福建省厦门双十中学2021届高三数学暑假第一次返校考试试题文
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A．y =B ．tan y x =C ．1y x x=+D ．x x y e e -=-4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-5．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(]0,16．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知：命题:p 若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =.命题:(0,)q m ∀∈+∞，关于x 的方程23210mx x -+=有解，在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中为真命题的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④8．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞9．函数sin ()lg(2)xf x x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数41()(0)2xf x x e x =+-<与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．(-∞B．⎛-∞ ⎝C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝ 11．已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(,1)(0,1)-∞-12．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-13．已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(,)e -∞-D ．(,1)-∞-14．已知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0二、填空题15．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 16．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．17．函数f (x )＝1()3x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 18．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________． 19．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大).20．如图所示，已知函数2log 4y x =图象上的两点,A B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为______.三、解答题21．已知函数f(x)＝1112xa ⎛⎫⎪⎝⎭＋－x 3(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点,P PF x ⊥轴. （1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23．已知函数f(x)=x －ax+(a －1)ln x ，1a >，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x ，x(0,)+∞，xx ，有1212()()1f x f x x x ->--． 24．已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．B 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果. 3．D 【详解】函数3y x =即是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y =为非奇非偶函数，排除A ；tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；1y x x=+为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；xxy e e -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D. 4．C 【分析】 令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】 由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒ ()21,f x x x -=-()722f ∴-=,故选C ． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 5．D 【解析】分析：欲求函数y=1*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y=1*2x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=1*2x =2x ∴f （x ）=1020xx x ≥⎧⎨⎩，，＜ 由图知，函数y=1*2x 的值域为：（0，1]． 故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质． 6．B 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．D 【分析】先分析命题p ，q 的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解． 【详解】解：若函数2()||f x x x a =+-为偶函数，则22()||||x x a x x a -+--=+-，即有||||x a x a +=-，易得0a =，故命题p 为真；当0m >时，方程的判别式412m ∆=-不恒大于等于零， 当13m >时，∆<0，此时方程无实根，故命题q 为假， 即p 真q 假，故命题p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()()p q ⌝∨⌝为真． 综上可得真确命题为①④． 故选：D ． 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p ，q 的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题． 8．B 【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 9．A 【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B ，D 答案；分析(2,1)x ∈--时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案． 