1233x <<【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.y ()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1213x -<【详解】是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴=∴不等式等价为，()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在区间单调递增，()f x [)0,∞+，解得. 1213x ∴-<1233x <<故答案为：.1233x <<【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14．已知函数和的图象完全相同，若，()()3sin 06f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()3cos 2g x x ϕ=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则的取值范围是______.()f x 【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.ω【详解】解：因为，()23sin 3cos 3cos 6263f x x x x ωωωπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，则.2ω=()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦所以， 52666x πππ-≤-≤所以， 1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以. ()332f x -≤≤故答案为：.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()g x a __________ 【答案】[)1,-+∞【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求()g x ()y f x =y x a =--出的取值范围.a 【详解】解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移()f x x y e =y x =-动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点，此时满足，即，()g x 1a -≤1a ≥-故答案为：.[)1,-+∞【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足()24222x ax x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩[)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞，则实数的取值范围是______．()()21f x f x =a 【答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用()f x ()f x 基本不等式先求出函数在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分()f x 别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，()24,2x g x x x+=≥A ()2,2x ah x x -=<B 因为对任意的，都存在唯一的，满足， [)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞()()21f x f x =则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.A B ⊆B A 当时，， [)12,x ∈+∞()244x g x x x x+==+因为，当且仅当，即时，等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以， [)4,A =+∞当时，()2,2x ∈-∞()2,2x ah x x -=<①当时，，此时，2a ≥()2,2a xh x x -=<()22,a B -=+∞，解得，224a -∴<24a ≤<②当时，，2a <()2,2,2a x x a x ah x a x --⎧<=⎨≤<⎩此时在上是减函数，取值范围是，()h x (),a -∞()1,+∞在上是增函数，取值范围是，()h x [),2a )21,2a-⎡⎣，解得，224a -∴≤02a ≤<综合得. 04a ≤<故答案为：04a ≤<【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.四、解答题 17．化简求值：(1)21324330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)．2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++【答案】(1)； 7318(2)4.【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；45731129218=--++=（2）2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++ 323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++.41324=+-+=18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且. αx ()1,1P m --cos α=(1)求实数的值；m (2)若，求的值.0m >()()sin 3tan 2cos cos 2ππααπαπα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】(1)或 1m=3m =-【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值. m （2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）由题意可得 1,1,x y m r ==--=所以， cos α=2(1)4m +=解得或.1m =3m =-（2）因为，所以由（1）可得，0m >1m=所以 cos αα=所以()()()cos sin 3tan sin 12sin cos sin sin cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭==-=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．设函数，图象的一个对称中心是.()()sin 2)π(0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π(0)8,（1）求；ϕ（2）求函数的单调增区间.()y f x =【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.4π-3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k z ∈【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；π,08⎛⎫⎪⎝⎭π0ϕ-<<（2）由（1）得到，令，，解出x 写成区间形式即πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈可.【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =所以，则，所以πsin 208ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ππ(Z)4k k ϕ+=∈ππ(Z)4k k ϕ=-∈所以，则，π0ϕ-<<π4ϕ=-（2）由（1），令，，πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈即：，，π3πππ88k x k -≤≤+Z k ∈所以函数的单调增区间为：.