2019学年河南省八市高一下学期第一次联考理科数学试卷【含答案及解析】
河南省六市2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷(附答案)
2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i-- C. 225i + D. 225i -3. 000040sin 200cos 50sin 70cos -的值为A. 23-B. 23C. 21-D. 214.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。
某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a =0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是A. 21-B. 23-C. 21 D. 229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值 A. 34 B. 32 C. 33 D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3πB. 43πC. 65πD.32π 12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
河南省2019学年高一下学期月考数学试卷含答案
高一第一次质量检测数 学 试 题一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.下列有4个命题：其中正确的命题有( )（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，则α2一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角. A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2) D.(1)(2)(3)(4))(,0tan ,0cos .2是则且如果θθθ><A.第一象限的角 B ．第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 3.已知角θ的终边经过点)2,1(-，则=θsin （ ）A.21-B. －2C.55D.552-4.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x y 3-=上，则角α的取值集合是（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,32ππαα ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k B ,322.ππαα⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k C ,32.ππαα D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,3ππαα ()01020sin .5-等于（ ）A.21 B.21- C. 23 D. 23- 6..已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，则cos α=（ ） A ．35-B ．25- C.55- D ．255- 7.函数sin y x = 的一个单调增区间是（ ）A. ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.在ABC ∆中，若()()C B A C B A +-=-+sin sin ,则ABC ∆必是（ ） A.等腰三角形 B ．等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角 9.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A.[]2,2-B. []2,0C.[]1,1-D.[]0,2-10.将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛12πf （ ） A.264+ B.364+ C.32 D.2211.)42sin(log 21π+=x y 的单调递减区间是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k ,4 ()Z k ∈ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-8,8ππππk k ()Z k ∈ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k ()Z k ∈ D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-83,8ππππk k ()Z k ∈ 12.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是 （ ）A.1120,,1243⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B.1120,,633⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13.扇形的周长为cm 8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_______. 14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3tan πx y 的定义域是_______..______21,25sin log ,70tan log .1525cos 2121，则它们的大小关系为设︒⎪⎭⎫⎝⎛=︒=︒=c b a16.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx x f ，则下列命题正确的是_________. ①函数()x f 的最大值为2；②函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称； ③函数()x f 的图象与函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x h 的图象关于x 轴对称； ④若实数m 使得方程()x f ＝m 在[]π2,0上恰好有三个实数解321,,x x x ,则37321π=++x x x ； ⑤设函数()()x x f x g 2+=，若()()()πθθθ211-=+++-g g g ，则3πθ-=三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
2019-2020学年河南省八市高一下学期第一次联考数学(理科)试题Word版含解析
2019-2020学年河南省八市高一下学期第一次联考数学（理科）试题一、选择题1．已知集合则{}2{|2320},1,0,1,2,3,A x x x B =--≤=-则A B ⋂=（ ）A. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. {}0,1,2 C. {}1,0,1,2- D. 1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由题意，得{}()(){}21|2320|2120,22A x x x x x x ⎡⎤=--≤=+-≤=-⎢⎥⎣⎦，{}1,0,1,2,3B =-，所以{}0,1,2A B ⋂=；故选B.2．下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A. y x x = B. xy e = C. 1y x=- D. 2log y x = 【答案】A【解析】易知e xy =、2log y x =为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项B 、D ，而1y x=-为奇函数，但在()(),0,0,-∞+∞上单调递增，故排除选项C ；故选A. 点睛：本题易错之处是在判定函数1y x=-的单调性时出现错误，要注意该函数在()(),0,0,-∞+∞为增函数，但不能说在定义域()(),00,-∞⋃+∞上单调递增.3．已知不重合的直线m l 、和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则//αβ；④若//m l ，则αβ⊥；其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】试题分析：因为//αβ，m α⊥，所以m β⊥，又因为l β⊂，所以m l ⊥，所以①正确；由αβ⊥，m α⊥，可得m β∥或m β⊆，有l β⊂，得不到//m l ，所以②错误；．m l ⊥，l β⊂，推不出l β⊥，进而得不到//αβ，所以③错误；因为m α⊥，//m l ，所以l α⊥，又因为l β⊂，所以αβ⊥，所以④正确，故选择B【考点】空间直线与平面的位置关系4．已知函数()22,1,{22,1,x x f x x x -≤-=+>-则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】()2f a ≥等价于21{22a a -≤-≥或1{222a a >-+≥，解得1a ≤-或0a ≥，即满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是(][),10,-∞-⋃+∞；故选D.5．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（ ）A. 82B. 8C. 42D. 4 【答案】C【解析】由题意，得MN AB ⊥，因为圆心()3,3到直线20x y -+=的距离为33222d -+==，所以4,24222MN AB ==-=，则四边形AMBN 的面积为114224222S MN AB =⋅=⨯⨯=；故选C.6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）33233【答案】A【解析】由三视图，可知该几何体是一个三棱锥，其底面是以2为底边、1为高的等腰三角形，三棱锥的高3，所以该几何体的体积为11321332V ⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；故选A.7．已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1,f x f x +=-当[]0,1x ∈时， ()32,f x x =则函数()()3log 2x f xx φ=--的所有零点之和为（ ）A. 24B. 28C. 32D. 36 【答案】C【解析】因为函数()f x 满足()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为2的周期函数，又因为()f x 为偶函数，且当[]0,1x ∈时， ()32f x x =，所以函数()f x 的部分图象如图所示，令()()()333log 2,2log 2{log 2,2x x g x x x x ->=-=-< ，作出函数()g x 的部分图象（如图所示），由图象可知两函数的图象有16个不同的交点，且关于直线2x =对称，所以函数()()3log 2x f x x φ=--的所有零点之和为4832⨯=；故选C.点睛：涉及函数的周期性的问题时，可记住以()20a a ≠为周期的函数()f x 的一些结论：①()()2f x a f x +=，②()()f x a f x +=-；③()()1f x a f x +=；④()()1f x a f x +=- . 8．执行下图的程序框图，则输出S 的值是（ ）A. 4log 7B. 2log 3C. 32D. 2 【答案】C【解析】由程序框图，得44544,log 5;5,log 5log 6log 6;k S k S ====⋅= 464474lg83lg236,log 6log 7log 7;7,log 7log 8log 8lg42lg22k S k S ==⋅===⋅====；故选C. 点睛：本题的难点在于利用利用换底公式进行化简： log log 1a b b a ⋅=， log log log a b a b c c ⋅=，要灵活利用换底公式进行化简.9．在[]3,3-上随机地取一个数b ，则事件“直线y x b =+与圆22210x y y +--=有公共点”发生的概率为（ ）A. 23B. 13C. 16D. 34【答案】A【解析】将22210x y y +--=化为()2212x y +-=，若直线y x b =+与圆22210x y y +--=有公共点，则122b d -+=≤，解得13b ≤≤，由几何概型的概率公式，得事件“直线y x b =+与圆22210x y y +--=有公共点”发生的概率为()()312333P --==--；故选A.10．为了解某社区物业部门对本小区业主的服务情况，随机访问了100位业主，根据这100位业主对物业部门的评分情况，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.由于某种原因，有个数据出现污损，请根据图中其他数据分析，评分不小于80分的业主有（ ）位.A. 43B. 44C. 45D. 46 【答案】B【解析】设污损数据为a ，由频率分布直方图可得()0.0290.0190.01122101a ++⨯+⨯=，解得0.015a =，则评分不小于80分的频率为()0.0290.015100.44+⨯=，则评分不小于80分的业主为1000.4444⨯=位；故选B.11．一个长为12,m 宽为4m 的长方形内部画有一个中国共青团团徽,在长方形内部撒入80粒豆子,恰好有30粒落在团徽区域上,则团徽的面积约为（ ）A. 216mB. 230mC. 218mD. 224m 【答案】C【解析】由几何概型，得团徽的面积约为301241880S =⨯⨯=；故选C. 12．下面的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是（ ）A. 76,75x x ==甲乙B. 乙同学成绩较为稳定C. 甲数据中3,x =乙数据中6y =D. 甲数据中6,x =乙数据中3y = 【答案】D【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以6x =，因为乙得分的平均数是75分，所以()566868707270808688897510y ++++++++++=，解得3y =，故选D.13．