高等数学复习题 (2)
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
《高等数学二》期末复习题及答案_28171462418361700
D
2 ,2t
x+y= 1
在第一象限内所围成的区域。
x= 0
14、（本题满分12分）一质点沿曲线＞，= /从点（0,0,0）移动到点
z = r
（0, 1, 1）,求在此过程中，力户=Jl + x*7-£ + 9所作的功W。
15、（本题满分10分）判别级数ynsin-的敛散性。
23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则j(x+y)4s=
24、lim/x"=
(21。。)次+/ +1 _1
25、2=3,b=4,［与B的夹角是工，«')axb =2
26、已知三角形的顶点A(U,T),8(2J,0),C(0,0,2),则AABC的面积等于
27、点(2,3』)至1|点加2(274)的距离附|“［=
3、积分/=JJje4/b的值为x2+y2<4
4、若a,b为互相垂直的单位向量，则a b=
5、交换积分次序jjiZrJo /(x,yMy=
6、级数£(：+/)的和是
“1LJ
7、二一即=
Dxy,T)
8、二元函数z = sin(2x + 3y),则」=
9、设/(x, y)连续，交换积分次序J：八［J(x,y}dy=
11、B解：若级数£%收敛，由收敛的性质4G。三个选项依然是“■1
收敛的，而£(%+2)未必收敛，或者排除法选择B。/1.1
12、C解：二重积分|].f(#,y)d#dy的值与函数有关，与积分区域有关， 而与积分变量的字母表达没关系。
13、B解：利用平行向量对应的坐标成比例，Z=(84,-2),则
高等数学A2复习题(2018-new)
高等数学A （2）复习题一、空间解析几何1. 设→→→→+-=k j i a 2，→→→→-+=k j i b 3， 求：(1) 与→a ，→b 均垂直的单位向量；(2) )()23(b a b a ρρρ⨯•-→；(3) 向量→a 的方向余弦。
2. 已知三角形的顶点为A )2,1,3(-、B )2,2,4(、C )3,0,1(，求此三角形的面积。
3. 已知 →→→→+-=k j i a 3，→→→→+-=k j i b 2，计算以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积。
4. 平行四边形ABCD 的两边为b a AB ϖρ2+=→--，3AD a b =-u u ur r r ，其中2,3==b a ρρ，并且a b ⊥r r ，求：(1)b a ρρ+；(2) 平行四边形ABCD 面积。
5. 求由yOz 平面上曲线 223y z -= 绕Oz 轴旋转一周所得的曲面方程。
6. 求过点)2,3,1(-且平行于平面132=-+z y x 的平面方程。
7. 求点)2,2,1(0-P 与平面11435=-+z y x 的距离。
8. 求直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角。
9. 求过点)5,3,2(-且与平面 13=+y x 垂直的直线方程。
10. 求过点），，（4120-P 且与直线 ⎩⎨⎧=---=-+-022012z y x z y x l ： 平行的直线方程。
11. 求平面1x z -=与xOy 平面的夹角。
12. 求过点)3,2,1(且与直线223032+12=0x y z x y z ++-=⎧⎨-+⎩垂直的平面方程。
二、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim )0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(limy x y x y x ++→。
高等数学A（二）期末复习题
⾼等数学A（⼆）期末复习题⾼等数学A （⼆）期末复习题⼀、填空题1、设(1,2,1),(2,3,1)a b =-=r r ，则a br r .2、过点()3,4,1-且与直线5123--==-z y x 平⾏的直线⽅程为。
3、⽅程b az y x =+-2224，当0=a ，2=b ；4-=a ，2-=b ；0=a ，0=b 时依次表⽰的曲⾯是，，。
4、曲线222212z x y z x y ì?=+?í?=--??在xoy ⾯内的投影曲线的⽅程是。
5、设22y xy x u +-=，()1,10P ，()=0P u grad , du = 。
6、设,3ln sin 2=-z y y x 则=??xz ，=??y z 。
7、交换积分次序 ()1,dxf x y dy -=蝌。
8、=--??≤+dxdy y x y x 122221 。
9、设D 是xoy 平⾯内的⼀块密度为()y x ,µ的薄板，质量M = 。
10、()=++?ydy e dx my y ex L其中L 为沿上半圆周()0222>=+a ax y x 从点()0,2a A 到点()0,0O 的⼀段弧。
⼆、选择题1、直线37423zy x =-+=-+与平⾯3224=--z y x 的关系是（）（A ）平⾏，但直线不在平⾯上（B ）直线在平⾯上（C ）垂直相交（D ）相交但不垂直 2、下列曲⾯中是旋转抛物⾯的是（）（A ）0422=-+z y x（B ）04222=-+z y x （C ）042222=-+z y x（D ）04222=-+z y x3、()xyz f u =，f 可微，则=??xu （）（A ）dx df （B ）()xyz f ' （C ）()xyz f yz ' （D ）dxdf yz 4、设22z xy u -=，u 在点()1,1,2-处的⽅向导数的最⼤值为（）（A ）62 （B ）4 （C ）()1,1,2-u grad （D ）6 5、设4:22≤+y x D ，f 在D 上连续，则()=+??dxdy y x f D22（）（A ）()ρρρπ?d f 22 （B ）()ρρρπ?ρρπd f 2022 （D ）()ρρρπ?d f 146、⽤格林公式计算()dy xy dx y x c22+-?，其中:c 沿圆222R y x =+逆时针⽅向绕⼀周，则得（）（A ）24203R d d R π-=ρρθ-π（B ）??=D dxdy 00 （C ）2)(422R dxdy y x D π=+?? （D ）3232R d d D π=θρρ??7、若级数()nn n x a 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在5=x 处（）（A ）必发散（B ）必条件收敛（C ）必绝对收敛（D ）敛散性不能确定第⼋章：向量代数与空间解析⼏何1、求过点A （0，1，2）且与直线L ：21111zy x =--=-垂直相交的直线⽅程。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高等数学二机考复习题