【详解】解：若使函数sin ()lg(2)xf x x =+的解析式有意义则2021x x +>⎧⎨+≠⎩，即21x x >-⎧⎨≠-⎩即函数sin ()lg(2)xf x x =+的定义域为()()2,11,---+∞，可排除B ，D 答案；当(2,1)x ∈--时，sin 0x <，lg(2)0x +<， 则sin ()0lg(2)xf x x =>+，可排除C 答案故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键． 10．A 【分析】根据条件转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可． 【详解】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点， 等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++， 即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可， 设12xy e -=-，()()h x ln x a =+， 作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222xy e -=-=-=， 当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12xy e -=-有交点，满足条件， 当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<，综上a <即实数a 的取值范围是(-∞ 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=，由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值()g x ⇔在区间(0,2)ln 上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出． 【详解】解：()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=， 由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值，()g x ∴在区间(0,2)ln 上存在零点．(0)(2)(21)(22221)0g g ln a a a ln a ∴=-----<，可得10a +<，解得1a <-．∴实数a 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 和不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a ∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 13．C 【解析】分析：求出f （﹣x ）的解析式，根据x 的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f （﹣x ）=f （x ）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a 的范围．详解：∵f （x ）=,0,0x e x ax x ⎧≥⎨<⎩，∴f （﹣x ）=,0,0x e x ax x -⎧≥⎨-<⎩． 显然x=0是方程f （﹣x ）=f （x ）的一个根， 当x ＞0时，e x =﹣ax ，①当x＜0时，e﹣x=ax，②显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，即方程①，②含有相同个数的解，∵方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y=e x（x＞0）和y=﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：设y=kx与y=e x相切，切点为（x0，y0），则xxe kkx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得x0=1，k=e．∵y=e x与y=﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e．故选C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．14．A【分析】设()12019 in12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx x f x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x xx x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 15．① 【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 16．32-【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【详解】由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 即2ax=ln （e ﹣3x +1）﹣ln （e 3x +1）=lne ﹣3x =﹣3x ，∴2ax ＝－3x ，∴a ＝－32故答案为：－32【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f （﹣x ）=f （x ）是解决本题的关键，属于基础题. 17．3 【解析】13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y=－log 2(x ＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2(x ＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f （-1）=3 故答案为3．18．9+ 【解析】因为()2cos 0,()2sin ()f x x f x x x f x '=->-=-+=-，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()(21)(12)12,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b +1424()(2)999b a a b a b a b =++=++≥+=+，当且仅当b =时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 19．x 1<x 2<x 3 【分析】由1x ，2x ，3x 分别为f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －1的零点，将1x ，2x ，3x 转化为函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31与函数y ＝－x 交点的横坐标，所以在同一平面直角坐标系中，作出函数y 1＝2x，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x 图象，数形结合，判断1x ，2x ，3x 的大小 【详解】令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x ，∵函数f(x)＝x ＋2x，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x 1的零点分别为x 1，x 2，x 3，即函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3－1与函数y ＝－x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3. 