若点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin cos αα+的值为（ ） A. 312-312 C. 312+312+ 【答案】C【解析】因为点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，所以点13,2⎛ ⎝⎭在角α的终边上，则31sin cos 2αα+=；故选C. 14．5sin (0)6y x πωωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,0,2⎛⎫⎪⎝⎭那么该函数图像的所有对称轴中，距离y 轴最近的一条对称轴是（ ） A. 1x =- B. 12x =- C. 1x = D. 32x = 【答案】A【解析】因为5sin (0)6y x πωωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以5πsin 026ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得5π2π3k ω=-（Z k ∈），又因为0ωπ<<，所以2π3ω=，即2π5πsin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2π5π362x π+=，解得1x =-，即距离y 轴最近的一条对称轴是1x =-；故选A.15．若函数()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，且在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是减函数，则φ的值可以是（ ） A. 3π-B. 23πC. 53πD. 3π【答案】B【解析】因为函数()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数，所以π3k πφ+=， Z k ∈，则ππ3k φ=-，故排除选项D ，又因为在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是减函数，所以][π5ππ3π,,3622φφ⎡⎤++⊆⎢⎥⎣⎦，解得π2π63φ≤≤，即2π3φ=；故选B.点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如： 若()sin y x ωϕ=+为奇函数，则π,Z k k ϕ=∈； 若()sin y x ωϕ=+为偶函数，则ππ+,Z 2k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数，则π,Z k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为奇函数，则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 16．如图所示的是函数()sin2f x x =和函数()g x 的部分图像，则函数()g x 的解析式是（ ）A. ()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()5cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. ()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象，得π17π824f g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π282f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，经验证选项C 中17π17π5π9ππcos cos cos 2412644g ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选C. 17．若4x π≤，则()2cos sin f x x x =+的最小值是（ ）A.12B. 12-C. 1-D. 12【答案】D【解析】令sin t x =，因为4x π≤，所以22t -≤≤，则22cos sin 1sin sin y x x x x =+=-+ 2215124t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当t =时，min y =；故选D. 点睛：求形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令sin t x =或cos t x =，则2y at bt c =++，但要注意t 的取值范围.二、填空题18．已知圆()224x a y -+=与射线()0y x =≥没有公共点，则实数α的取值范围是__________． 【答案】{|2a a <-或a >【解析】因为圆()224x a y -+=与射线)0y x =≥没有公共点，所以()2234x a x -+=，即224240x ax a -+-=没有非负根，则()()222416441630a a a ∆=--=-<或()2241630{04404a a a ∆=-≥<->，解得3a >或3a <-或2a ≤<-，即实数α的取值范围是{|2a a <-或a >. 点睛：本题考查的是射线和圆的位置关系，而不是直线与圆的位置关系，若判定直线和圆的公共点个数问题时，可利用圆心到直线的距离与半径的大小进行判定，而研究射线和曲线的公共点问题，则往往转化为方程在某个范围有解问题进行处理.19．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为__________．【答案】4【解析】由程序框图，得55232,1;32264,2;S k S k ====+==5564296,3;962128100,4;S k S k =+===+=>= 故填4.20．从1,2,3中随机选取一个数记为a ，从2,3,4中随机选取一个数记为b ，则5a b +>的概率为__________． 【答案】13【解析】从1,2,3中随机选取一个数记为a ，从2,3,4中随机选取一个数记为b ，有()()()1,2,1,3,1,4,()()()()()()2,2,2,3,2,4,3,2,3,3,3,4共9个基本事件，其中满足5a b +>的有 ()()()2,4,3,3,3,4共3个基本事件，所以5a b +>的概率为3193P ==. 21．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部随机取一个点,M 则点M 到顶点A 的距离超过1的概率为__________．【答案】1162π-【解析】由题意，得棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的体积为3327V ==，若点M 到顶点A 的距离不超过1，则点M 的轨迹是以A 为球心、半径为1的球的八分之一，其体积为16V π=，所以点M 到顶点A 的距离超过1的概率为1π27π6127162V V P V--===-. 22．已知一扇形所在圆的半径为10,cm 扇形的周长是45,cm 那么这个扇形的圆心角为__________rad ．【答案】2.5【解析】因为一扇形所在圆的半径为10,R cm =扇形的周长是45cm ，所以该扇形的弧长为452025l =-=，则这个扇形的圆心角为252.510θ==. 23．已知10,sin cos ,2απαα<<⋅=-则111sin 1cos αα+=++__________．【答案】4【解析】因为10,sin cos 2απαα<<⋅=-，所以()2sin cos 12sin cos 0αααα+=+=，即sin cos 0αα+=，则112sin cos 1sin 1cos 1sin cos sin cos αααααααα+++=+++++ 24112==-.点睛：涉及sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +- 的“知一求二”问题，主要利用三角函数的符号问题、22sin cos 1x x +=及()2222a b a b ab ±=++进行求解.24．在下列结论中,正确结论的序号为__________．①函数()()sin y k x k Z π=-∈为奇函数；②若()tan 2,x π-=则21cos 5x =； ③函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴为2.3x π=-【答案】①②④【解析】因为()sin ,21,Zsin π{sin ,2,Zx k m m y k x x k m m =+∈=-=-=∈为奇函数，即①正确；若()tan πtan 2x x -=-=，则22222cos 11cos sin cos tan 15x x x x x ===++，即②正确；当π12x =时，πtan 03y ==≠，即③错误；当2π3x =-时， cos π1y ==-， 即函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的一条对称轴为23x π=-，即④正确；故填①②④. 点睛：考查函数()sin y A x ωϕ=+的对称性问题时，往往结合整体思想和正弦函数的对称性，若以选择题或填空题的形式进行考查，往往利用“对称轴过函数图象的最高点或最低点，对称中心是函数图象与x 轴的交点”进行验证.三、解答题25．已知集合{}51,x A x =集合()13log 11.B x x ⎧⎫⎪⎪=+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭（Ⅰ）求()R C A B ⋂；（Ⅱ）若集合{|},C x x a =<满足,B C C ⋃=求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {|10}x x -<≤;（Ⅱ）2α≥.【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用指数函数、对数函数的单调性解不等式，进而化简两集合，再利用集合的运算进行求解；（Ⅱ）先将B C C ⋃=等价转化为B C ⊆，再利用图示法进行求解.试题解析：(Ⅰ)依题意有{}0,{|12}A x x B x x ==-<< {}0,{|0};R A x x C A x x =∴=≤Q(){|10}R C A B x x ∴⋂=-<≤（Ⅱ）{|12},{|},B x x C x x α=-<<=<Q,2B C C B C α⋃=⇒⊆∴≥Q26．已知圆228x y +=内一点()1,2,M AB -为过点M 且倾斜角为α的弦. （Ⅰ）当34πα=时，求AB 的长； （Ⅱ）当弦AB 被点M 平分时，求直线AB 的方程.【答案】（Ⅱ）250x y -+=.【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用直线的点斜式方程求得该直线方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而利用AB =（Ⅱ）先利用平面几何知识得到OM AB ⊥，再利用两直线垂直的条件得到所求直线的斜率，再利用点斜式进行求解.试题解析：（Ⅰ） 当3π4α=时，直线AB 的方程为： ()2110y x x y -=-+⇒+-=设圆心到直线AB 的距离为,d 则d =AB ∴==（Ⅱ）当弦AB 被点M 平分时 OM AB ⊥因为2OM K =-,可得1,2AB K =故直线AB 的方程为： ()1212y x -=+ 即250x y -+= 点睛：在处理直线和圆的位置关系时，要结合初中所学平面几何知识进行求解，若本题中的直线与圆的位置关系、弦长公式、由弦AB 被点M 平分得到OM AB ⊥等.27．已知定义域为R 的函数()122xx n f x m+-=+是奇函数. （Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()()2210f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2,1m n ==;（Ⅱ）(),1.-∞-【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用奇函数的性质()00f =求出n 值，再利用特殊值求得m 值，再验证即可；（Ⅱ）先利用单调性的定义证明函数()f x 为单调递减函数，再结合函数的奇偶性将问题等价转化为212kx x <-恒成立，再分离常数，将问题转化为求函数的最值问题.试题解析：（Ⅰ） ()f x Q 在定义域为R 是奇函数，所以()00, 1.f n =∴=又由()()11,2,f f m -=-∴=检验知，当2,1m n ==时，原函数是奇函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()11211,22221x x x f x +-==-+++任取12,,x x ∈R 设12,x x < 则()()()()121212211122,21212121x x x x x x f x f x --=-=++++因为函数2x y =在R 上是增函数， 且12,x x <所以12220,x x -<又()()()()122121210,0x x f x f x ++>∴-<即 ()()21,f x f x <∴函数()f x 在R 上是减函数.因()f x 是奇函数，从而不等式()()2210f kx f x +->等价于()()()22112,f kx f x f x >--=-因()f x 在R 上是减函数，由上式推得212,kx x <-即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有： 212x k x -<恒成立，设()2212112,x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭令11,,2,3t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则有()212,,2,3g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦()()()min min 11,1,g x g t g k ∴===-∴<-即k 的取值范围为(),1.-∞-点睛：利用函数的奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：①若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =；②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数⨯奇函数=偶函数⨯偶函数=偶函数； ③特殊值验证法，如本题中由()()11f f -=-.28．如图ABCD 为矩形， CDFE 为梯形， CE ⊥平面,ABCD O 为BD 的中点， 2AB EF =（Ⅰ）求证： //OE 平面ADF ；（Ⅱ）若ABCD 为正方形，求证：平面ACE ⊥平面.BDF【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) 取AD 的中点M ，利用三角形的中位线和平行四边形证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（Ⅱ）先利用正方形和线面垂直的性质证明线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明.