高等数学（二）机考复习题一．单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内.) 1.设y=2cosx ,则y '=( )A.2cosx ln2B.-2cosx sinxC.2cosx (ln2)sinxD.-2cosx-1sinx 2.设f(x 2)=)x (f ),0x (x11'≥+则=( ) A.-2)x 1(1+ B.2x 11+ C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+3.曲线y=1x x132=在处切线方程是( )A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-5 4.设y=f(x),x=e t ,则22dty d =( )A. )x (f x 2''B. )x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D. )x (f x ''+xf(x) 5.设y=lntg x ，则dy=( ) A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d6.下列函数中，微分等于xln x dx的是( ) A.xlnx+c B.21ln 2x+c C.ln(lnx)+c D.xx ln +c 7.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )A.y=|x|,[-1,1]B.y=x 1,[1,2] C.y=32x ,[-1,1] D.y=2x 1x -,[-2,2] 8.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是( )A.22B.0C.-πD.π 9.下列曲线有水平渐近线的是（ ）A.y=e xB.y=x 3C.y=x 2D.y=lnx 10.⎰-2x xdee =( )A.-c e 21x 2+ B. -c e 2x+ C-c e 212x +- D.c e 412x+-11.⎰=dx 2x 3( )A.c 2ln 231x 3+ B.31(ln2)23x+c C. 3123x +c D.c 2ln 2x 3+ 12.⎰+πdx )14(sin =( )A.-cos 4π+x+cB.-c x 4cos 4++ππC.c 14sin x ++πD. c x 4sin x ++π13.⎰-)x cos 1(d =( )A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c 14.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=( )A.4⎰axf(x)dx B.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dx C.0 D.以上都不正确15.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lim a x +→=( )A.0B.aC.af(a)D.不存在16.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )A.⎰+1xe1dxB.⎰π40tgxdx C.dx x1x12⎰+ D.⎰π40ctgxdx17.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=( )A.3B.23C.1D.2 18.当x>2π时，⎰π'x2dt )ttsin (=( ) A.x x sin B. x x sin +c C x x sin -π2 D. xx sin -π2+c19.下列积分中不是广义积分的是( )A.⎰-21022)x 1(dx B.⎰e1xln x dxC.⎰-113xdx D.⎰+∞-0x dx e20.下列广义积分中收敛的是( )A. ⎰+∞xdx sin B.⎰-11x dxC.⎰--012x 1dx D.⎰∞--0x dx e21.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1 C. (-3，1) .{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 22.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-23.设f(x+2)=x 2-2x+3,则f[f(2)]=( )A.3B.0C.1D. 2 24.y=的反函数是xx323+( )A.y=233x x +--B.y=xx 332+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x 2x1- 25.设n n u ∞→lim =a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（ ）A ．无穷小量 B.任意小的正数 C ．常量 D.给定的正数26.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ）A ．-1 B.0 C.1 D.不存在27.