分别作出函数的图象，结合图象可得x 1<x 2<x 3.【点睛】根据零点求参数方法：1.直接法：直接根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围2.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解20【分析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，得出AB 、AC 与BC 的关系，求出p 、q 的值，计算出结果．【详解】解：根据题意，设0(A x ，202log )x +，(,)B p q ，0(C x ，20log )x ， 线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，2AC ∴=，22log p q +=，22q p -∴=，42q p ∴=；又0x p -=0p x ∴=0x p ∴=；又202log 1x q +-=，20log 1x q ∴=-，102q x -=；12q p -∴；224q p p +==，p ∴=【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．21．（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1. 【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}． (2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝1112x a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－(－x)3＝－112x xa a⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝－11112x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＋－x 3＝1112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数． (3)①当a>1时，对x>0， 所以a x >1，即a x －1>0，所以11x a －＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 31112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝31)2(1)x ax x a （＋－，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意； 当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1 22．（1）2（2）222? (1)y x x =+> 【解析】分析：（1）设00,P x y （），则由已知可得2000022y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而可得0x =又根据PF x ⊥轴，则2p = （2）设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y ，联立直线AB 的方程与抛物线方程，利用根与系数的关系式以及中点坐标公式即可求得答案.详解：（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00,P x y （），则20000022y px x y x⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩PF x ⊥轴，0=2p x ∴，2p ∴= 2p ∴=（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点1,0Q-（）. 设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y .214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=．121244y y ny y +=⎧⎨=⎩, 22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点所以()2212212122122442112822y y y y y y x n y yy n ⎧+⎪+-==⎪=->⎨⎪+==⎪⎩， 消去n 得，222(1)y x x =+>.所以点M 的轨迹方程为222(1)y x x =+>．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果． 23．（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()21111'x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则()()21'x f x x-=，故()f x 在()0,∞+上单调递增.（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当()1,1x a ∈-时，()'0f x <； 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()1,1a -单调递减，在()0,1a -，()1,+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在()1,1-a 单调递减，在()0,1，()1,a -+∞单调递增.（2）考虑函数()()()211ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则()()())21'1111a g x x a a x -=--+≥-=-由于15a <<，故()'0g x >，即()g x 在()4,+∞单调增加，从而当120x x >>时有()()120g x g x ->，即()()12120f x f x x x -+->，故()()12121f x f x x x ->--，当120x x <<时，有()()()()122112211f x f x f x f x x x x x --=>---.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.24．（1）1,{ 2.a b ==（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）由曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =，得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，求出,a b 的值即可；（2）构造函数，通过对构造函数求导，并分类讨论，即可求得a 的取值范围． 