试题解析：（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接,,MF OM 因为ABCD 为矩形， O 为BD 的中点，所以//,2.OM AB AB OM =又因为CE ⊥平面ABCD ,所以.CE CD ⊥因为CDEF 为梯形，所以//,CD EF 又因为2,AB EF =所以//,,EF OM EF OM =所以EFMO 为平行四边形，所以//,OE MF 又,MF ADF ⊂所以//OE 平面.ADF（Ⅱ）因为ABCD 为正方形， O 为BD 的中点，所以,BD AC ⊥又因为CE ⊥平面,ABCD 所以,BD CE ⊥所以BD ⊥平面,ACE 所以平面BDF ⊥平面.ACE29．脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要.现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i 个农户的年收入i x （万元），年积蓄i y （万元），经过数据处理得10010010010021111500,100,1000,3750.i i i i i i i i i x y x y x ========∑∑∑∑（Ⅰ）已知家庭的年结余y 对年收入x 具有线性相关关系，求线性回归方程；（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？附：在ˆˆˆy bx a =+ 中， 1221ˆˆˆ,,n i ii n i i x y nxy b ay bx x nx ==-==--∑∑其中,x y 为样本平均值. 【答案】（Ⅰ）0.41ˆyx =- ;（Ⅱ）15万元. 【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题中所给数据和最小二乘法求出相关系数，进而求出线性回归方程；（Ⅱ）利用线性回归方程进行预测.试题解析：（Ⅰ）由题意知所以线性回归方程为0.41ˆyx =- （Ⅱ）令0.415ˆyx =-≥ 得15,x ≥ 由此可预测该农户的年收入最低为15万元.30．春节期间某超市搞促销活动，当顾客购买商品的金额达到一定数量后可以参加抽奖活动，活动规则为：从装有3个黑球， 2个红球， 1个白球的箱子中（除颜色外，球完全相同）摸球.（Ⅰ）当顾客购买金额超过100元而不超过500元时，可从箱子中一次性摸出2个小球，每摸出一个黑球奖励1元的现金，每摸出一个红球奖励2元的现金，每摸出一个白球奖励3元的现金，求奖金数不少于4元的概率；（Ⅱ）当购买金额超过500元时，可从箱子中摸两次，每次摸出1个小球后，放回再摸一次，每摸出一个黑球和白球一样奖励5元的现金，每摸出一个红球奖励10元的现金，求奖金数小于20元的概率.【答案】(Ⅰ) 25;（Ⅱ）8.9【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意列举出所有基本事件和满足要求的基本事件，再利用古典概型的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式进行求解；（Ⅱ）根据题意列举出所有基本事件和满足要求的基本事件，再利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式进行求解.试题解析：(Ⅰ) 3个黑球依次为黑1,黑2,黑3,2个红球依次为红1,红2,白球为白,从箱子中一次性摸出2个小球的基本事件为(黑1黑2),(黑1黑3),(黑2黑3),(黑1红1),(黑1红2),(黑2红1),（黑2红2），（黑3红1），（黑3红2），（红1红2），（黑1白），（黑2白），（黑3白），（红1白），(红2白)基本事件总数为15，奖金数恰好为4元基本事件为（红1红2），（黑1白），（黑2白），（黑3白），其基本事件数为4，记为事件A ，奖金数恰好为4元的概率()4.15P A =奖金数恰好为5元基本事件为（红1白），（红2白），其基本事件数为2，记为事件B ，奖金数恰好为5元的概率()2.15P B = 奖金数恰好不少于4元的概率()()14262.1515155P P A P B =+=+==（Ⅱ） 3个黑球依次为黑1，黑2，黑3， 2个红球依次为红1，红2，从箱子中摸两次，每次摸出1个小球后，放回再摸一次的基本事件为（黑1黑1）（黑1黑2），（黑1黑3），（黑1红1），（黑1红2），（黑1白），（黑2黑1）（黑2黑2），（黑2黑3），（黑2红1），（黑2红2），（黑2白），（黑3黑1）（黑3黑2），（黑3黑3），（黑3红1），（黑3红2），（黑3白），（红1黑1）（红1黑2），（红1黑3）， （红1红1），（红1红2），（红1白），（红2黑1）（红2黑2），（红2黑3），（红2红1），（红2红2），（红2白），（白黑1）（白黑2），（白黑3），（白红1），（白红2），（白白），基本事件总数为36，奖金数最高为20元，奖金数恰好为20元的基本事件为（红1红1），（红1红2），（红2红1），（红2红2），基本事件总数为4,设奖金数20元的事件为,C 则()41,369P C == 奖金数小于20元的概率()31811.99P P C =-=-= 31．已知()()()()()sin sin tan 2.tan sin f πααπαααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-- （Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）若α为第四象限角，且32cos ,23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求()f α的值. 【答案】（Ⅰ）cos ;α-（Ⅱ） 【解析】试题分析：(Ⅰ)利用诱导公式进行化简；（Ⅱ）先利用诱导公式得到2sin 3α=-，再利用三角函数基本关系式进行求解. 试题解析：（Ⅰ） ()()()()()sin sin tan 2tan sin f πααπαααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-- ()()()cos sin tan cos .tan sin αααααα--==-- （Ⅱ）由32cos ,23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得2sin .3α=- 又因为α为第四象限角，所以cos α== 所以此时()3f α=-32．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωφωϕ=+>><的部分图像如图所示,求(Ⅰ)函数()f x 的解析式;(Ⅱ)函数()cos y A x ωφ=+的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;（Ⅱ）2,,.36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由图象和五点作图法的关键点的坐标进行求解；（Ⅱ）利用整体思想进行求解.试题解析：（Ⅰ）由五点作图法知， ππ122{,π3ωφωφπ⨯+=⨯+=解得π2,,2,3A ωφ=== 所以函数解析式为π2sin 2,3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ （Ⅱ）令π2ππ22π,Z,3k x k k -≤+≤∈解得， 2ππππ36k x k -≤≤- 所以()cos y A x ωφ=+的单调增区间为2πππ,π,Z.36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦。
2019-2020学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的.1．（5分）若sin2α＜0，则α的终边在（）A．第二象限B．第四象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2．（5分）向量＝（2，x），＝（x，8），若∥，且它们的方向相反，则实数x的值为（）A．﹣4B．4C．±4D．23．（5分）某中学初中部共有240名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该中学男教师的人数为（）A．93B．123C．162D．2284．（5分）一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对，白色面和黄色面相对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（）A．是对立事件B．不是互斥事件C．是相等事件D．是互斥但不是对立事件5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n＝13，则输出的i，k的值分别为（）A．3，5B．4，7C．5，9D．6，116．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（）A．600石B．800石C．1600石D．3200石7．（5分）已知f（α）＝，则f（﹣π）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．2800B．1200C．140D．609．（5分）如果函数y＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时φ的值为（）A．B．C．﹣D．±10．（5分）把不超过实数x的最大整数记为[x]，则函数f（x）＝[x]称作取整函数，又叫高斯函数．在区间[2，4]上任取实数x，则[x]＝[]的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）＝sin x﹣cos x在[t，2t]（t＞0）上是增函数，则t的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，若当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某工厂甲、乙、丙三种不同型号的产品的产量分别为400，300，300（单位：件）．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验，则应抽取的甲种型号的产品件数为．14．（5分）一次体操比赛中，7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示（其中茎表示十位数，叶表示个位数），去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为．15．（5分）已知方程sin（ωx+）＝（ω＞0）在[0，]上有两个不同的根，则实数m 的取值范围为．16．（5分）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数y＝log2（x﹣2）的图象．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）＝[f（x）]2﹣f（x2）+7，求g（x）在[，4]上的最大值和最小值的和．18．（12分）在▱ABCD中，，，向量与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求和夹角的余弦值．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，且AB＝BC，D为线段AC的中点，E在线段PC上．（Ⅰ）若P A∥平面BDE，确定E点的位置并证明；（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面P AC．20．（12分）新冠肺炎疫情期间，某定点医院从2020年2月11日开始收治新冠肺炎患者，前5天每天新收治的患者人数统计如表：2月x日1112131415新收治患者人数y2526292831（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该医院共有300张病床，不考虑出院的情况，按照这个趋势，该医院到哪一天病床会住满？附：回归直线方程为，其中，．21．（12分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．22．（12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见表．质量指标Y[9.4，9.8）[9.8，10.2]（10.2，10.6]频数82416201一年内所需维护次数（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？2019-2020学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的.1．（5分）若sin2α＜0，则α的终边在（）A．第二象限B．第四象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【分析】由题意利用二倍角的正弦公式，三角函数在各个象限中的符号，得出结论．【解答】解：若sin2α＝2sinαcosα＜0，则sinα与cosα异号，故α的终边在第二或第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．2．（5分）向量＝（2，x），＝（x，8），若∥，且它们的方向相反，则实数x的值为（）A．﹣4B．4C．±4D．2【分析】根据即可求出x＝±4，然后根据方向相反即可求出x的值．【解答】解：∵，∴16﹣x2＝0，解得x＝±4，又方向相反，∴x＝﹣4．故选：A．【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量数乘的几何意义，方向相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）某中学初中部共有240名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该中学男教师的人数为（）A．93B．123C．162D．228【分析】根据题意，由图中的数据求出初中部、高中部男教师的人数，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，某中学初中部共有240名教师，其中男教师占30%，则男教师有240×30%＝72人，高中部共有150名教师，其中男教师占60%，则男教师有150×60%＝90人，所以该中学男教师共有72+90＝162人．故选：C．【点评】本题考查数据的分析，注意从图示中读取数据，属于基础题．4．