当0x →时,x cos x sin 21是x 的( )A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量 28.x21sinx 3lim x •∞→=( )A.∞B.0C.23D.3229.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( )A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在C. )x (f lim 1x +→不存在 D. )x (f lim 1x →不存在30.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( )A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义31．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x ，在点x=0处 （ ） A ．极限不存在B ．极限存在但不连续C ．可导D ．连续但不可导32．设f(x)为可导函数，且1x2)x (f )x x (f lim 000x =∆-∆+→∆，则=')x (f 0（ ）A ．1B ．0C ．2D ．2133．设F(x)=f(x)+f(-x)，且)x (f '存在，则)x (F '是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶的函数 D ．不能判定其奇偶性的函数 34．设y=xxln ，则dy=（ ）A ．2x xln 1- B ．dx x xln 12- C ．2x 1x ln - D ．dx x 1x ln 2-35.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导36．下列四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．y=|x|+1B ．y=4x 2+1C ．y=2x1D ．y=|sinx|37．函数y=3x3x ln 2-+的水平渐近线方程是（ ） A ．y=2B ．y=1C ．y=-3D ．y=038．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（ ） A ．F(x)B ．f(x)C ．F(x)+CD ．f(x)+C39．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（ ） A ．sinx+C B ．-sinx+C C ．xsinx+cosx+C D ．xsinx -cosx+C40．设F(x)=dt te 1xt 2⎰-，则)x (F '=（ ）A ．2x xeB ．2x xe - C ．2x xe - D ．2x xe --41．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（ ）A ．α≤1B ．α<2C ．α>1D ．α≥142.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（ ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x) C ．3sin(3y -x) D ．-3sin(3y -x) 43．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 44．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（ ） A ．I 1>I 2 B ．I 1<I 2 C ．I 1=I 2 D ．I 1，I 2之间不能比较大小45．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．无法判定46．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（ ）A ．41 B ．4 C ．31D ．3 47．微分方程y ln y y x ='的通解是（ ）A ．e x +CB ．e -x +C C ．e CxD ．e -x+C48.下列集合中为空集的是（ ） A.{x|e x =1} B.{0} C.{(x, y)|x 2+y 2=0}D.{x| x 2+1=0,x ∈R}49.函数f(x)=2x 与g(x)=x 表示同一函数，则它们的定义域是（ ） A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.()+∞∞-,D.()+∞,050.函数f(x)==π-⎩⎨⎧≥<)4(f ,1|x |,01|x ||,x sin |则（ ）A.0B.1C.22D.-22 51.设函数f(x)在[-a, a] (a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.可能是奇函数，也可能是偶函数 52.=+→)2x (x x2sin lim 0x （ ）A.1B.0C.∞D.253.设2x10x e )mx 1(lim =-→，则m=（ ）A.21 B.2 C.-2D.21-54.设f(x)=⎩⎨⎧=≠2x ,12x ,x 2,则=→)x (f lim 2x （ ）A.2B.∞C.1D.455.设x1ey -=是无穷大量，则x 的变化过程是（ ）A. x →0+B. x →0-C. x →+∞D. x →-∞56.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 57.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（ ） A.存在 B.不存在 C.存在但不唯一 D.在一定条件下存在 58.下列函数中在x=0处不连续的是（ ）A. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,10x ,|x |xsinB. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x C. f(x)=⎩⎨⎧=≠0x ,10x ,e xD. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1cos x 59.设f(x)=e 2+x,则当△x →0时，f(x+△x)-f(x)→（ ）A.△xB.e 2+△xC.e 2D.060.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0x ,1x 0x ,e 2x ，则=---→0x )0(f )x (f lim 0x （ ）A.-1B.-∞C.+∞D.161.设总收益函数R(Q)=40Q-Q 2，则当Q=15时的边际收益是（ ） A.0 B.10 C.25 D.375 62.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇(0)=（ ） A.0 B.1 C.3 D.3！ 63.设y=sin 33x，则y ＇=（ ）A.3x sin32B.3x sin2C.3x cos 3x sin 32D.3xcos 3x sin264.设y=lnx,则y (n)=（ ）A.(-1)n n!x -nB.(-1)n (n-1)!x -2nC.(-1)n-1(n-1)!x -nD.(-1)n-1n!x -n+165.=)x (d )x (sin d 2（ ）A.cosxB.-sinxC.2xcos D.x2xcos 66.f ＇(x)<0,x ∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 67.函数y=|x-1|+2的极小值点是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 68.函数y=2ln3x3x -+的水平渐近线方程为（ ） A. y=2 B. y=1 C. y=-3 D. y=069.设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是（ ） A. f(a)B. f(b)C.)2ba (f + D.)3a2b (f + 70.=-⎰2)3y 2(dy（ ）A.C )3y 2(613+--B.C )3y 2(613+- C.C 3y 21+-D.C )3y 2(21+--71.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（ ） A.⎰+='C )x (f dx )x (f x 22 B.⎰+='C )x (f 21dx )x (f x 22C.⎰=')x (f 21)dx )x (xf (22D.⎰=)x (f dx )x (xf 2272.⎰=)tgx (xd sin ln （ ） A. tgxlnsinx-x+C B. tgxlnsinx+x+C C. tgxlnsinx-⎰x cos dx D . tgxlnsinx+⎰x cos dx73.=+⎰--21dx 3x x（ ） A.-1-3ln2B.-1+3ln2C.1-3ln2D.1+3ln274.⎰=π210dx )x 2(tg （ ） A.2ln 21-B.2ln 21 C.2ln 1πD.2ln 1π-75.经过变换x t =，⎰=-94dx 1x x ( )A.⎰-94dt 1t tB.⎰-942dt 1t t 2 C. ⎰-32dt 1t tD.⎰-322dt 1t t 2 76.⎰∞+-=1x dx e x1 ( )A.e2B.-e2C.2eD.-2e77.⎰=-211x dx ( )A.2B.1C.∞D.32 78.级数∑∞=-1n nn25)1(的和等于 ( )A.35B.－35C.5D.－579.下列级数中，条件收敛的是( ) A.∑∞=--1n n 1n )32()1( B.∑∞=-+-1n 21n 2n n )1(C.∑∞=--1n 31n n1)1( D.∑∞=--1n 31n n51)1(80.幂级数 ∑∞=---1n n1n n)1x ()1( 的收敛区间是（ ） A.(]2,0B.(]1,1-C.[]0,2-D.()+∞-∞,94.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) A.z y x 22=+B.z y x 22=-C.1y x 22=+D.z xy =81.设 f(u,v)=(u+v)2，则 )yx ,xy (f =( ) A.22)x1x (y +B.22)y 1y (x +C.2)y1y (x +D.2)x1x (y +82.设 )x2y x ln()y ,x (f +=，则=')0,1(f y ( ) A.21B.1C.2D.083.设22y xy 3x 2z -+=，则=∂∂∂yx z2( ) A.6 B.3 C.－2 D.284.下列级数中发散的是( ) A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B. ∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1(C.∑∞=-1n nn1)1( D.∑∞=-1n )n 1( 85.下列级数中绝对收敛的是( A ) A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1( C. ∑∞=-3n nn ln )1( D.∑∞=--1n 321n n)1(86.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+- ( ) A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 87.设幂级数∑∞=-0n n n)2x (a在x=-2处绝对收敛，则此幂级数在x=5处 (C )A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定88.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，则函数f(x 2,y 3)的定义域为( ) A.