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3ππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位301log lg 2100xv x =-km/min 数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x 0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧km/min km/min 量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 【答案】(1)466个单位 (2)3倍【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗05x =0v =x 氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.123x x =【详解】（1）将，代入函数，得：， 05x =0v =301log lg 2100x v x =-31log lg502100x-=因为，所以，所以，所以. lg 50.70≈3log 2lg 5 1.40100x =≈ 1.403 4.66100x=≈466x =答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：1x 2x 13023011.3log 210010.8log 2100x lgx x lgx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得：，所以，即，13211log 22x x =132log 1x x =123x x =答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.21．已知函数．()e e x x f x -=+(1)当时，试判断单调性并加以证明．[0,)x ∈+∞()f x (2)若存在，使得成立，求实数m 的取值范围． [ln 2,ln 3]x ∈-(2)()30f x mf x -+≥（提示：（其中且）） ()2222x x x x a a a a --+=+-0a >1a ≠【答案】(1)见解析 (2)109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可；（2）由的奇偶性以及单调性得出，()f x 102()3f x ≤≤(2)()3f x mf x -+()()2e e e 1e x x x x m --=+-++，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m 的取值e e x x t -=+1m t t≤+1t t +范围．【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： ()e e x x f x -=+[0,)+∞任取，且，则12,[0,)x x ∈+∞12x x < ()()()()121222112121121221e e e e e 1e eee e e e e e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫---=+-+=-+=- ⎝⋅⎪⎭由得，，，即. 12,[0,)x x ∈+∞21e e 0x x ->21e 10x x +->()()21f x f x >即函数在上单调递增.()e e x x f x -=+[0,)+∞（2），即为偶函数.()()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=()f x 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x []ln 2,0-[]0,ln 3又，，所以. 510(ln 2)(ln 3)23f f -=<=()02f =102()3f x ≤≤()()()()222(2)()3e e 3e e 1e e e e x x x x x x x x f x mf x m m -----+=+-++=+-++令，则存在，使得成立，即成立.e e xxt -=+10 2,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦210t mt -+≥211t m t t t +≤=+令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.1()g t t t =+()g t 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故，所以. max 10109()330g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭max 109(), ,30m g t m ⎛⎤≤∈-∞ ⎥⎝⎦22．已知函数.()()9log 91xf x x =++(1)若对于任意恒成立，求的取值范围； ()()20f x x a -+>x a (2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈m ()g x 在，求出的值，若不存在，请说明理由. m 【答案】(1) (],0-∞(2)存在，m =【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，()9log 91x a x <+-x ()()9log 91xh x x =+-利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，()9232x xg x m =+⋅+令，，研究函数，，根据二次函数3x t =t ⎡∈⎣()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m .【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立()()20f x x a -+>x 代入可得所以对于任意恒成立()9log 910x x a +-->()9log 91xa x <+-x 令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx x h x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.1119x +>91log 109x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭0a ≤即实数a 的范围为. (],0-∞（2）由，，且()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈()()9log 91x f x x =++代入化简可得.()9232x xg x m =+⋅+令，因为，所以3x t =[]90,log 8x ∈t ⎡∈⎣则，()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣①当，即时，在上为增函数，1m -≤1m ≥-()p t ⎡⎣所以，解得，不合题意，舍去()()min 1230p t p m ==+=32m =-②当时，在上为减函数，在上为增函数，1m <-<1m -<<-()p t []1,m -()p t ,m ⎡-⎣所以，解得()()2min 20p t p m m =-=-=m =m =③当，即在上为减函数，m ≤-m ≤-()p t ⎡⎣所以解得不合题意，舍去，()(min 100p t p ==+=m =综上可知，.m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.。

福建高一高中数学期末考试带答案解析