（5分）一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对，白色面和黄色面相对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（）A．是对立事件B．不是互斥事件C．是相等事件D．是互斥但不是对立事件【分析】事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生，但能同时不发生，从而事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥但不对立事件．【解答】解：将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥但不对立事件，故选：D．【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n＝13，则输出的i，k的值分别为（）A．3，5B．4，7C．5，9D．6，11【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i，k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝13，i＝1，k＝1，s＝0不满足条件s＞n，执行循环体，s＝2，i＝2，k＝3不满足条件s＞n，执行循环体，s＝7，i＝3，k＝5不满足条件s＞n，执行循环体，s＝15，i＝4，k＝7满足条件s＞n，退出循环，输出i，k的值分别为4，7．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（）A．600石B．800石C．1600石D．3200石【分析】根据数得250粒内夹谷25粒，可得比例数，由此列式即可求得答案．【解答】解：设这一批米约有N石，由题意可得，即N＝1600石．故选：C．【点评】本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征应用，是基础题．7．（5分）已知f（α）＝，则f（﹣π）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出f（α），即可求出所求式子的值．【解答】解：f（α）＝＝＝cosα，则f（﹣π）＝cos（﹣π）＝cos（673π+）＝﹣cos＝﹣．故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8．（5分）某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．2800B．1200C．140D．60【分析】由频率分布直方图计算该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率和频数．【解答】解：由频率分布直方图知，该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率为1﹣（0.02+0.10）×（20﹣17.5）＝1﹣0.3＝0.7，所有估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是4000×0.7＝2800（人）．故选：A．【点评】本题考查了由频率分布直方图计算频率和频数的问题，是基础题．9．（5分）如果函数y＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时φ的值为（）A．B．C．﹣D．±【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝π对称，所以：2π+φ＝kπ+，所以：φ＝kπ﹣，所以：当k＝1或2时，|φ|取最小值时φ的值为±，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）把不超过实数x的最大整数记为[x]，则函数f（x）＝[x]称作取整函数，又叫高斯函数．在区间[2，4]上任取实数x，则[x]＝[]的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知分类求得使[x]＝[]的x的范围，再由测度比是长度比得答案．【解答】解：当2≤x＜3时，[x]＝[]＝2；当3≤x＜4时，[x]＝3，[]＝2；符合条件的x∈[2，3），由测度比为长度比可得，[x]＝[]的概率为＝．故选：B．【点评】本题主要考查几何概率、数学阅读理解能力、分类讨论思想，是基础题．11．（5分）函数f（x）＝sin x﹣cos x在[t，2t]（t＞0）上是增函数，则t的最大值为（）A．B．C．D．【分析】将函数f（x）化简，由正弦函数的单调性可得t的取值范围，然后求出t的最大值．【解答】解：f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣）在[t，2t]（t＞0）上是增函数，所以t﹣≤x﹣≤2t﹣，所以[t﹣，2t]⊆[﹣，]，则，又t＞0，所以0＜t≤π．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简及三角函数的单调性，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，若当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数为（）A．4B．5C．6D．8【分析】在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f（x）与y＝的图象，得到两函数图象在（﹣7，8）内的交点个数，即可求得F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数．【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数，即方程f（x）﹣﹣＝0在（﹣7，8））上的解的个数，也就是函数y＝f（x）与函数y＝在（﹣7，8））上的交点个数，又函数f（x）是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，作出函数y＝f（x）与y＝的图象如图：由图可知，F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数为6个．故选：C．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，考查作图能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某工厂甲、乙、丙三种不同型号的产品的产量分别为400，300，300（单位：件）．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验，则应抽取的甲种型号的产品件数为20．【分析】根据题意求出抽样比例，再计算应从甲种型号的产品中抽取的样本数据．【解答】解：抽样比例是＝，∴应从甲种型号的产品中抽取400×＝20（件）．故答案为：20．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．14．（5分）一次体操比赛中，7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示（其中茎表示十位数，叶表示个位数），去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为89．【分析】根据茎叶图写出这7个数据，计算去掉一个最高分和一个最低分后剩余数据的平均数．【解答】解：根据茎叶图知，这7个数据从小到大排列为：79，86，87，90，91，91，92；去掉一个最高分92，一个最低分79，剩余数据的平均数为＝×（86+87+90+91+91）＝89．故答案为：89．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题．15．（5分）已知方程sin（ωx+）＝（ω＞0）在[0，]上有两个不同的根，则实数m 的取值范围为[2，4）．【分析】根据x∈[0，]上，求解内层ωx+的范围，结合正弦函数图象与性质，即可得y＝sin（ωx+）与y＝有两个不同的交点，再求出实数m的取值范围．【解答】解：由x∈[0，]，得ωx+∈[，]，根据正弦函数图象，可知函数y＝sin（ωx+）图象与函数y＝有两个不同的交点，所以，所以2≤m＜4．故答案为：[2，4）．【点评】本题考查三角函数的性质和图象的应用，考查转化思想以及计算能力，属基础题．16．（5分）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是①④．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【分析】利用基底表示向量，结合图形即可作出判断．【解答】解：设，（λ，μ∈R，）由图可知，λ＞0，μ＞0，若B，P，C三点共线，则λ+μ＝1，而点P在阴影区域内，所以λ+μ＞1．即①④正确．故答案为：①④．【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数y＝log2（x﹣2）的图象．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）＝[f（x）]2﹣f（x2）+7，求g（x）在[，4]上的最大值和最小值的和．【分析】（Ⅰ）利用图象变换法则直接求解即可；（Ⅱ）表示出g（x），由二次函数的性质即可得解．【解答】解：（Ⅰ）y＝log2（x﹣2）的图象向左平移2个单位长度得到函数的图象为y＝log2[（x+2）﹣2]＝log2x，∴f（x）＝log2x；（Ⅱ）2+6，当时，log2x∈[﹣1，2]，∴当log2x＝﹣1时，g（x）max＝10，当log2x＝1时，g（x）min＝6，∴最大值与最小值之和为16．【点评】本题考查函数图象的变换法则及对数函数，二次函数的图象及性质，属于基础题．18．（12分）在▱ABCD中，，，向量与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求和夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据题意，设，，由数量积公式可得•＝||，结合，求出||的值即可；（Ⅱ）根据题意，由数量积公式可得•＝0，即可得与的夹角为，进而求出和夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）设，，则，．向量与的夹角为，∴．∴，解得，即．（Ⅱ），则与的夹角为，故．【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，且AB＝BC，D为线段AC的中点，E在线段PC上．（Ⅰ）若P A∥平面BDE，确定E点的位置并证明；（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面P AC．【分析】（Ⅰ）E点为线段PC的中点，通过P A∥平面BDE，推出P A∥DE，结合中位线定理推出结果即可．（Ⅱ）先证明P A⊥平面ABC，推出P A⊥BD，结合BD⊥AC，推出BD⊥平面P AC，然后证明平面BDE⊥平面P AC．【解答】证明：（Ⅰ）E点为线段PC的中点．证明：因为P A∥平面BDE，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE，又因为D为线段AC的中点，所以E为线段PC的中点．（证明过程由“E是线段PC的中点”推出“P A∥平面BDE”也算对）（Ⅱ）因为P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，所以P A⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD．因为AB＝BC，D为线段AC的中点，所以BD⊥AC．又因为AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC，因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面P AC．【点评】本题考查空间位置关系的推理，考查空间想象能力，是中档题．20．（12分）新冠肺炎疫情期间，某定点医院从2020年2月11日开始收治新冠肺炎患者，前5天每天新收治的患者人数统计如表：2月x日1112131415新收治患者人数y2526292831（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该医院共有300张病床，不考虑出院的情况，按照这个趋势，该医院到哪一天病床会住满？附：回归直线方程为，其中，．【分析】（Ⅰ）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（Ⅱ）在线性回归方程中，分别取x＝16、17、18、19、20求得y值，然后作和判断．【解答】解：（Ⅰ），＝27.8，．．∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）根据线性回归方程，2月15日以后每天新收治的患者人数估计为：2月x日1617181920新收治患者人数y3233353638到2月20日，患者总人数预计为25+26+29+28+31+32+33+35+36+38＝313＞300，∴该医院到2月20日病床会住满．【点评】本题考查线性回归分析的应用，主要考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．21．（12分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．【分析】（Ⅰ）把已知函数解析式变形，再由复合函数的单调性求解f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）＝，可得sin（）＝，进一步求得cos（），再由sin （α+）＝sin[（）+]，展开两角和的正弦求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1＝＝＝．由，可得，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴取k＝0和k＝1时，可得f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]；（Ⅱ）由f（）＝，得2sin（）＝，即sin（）＝．∵α∈（0，π），∴∈（），则cos（）＝﹣．∴sin（α+）＝sin[（）+]＝sin（）cos+cos（）sin＝＝．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．22．（12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见表．质量指标Y[9.4，9.8）[9.8，10.2]（10.2，10.6]频数82416201一年内所需维护次数（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【分析】（1）由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y的平均值指标．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1，A2，A3，指标Y在（10.2，10.6]内的有2件，记为B1，B2，指标Y在[9.4，9.8）内的有1件，记为C，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，由此能求出指标Y都在[9.8，10.2]内的概率．（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，由此能求出结果．【解答】解：（1）指标Y 的平均值为：≈10.07．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1，A2，A3，指标Y在（10.2，10.6]内的有2件，记为B1，B2，指标Y在[9.4，9.8）内的有1件，记为C，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C），其中，指标Y都在[9.8，10.2]内的概率为P＝＝．（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为η＝（48x+16×300+8×600）＝x+200元．假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48（x+100）元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300＝2400元，平均每件产品的消费费用：ξ＝×[48（x+100）+8×300]＝x+150元，∴该服务值得购买．【点评】本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