详解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()11x x x f x be bx e bx b e =+-=+-'.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩得101a b b -=⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）当2b =时，()()21(1)xf x x e a a =-+<， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个.等价于关于x 的不等式()210xx e a ax -+-<的整数解有且只要一个，构造函数()()21,x F x x e a ax x R =-+-∈，所以()()21x F x e x a '=+-.①当0x ≥时，因为1,211xe x ≥+≥，所以()211xex +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()()010,10F a F e =-+=，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()210xex +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312a e≤<； 当0a <时，()3120F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化和化归思想，以及数形结合思想的应用．。
福建省厦门双十中学2020届高三暑假第一次返校考试数学试卷(文科)(一)(7月份)(解析版)
2019-2020学年福建省厦门市双十中学高三（上）返校数学试卷（文科）（一）（7月份）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共69分）1. 函数f(x)=12x2−ln x的单调减区间（）A.(−1, 1]B.(0, 1]C.(1, +∞)D.(0, +∞)2. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A.y＝2xB.y＝2|x|C.y＝2x−2−xD.y＝2x+2−x3. 函数y=2xln x的图象大致为（）A. B. C. D.4. 函数f(x)＝ln(x+1)−1x的零点所在的大致区间是（）A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, e)D.(3, 4)5. 已知函数f(x)={2x,x≤0|log2x|,x>0，则使f(x)＝2的x的集合是（）A.{14,4} B.{1, 4} C.{1,14} D.{1,14,4}6. 已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)．则f(6)=（）A.−2B.−1C.0D.27. 设函数f(x)满足f(1−x1+x )＝1+x，则f(x)的表达式为（）A.21+xB.21+x2C.1−x21+x2D.1−x1+x8. 已知函数f(x)＝log a(2x+b−1)(a>0, a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A.0<a−1<b<1B.0<b<a−1<1C.0<b−1<a<1D.0<a−1<b−1<19. 已知函数y＝kx+a的图象如图所示，则函数y＝a x+k的图象可能是（）A. B. C. D.10. 已知定义在(−1, 1)上的奇函数f (x)，其导函数为f′(x)＝l+cos x，如果f(1−a)+f(l−a2)<0，则实数a的取值范围为（）A.(0, 1)B.(1, √2)C.(−2, −√2)D.(1, √2)∪(−√2, −1)11. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90∘）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.12. 若函数f(x)＝(x 2−cx +5)e x 在区间[12, 4]上单调递增，则实数c 的取值范围是（ ） A.(−∞, 2] B.(−∞, 4] C.(−∞, 8] D.[−2, 4]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13 已知函数f(x)＝x 2+f′(2)(ln x −x)，则f′(1)＝________．14 已知f(x)=x 2−1,g(x)={x −1,x >02−x,x <0 ，则f （g(x)）＝________．15 已知函数y ＝f(x 2−1)的定义域为[−√3, √3]，则函数y ＝f(x)的定义域是________．16 已知函数f(x)=ln (x +√x 2+1),g(x)=f(x)+2017，下列命题： ①f(x)的定义域为(−∞, +∞)； ②f(x)是奇函数；③f(x)在(−∞, +∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f(a)+f(b)＝0，则a +b ＝1；⑤设函数g(x)在[−2017, 2017]上的最大值为M ，最小值为N ，则M +N ＝2017． 其中真命题的序号是________．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分）17 计算下列各式：（只写出结果） （1）(21027)−23=________（2）log 23⋅log 34⋅log 45⋅log 52＝________（3）lg 5(lg 8+lg 1000)+(lg 2√3)2+lg 16+lg 600=________（4）√7+√40+√7−√40=________（5）已知：lg x +lg y ＝2lg (2x −3y)，则log 32xy =________18 已知函数f(x)＝x 2+ax +3−a ，若x ∈[−2, 2]时，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．19 已知函数f(x)＝x −2x +1−a ln x ，a >0，讨论f(x)的单调性．20 已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x4x +1． （1）求f(x)在[−1, 1]上的解析式；（2）证明：f(x)在(0, 1)上是减函数．21 定义在R 上的函数f(x)满足①对任意x ，y ∈R 有f(x +y)＝f(x)+f(y) ②当x >0时，f(x)<0，f(1)＝−2 （1）求f(0)值；（2）判断函数f(x)奇偶性；（3）判断函数f(x)的单调性；（4）解不等式f(x 2−2x)−f(x)≥−8．22已知函数f(x)=xln x +ax ，x >1．(Ⅰ)若f(x)在(1, +∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(Ⅰ)若a＝2，求函数f(x)的极小值；(Ⅰ)若方程(2x−m)ln x+x＝0在(1, e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省厦门市双十中学高三（上）返校数学试卷（文科）（一）（7月份）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共69分） 1.【答案】 B【考点】复合函数的单调性 【解析】求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于0求得x 的范围得答案． 