福建高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.球的半径扩大为原来的2倍，则其表面积扩大为原来的（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍2.直线的倾斜角的大小是（）A．30°B．45°C．90°D．135°3.直线与直线的交点是（）A．B．C．D．4.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2＋B．C．D．1＋5.圆与圆的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6.如图，在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（）A．B．C．D．7.已知是两条不重合的直线, 是不重合的平面, 下面四个命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若, 则∥D．若,则∥8.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）9.直线过点(－1,2)且与以点 (－3，－2)、 (4,0)为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（）A ．[－，5]B ．[－，0)∪(0,2]C ．(－∞，－]∪[5，＋∞)D ．(－∞，－]∪[2，＋∞)10.直线与圆相交于P 、Q 两点。

若,则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为2的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．B ． C. 2 D.12.已知平面上两点（），若圆上存在点P ，使得，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知直线.则直线恒经过的定点．2.设为原点，点在圆上运动，则的最大值为．3.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为________.4. 如图，为等腰直角三角形，，，一束光线从点射入，先后经过斜边与直角边反射后，恰好从点射出，则该光线在三角形内部所走的路程是____________．三、解答题1.已知平面内两点.（Ⅰ）求的中垂线方程；（Ⅱ）求过点且与直线平行的直线l的方程.2.如图，在三棱锥中，分别为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面;（Ⅱ）若平面平面，且，º，求证：平面.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB（Ⅱ）证明：平面平面4.如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水面跨度m，拱高 m．现有一船，宽10m，水面以上高6 m，这条船能从桥下通过吗？为什么？5.如图，在四棱锥中，底面，，，，是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求和平面所成的角的正切值.6.已知圆，过原点的直线与其交于不同的两点.（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）求线段的中点的轨迹的方程；（Ⅲ）若直线：与曲线只有一个公共点，求的取值范围。

2023-2024学年福建省莆田一中高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x |1＜x ＜6}，N ＝{x |x 2﹣5x +6＜0}，则M ∩N ＝（） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜6}2．已知函数f(x)={x 3−2，x ≥01x 2−1，x ＜0，则f （f （1））＝（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣23．已知x ＞0，y ＞0，则x +y ≥2是xy ≥1的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =x 2cosx−1，x ∈（−π3，π3）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α（0°＜α＜45°），且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则tan α的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．24256．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →=AB →+AC →，且√3|OA →|=|AB →|，则向量AB →在向量BC →上的投影向量为（）A ．34BC →B ．√34BC →C ．14BC →D ．−34BC →7．已知函数f （x ）＝2﹣|x |，g （x ）＝x 2，设函数L(x)={f(x)，f(x)≤g(x)g(x)，f(x)＞g(x)，则下列说法错误的是（）A ．L （x ）是偶函数B ．函数L （x ）有两个零点C ．L （x ）在区间（﹣1，0）上单调递减D ．L （x ）有最大值，没有最小值8．如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简．利用上述方法解决问题：已知实数a ，b ∈（1，+∞），log 2a +log b 3＝log 2b +log a 2，则（） A ．a ＜√b ＜bB ．√b ＜a ＜bC ．b ＜√a ＜aD ．√a ＜b ＜a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数y ＝f （x ）的图象为如图所示的曲线m 和线段n ，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，2]B ．f （x ）的值域为[1，+∞）C ．在f （x ）的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应D ．在f （x ）的值域内任取一个值，总有唯一的x 值与之对应 10．已知平面四边形ABCD ，则下列命题正确的是（）A ．若AB →=12DC →，则四边形ABCD 是梯形B ．若|AB →|=|AD →|，则四边形ABCD 是菱形C ．若AC →=AB →+AD →，则四边形ABCD 是平行四边形D ．若AB →=DC →且|AB →+AD →|=|AB →−AD →|，则四边形ABCD 是矩形 11．已知函数f(x)=sin(ωx +π6)（ω＞0），则下列说法正确的是（）A ．若ω＝1，则(π3，0)是f （x ）的图象的对称中心B ．若f(x)≤f(π6)恒成立，则ω的最小值为2C ．若f （x ）在x ∈[0，π2]上单调递增，则0＜ω≤23D ．若f （x ）在[0，2π]上恰有2个零点，则1112≤ω≤171212．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是奇函数，f （2x +1）是偶函数，且当x ∈[2，3]时，f （x ）＝2﹣x ，则下列选项正确的是（） A ．f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 B ．f （2022）+f （2023）+f （2024）＝﹣1 C ．f(12x −1)+1关于点（2，1）对称D ．f(12x −1)+1关于点（1，1）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知弧度数为π3的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是．14．已知x ＞2，求f(x)=9x−2+x 的最小值． 15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A （1，0）出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x （k 为常数，0＜k ＜1）．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C ．若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知|a →|=2，|b →|=4，且|a →+b →|=2√3．（1）求a →与b →的夹角；（2）若(2a →−b →)⊥(a →+kb →)，求实数k 的值．18．（12分）已知函数f(x)=cos(π3−x)+sin(x −π6)+cosx ．（1）当x ∈[0，π2]，求f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的集合．（2）先将函数y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，求当x ∈R 时，使g （x ）≥1成立的x 的取值集合． 19．（12分）已知函数f （x ）＝e x −1e |x|．（1）若f （x ）＝2，求x 的值；（2）若e t f （2t ）+mf （t ）≥0对于t ∈[0，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知角α为锐角，π2＜β−α＜π，且满足tan α2=13，sin(β−α)=7√210．（1）证明：0＜α＜π4；（2）求β．21．（12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究，在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：设茶水温度从100℃开始，经过xmin 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①y ＝kx +b （k ＜0，x ≥0）；②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0）；③y ＝log a （x +k ）+b （a ＞1，k ＞0，x ≥0）．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477．）22．（12分）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运算“⊗”：对于任意实数a ，b ，都有a ⊗b ＝lg （10a +10b ），通过研究发现新运算满足交换律：a ⊗b ＝b ⊗a ．小颖提出了两个猜想：∀x ，y ，z ∈R ，①（x ⊗y ）⊗z ＝x ⊗（y ⊗z ）；②（x ⊗y ）+z ＝（x +z ）⊗（y +z ）．（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设a＞0且a≠1，s＝log a（x﹣2a）（x﹣4a），当0＜m＜n＜2a时，若函数f（x）＝（s+1）⊗（s+3）﹣1﹣lg101在区间[m，n]上的值域为[log a n，log a m]，求a的取值范围．2023-2024学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x |1＜x ＜6}，N ＝{x |x 2﹣5x +6＜0}，则M ∩N ＝（） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜6}解：因为N ＝{x |x 2﹣5x +6＜0}＝{x |2＜x ＜3}⫋{x |1＜x ＜6}，所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜3}．故选：C ．2．已知函数f(x)={x 3−2，x ≥01x 2−1，x ＜0，则f （f （1））＝（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：f(x)={x 3−2，x ≥01x 2−1，x ＜0，f （1）＝1﹣2＝﹣1，则f （f （1））＝f （﹣1）＝1﹣1＝0．故选：B ．3．已知x ＞0，y ＞0，则x +y ≥2是xy ≥1的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：当x ＝0.01，y ＝2时，满足x +y ⩾2，但xy ⩾1不成立，即充分性不成立，当xy ⩾1时，x +y ⩾2√xy =2，即必要性成立，即“x +y ⩾2”是“xy ⩾1”的必要不充分条件．故选：B ．4．函数y =x 2cosx−1，x ∈（−π3，π3）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：函数f （﹣x ）＝﹣f （x ），则函数f （x ）是奇函数，排除D ，当0＜x ＜π3时，2cos x ﹣1＞0，则f （x ）＞0，排除B ，C ，故选：A ．5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α（0°＜α＜45°），且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则tan α的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．2425解：因为小正方形与大正方形面积之比为1：25，设小正方形的边长为1，则大正方形边长为5，由题意可得，小直角三角形的三边分别为5cos α，5sin α，5，因为4个小直角三角形全等，所以4×12×5cos α×5sin α+1＝25，即25sin αcos α＝12，所以25sinαcosαsin 2α+cos 2α=12，所以25tanαtan 2α+1=12，整理得12tan 2α﹣25tan α+12＝0，解得tan α=34或tan α=43，又因为0°＜α＜45°，所以tan α=34．故选：B ．6．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →=AB →+AC →，且√3|OA →|=|AB →|，则向量AB →在向量BC →上的投影向量为（） A ．34BC →B ．√34BC →C ．14BC →D ．−34BC →解：由2AO →=AB →+AC →知O 为BC 中点，又O 为△ABC 外接圆圆心，∴|OA →|=|OB →|=|OC →|=1，|BC →|=2，∴AB ⊥AC ， ∵√3|OA →|=|AB →|，∴|AB →|=√3，∴cosB =√32，∴AB →在向量BC →上的投影为：|AB →|cos(π−B)=−32，∴向量AB →在向量BC →上的投影向量为：−32⋅BC →|BC →|=−34BC →，故选：D ．7．已知函数f （x ）＝2﹣|x |，g （x ）＝x 2，设函数L(x)={f(x)，f(x)≤g(x)g(x)，f(x)＞g(x)，则下列说法错误的是（）A ．L （x ）是偶函数B ．函数L （x ）有两个零点C ．L （x ）在区间（﹣1，0）上单调递减D ．L （x ）有最大值，没有最小值解：在同一直角坐标系中，画出函数f （x ）＝2﹣|x |，g （x ）＝x 2的图象，从而得函数L(x)={f(x)，f(x)≤g(x)g(x)，f(x)＞g(x)图象，如图实线部分：对于A ，∵函数L （x ）图象关于y 轴对称，∴L （x ）是偶函数，故A 正确；对于B ，根据零点的定义结合函数L （x ）的图象知，函数L （x ）有三个零点，分别为±2，0，故B 错误；对于C ，从函数L （x ）图象观察得L （x ）在区间（﹣1，0）上单调递减，故C 正确；对于D ，从函数L （x ）图象观察得L （x ）有最大值，没有最小值，故D 正确．故选：B ．8．如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简．利用上述方法解决问题：已知实数a ，b ∈（1，+∞），log 2a +log b 3＝log 2b +log a 2，则（） A ．a ＜√b ＜bB ．√b ＜a ＜bC ．b ＜√a ＜aD ．√a ＜b ＜a解：由log 2a +log b 3＝log 2b +log a 2，log b 3＞log b 2变形可知log 2a ﹣log a 2＝log 2b ﹣log b 3，则log 2a ﹣log a 2＜log 2b ﹣log b 2，利用换底公式等价变形，得log 2a −1log 2a ＜log 2b −1log 2b，令f(x)=x −1x ，因为y ＝x ，y =−1x在（0，+∞）上单调递增，所以函数f(x)=x −1x在（0，+∞）上单调递增，所以log 2a ＜log 2b ，即a ＜b ，排除C ，D ；其次，因为log 2b ＞log 3b ，得log 2a +log b 3＞log 3b +log a 2，即log 2a ﹣log a 2＞log 3b ﹣log b 3，即log 2a −1log 2a ＞log 3b −1log 3b，同样利用f(x)=x −1x的单调性知，log 2a ＞log 3b ，又因为log 3b =log √3√b ＞log 2√b ，得log 2a ＞log 2√b ，即a ＞√b ，所以√b ＜a ＜b ．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数y ＝f （x ）的图象为如图所示的曲线m 和线段n ，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，2]B ．f （x ）的值域为[1，+∞）C ．在f （x ）的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应D ．在f （x ）的值域内任取一个值，总有唯一的x 值与之对应解：由题意得：定义域为（﹣3，﹣1]∪[0，2]，A 错误； f （x ）的最小值为1，故值域为[1，+∞），B 正确；由函数定义及图象可知：在f （x ）的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应，C 正确；在f （x ）的值域内任取一个值y 0∈[2，3]时，此时有两个x 值与之对应，D 错误．故选：BC ．10．已知平面四边形ABCD ，则下列命题正确的是（） A ．若AB →=12DC →，则四边形ABCD 是梯形B ．若|AB →|=|AD →|，则四边形ABCD 是菱形C ．若AC →=AB →+AD →，则四边形ABCD 是平行四边形D ．若AB →=DC →且|AB →+AD →|=|AB →−AD →|，则四边形ABCD 是矩形解：对于A 选项：因为AB →=12DC →，所以|AB|=12|DC|，AB ∥DC ，则四边形ABCD 是梯形，故A 选项正确；对于B 选项：因为|AB →|=|AD →|，相邻两边相等不能得出四边形ABCD 是菱形，所以B 选项错误；对于C 选项：因为AC →=AB →+AD →，所以BC →=AD →，所以四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项正确；对于D 选项：因为AB →=DC →，所以AB ＝DC ，AB ∥DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，因为|AB →+AD →|=|AB →−AD →|，所以|AB →+AD →|2=|AB →−AD →|2，即AB →⋅AD →=0，所以AB →⊥AD →，则四边形ABCD 是矩形，故D 选项正确．故选：ACD ．11．已知函数f(x)=sin(ωx +π6)（ω＞0），则下列说法正确的是（）A ．若ω＝1，则(π3，0)是f （x ）的图象的对称中心B ．若f(x)≤f(π6)恒成立，则ω的最小值为2C ．若f （x ）在x ∈[0，π2]上单调递增，则0＜ω≤23D ．若f （x ）在[0，2π]上恰有2个零点，则1112≤ω≤1712解：对于A ，若ω＝1，则f(x)=sin(x +π6)，所以f(π3)=1，所以x =π3是f （x ）图象的对称轴，(π3，0)不是f （x ）的图象的对称中心，故A 错误；对于B ，若f(x)≤f(π6)恒成立，即f(x)≤sin(ωπ6+π6)恒成立，则ωπ6+π6=π2+2kπ，k ∈Z ，解得：ω＝2+12k ，k ∈Z ，又因为ω＞0，则ω的最小值为2，故B 正确；对于C ，x ∈[0，π2]时，ωx +π6∈[π6，πω2+π6]，因为f （x ）在x ∈[0，π2]上单调递增，则π6＜πω2+π6≤π2，解得0＜ω≤23，故C 正确；对于D ，x ∈[0，2π]时，ωx +π6∈[π6，2πω+π6]，若f （x ）在[0，2π]上恰有2个零点，则2π≤2πω+π6＜3π，解得1112≤ω＜1712，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是奇函数，f （2x +1）是偶函数，且当x ∈[2，3]时，f （x ）＝2﹣x ，则下列选项正确的是（） A ．f （x ）的图象关于直线x ＝1对称B ．f （2022）+f （2023）+f （2024）＝﹣1C．f(12x−1)+1关于点（2，1）对称D．f(12x−1)+1关于点（1，1）对称解：根据题意，因为函数f（x+2）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以，f（﹣x）＝﹣f（4+x）；因为f（2x+1）是偶函数，所以f（2x）的图象关于直线x=12对称，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（﹣x）＝f（2+x）；所以f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），所以f（x）周期为4，又因为f（﹣x）＝﹣f（4+x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，依次分析选项：对于A，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，故正确；对于B，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）周期为4，x∈[2，3]时，f（x）＝2﹣x，所以f（2022）＝f（505×4+2）＝f（2）＝0；f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝﹣1；f（2024）＝f（506×4）＝f（0）＝f（2）＝0；所以f（2022）+f（2023）+f（2024）＝﹣1，故B项正确；对于C项，f（x）为奇函数，图象关于点（0，0）对称，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f(12x−1)的图象关于点（2，0）对称，f(12x−1)+1的图象关于点（2，1）对称，故C项正确，D项错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知弧度数为π3的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是2π3．解：∵弧度数为π3的圆心角所对的弦长为2，∴弦长与两条半径组成一个等边三角形，即半径为2，∴这个圆心角所对的弧长是2×π3=2π3．故答案为：2π3．14．已知x＞2，求f(x)=9x−2+x的最小值8．解：因为x＞2，则x﹣2＞0，又f（x）=9x−2+x﹣2+2≥2√9x−2⋅(x−2)+2＝8，当且仅当x﹣2=9x−2，即x＝5时取等号，故f（x）的最小值为8，故答案为：8．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A （1，0）出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 (−12，√32) ．解：相遇时间为t ＝1804×2π÷（π12+11π12）＝3608秒，∴P 转过的角度为π12×3608=300π+2π3，∴对应点坐标为（cos 2π3，sin 2π3），即（−12，√32）．故答案为：(−12，√32)．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x （k 为常数，0＜k ＜1）．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C ．若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是12．解：设A （t ，2log 2t ）（t ＞1），由AB 平行x 轴得B （t 2，2log 2t ），由AD 平行y 轴得D （t ，log 2t ），又BC 平行y 轴，∴C 的坐标为（t 2，2k log 2t ）， ∵四边形ABCD 为矩形，∴有log 2t ＝2k log 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k =12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知|a →|=2，|b →|=4，且|a →+b →|=2√3．（1）求a →与b →的夹角；（2）若(2a →−b →)⊥(a →+kb →)，求实数k 的值．解：（1）因为|a →|=2，|b →|=4，且|a →+b →|=2√3，所以|a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2=4+2×2×4×cos ＜a →，b →＞+16=12，解得cos ＜a →，b →＞=−12，又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则a →与b →的夹角为120°；（2）由（1）可知，a →⋅b →=2×4×(−12)=−4，因为(2a →−b →)⊥(a →+kb →)，所以(2a →−b →)⋅(a →+kb →)=2a →2+(2k −1)a →⋅b →−kb →2=0，即2×22﹣4（2k ﹣1）﹣16k ＝0，解得k =12．18．（12分）已知函数f(x)=cos(π3−x)+sin(x −π6)+cosx ．（1）当x ∈[0，π2]，求f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的集合．（2）先将函数y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，求当x ∈R 时，使g （x ）≥1成立的x 的取值集合．解：（1）函数f(x)=cos(π3−x)+sin(x −π6)+cosx=cosxcos π3+sinxsin π3+sinxcos π6−cosxsin π6+cosx=12cos x +√32sin x ++√32sin x −12cos x +cos x =√3sinx +cosx =2sin(x +π6)．∵x ∈[0，π2]，∴x +π6∈[π6，2π3]．∴12≤sin(x +π6)≤1． ∴f(x)=2sin(x +π6)的最大值为2，此时x 的集合为{π3}．（2）由题意：将f （x ）的图象的横坐标缩短到原来的12得到y =2sin(2x +π6)的图象，再向右平移π6个单位后得到g(x)=2sin(2x −π6)，则g(x)=2sin(2x −π6)≥1，即sin(2x −π6)≥12，2kπ+π6≤2x −π6≤2kπ+5π6，（k ∈Z ），解得π6+kπ≤x ≤π2+kπ，（k ∈Z ）．则g （x ）≥1成立的x 的取值集合是{x|π6+kπ≤x ≤π2+kπ，k ∈Z}．19．（12分）已知函数f （x ）＝e x −1e |x|．（1）若f （x ）＝2，求x 的值；（2）若e t f （2t ）+mf （t ）≥0对于t ∈[0，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）当x ＜0时，f(x)=e x −1e −x =0，则f （x ）＝2无解；当x ≥0时，f(x)=e x −1ex ，由f （x ）＝2得：e 2x ﹣2e x ﹣1＝0，解得：e x =1±√2，又e x ＞0，∴e x =1+√2，则x =ln(1+√2)；综上所述：x =ln(1+√2)；（2）当t ∈[0，1]时，f(t)=e t −1el 单调递增，则f(t)∈[0，e −1e ]；当t ＝0时，f （0）＝0，则e 0f （0）+mf （0）＝0，则m ∈R ：当t ∈（0，1]时，−m ≤e t f(2t)f(t)=e t (e 2t −1e 2t )e t −1et=e t (e t +1e t )=e 2t+1， ∵(e 2t +1)min=e 0+1=2，∴﹣m ≤2，解得：m ≥﹣2；综上所述：实数m 的取值范围为[﹣2，+∞）．20．（12分）已知角α为锐角，π2＜β−α＜π，且满足tan α2=13，sin(β−α)=7√210．（1）证明：0＜α＜π4；（2）求β．（1）证明：因为tanα2=13，所以tanα=2tan α21−tan 2α2=2×131−19=34＜1=tan π4，因为α为锐角且函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以0＜α＜π4，（2）解：由{tanα=sinαcosα=34sin 2α+cos 2α=1，结合角α为锐角，解得sinα=35，cosα=45，因为π2＜β−α＜π，且sin(β−α)=7√210，所以cos(β−α)=−√1−(7√210)2=−√210．sin β＝sin[α+（β﹣α）]＝sin αcos （β﹣α）+cos αsin （β﹣α）=35×(−√210)+45×7√210=√22，又π2＜π2+α＜β＜π+α＜5π4，所以β=3π4． 21．（12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究，在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：设茶水温度从100℃开始，经过xmin 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①y ＝kx +b （k ＜0，x ≥0）；②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0）；③y ＝log a （x +k ）+b （a ＞1，k ＞0，x ≥0）．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477．）解：（1）选择②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0）作为函数模型，理由如下：由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以对数增长模型③不合适，当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以一次函数模型①不合适，故应选择②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0），将表中前2min 的数据代入，得{100=k +b 92=ka +b 84.8=ka 2+b ，解得{k =80a =0.9b =20，所以函数模型的解析式为y ＝80×0.9x +20；（2）由题意可得80×0.9x +20＝60，解得x =log 0.912，即x =−lg2lg0.9=lg21−2lg3≈0.3011−2×0.477≈6.54，所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min 能达到最佳饮用口感．（3）由y ＝80×0.9x +20为减函数，且当x 越大时，0.9x 接近于0，则y 越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．22．（12分）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运算“⊗”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝lg（10a+10b），通过研究发现新运算满足交换律：a⊗b＝b⊗a．小颖提出了两个猜想：∀x，y，z∈R，①（x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z）；②（x⊗y）+z＝（x+z）⊗（y+z）．（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设a＞0且a≠1，s＝log a（x﹣2a）（x﹣4a），当0＜m＜n＜2a时，若函数f（x）＝（s+1）⊗（s+3）﹣1﹣lg101在区间[m，n]上的值域为[log a n，log a m]，求a的取值范围．解：（1）若选①（x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z），猜想正确；证明如下：(x⊗y)⊗z=lg(10x+10y)⊗z=lg[10lg(10x+10y)+10z]=lg(10x+10y+10z)，x⊗(y⊗z)=x⊗lg(10y+10z)=lg[10x+10lg(10y+10z)]=lg(10x+10y+10z)，故（x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z）；若选②（x⊗y）+z＝（x+z）⊗（y+z），猜想成立；证明：（x⊗y）+z＝lg（10x+10y）+z，而（x+z）⊗（y+z）＝lg（10x+z+10y+z）＝lg[（10x+10y）•10z]＝lg（10x+10y）+z，故（x⊗y）+z＝（x+z）⊗（y+z）；（2）由题意可知f（x）＝（s+1）⊗（s+3）﹣1﹣lg101＝lg（10s+1+10s+3）﹣1﹣lg101＝lg[10s+1•（1+102）]﹣1﹣lg101＝s+1+lg101﹣1﹣lg101＝s＝log a（x﹣2a）（x﹣4a），令g（x）＝（x﹣2a）（x﹣4a）＝x2﹣6a+8a2，其图象对称轴为x＝3a，故g（x）在（0，2a）上单调递减，因为f（x）在区间[m，n]上的值域为[log a n，log a m]，故log a n＜log a m，而0＜m＜n，故0＜a＜1，此时y＝log a x在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＝log a g（x）在[m，n]上单调递增，则{f(m)=log a nf(n)=log a m，即{log a(m−2a)(m−4a)=log a nlog a(n−2a)(n−4a)=log a m，即{(m−2a)(m−4a)=n(n−2a)(n−4a)=m，整理得m2﹣n2﹣6a（m﹣n）＝﹣（m﹣n），即m+n﹣6a＝﹣1，将n＝6a﹣m﹣1代入（m﹣2a）（m﹣4a）＝n，得m2﹣（6a﹣1）m+8a2﹣6a+1＝0，同理得n2﹣（6a﹣1）n+8a2﹣6a+1＝0，即m，n是x2﹣（6a﹣1）x+8a2﹣6a+1＝0在（0，2a）上的两个不同的根，令h（x）＝x2﹣（6a﹣1）x+8a2﹣6a+1，则{ℎ(0)=8a2−6a+1＞0ℎ(2a)=−4a+1＞00＜6a−12＜2aΔ=(6a−1)2−4(8a2−6a+1)＞0，解得{a〈14或a〉12a＜1416＜a＜12a〈−3−2√32或a〉−3+2√32，故a∈(2√3−32，14)．。

福建省高一数学上学期期末联考试题(有答案)【精选】.doc

3福建省高一数学上学期期末联考试题满分 150分考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}A x x x =-+≤，集合{24}x B x =>，则集合A B =I （）A ．{23}x x ≤≤B ．{23}x x ≤<C ． {23}x x <≤D ．{23}x x << 2. 直线3420x y +-=和直线6810x y ++=的距离是( ) A.35 B. 12 C. 310D. 15 3．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12⊥l l , 则a 的值为( ) A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 4.已知圆221:460C x y y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为( ) A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5. 幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为（）A. 2或1-B. 2C. 1-D. 2-或1 6．三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A. c a b <<B.c b a <<C. b c a << D ．a c b << 7. 关于不同的直线,m n 与不同的平面,αβ，有下列四个命题：①,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ②,m n αβP P 且αβP ，则m n P ； ③,m α⊥n βP 且αβP ，则m n ⊥； ④,m αP n β⊥且αβ⊥，则m n P ．其中正确的命题的序号是( )． A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④8. 方程2122xx =+的一个根位于区间（） A. 3(1,)2B. 3(,2)2C. 1(0,)2D. 1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 40+B. 40+10. 奇函数()f x 在(,0)-∞上的解析式是()(1)f x x x =+，则()f x 在(0,)+∞上有( )A ．最大值14-B ．最大值14 C ．最小值14-D ．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4AB BC CC ===，90ABC ∠=︒，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径的长度为（）AC．．12. 已知函数()22(0)()22(0)kx k x f x x ax a x -≥⎧⎪=⎨+--<⎪⎩ ，其中R a ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

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莆田一中2012-2013学年高一上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.化简AC -AB -BD +CD 得（）A. 0B.C.D. AB 2.已知3cos()||,tan 222ππϕϕϕ-=<且则等于（） A．-BCD ．3. 函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则c o s 2a b+=（）1- D. 1 4.函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值范围是( ) A ．1≥ω B ．21<≤ω C ．31<≤ω D ．3<ω5．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值是（）A. 1925B. 1625C. 1425D. 7256.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩则15()4f π-等于（） A.B. 1 C . 0 D .7. 已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2π.B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到 .D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数.8. 0=（）A. 1B. 2C.D. 9. 若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥， (2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（）A. 6πB. 3πC. 32πD. 65π10.如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量： ①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +； ⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③D ．⑤二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.平面向量,a b 中，若(1,1)a =-，(cos ,sin )b αα=，且1a b ∙=，则向量b = .12. 函数())3f x x πω=+(0)ω>部分图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆ 为正三角形.则ω= .13.△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则∙的值等于．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若)())((c b b c a c a +=-+，则角A 的大小是__________．15.函数[]π,0,cos sin cos sin ∈+-=x x x x x y 的值域是 .三、解答题：（本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．）16. (9分)已知向量(1,2)a =，(2,)b m =-,2(1)x a t b =++，1y ka b t=-+，m R ∈，,k t 为正实数.（Ⅰ）若//a b ，求m 的值; （Ⅱ）若a b ⊥，求m 的值;（Ⅲ）当1m =时，若x y ⊥，试确定k 与t 的关系式.17. (8分)已知sin2cos 0.22x x-= （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求cos 2cos()sin 4xx xπ+⋅的值.18．