河南省六市2019届高三第一次联考(一模)数学(理)试题Word版含答案
河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}032|{2<--=x x x B ，则=B A （ ） A ．)12,2( B ．)3,1(- C ．)12,1(- D ．)3,2( 2．已知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a ii∈+=-+，则=+b a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．101 B ．51 C ．103 D ．524．汽车以s m t v /)23(+=作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是（ ） A ．m 5 B ．m 211 C ．m 6 D ．m 2135．为考察B A ,两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．47．已知数列}{n a 满足：2)1(11=-+++n n n a a ，则其前100项和为（ ） A ．250 B ．200 C ．150 D ．1008．已知锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，则)sin(sin 2A B A-的取值范围是（ ） A. )22,0( B. )23,21( C. )22,21( D.)23,0( 9．设201721,,,a a a 是数列2017,,2,1 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．在三棱锥ABC S -中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 21=，且三棱锥ABC S -的体积为239，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点)0,1(-F ，则椭圆的离心率是（ ） A ．213- B ．215- C ．223- D ．225-12．若关于x 的方程0=+-+m e x e e x xxx 有3个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中R m ∈，71828.2=e ，则)1)(1()1(3213221---x x x e x e x e x 的值为（ ） A ．1 B ．m -1 C ．m +1 D ．e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知)2,3(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b .14．已知二项式n xx )1(2+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（用数字作答）.15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 .16．已知动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+++≥≤+1)1)(1(14222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 中，11=a ，其前n 项的和为n S ，且满足)2(1222≥-=n S S a n nn .（1）求证：数列}1{nS 是等差数列； （2）证明：当2≥n 时，2313121321<++++n S n S S S .18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060=∠BAD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角C AE B --的大小为045，求AD PD :的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点B A ,，当直线l 的倾斜角是045时，AB 的中垂线交y 轴于点)5,0(Q .（1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点N M ,，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 点旋转时，求||AB S的最大值.21．已知函数)(221ln )(2R k kx x x x f ∈-+=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：23)(2-<x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题答案一、选择题1-5：CBCDB 6-10：BDCDC 11-12：BA 二、填空题13．5 14．10 15．221+ 16．940- 三、解答题17．解：（1）当2≥n 时，12221-=--n nn n S S S S ，112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ，从而}1{nS 构成以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，122)1(111-=⨯-+=n n S S n ，∴121-=n S n ∴当2≥n 时，)111(21)22(1)12(11nn n n n n S n n --=-<-=从而232123)1113121211(21113121321<-<--++-+-+<++++n n n S n S S S n . 18．解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：32515158=+⨯人，80岁以下应抽取：52515258=+⨯人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：6160020452015=+++ 用样本估计总体，80岁及以上长者为：116166=⨯万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为%75.2%10040011=⨯. （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，54)0(==X P ，6009560047551)120(=⨯==X P ，600176008551)200(=⨯==X P ，60056002551)220(=⨯==X P ，60036001551)300(=⨯==X P ，则随机变量X 的分布列为：286003300522017200951200=⨯+⨯+⨯+⨯+=EX全市老人的总预算为84102176.210661228⨯=⨯⨯⨯元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.19.解：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，∴AC PD ⊥， 又ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，故⊥AC 平面PBD ∴平面⊥EAC 平面PBD .（2）解：连结OE ，因为//PD 平面EAC ， 所以OE PD //，所以⊥OE 平面ABCD ， 又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OE OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系设h OE m OB ==,，则m OA 3=，),0,0(),0,,0(),0,0,3(h E m B m A向量)0,1,0(1=n 为平面AEC 的一个法向量 设平面ABE 的一个法向量为),,(2z y x n =， 则02=⋅AB n 且02=⋅BE n 即03=+-my mx 且0=-hz my ， 取1=x ，则3=y ，h mz 3=，则)3,3,1(2hm n = ∴2221212103313|,cos |45cos hm n n ⋅++==><=，解得26=m h故2:6:2:2:===m h m h AD PD .20.（1）)2,0(pF ，当l 的倾斜角为045时，l 的方程为2p x y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222得0222=--p px x p p x x y y p x x 3,2212121=++=+=+，得AB 的中点为)23,(p p D AB 中垂线为)(23p x p y --=-0=x 代入得525==p y∴2=p（2）设l 的方程为1+=kx y ，代入y x 42=得0442=--kx x444)(2||22121+=++=++=k x x k y y ABAB 中点为)12,2(2+k k D令α2=∠MDN （弧度），||||212AB AB S ⋅=⋅=αα∴α=||AB S∴D 到x 轴的距离12||2+=k DE∴22112212||21||cos 222+-=++==k k k AB DE α当02=k 时，αcos 取最小值21，α的最大值为3π 故||AB S的最大值为3π.21．（1）kx x x x f 221ln )(2-+=，),0(+∞∈x 所以xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+=（1）当0≤k 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增（2）当0>k 时，令12)(2+-=kx x x t ， 当0442≤-=∆k 即10≤<k 时，0)(≥x t 恒成立，即0)('≥x f 恒成立 所以)(x f 在),0(+∞上单调递增 当0442>-=∆k ，即1>k 时， 0122=+-kx x ，两根122,1-±=k k x 所以)1,0(2--∈k k x ，0)('>x f )1,1(22-+--∈k k k k x ，0)('<x f ),1(2+∞-+∈k k x ,0)('>x f 故当)1,(-∞∈k 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增 当),1(+∞∈k 时，)(x f 在)1,0(2--k k 和),1(2+∞-+k k 上单调递增 )(x f 在)1,1(22-+--k k k k 上单调递减.（2）)0(221ln )(2>-+=x kx x x x f k x xx f 21)('-+= 由（1）知1≤k 时，)(x f ),0(+∞上单调递增，此时)(x f 无极值当1>k 时，xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+= 由0)('=x f 得0122=+-kx x 0442>-=∆k ，设两根21,x x ，则k x x 221=+，121=⋅x x 其中11102221-+=<<--=<k k x k k x )(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增121ln )1(21ln )(21ln 221ln )(22222222222122222222--=+-+=+-+=-+=x x x x x x x x x x x x kx x x x f 令)1(121ln )(2>--=x x x x t 01)('<-=x x x t ，所以)(x t 在),1(+∞上单调递减，且23)1(-=t 故23)(2-<x f . 22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=， 所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 221222（t 为参数） 代入04422=--+y x y x ， 得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号 所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a ba b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。
河南省六市2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷
2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i --C. 225i +D. 225i -3. 000040sin 200cos 50sin 70cos -的值为 A. 23-B. 23C. 21-D. 21 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。
某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 975.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a =0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为 A. π264- B. π264+ C. π280- D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是 A. 21-B. 23-C. 21D. 229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值A. 34B. 32C. 33D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3πB.43π C. 65π D. 32π12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
河南省高一下学期第一次联考数学试题(解析版)
高一年级数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列角中，与角1560°终边相同的角是（ ） A.B.C.D.6π3π23π43π【答案】C 【解析】【分析】与终边相同的角即为，代入即可解决.α{}360,k k z ββα=+⋅∈【详解】∵是第二象限角， 21560144012083ππ︒=︒+︒=+∴与角1560°终边相同的角是． 23π故选：C ．2. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为sin 2y x =cos y x =cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭π的所有函数为（ ） A. ②③ B. ①③④C. ②④D. ①③【答案】A 【解析】【分析】利用周期函数的定义和周期公式求解. 【详解】解：①函数不是周期函数； sin 2y x =②的最小正周期为， cos y x =1221ππ⋅=③的最小正周期为， cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=④的最小正周期为，tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π故选：A ． 3. 要得到的图象，只需将函数的图象（ ） sin2x y =πcos 24x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 π4π4C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度π22π【答案】D 【解析】【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解. sin 2xy =1ππcos 224y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】由于函数， π1ππsincos cos 222224x x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.πcos 24x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2sin 2x y =故选：D ． 4. 函数的值域为（ ）1sin ()3sin 2xf x x -=+A. B. (,2)(0,)-∞-+∞ (,2][0,)-∞-⋃+∞C. D.(,2)[0,)-∞-+∞ (,2](0,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】将分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利1sin ()3sin 2xf x x -=+用正弦函数的有界性即可解决.【详解】解法一： 51sin 13()3sin 233sin 2x f x x x -==-+++因为，所以1sin 1x -≤≤13sin 25x -≤+≤∴或，∴或 5533sin 23x ≤-+5133sin 23x ≥+513233sin 2x -+≤-+513033sin 2x -+≥+故的值域为1sin ()3sin 2xf x x -=+(,2][0,)-∞-⋃+∞解法二：由，得，易知，1sin 3sin 2x y x -=+()31sin 12y x y +=-13y ≠-所以，则，解得或 12sin 31y x y -=+12131yy -≤+0y ≥2y ≤-故的值域为．1sin ()3sin 2xf x x -=+(,2][0,)-∞-⋃+∞故选：B ．5. 在直径为4cm 的圆中，72°的圆心角所对的弧长是（ ） A.B.C.D.4πcm 52πcm 5πcm 3πcm 2【答案】A 【解析】【分析】先求出圆心角的弧度，然后利用弧长公式计算出正确答案.【详解】因为， π2π7272rad rad 1805︒=⨯=所以72°的圆心角所对的弧长为. 2π4π2cm 55⨯=故选：A .6. 中角为钝角，若角终边上一点的坐标为，则ABC A C θP (sin cos ,cos sin )A B A B --的值为（ ） cos sin tan sin cos tan y θθθθθθ=++A. B.C.D.11-22-【答案】B 【解析】【分析】依题意可得，根据正弦函数、余弦函数的性质及诱导公式得到、90A B <︒-sin cos 0A B -<，从而得到为第二象限角，即可得到、、的取值情况，即可得解.cos sin 0A B ->θsin θcos θtan θ【详解】解：∵中角为钝角，∴得， ABC A C 90A B +<︒90A B <︒-∴，即，， ()sin sin 90cos A B B <︒-=sin cos A B <sin cos 0A B -<同理可得，，sin cos B A <cos sin 0A B ->点位于第二象限，即为第二象限角，所以、、()sin cos ,cos sin A B A B P --θsin 0θ>cos 0θ<tan 0θ<，所以. cos sin tan 1111sin cos tan y θθθθθθ=++=--=-故选：B7. 若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数()sin (0)f x x ωω=>232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1f x =[0,2]π解，则的取值范围是（ ）ωA.B.C.D.1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦35,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】先求得函数的单调递减区间，再根据在区间上单调递减，由()sin (0)f x x ωω=>232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减区间的子集求得的范围，由，得到，根据方程在232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω[0,2]x πÎ[0,2]x ωωπ∈()1f x =上有唯一解，由求解.[0,2]π22522πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩【详解】解：由题意令，322(k )22k x k πππωπ+≤≤+∈Z 解得，， 23222k k x ππππωωωω+≤≤+k ∈Z ∵在区间上单调递减， ()sin (0)f x x ωω=>232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴且， 23232k πππωω≤+22ππω≥+k ∈Ζ∴，，91434k k ω+≤≤+k ∈Ζ当时，， [0,2]x πÎ[0,2]x ωωπ∈因为方程在上有唯一解，()1f x =[0,2]π则有，解得，22522πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩1544ω≤<综上，的取值范围为， ω51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：C ．8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)m m >来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为（ ） ()g x ()g x m A.B.C.D.24π18π9π29π【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数的图象，再根据为偶函数求解. ()g x ()g x 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)m m >sin y =的图象；336x m π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象1()sin 2g x x ⎛= ⎝36m π⎫-+⎪⎭若为偶函数，则，()g x 362m k πππ-+=+k ∈Ζ即，，由于，93k m ππ=--k ∈Ζ0m >所以当最小时，取得，m 1k =-29m π=故选：D ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列结论中正确的是（ ）A. 终边经过点的角的集合是 (,)(0)m m m >π2π,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B. 时，的解集为 [0,2]x πÎtan sin 0x x +<3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ，，则 {}4590,M x x k k ==︒+⋅︒∈Z {}9045,N y y k k ==︒+⋅︒∈Z M N ⊆D. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角，是第一或第二象限角α2α2α【答案】BC 【解析】【分析】写出角的集合表示判断A ；利用同角公式结合各象限角的三角函数值符号求解判断B ；确定两个集合表示的角终边判断C ；由范围求出、范围判断D 作答.α2α2α【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是(,)(0)m m m >，A 错误；π2π,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭不等式化为，而，于是，tan sin 0x x +<1cos sin 0cos xx x+⋅<1cos 0x +≥sin cos 0x x <又，所以的解为，B 正确：[0,2]x πÎtan sin 0x x +<π3π(,π)(,2π)22表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，{}4590,Z M x x k k ==︒+⋅︒∈表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即{}9045,Z N y y k k ==︒+⋅︒∈，C 正确；M N ⊆由于为第三象限角，即，则，即是第α3π2ππ2π(Z)2k k k α+<<+∈π3πππ(Z)224k k k α+<<+∈2α二或第四象限角，，即是第一或第二象限角或终边在轴非负半轴，D 错误.4π2π24π3π(Z)k k k α+<<+∈2αy 故选：BC10. 如果，下列结论中正确的是（ ） (sin )cos2f x x =A. B. 5πsin6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2π1cos32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. D.(cos )sin 2f x x =-(cos )cos 2f x x =-【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，代入求值即可；CD 选项，利用诱导公式得到；B 选项，利用(cos )cos 2f x x =-，求出答案.(cos )cos 2f x x =-【详解】，A 错误； 5π5ππ1sincos cos 6332f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭CD 选项，，C 错误，D 正确；ππ(cos )sin cos 2cos(π2)cos 222f x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦B 选项，，B 正确． 2π4ππ1coscos cos 3332f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故选：BD ．11. 下列各式正确的是（ ）A. B. 15sin sin 26π<35cos cos 46ππ>C. D.7tan sin 66ππ<sincos55ππ<【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】A 中，因为，，由在单调递增，所以5ππsinsin 66=10262ππ<<<sin y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 正确； 15sinsin 26π<B 中，因为，，显然，即，所以B 正确： 3cos 4π=5cos π6=<35cos cos 46ππ>C 中，，，故，所以C 错误； 7tantan 66ππ=ππtan sin 66>7tan sin 66ππ>D 中，因为，在内单调递增，所以，所以D 正确； 3cos sin510ππ=0,2π⎛⎫⎪⎝⎭sin y x =ππsin cos 55<故选：ABD ．12. 已知函数，对于下列说法正确的有（ ） ()5sin 2()4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可 ()5sin 2g x x =()f x π4B. 在内的单调递减区间为 ()y f x =[]π,π-3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的图象关于直线对称 ()y f x =38x π=D. 为奇函数 5π8y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用平移变换即可求解；对于B ，求出的单调减区间即可；对于C ，代入检验()y f x =即可；对于D ，化简即可 58y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位可得函数()f x π4ππ5sin 244y x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 不正确；π5sin 25sin 24x x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭对于B ，令，可得，， π322ππ2π422x k k π++≤-≤k ∈Z 3ππ8k +7ππ8x k ≤≤+k ∈Z 取时，减区间为，时，减区间为， 1k =-5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦0k =37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴在内的单调递减区间为，故B 不正确；()y f x =[,]-ππ53π7ππ,,,8888π⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对于C ，当时，，恰好是函数的最大值，∴的3π8x =3π3πππ5sin 25sin 58842f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =图象关于直线对称，故C 正确； 3π8x =对于D ，， 5π5π5sin 288y f x x ⎡⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣π5sin(2π)5sin 24x x ⎤-=+=-⎥⎦∴为奇函数，故D 正确． 5π8y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：CD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数______． ()lg(2sin 1)f x x =-【答案】，． π5π2π,2π46k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭Z k ∈【解析】【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域.2sin 1010x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩【详解】要使原函数有意义，必须有即2sin 1010x x ->⎧⎪⎨≥⎪⎩1sin 2cos x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解集为, ()()π5π2π2π,Z 66π7π2π2π,Z 44k x k k k x k k ⎧+<<+∈⎪⎪⎨⎪+≤≤+∈⎪⎩取交集可得原函数的定义域为 ()π5π2π,2π6Z 4k k k ⎡⎫++⎪⎢⎭∈⎣故答案为：()π5π2π,2π6Z 4k k k ⎡⎫++⎪⎢⎭∈⎣14. 已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则αx (4,3)(0)P m m m -<α______．2sin cos sin cos αααα+=-【答案】 27【解析】【分析】根据已知条件，可以求出，代入即可.(4,3)(0)P m m m -<sin ,cos αα【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点， αx (4,3)(0)P m m m -<α∴，5r m ==-∴，，322sin cos 255m m αα-+=⨯+=-347sin cos 555αα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∴2sin cos 2sin cos 7αααα+=-故答案为：2715. 数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形,再分别以、、为圆心,线段长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱ABC A B C AB 洛三角形的周长为,则其面积是__________．π【解析】【分析】根据图形分析,利用扇形面积和三角形面积求解即可. 【详解】如图,由条件可知,弧长,等边三角形的边长, AA A π3A BCB AC ===π31π3AB BC AC ====则以点、、为圆心,圆弧所对的扇形面积为,A B C ,,AB BC AC 1ππ1236⨯⨯=中间等边的面积, ABCA 1112S =⨯⨯=所以莱洛三角形的面积是.π326⨯-=故答案为. 16. 设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则函数()f x R ()(2)f x f x =-[0,1]x ∈()f x =在上所有零点之和为__________．()|tan π|()g x x f x =-35,22⎡⎤-⎢⎣【答案】6 【解析】【分析】确定图象关于直线对称，且周期为2，通过变换得到的图像，根据图像知()f x 1x =|tan π|y x =与交点个数为10个，计算得到答案.|tan π|y x =()f x 【详解】是由纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将x 轴下方的图象翻到x 轴|tan π|y x =tan y x =1π上方即可得到，又有是定义在上的偶函数，且， ()f x R ()(2)(2)f x f x f x =-=-所以图象关于直线对称，且周期为2， ()f x 1x =又因为时，[0,1]x ∈()f x =在同一坐标系下，画出及在的图象如下所示： |tan π|y x =()f x 35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦由图象可知与交点个数为10个，其零点之和为6．|tan π|y x =()f x 故答案为：6四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知. ()()53sin cos cos 3223cos sin 22f θππθθππθπθθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简；()f θ（2）若，求的值. 3sin 65πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) (2)()fθcos θ=-35【解析】 【分析】(1)利用诱导公式化简即可.(2)由(1)有,再利用“凑角”的方法与诱导公式求解即可.()cos f x θ=-【详解】（1） ()53sin cos cos 322()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()cos sin cos sin cos θθθθθ--=-；cos θ=-（2）. cos cos 3326f ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 65πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式与的运用,属于基础题型.18. 已知函数，． π()2sin 24f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭x ∈R （1）求的最小正周期； ()f x （2）求在上的单调递增区间；()f x [0,2π]（3）当时，求的最大值和最小值． π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）πT =（2） 3π7π11π15π,,,8888⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3）；．max ()f x =min ()2f x =-【解析】 【分析】（1）利用周期公式即可求解；（2）由，，结合即可求解； ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+k ∈Z [0,2π]x ∈（3）由求得，从而利用正弦函数的性质即可求解. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦【小问1详解】的最小正周期． ()f x 2π2π2T ω==【小问2详解】ππ()2sin 22sin 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，，得，． ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+k ∈Z 3π7πππ88k x k +≤≤+k ∈Z 又[0,2π]x ∈所以函数的单调递增区间为． ()f x 3π7π11π15π,,,8888⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【小问3详解】 ∵，∴ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，； ππ244x -=-0x =max ()2f x ⎛=-⨯= ⎝当，即时，． ππ242x -=3π8x =min ()212f x =-⨯=-19. 已知函数的部分图像如图所示： π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭π02ϕ<<（1）求函数的解析式；()f x （2）用“五点作图法”在给定的坐标系中做出函数在一个周期内的图像．()f x【答案】（1） π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）作图见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，结合图像可知，然后由的范围即可得到，将代入即可求得； π23T >ωω()0,1ϕ（2）根据题意，由“五点作图法”做出图像即可.【小问1详解】根据的图像可知：，故可得，即， ()f x (0)1f =2sin 1=ϕ1sin 2ϕ=又，故； π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6ϕ=又，故可得， π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭ππ2sin 136ω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则或， πππ2π366k ω+=+ππ5π2π366k ω+=+k ∈Z 解得或， 6k ω=62k ω=+k ∈Z 数形结合可知：，即，结合，解得， π23T >ππ3ω>0ω>(0,3)ω∈显然，不满足题意，故，当且仅当时，满足题意； 6k ω=k ∈Z 62k ω=+k ∈Z 0k =2ω=故． π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【小问2详解】由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，如表所示． ()f x20. 已知函数的最小值为，()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭0,⎛ ⎝且图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．（1）求函数的解析式；()f x （2）若关于的方程在上有且仅有两个实数根，，求实数的取值范围，并x ()0f x k -=211,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x k求出的值．12x x +【答案】（1） ()ππ26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2），的值见解析.32⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦12x x +【解析】【分析】（1）由函数的最小值得出，由图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，根据勾股定()f x A 理求出，即可求出，再由图像经过点及求出，即可得出的解析式； 2T ω0,⎛ ⎝π2ϕ<ϕ()f x （2）关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与的图x ()0f x k -=211,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()y f x =y k =像在上有且仅有两个交点，设，画出的图像，即可分析出实数的取值211,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ26t x =-y t =k 范围，再分区间讨论的值．12x x +【小问1详解】由题意，得，， A =22T ==∴，， 4T =2ππ2T ω==∴ ()π2f xx ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又函数的图像经过点， ()f x 0,⎛⎝ϕ=1sin 2ϕ=-由，得， π2ϕ<π6ϕ=-∴． ()ππ26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意，关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与x ()0f x k -=211,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()y f x =y k =的图像在上有且仅有两个交点， 211,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦由（1）知． ()ππ26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设，则， ππ26t x =-y t =∵， 211,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴， π5π,63t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，其函数图像如图所示，由图可知，实数的取值范围为， [y ∈k 32⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦①当时，，关于对称， k ∈1t 2t π2t =则，得； 1212πππππ2626t t x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1283x x +=②当时，，关于对称， 32k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦1t 2t 3π2t =则，得； 1212ππππ3π2626t t x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12203x x +=综上，实数的取值范围为， k 32⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦当时，的值为；当时，的值为． k ∈12x x +8332k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦12x x +20321. 直径为8m 的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m ，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动O 6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间． P 0P（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；P (m)h (s)t （2）在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？P 【答案】（1） ππ4sin 256h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭（2）秒． 103【解析】【分析】（1）结合图形，利用角速度公式、任意角的概念以及三角函数求解.（2）结合图形，根据三角函数的解析式建立不等式，利用正弦函数解不等式.【小问1详解】 由题意可知，， 62ππ605ω⨯==设角是以Ox 为始边，为终边的角， π02ϕϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭0OP 由条件得， π4sin 25h t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π02ϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭将，代入，得，0=t 0h =4sin 20ϕ+=∴，∴； π6ϕ=-ππ4sin 256h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意知，即， ππ4sin 2056t ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭ππ1sin 562t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭∴，． ππ7π11π2π,2π5666t k k ⎛⎫-∈++ ⎪⎝⎭k ∈Z 即，， 2010,10103t k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭k ∈Z∴. 20101033-=答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒． P 10322. 已知奇函数的定义域为实数集，且在上是减函数，是否存在这样的实数，使()f x R ()f x (,)-∞+∞m 对所有的均成立？若存在，求出适合条件的实数2(42cos )(2cos 4)(0)f m m f f θθ-+->ππ,32θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的取值范围；若不存在，说明理由．m 【答案】存在，(,1)m ∈-∞【解析】【分析】利用奇函数可将不等式转化成，然后利用减函数可得()2(42cos )42cos f m m f θθ->-，令，，得到恒成立，用二次2cos cos 220m m θθ-+-<cos t θ=[0,1]t ∈2()220g t t mt m =-+-<函数的性质求解即可【详解】为上的奇函数，则，又在上为减函数，()f x R (0)0f =()f x R 所以可转化成， 2(42cos )(2cos 4)(0)f m m f f θθ-+->()2(42cos )42cos 0f m m f θθ--->即有，()2(42cos )42cos f m m f θθ->-∴，即．242cos 42cos m m θθ-<-2cos cos 220m m θθ-+-<令，，故 cos t θ=ππ,32θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[0,1]t ∈则题意可转化为：当时，是否存在，使得恒成立，[0,1]t ∈m ∈R 2()220g t t mt m =-+-<∴且，即 (0)0g <(1)0<g 2201220m m m -<⎧⎨-+-<⎩∴，即存在这样的，且．1m <m (,1)m ∈-∞。
河南省六市2019届高三下学期第一次联考数学(文)试卷Word版含答案
2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 设集合A = {0,1}，B = {Z x 0,<)1)(2(|∈-+x x x }，则=B A Y A. {-2,-1,0,1} B. {-1,0,1} C. {0,1}D. {0}2.=+---+iii i 21212121 A. 56-B. 56C. i 58-D. i 583. 某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的 比例如图所示.为了了解学生的学习情况，用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中 生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是A. 12B. 15C.20D.214.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246个问题及其解法，其中一个问题为 “现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少?”，则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为升A.617升 B. 27升 C. 66113升 D. 33109升5. 已知；:,1:q a p =≠函数)ln()(22x a x x f ++=为奇函数，则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.67.函数1sin )(2+=x xx f 的部分图像可能是8.设函数)2<|2|,0>,0>)(sin()(πωωϕωA x A x f +=与直线3=y 的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且6π=x 是)(x f 图象的一条对称轴，则下列区间中是函数)(x f 的单调递减区间的是A. ]67,32[ππ B. ]0,3[π- C. ]65,34[ππ--D. ]3,65[ππ-- 9. “赵爽弦图（如图）”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为51，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为A.55 B. 552 C. 51 D. 3310. 已知等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若2018S >0 , 2019S <0,那么此数列中绝对值最小的项为A. 1008aB. 1009aC. 1010aD. 1011a11. 已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面α，使得α平分该几何体的体积，则可以作此种平面α A.恰好1个 B.恰好2个 C.至多3个 D.至少4个12.已知抛物线C:x y 82=的焦点为F ，准线为l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M,N 两点，若MF PF 3=，则=||MNA.221 B. 332C.10D.11 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
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2019学年河南省八市高一下学期第一次联考理科数学
试卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合则则（）
A. B. C. D.
2. 下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（）
A. B. C. D.
3. 已知不重合的直线和平面，且，．给出下列命题：
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则；其中正确命题的个数是
A． 1 ________ B． 2 ________ C． 3 D． 4
4. 已知函数则满足的实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
5. 已知直线与圆交于点过弦的中点的直径为则四边形的面积为（）
A. B. C. D.
6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数为偶函数，且满足当时，
则函数的所有零点之和为（）
A. B. C. D.
8. 执行下图的程序框图，则输出的值是（）
A. B. C. D.
9. 在上随机地取一个数，则事件“直线与圆
有公共点”发生的概率为（）
A. B. C. D.
10. 为了解某社区物业部门对本小区业主的服务情况，随机访问了位业主，根据
这位业主对物业部门的评分情况，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数
据分组区间为由于某种原因，有个数据出现污损，请根据图中其他数据分析，评分不小于分的业主有（）位.
A. B. C. D.
11. 一个长为宽为的长方形内部画有一个中国共青团团徽,在长方形内部
撒入粒豆子,恰好有粒落在团徽区域上,则团徽的面积约为（）
A. B. C. D.
12. 下面的茎叶图记录了甲、乙两名同学在次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为分，乙得分的平均数是分，则下列结论正确的是（）
A. B. 乙同学成绩较为稳定
C. 甲数据中乙数据中________
D. 甲数据中乙数据中
13. 若点在角的终边上，则的值为（）
A. B. C. D.
14. 的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为和那么该函数图像的所有对称轴中，距离轴最近的一条对称轴是（）
A. B. C. D.
15. 若函数是奇函数，且在区间是减函数，则
的值可以是（）
A. B. C. D.
16. 如图所示的是函数和函数的部分图像，则函数的解析式是（）
A. B.
C. D.
17. 若，则的最小值是（）
A. B. C. D.
二、填空题
18. 已知圆与射线没有公共点，则实数的取值范围是 __________ ．
19. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 __________ ．
20. 从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，则
的概率为 __________ ．
21. 在棱长为的正方体内部随机取一个点则点到顶点的距离超过的概率为 __________ ．
22. 已知一扇形所在圆的半径为扇形的周长是那么这个扇形的圆心角为 __________ ．
23. 已知则 __________ ．
24. 在下列结论中,正确结论的序号为 __________ ．
①函数为奇函数；②若则；
③函数的图像关于点对称；
④函数的图像的一条对称轴为
三、解答题
25. 已知集合集合
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若集合满足求实数的取值范围.
26. 已知圆内一点为过点且倾斜角为的弦. （Ⅰ）当时，求的长；
（Ⅱ）当弦被点平分时，求直线的方程.
27. 已知定义域为的函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
28. 如图为矩形，为梯形，平面为
的中点，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若为正方形，求证：平面平面
29. 脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要.现从某地区随机抽取个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第
个农户的年收入（万元），年积蓄（万元），经过数据处理得
（Ⅰ）已知家庭的年结余对年收入具有线性相关关系，求线性回归方程；（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在中，其中为样本平均值.
30. 春节期间某超市搞促销活动，当顾客购买商品的金额达到一定数量后可以参加抽奖活动，活动规则为：从装有个黑球，个红球，个白球的箱子中（除颜色外，球完全相同）摸球.
（Ⅰ）当顾客购买金额超过元而不超过元时，可从箱子中一次性摸出个小球，每摸出一个黑球奖励元的现金，每摸出一个红球奖励元的现金，每摸出一个白球奖励元的现金，求奖金数不少于元的概率；
（Ⅱ）当购买金额超过元时，可从箱子中摸两次，每次摸出个小球后，放回再摸一次，每摸出一个黑球和白球一样奖励元的现金，每摸出一个红球奖励元的现金，求奖金数小于元的概率.
31. 已知
（Ⅰ）化简；（Ⅱ）若为第四象限角，且求
的值.
32. 函数的部分图像如图所示,
求(Ⅰ)函数的解析式;
(Ⅱ)函数的单调递增区间.
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】
第25题【答案】
第26题【答案】
第27题【答案】
第29题【答案】
第31题【答案】
第32题【答案】。