【解答】函数f(x)=12x 2−ln x 的定义域为(0, +∞)，f′(x)＝x −1x =x 2−1x=(x+1)(x−1)x，由f′(x)<0，得x <−1或0<x <1， 又函数定义域为(0, +∞)，Ⅰ 函数f(x)=12x 2−ln x 的单调减区间为(0, 1]． 2.【答案】 C【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断． 【解答】A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，C 由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y ′＝2x ln 2+2−x ln 2>0）， 3. 【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】利用特殊点的函数排除选项，利用变化趋势判断即可． 【解答】 函数y =2xln x ，当x ∈(0, 1)时，y <0，排除B 、C ；由指数函数的性质以及对数函数的性质，可知x →+∞时，函数y →+∞， 排除A ． 4.【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】分别计算f(0)，f(1)，f(2)，f(e)，f(3)，f(4)，结合零点存在定理，即可得到所求区间． 【解答】函数f(x)＝ln (x +1)−1x 在(0, +∞)递增， 且f(0)不存在，f(1)＝ln 2−1<0，f(2)＝ln 3−12>0，f(e)＝ln (e +1)−1e >0， f(3)＝ln 4−13>0，f(4)＝ln 5−15>0， 由零点存在定理可得，函数f(x)＝ln (x +1)−1x 的零点所在的大致区间是(1, 2)．故选：B ． 5.【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】利用分段函数通过f(x)＝2求出x 的值即可． 【解答】函数f(x)={2x ,x ≤0|log 2x|,x >0 ，当x ≤0时，2x ＝2，可得x ＝1（舍去）． 当x >0时，|log 2x|＝2，即log 2x ＝±2，解得x ＝4，或x =14．使f(x)＝2的x 的集合是{14,4}． 6.【答案】 D【考点】 函数的求值 【解析】 此题暂无解析【解答】解：Ⅰ 当x >12时，f(x +12)=f(x −12)， Ⅰ f(x)=f(x +1)．Ⅰ 当x >12，函数f(x)以T =1为周期，故f(6)=f(1). Ⅰ 当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)， Ⅰ f(1)=−f(−1).又Ⅰ 当x <0时，f(x)=x 3−1， Ⅰ f(−1)=−2，Ⅰ f(6)=f(1)=−f(−1)=2． 故选D ． 7.【答案】 A【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】令t =1−x1+x ，则x =1−t1+t 且t ≠−1，代入即可求解． 【解答】令t =1−x1+x ，则x =1−t1+t 且t ≠−1， Ⅰ f(1−x 1+x )＝1+x ， 则f(t)＝1+1−t1+t =21+t ， Ⅰ f(x)=21+x．8. 【答案】A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a ，b 的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的(0, −1)点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系． 【解答】Ⅰ 函数f(x)＝log a (2x +b −1)是增函数， 令t ＝2x +b −1，必有t ＝2x +b −1>0， t ＝2x +b −1为增函数． Ⅰ a >1，Ⅰ 0<1a<1，Ⅰ 当x ＝0时，f(0)＝log a b <0，Ⅰ 0<b <1．又Ⅰ f(0)＝log a b >−1＝log a 1a ，Ⅰ b >1a ，Ⅰ 0<a −1<b <1． 9. 【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】利用函数的图象判断k ，a 的范围，然后判断函数的图象即可． 【解答】由题意可知−1<k <0，a ∈(0, 1)， 所以函数y ＝a x+k 是减函数，排除A 、C ； x ＝0时，y ＝a k >1， 10.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由导数判断f(x)在(−1, 1)递增，再由f(−x)＝−f(x)，不等式f(1−a)+f(l −a 2)<0化为{−1<1−a <1−1<a 2−1<11−a <a 2−1，求解不等式组得答案． 【解答】f(x)的导函数为f′(x)＝l +cos x ，则f′(x)>0在(−1, 1)恒成立，即有f(x)在(−1, 1)递增， 又f(x)为奇函数，即有f(−x)＝−f(x)，则f(1−a)+f(l −a 2)<0即为f(1−a)<−f(l −a 2)＝f(a 2−1)， 即{−1<1−a <1−1<a 2−1<11−a <a 2−1 ，即有{0<a <2−√2<a <√2a ≠0a >1a <−2 ，解得，1<a <√2． 11.【答案】 D【考点】函数的图象变换 【解析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知阴影部分的面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知只有选项D 符合要求. 故选D ． 12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】若函数f(x)＝(x 2−cx +5)e x 在区间[12, 4]上单调递增，则f′(x)＝[x 2+(2−c)x +(5−c)]e x ≥0在区间[12, 4]上恒成立，即c ≤x 2+2x+5x+1在区间[12, 4]上恒成立，令g(x)=x 2+2x+5x+1，利用导数法求出函数的最小值，可得答案． 【解答】若函数f(x)＝(x 2−cx +5)e x 在区间[12, 4]上单调递增，则f′(x)＝[x 2+(2−c)x +(5−c)]e x ≥0在区间[12, 4]上恒成立， 即x 2+(2−c)x +(5−c)≥0在区间[12, 4]上恒成立， 即c ≤x 2+2x+5x+1在区间[12, 4]上恒成立，令g(x)=x 2+2x+5x+1，则g′(x)=x 2+2x−3(x+1)2，令g′(x)＝0，则x ＝1，或−3，当x ∈[12, 1)时，g′(x)<0，g(x)为减函数；当x ∈(1, 4]时，g′(x)>0，g(x)为增函数； 故当x ＝1时，g(x)取最小值4， 故c ∈(−∞, 4]，二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13【答案】 2【考点】 导数的运算 【解析】求函数的导数即可得到结论． 【解答】函数的导数为f′(x)＝2x +f′(2)(1x −1)， 令x ＝2，则f′(2)＝4+f′(2)(12−1)， 解得f′(2)=83，则f′(x)＝2x +83(1x−1)，则f′(1)＝2， 故答案为：2 14【答案】 {x 2−2x,x >0x 2−4x +3,x <0【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】x >0时，f(g(x)＝f(x −1)，当x <0时，f(g(x)＝f(2−x)＝(2−x)2−1，代入即可求解． 