专题1 第05课时 函数的额图象与变换

所以F ( x ) 是(−∞， U (0， ∞)上的奇函数． 0) + 上的奇函数．
= − f ( x ) ⋅ g ( x ) = − F ( x )，
所以F ( x ) 在(−∞， 上是单调递增函数． 0)
因为F ( −3) = f ( −3) ⋅ g ( −3) = 0， 所以F ( x )的简图如下图所示．
变式2(2011 ⋅ 深圳二模)若函数y = y = − f ( x + 1)的图象大致为( C f ( x )的图象如右图所示，则函数
)
向左平移一个单位长度得y = f ( x + 1)的图象，再 的图象关于x轴对称翻折得y = − f ( x )的图象，再
解析 y = − f ( x + 1)的图象可由y = f ( x )的图象先 将此图象关于x轴对称翻折而得；也可由y = f ( x ) 将此图象向左平移一个单位长度而得；还可根据 y = − f ( x + 1)的定义域为(−∞， 很容易排除A、B、 0) D选项，从而选C.
考点3 考点 利用函数的性质作图
4 例3 作出函数f ( x ) = x + 的大致图象． x
切入点： 先研究函数的奇偶性、单调性、 极值等性质，再作出其大致图象．
4 解析 因为f ( x ) = x + 为奇函数，根据奇函数 x 图象的对称性，只需作出x > 0时的图象，再用对 称性作出x < 0时的图象． 4 当x > 0时，因为f ′ ( x ) = 1 − 2 ， x 则令f ′ ( x ) = 0，得x = 2.
上的奇函数和偶函数，当x < 0时，f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + < 0的解集为 .
变式4 设f ( x )，g ( x ) 分别是定义在(−∞， U (0， ∞) 0) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) > 0，且g ( −3) = 0，则不等式f ( x ) ⋅ g ( x )
切入点：先画出f ( x )的图象，再根据f (1 − x )的
解析 因为f (1 − x )的图象可由f ( − x )的图象向右 平移1个单位长度得到，故先画出f ( x )的图象， 然后作y = f ( x ) 关于y轴的对称图形得到y = f ( − x ) 度，得到f (1 − x )的图象．
的图象，再将y = f ( − x )的图象向右平移1个单位长
与选择支对照，可知选D.
1．熟悉常见的对称变换，如：f(x)→f(-x)， f(x)→-f(x)，f(x)→f(|x|)，f(x)→|f(x)|等变换要熟 悉． 2．左、右平移对应着x本身的加减，而上、 2 x 下平移对应着f(x)的减加．要注意平移的方向 和平移量的大小．
例4 设关于x的方程x 2 − 4 x + 3 − a = 0有4个不相等 的实根，求实数a的取值范围．
切入点：构造两个函数，通过两个函数图象 的交点个数确定方程实根的个数．
解析 将方程变形为x 2 − 4 x + 3 = a. 令y1 = x − 4 x + 3，y2 = a，画出两函数的图象．
B．f ( − 2)是极小值，f ( 2)是极大值 C．f ( x ) 有最小值，无最大值 D．f ( x ) 有最大值，无最小值
解析
易知A正确，为进一步选择，可结合性质
与图象来进行． f ′ ( x ) = e x ( 2 − x 2 )，令f ′ ( x ) = 0，得x = ± 2. 易知x = ± 2为极值点且f ( x ) 在(−∞， 2)和 − + ( 2， ∞)上是减函数，在(− 2，2)上为增函数， 可知B正确．
数，所以y = f ( x ) ⋅ g ( x ) 是偶函数，故其图象关
考点2 考点 图象变换
2 x ( x < 1) 例2已知函数f ( x ) = log x ( x ≥ 1)，则函数f (1 − x )的 1 2 图象是( )
图象与f ( x )的图象的关系进行选择． 的图象的关系进行选择．
3．会“画图”，还要会“识图”，能根据函 数的图象研究函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性等性质． 4．函数图象的应用主要是通过两函数图象的 交点来确定方程的解的个数及确定不等式的解集 等．
+ 所以F ( x ) 在(0， ∞)上是单调递增函数．
又F ( x ) 是(−∞， U (0， ∞)上的奇函数， + 0)
由图象可得F ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) < 0的解集 − 为(−∞， 3) U ( 0,3)．
1．高考对函数图象的考查主要是作图、识图、 图象变换的能力以及利用函数图象研究函数的性 质，分析、解决有关问题的能力． 2．函数的图象一般可以由两种方法得到：(1) 描点法；(2)利用基本初等函数图象的平移、对称、 翻折、伸缩等变换．用描点法画图象时，要结合 函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、极值 等．
到底选C还是选D，需要进一步观察： 当x < 0时，x − x < 0，e > 0，所以f ( x ) < 0. 2
2 x
又当x < − 2时，f ( x ) 递减，故f ( x )向左与x轴渐近． 当x > 2时，f ( x ) → −∞，如下图所示， 可见D正确． 故判断错误的是C，则选C.
考点4 考点 函数图象的应用
b 1 C选项中，抛物线的对称轴 − < − ，所以 2a 2 b | |> 1，故y = log b x为增函数，所以C选项不 | | a a b 1 b 成立．而D选项中， − > − ，所以 | |< 1， 2a 2 a 故y = log b x为减函数，符合题意．
| | a
答案：D
1．函数的解析式从“数”上反映了函数所具 有的性质，而图象又是其性质的一种表述方式， 如函数的奇偶性与图象的对称性，函数的单调性 与图象的升降情况，函数的定义域、值域与图象 的存在范围，它们之间是相互联系的．抓住函数 的性质的几何特征，如不相符即可排除，是处理 这类问题的基本方法． 2．要求会“识图”，能根据函数的图象研究 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性 等性质．
切入点 构造函数F ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )，通过F ( x ) 的简图获解．
解析
则F ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x )
令F ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )，
当x < 0时，因为F ′ ( x ) = [ f ( x ) ⋅ g ( x )]′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) > 0，
当x变化时，f ( x )，f ′ ( x )的变化情况如下表：
f ( x )的大致图象如图所示．
1．利用函数的性质作函数的草图是一项基本技能， 需熟练掌握． a2 2．函数f ( x ) = x + ( a > 0 ) 是一类常用函数，可称 x 之为“对勾函数”，可通过本例了解其性质与图象． 一般的，有如下结论： 当x ∈ (0，a )时，f ( x ) 单调递减； f ( x ) 为奇函数，若x > 0，
变 式1 已知函数 y = f ( x )的图象如图甲所示， y = g ( x )的图象如图乙所示，则函数 y = f ( x ) ⋅ g ( x )的图象可能是 下图中的 (
)
解析 由图象可知y = f ( x )，y = g ( x ) 都是偶函 于y轴对称，排除A、D. 则有y = f ( x ) ⋅ g ( x ) < 0，排除B. 由此可知，应选C. 又当x取非常小的正数时，f ( x ) > 0，g ( x ) < 0，
当x ∈ (a， ∞)时，f ( x ) 单调递增； + 当x = a时，取得极小值f ( a ) = 2a. f ( x )的图象如下图所示．
是(
变式3 下列关于函数f ( x ) = ( 2x − x 2 ) e x的判断错误的
பைடு நூலகம்
) A．f ( x ) > 0的解集是 { x | 0 < x < 2}
2
观察两图象有4个交点时实数a的取值范围． 由图象知，当a ∈ ( −1, 3)时，两图象有4个交点． 故所求实数a的取值范围为( −1, 3)．
1．方程f(x)=g(x)的实数解就是函数y=f(x)的 图象与y=g(x)的图象的交点的横坐标．因此，可 通过构造函数，利用图象研究方程的实根的个 数． 2．这类问题的关键是对式子作适当变形， 使两函数的图象都容易画出．
专题一 函数、导数与不等式
考点1 考点 知式选图
例1(2010 湖南卷)函数y = ax 2 + bx与y = log b x(ab ≠ 0，
| | a
) a ≠ b )在同一直角坐标系中的图象可能是(
切入点：考虑抛物线的对称轴，再结合对数函 数的单调性即可作出判断．
解析 对于A、B选项，由图可知抛物线的对称 b 1 b 轴 | − |< ，所以 | |< 1，故y = log b x为减函数， | | 2a 2 a a 所以A、B不合题意．