{(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} B.{(x,y)|-1≤x ≤1,0≤y ≤1} C.{(x,y)|0≤x ≤1,-1≤y ≤1} D.{(x,y)|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1} 89.设z=(2x+y)y ，则=∂∂)1,0(xz ( )A.1B.2C.3D.090.设z=xy+yx,则dz=( ) A.(y+dy )y x x (dx )y 12-+ B. dy )y 1y (dx )y x x (2++-C. (y+dy )y x x (dx )y 12++D. dy )y 1y (dx )yx x (2+++91.过点(1，-3，2)且与xoz 平面平行的平面方程为(C )A.x-3y+2z=0B.x=1C.y=-3D.z=2 92.⎰⎰≤≤-≤≤1y 11x 0dxdy=( )A.1B.-1C.2D.-2 93.微分方程y x 10y +='的通解是( )A.c 10ln 1010ln 10y x =--B. c 10ln 1010ln 10yx =-C.10x +10y =cD.10x +10-y =c94．设函数f )x 1x (+=x 2+2x1，则f(x)=（ ）A ．x 2B ．x 2-2C ．x 2+2D ．24x 1x +95．在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（ ） A ．e x B ．1+sinx C ．lnx D ．tanx 96．=++++∞→2x 1x x limx （ ）A ．1B ．2C ．21D ．∞ 97.下列函数中为微分方程0y y =+'的解的是( )A.x eB.-x eC.x e -D.x e +x e - 98.下列微分方程中可分离变量的是( ) A.2x x y dx dy += B.y x y dx dy += C.)0k (1)b y )(a x (k dxdy ≠+++=， D.x y sin dx dy =- 99.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( ) A. 0B.14 C. 12D. 2100.设D ：0≤x ≤1，0≤y ≤2，则⎰⎰+Ddxdy x1y=( ) A.ln2B.2+ln2C.2D.2ln2101.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 102. limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 2 103.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( )A. x －y>0B. x>0, y>0C. 12D. 2104.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导 105.设函数f(x)=e 1－2x ，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 106.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值 107.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 108.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 109.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nnn =∞∑-+111() B.n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()110.方程y ′—y=0的通解为( ) A. y=ce x B. y=ce －x C. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x二.判断题（正确的在括弧里用R 表示，错误的在括弧里用F 表示。
高等数学复习题2(答案)
高等数学复习题2（2014-2105 第一学期）答案一、填空题 1.函数1ln x y x-=+(0,1)(1,4]⋃ 2. 函数01ln 110x x y xx ≤≤⎧=⎨<<⎩，则其定义域为[0,10) 连续区间为[0,1](1,10)注：因为分段点处()()()()111111lim lim 1,lim lim ln ln10lim lim x x x x x x f x x f x x f x f x --++-+→→→→→→=====⇒≠ 故()1lim x f x →不存在，从而在1x =处不连续，故连续区间为[0,1](1,10)3. 函数22(4)x x y x x -=-，(1)间断点为0,2x x ==±，(2)连续区间为(,2-2002(2-∞-∞）（，）（，）+), (3)2x →±,y 为无穷大；（4）1,x x →→∞，y 为无穷小。
4. 函数sin (3xy x x =-），水平渐近线为0y =，垂直渐近线为3x =注：若()()()lim ,lim ,lim x x x f x a f x a f x a →∞→-∞→+∞===或或，则y a =为水平渐近线若()()()lim ,lim ,lim x bx bx bf x f x f x -+→→→=∞=∞=∞或或，则x b =为垂直渐近线 sin 11limlim sin 0lim 0,sin (3(3(3x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫=⋅== ⎪---⎝⎭有界））），0y =为水平渐近线；03sin sin 1sin limlim lim 3,lim (33(3x x x x x x xx x x x x x →→∞→→=⋅=-=∞---）），3x =为垂直渐近线5. 