【解答】Ⅰ f(x)=x 2−1,g(x)={x −1,x >02−x,x <0，当x >0时，f(g(x)＝f(x −1)＝(x −1)2+1＝x 2−2x ， 当x <0时，f(g(x)＝f(2−x)＝(2−x)2−1＝x 2−4x +3 15【答案】 [−1, 2] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解答】Ⅰ 函数y ＝f(x 2−1)的定义域为[−√3, √3]， Ⅰ −√3≤x ≤√3， 即0≤x 2≤3， −1≤x 2−1≤2，即函数y ＝f(x)的定义域为[−1, 2]， 16【答案】 ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由对数的真数大于0，解不等式可判断①；由奇偶性的定义可判断②；考虑x ≥0时的单调性可判断③；由f(x)的奇偶性和单调性，可判断④；由奇函数的性质计算可判断⑤． 【解答】f(x)＝ln (x +√1+x 2)，由x +√1+x 2>0，当x ≥0，不等式显然成立；当x <0时，√1+x 2>−x ，两边平方可得1+x 2>x 2成立， 则f(x)的定义域为(−∞, +∞)，故①正确；由f(−x)+f(x)＝ln (−x +√1+x 2)+ln (x +√1+x 2)＝ln (1+x 2−x 2)＝ln 1＝0， 可得f(−x)＝−f(x)，即f(x)为奇函数，故②正确；当x ≥0时，由y ＝x +√1+x 2递增，可得f(x)在[0, +∞)递增， 即有f(x)在(−∞, +∞)递增，故③正确；若实数a ，b 满足f(a)+f(b)＝0，即有f(a)＝−f(b)＝f(−b)， 由f(x)在(−∞, +∞)递增，可得a ＝−b ，即a +b ＝0，故④错误；g(x)＝f(x)+2017，可得f(x)＝g(x)−2017，可得f(−x)+f(x)＝g(−x)+g(x)−4034＝0，可得g(−x)+g(x)＝4034，则M+N＝4034，故⑤错误．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分）17【答案】916152√52【考点】对数的运算性质【解析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求值；（2）利用对数的换底公式求解；（3）直接利用对数的运算性质化简求值；（4）把根式开方化简求值；（5）根据对数的运算法则和其定义域即可求xy ，进而求得log32xy．【解答】(21027)−23=[(43)3]−23=(34)2=916；log23⋅log34⋅log45⋅log52=lg3lg2⋅21g2lg3⋅lg521g2⋅lg2lg5=1；lg5(lg8+lg1000)+(lg2√3)2+lg 16+lg600＝lg5(3lg2+3)+3lg22−lg6+lg6+2＝3lg2⋅lg5+3lg5+3lg22+2＝3lg2(lg5+lg2)+3lg5+2＝3(lg2+lg5)+2＝5；√7+√40+√7−√40=√7+2√10+√7−2√10 =√5+√2+√5−√2=2√5；Ⅰ lg x+lg y＝2lg(2x−3y)，Ⅰ {x>0y>02x−3y>0xy=(2x−3y)2，解得xy=94或xy=1（舍去）．Ⅰ log32xy=log3294=2．故答案为：916，1，5，2√5，2．18【答案】要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[−2, 2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．①当−a2<−2，即a>4时，g(a)＝f(−2)＝7−3a≥0，得a≤73，故此时a不存在；②当−a2∈[−2, 2]，即−4≤a≤4时，g(a)＝f(−a2)＝3−a−a24≥0，得−6≤a≤2，又−4≤a≤4，故−4≤a≤2；③当−a2>2，即a<−4时，g(a)＝f(2)＝7+a≥0，得a≥−7，又a<−4，故−7≤a<−4，综上得−7≤a≤2．【考点】二次函数的性质二次函数的图象函数恒成立问题【解析】利用二次函数的在闭区间上的最值，通过对称轴是否在区间内，函数的最小值非负，求解即可．【解答】要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[−2, 2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．①当−a2<−2，即a>4时，g(a)＝f(−2)＝7−3a≥0，得a≤73，故此时a不存在；②当−a2∈[−2, 2]，即−4≤a≤4时，g(a)＝f(−a2)＝3−a−a24≥0，得−6≤a≤2，又−4≤a≤4，故−4≤a≤2；③当−a2>2，即a<−4时，g(a)＝f(2)＝7+a≥0，得a≥−7，又a<−4，故−7≤a<−4，综上得−7≤a≤2．19【答案】Ⅰ 函数f(x)＝x−2x+1−a ln x，a>0，Ⅰ f′(x)＝1+2x2−ax，x>0，令t=1x>0y＝2t2−at+1(t≠0)①△＝a2−8≤0，即：0<a≤2√2，y≥0恒成立，此时函数f(x)在(0, +∞)上是增函数②△＝a2−8>0，即：a>2√2，y＝0有两个不等根由2t2−at+1>0，得t<a−√a2−84或t>a+√a2−84，又x>0Ⅰ 0<x<a−√a2−82或x>a+√a2−82由2t2−at+1<0，得a−√a2−84<t<a+√a2−84，Ⅰ a−√a2−82<x<a+√a2−82综上：①0<a≤2√2，函数f(x)在(0, +∞)上是增函数②a >2√2函数f(x)(0, a−√a 2−82)，(a+√a 2−82, +∞)上是增函数，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上是减函数．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性． 【解答】Ⅰ 函数f(x)＝x −2x +1−a ln x ，a >0， Ⅰ f′(x)＝1+2x 2−a x ，x >0， 令t =1x >0y ＝2t 2−at +1(t ≠0)①△＝a 2−8≤0，即：0<a ≤2√2，y ≥0恒成立，此时函数f(x)在(0, +∞)上是增函数 ②△＝a 2−8>0，即：a >2√2，y ＝0有两个不等根 由2t 2−at +1>0，得t <a−√a 2−84或t >a+√a 2−84，又x >0Ⅰ 0<x <a−√a 2−82或x >a+√a 2−82由2t 2−at +1<0，得 a−√a 2−84<t <a+√a 2−84，Ⅰa−√a 2−82<x <a+√a 2−82综上：①0<a ≤2√2，函数f(x)在(0, +∞)上是增函数②a >2√2函数f(x)(0, a−√a 2−82)，(a+√a 2−82, +∞)上是增函数，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上是减函数．20【答案】解当x ∈(−1, 0)时，−x ∈(0, 1)．Ⅰ f(x)是奇函数，Ⅰ f(x)＝−f(−x)=−2−x4−x +1=−2x4x +1 由f(0)＝f(−0)＝−f(0)，且f(1)＝−f(−1)＝−f(−1+2)＝−f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(−1)＝0．Ⅰ 在区间[−1, 1]上，有f(x)={2x 4x +1x ∈(0,1)−2x4x +1x ