打孔机生产效能的提高(1)

打孔机生产效能的提高摘要本文对印刷电路板过孔的生产效益如何提高进行了研究。

打孔机在加工作业时，钻头的行进时间和刀具转换时间是影响生产效益的两个因素。

在完成一个电路板的过孔加工时，钻头行进时间和刀具转换总时间越短、加工总费用越少，生产效益越高。

钻头行进总时间由钻头进行路线决定，而刀具转换总时间由线路板上由各孔的位置以及钻头行进方案决定。

对于问题一，我们首先比较了单位时间内钻头行进价格与刀具转换价格，发现钻头行进价格远大于刀具转换价格。

因此以钻头行进的最短路程为目标，得出模型一。

应用模拟退火算法解决单旅行商问题，得出模型一的较优解。

再次，考虑到刀具转换一次的时间远大于两孔型间行进时间，因此建立时间最短模型，此为模型二。

根据刀具转换次数最少为原则，求出较优解。

对于问题二，在问题一模拟退火算法运行出的多个次优解中，选取一个容易分割的解，再满足两孔间距离不小于3的前提下，将点阵分为两个区域，从而把两钻头的多旅行商问题转换为单个区域内的单旅行商问题，求出问题的一个较优解。

对于问题三，在考虑两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响时，在模拟之前假设钻头的间距是和效能成线性关系的，然而我们知道，当间距是无穷大时，加工的生产效能不可能是无穷大，也不可能是负值。

经过分析我们得出了间距的合理性将会对整个系统起到至关重要的作用的结论。

关键字：模拟退火算法TSP 最短路径一问题重述过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，过孔的加工费用通常占制板费用的30%到40%，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。

本问题旨在提高某类打孔机的生产效能。

请建立相应的数学模型，并完成以下问题：（1）附件1提供了某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，单位是密尔（mil）（也称为毫英寸，1 inch=1000 mil），请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。

（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。

为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm（称为两钻头合作间距）。

为使问题简化，可以将钻头看作质点。

（i）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？（ii）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。

二模型假设（1）对于同一孔型，打孔机钻孔作业的时间是相同的；（2）为了计算行进费用，需要计算行进时间，为了简化问题，这里假定打孔机行进是匀速的运动；（3）在作业过程中，不考虑刀具、钻头损坏的情况；（4）在针对两孔间距离时，将打孔机钻头简化为一质点；（5）为避免钻头间的触碰和干扰，假定保持两钻头间距不小于3cm；（6）针对不同孔型家工作业时，刀具的转换时间相同；（7）为是模型简便，忽略每个孔的加工时间。

三符号说明T：钻孔机花费的总时间P：打孔花费的价格d:钻头行进的距离m：刀具类型ii、j：i孔、j孔(xi, yi)，(xj, yj)：i孔、j孔的位置坐标；四模型分析问题一：本题类似于图论中“旅行商”问题，即在一张连通图中，每个点之间都可以任意连通，要求找到一条路，使经过每个点的总路程最短。

题中：钻头行进价格为0.06元/mm，而行进速度为180mm/s，而进行刀具转换的价格为7元/min，刀具一次转换所需时间为18s，可知在单位时间内（以1s为例），钻头行进的成本要远大于转头转换的成本。

故为将问题进行简化，先只考虑经过每个钻孔的总行程最短的作业线路。

用“模拟退火算法”，建立模型一，可得出近似最短路径。

同样，在考虑是钻头作业时间最短的路径，使用“模拟退火算法”，建立模型二，又可得一最优解。

此问的最优解应在上述两种模型最优解之间，利用相应程序逐个检验即可得之。

问题二：双钻头打孔机则类似于“多旅行商”问题，因两钻头相互独立，参照问题一，可将点区域分为两部分，是每个钻头在对应区域工作，且起始点没有要求，及问题转换为两个区域内的“单旅行商”问题。

详见模型三。

五模型建立5．1 模型的准备模拟退火算法的数学描述：模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。

统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。

在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。

在低温条件下，粒子能量较低。

如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。

当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。

如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。

假设材料在状态 i 之下的能量为E(i)，那么材料在温度 T 时从状态i 进入状态j 就遵循如下规律：（1 ）如果E(i)≤E(j)，接受该状态被转换。

（2 ）如果E(i) >E(j)，则状态转换以如下概率被接受：KTj E i E e)()(-其中K 是物理学中的波尔兹曼常数，T 是材料温度。

在某一个特定温度下，进行了充分的转换之后，材料将达到热平衡。

这时材料处于状态i 的概率满足波尔兹曼分布：∑∈--=Sj KTi E KT i E T eeP )()(其中x 表示材料当前状态的随机变量，S 表示状态空间集合。