01sin 5lim(sin)x x x x x →+=5 01lim arctan x x→=不存在注：1）00sin lim lim sin 0,sin lim 0lim sin x x x x ax a a x x xax a x a x x →→→∞→∞⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩001sin 51sin 5lim(sin)lim sin lim 055x x x x xx x x x x x→→→+=+=+=2）极限存在的充要条件：()()()0lim lim lim x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==（适用于判别分段函数在分段点处的极限，或指数函数指数趋向∞时的极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 极限与连续一、极限的定义 二、极限的计算（一）求极限主要根据： 1、结合附录1的函数图象观察并记住以下常见的极限：（主要用来判断极限类型）lim (0)a x x a →+∞=∞> l i m 0(0)a x x a →+∞=<（x →-∞时，只要该函数有意义，类似）lim (1)x x a a →+∞=+∞> l i m 0(01x x a a →+∞=<<lim 0(1)x x a a →-∞=>l i m (01x x a a →-∞=+∞<<lim ln x x →+∞=+∞ 0l i m l n x x +→=-∞ lim arctan 2x x π→+∞=l i m a r c t a n 2x x π→-∞=-2、利用连续函数性质：（x 趋近有定义的点时） 初等函数在其定义域上都连续。
例：001cos 1cos0112sin sin 001limx x x x e e →+++===+++3、利用两个重要极限（1）两个重要极限的基本形式： 第一个重要极限： 第二个重要极限： （2）应用：（1）0sin 5lim tan 2x x x →=____（2）0sin 4lim 2x xkx→=，则k =_____（3）24lim 1kxx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k =_____（4）232lim 13x x x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____（5）()130lim 12xx x →-=_______4、利用无穷大量，无穷小量的性质及其关系 无穷小量的性质：（1） （2） （3） 推论 无穷大量的性质： 关系：有此可知以下极限类型的结果：0代表无穷小量 ，C 代表非0常数。
1、2C =0 2、∞0=0 3、01C =∞ 4、∞1C =0 5、0∞=∞0lim ()()x f x f x →∞=6、2C ∞=∞ 7、1C +∞=∞ 8、1C ∙∞=∞ 9、∞∙∞=∞ 但以下形式还不能确定（未定型），需要转化成其他形式求解：1、00型2、∞∞型3、o ∞型 4、∞±∞型（部分可知）5、(1)∞→型6、0(0)型7、0()∞型5、其他需要注意的地方： （1）性质（3）的应用：如 （1）sin lim x x x →∞= 0 （2）01lim sin x x x→= 0（2）利用无穷小量的定义判断无穷小量 如：1、以下变量哪些是无穷小量？（1）21sin x x （x →+∞） （2）2213x x x -+（x →∞） （3）11x -（0x →）（4）10.01x x +（ x →+∞） （5）1ln x x -（ x →+∞） （6）3cos x x （ x →∞ ）（7）x e -（ x →+∞ ） （8）（7）x e -（ x →-∞ ） （9）ln x （ 0x +→ ） （3）对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P9总结的“规律”。
如22236lim 521x x x x x →∞-+=-+ 522535832lim x x x x x x --+-∞→=以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！6、未定型变化方法：（1）00型2210202lim 21sin 3lim 22lim x x x x x x x x x x x e e x →→-→⎧+-⎪-+⎪⎪⎨⎪⎪+-⎪⎩约分。
如第一个重要极限。
如罗比达法则。
如（2）∞∞型222032lim 212limx x xx x x x e e x →∞-→⎧-⎪⎪-+⎨+-⎪⎪⎩分子、分母同除以一个恰当的无穷大量。
如罗比达法则。
如（3）o ∞型 100010∞∞⎧⎪∞⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∞变成型 (即型）变成型 (即型）（4）∞±∞型（部分可知）→变成一个分式 （5）(1)∞→型 →第二个重要极限。
1213012lim(12)lim()1x xx x x x x -→→∞++-如 ， （6）0(0)型 （7）0()∞型 （6、7不要求） 如1、)1ln(lim0x ee xx x ---→ 2、243sin lim0-+→x x x 3、x e x x cos 11lim 20--→ 4、932sin lim 0+-→x xx5、21lim (1)x x e ex x →--6、011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ 7、1l i m (1)xx x e →+∞- 三、连续：00lim ()lim ()()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x -+→→→==⇔=⇔函数()f x 在0x x =连续。
如：设函数cos ,0()sin ,0x x e x f x kx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩当=k 时，)(x f 在0=x 点处连续第二章 导数和微分 一、导数定义：如（1）若()03f x '=，则()()0002lim 5x f x f x x x ∆→--∆=∆（2）若0(13)(1)lim3h f h f h→+-=-，则(1)f '=______；二、导数的几何意义如曲线y =4，2）处的切线方程是三、根据导数定义验证函数可导性的问题： 如：||y x =在0x =处是否可导四、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P332、求导的四则运算法则：教材P28—303、复合函数求导法则（最重要的求导依据）如1．设ln(y x = 求 y ' 2．设2sin 3xy e x -= 求 y '3．若2sin(25)y x =-，求y '. 4、若2ln ln ln y x x =+，求y '. 4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 如（1）若22cos()3y x xy +-=，求y '. （2）若sin(2)0x y xy e x y ++++=，求. y ' 5、求高阶导数（最高为二阶） 如 若，求(0)f ''；6、求微分：会用dy y dx '=即可如：（1）设2(1)sin 3y x x =- 求d y（2）设3sin 1cos xy x=- 求d y（3）若22ln (38)xy e x -=++，求d y（4）设2()y arctgx =+，求dy.五、利用微分作近似计算：连续函数()y f x =当自变量x 在0x 处的变化量x ∆很小时，0()y dy f x dx ∆≈==0()f x x ∆如： 利用微分求0.01e 的近似值第三章 导数的应用一、函数的单调性（增减性）及极值问题：1、会判断函数的连续性 （判断依据 ：p53定理3.3）2、会求单调区间3、会求函数的极值（判断方法：p56，p57定理3.5；定理3.6）如 （1）求函数32()2312f x x x x =+-的单调区间与极值（2）求函数3223x x y -= 的单调区间与极值 二、函数凹向、拐点如 求函数53(2)y x x =- 的凹向、拐点三、曲线的渐近线1、水平渐近线定义（p63）：如 曲线153y x =-+的水平渐近线是 2、铅直渐近线定义（p64）：如 曲线2534xy x x =-+-的铅直渐近线是四、函数的最大值与最小值 如(1)欲做底面为正方形，容积为108m3的长方体开口容器,如何设计用料最省? (2) 欲用围墙围成面积为2162m 的矩形养鱼场，并在正中间用围墙将其隔成两块。
问长和宽选取多少时，才能使所用材料最省，即周长最短。
（请画出草图）。
(3)学校欲做一个底面为正方形，容积为32立方米的长方体开口蓄水箱，如何设计，所用材料最省？(4)有一门洞，上半部为一个半圆，下半部为一个矩形，周围长15m ，要使得面积最大，门宽应为多少？。
(5)、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 第四章 不定积分 一、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。
如 1、函数 是s i n 3x的一个原函数 2、函数2xe -是 的一个原函数二、不定积分：⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。
⎰+=C x F dx x f )()(如：若函数()f x 是函数()g x 的一个原函数，则()g x dx =⎰ 注意以下几个基本事实：())()(x f dx x f ='⎰⎰+='C x f dx x f )()( ⎰=dx x f dx x f d )()(⎰+=C x f x df )()(如：1、2d dx =⎰ 2、()f x dx '=⎰三、不定积分计算（恒等变形>>套积分公式）1、运算法则及基本公式（往往仅改变被积函数）如求⎰2、第一换元积分：（1）有的仅需要改变积分变量就可以套公式。
如1、112dx x=-⎰2、设⎰+=c x F dx x f )()(，则()f ax dx =⎰（2）有的需要把被积函数和积分变量一起变才可以套公式。
如21(23ln )dx x x -⎰e ⎰3、分部积分 ：主要针对三种题型：如： 2ln(1)x dx +⎰2ln x xdx ⎰sin(21)x x dx -⎰2x xe dx -⎰4、换元积分：主要考查不需要借助三角函数的情形。
如第五章 定积分一、定义如 1、21()d f x dx dx⎰ 比较：221(s i n )xt d t '⎰二、定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 1．3dx ⎰2．40⎰换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x 换成变量t 后，其上、下限也从要变3．10x xe dx -⎰ 4、⎰exdx x 1ln=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰121211ln 21ln 1ln 21ln 21221212212e x e xdx e x x x d x e x x xdx ee e=)1(41)2121(211212122222+=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e e e x e 三、其他性质：1、323x dx -⎰ 2、33cos x xdx -⎰ 3、()()baabf x dx f x dx +⎰⎰四、广义积分1.1332211111111lim lim |lim()2222bb b b b dx dx x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=⎰⎰ 2、4444101111lim lim |lim()4444bbx x x bb b b e e dx e dx e +∞----→∞→∞→∞==-=-+=⎰⎰五、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）： 1、求由曲线 2y x =与2x y =所围成的平面图形的面积。