(8分) 设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上两点，O 是坐标原点，且6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（Ⅰ）若点Q的坐标是m ⎛ ⎝⎭，求)6cos(πα-的值；（Ⅱ）若函数()f OP OQ α−−→−−→=∙，求()αf 的值域．19. (10在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos b A B =．（I ）求角B 的值；（Ⅱ）若cos2A =sin C 的值．20. (10分)已知向量.)()(),21,sin 3(),1,(cos m n m x f x n x m ⋅+=-=-=函数向量（Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）若a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，]2,0[)()(,3,1π在恰是且x f A f c a ==上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.21. (10分)已知函数()()α+=x x f sin , ()()β+=x x g cos ,R x ∈,α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)若4,4πβπα=-=，判断()()()x g x f x h 22+=的奇偶性；(Ⅱ) 若3πα=，()()()x g x f x t +=是偶函数，求β;（Ⅲ）是否存在α、β，使得()()()x g x f x t +=是奇函数但不是偶函数？若存在，试确定α与β的关系式；如果不存在，请说明理由.莆田一中2012-2013学年度上学期期末考试试卷高一数学必修4参考答案三、解答题：（本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．） 16.(9分)解：解（Ⅰ）//a b ，1(2)20m ∴⋅--=， …………2分∴4m =-. …………3分（Ⅱ）a b ⊥,0a b ∴⋅=, …………4分1(2)20m ∴⋅-+=, …………5分 1m ∴=. …………6分（Ⅲ）当1m =时,a b ⋅0=, x y ⊥ 0x y ∴⋅=.则 x y ⋅=22211(1)()0ka a b k t a b t b t t-+⋅-+⋅++=, …………8分 1k t t∴=+.…………9分17. (8分)解：（Ⅰ）由sin2cos 0,tan 2222x x x-=⇒=, …………2分222tan2242tan .1231tan 2xx x ⨯∴===--- …………4分18. (8分)解：（Ⅰ）由已知可得cos 3m α==±，sin 3α=，…………2分所以3cos()cos cos sin sin 6666πππααα±-=+=. …………4分（Ⅱ）()(cos ,sin )(cos ,sin )66f OP OQ ππααα===1cos sin sin()223πααα+=+. …………6分因为[)0,απ∈，则4,333πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以sin()123πα-<+≤，故()f α的值域是⎛⎤⎥ ⎝⎦. …………8分19. (10分)解：（I ）由正弦定理得B A A B cos sin 3sin sin =， ……………1分0sin ≠A 因为，即3tan =B ， ……………3分由于π<<B 0，所以3π=B ． ……………4分（II ）5312cos2cos 2=-=A A ， …………6分因为0sin >A ，故54sin =A ， …………8分所以10334cos 23sin 213sin sin +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=A A A C π． …………10分20. (10分)解：(Ⅰ)23()()cos cos 2f x m n m x x x =+⋅=++ ……1分1cos2312cos222sin(2)2222226x x x x x π+=++=++=++ ……4分.22,.2T πωπ===因为所以 …………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知：7()sin(2)2,[0,],2,62666f A A x x πππππ=++∈≤+≤时 2,()3,2,.62626x f x x A πππππ+=∴+==当时取得最大值 ………7分2222,2cos ,132cos ,6a b c bc A b b π=+-∴=+-⨯由余弦定理12,b b ∴==或………9分111sin 2sin 264262S S ππ=⨯==⨯=从而 ………10分21. (10分) 解：(Ⅰ) 方法一（定义法）：()222cos 1222cos 14cos 4sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππx x x x x h x xx 2sin 122sin 12sin 1-=-+-=. ………2分所以()x h 是非奇非偶函数. ………3分方法二（特殊值法）：由(0)1h =知()x h 不是奇函数. ………1分又由04h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，24h π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知()x h 不是偶函数. ………2分所以()x h 是非奇非偶函数. ………3分(Ⅱ) 方法一（定义法）：()()βπ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x h cos 3sin ，()()βπ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x h cos 3sin ()x h 偶函数，()()x h x h -=，()()βπβπ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x cos 3sin cos 3sin 0sin 3cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-βπx， ………5分21sin =β ， 6,2,2πβππβ=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈. ………6分方法二（特殊值法）：()()()x g x f x t +=为偶函数所以()()()()βπβπ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x t x t cos 3sin cos 3sin ,,33⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴ππt t 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπππβπππ3cos 33sin 3cos 33sin …5分21sin =β ，6,2,2πβππβ=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，经验证6πβ=满足题意. ………6分当2παβ-=-时，()()()x g x f x t +==()sin x α++()cos x β+=()sin x α++cos 2x πα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()sin x α+-()sin x α+=0，此时()t x 既是奇函数又是偶函数.不合题意，舍去. ………9分当2παβ+=-时，()()()x g x f x t +==()sin x α++()cos x β+=()sin x α++cos 2x πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=()sin x α+-()sin x α-=2cos sin x α此时()t x 是奇函数但不是偶函数.。