显然,S eeSj KTi E KT i E T 1)()(lim=∑∈--∞→其中 |S| 表示集合S 中状态的数量。

这表明所有状态在高温下具有相同的概率。

而当温度下降时，⎪⎩⎪⎨⎧∈==+=∑∑∑∑∈----→∉--∈----→∈----→其他若01min min )()(0)()()(0)()(0minminminminminminminminminminlimlimlimS i S eeeeeeeS j KTE i E KT E i E T S j KTE i E S j KTE i E KTE i E T Sj KTE i E KT E i E T其中，)(m in min j E E Sj ∈=且})({min minE i E i S ==。

上式表明当温度降至很低时，材料会以很大概率进入最小能量状态。

假定我们要解决的问题是一个寻找最小值的优化问题。

将物理学中模拟退火的思想应用于优化问题就可以得到模拟退火寻优方法。

考虑这样一个组合优化问题：优化函数为S x :∈→+，其中R x f ，它表示优化问题的一个可行解，}0,{>∈=+y R y y R ，S 表示函数的定义域。

N(x)⊆ S 表示x 的一个邻域集合。

首先给定一个初始温度0T 和该优化问题的一个初始解x(0)，并由x(0)生成下一个))0((x N x ∈'，是否接受x'作为一个新解x(1)依赖于下面概率：)1())(()(1))((0))(()(⎪⎩⎪⎨⎧<'='→-'-其他若T k x f x f e k x f x f x k x P在温度i T 下，经过很多次的转移之后，降低温度i T ，得到1+i T <i T 。

在1+i T 下重复上述过程。

因此整个优化过程就是不断寻找新解和缓慢降温的交替过程。

最终的解是对该问题寻优的结果。

我们注意到，在每个i T 下，所得到的一个新状态x(k+1)完全依赖于前一个状态x(k),可以和前面的状态x(0),…, x(k −1)无关，因此这是一个马尔可夫过程。

使用马尔可夫过程对上述模拟退火的步骤进行分析，结果表明：从任何一个状态x(k)生成x'的概率，在N(x(k))中是均匀分布的，且新状态x'被接受的概率满足式（1），那么经过有限次的转换，在温度i T 下的平衡态i x 的分布由下式给出：∑∈--=Sj T x f T x f i i ii i eeT P )()()(当温度T 降为0时，i x 的分布为：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他若0x 1min i min*S S P并且∑∈=m in1*S x ii P这说明如果温度下降十分缓慢，而在每个温度都有足够多次的状态转移，使之在每一个温度下达到热平衡，则全局最优解将以概率 1 被找到。

因此可以说模拟退火算法可以找到全局最优解。

5.2模型的建立当刀具打完一个孔后，打孔机接下来有三种状态可以选择，分别为： （1） 钻头保持原地不动，而转换另一型号刀具继续打孔； （2） 钻头行进到下一位置打孔，二其上刀具保持原有型号不变； （3） 钻头行进到下一位置打孔，而同时刀具也转换到所需的相应型号。

设钻头在i 点时，刀具的转换时间为i t 1，而钻头的行进时间为i t 2对应以上三种情况有：（1）0,021=>i i t t ，则钻头在i 点所花时间i i t t 1=； （2）0,021>=i i t t ，则i i t t 2=； （3）0,021>>i i t t ，则},max{21i i i t t t = 花费的总时间为∑=i t T 。

设钻头在i 点时，刀具转换价格为i p 1，钻头行进价格为i p 2，对应以上三种情况，令i P 为钻头在i 点所花价格，有：（1）i i t p 11607=，02=i p ，则有i i t p 1607=； （2）01=i p ，i i t p 228.10=，则有i i t p 28.10=； （3）i i i t t p 218.10607+=花费的总价格为∑=i p P 。

因为同一孔型钻孔作业时间相同，因此只考虑两个因素：钻头行进时间和刀具转换时间。

钻头行进时间及相应费用分析：钻头行进速度为180mm/s ，每毫米须花费0.06元，则每秒花费10.8元，每18秒则需要花费194.4元。

刀具转换机及相应费用分析：刀具每转换一次须18s ，每分钟花费7元，则转换过程中，每秒花费为7/60元，没18秒则需要花费2.1元。

由以上分析可知，转换刀具的价格要远远小于钻头行进的成本，为了简化该问题，我们先只考虑是钻头经过每个钻孔的总路程最短来寻最优解，为此建立模型一。

模型一本问题为一多目标的规划问题，设中的目标函数为V ，则：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑i i t T p P T P V min 由于多目标函数无法求得最优解，在模型一中则转换为求行进路径最小的函数，由距离公式可得22)()(),(j i j i y y x x j i d -+-=类似于TSP 旅行商问题，该模型目标函数转换为V=mim(D),其中，∑=d D 。

首先，利用matlab 求得各类型孔的分布如下图所示：假设钻头从原点O（0,0）开始出发，最后又回到原点，用模拟退火算法编写matlab程序，最短路径的解如下图：（注：从原点出发的各点所对应的路径见附件一）将最短距离减去从原点出发到第一个点的距离、和从最后一个点回到原点的距离，得出一个较优距离为：满足钻头行进最短距离，即不走回头路，也就是说使用完加工一个点需要的所有刀具后，再加工下一个点。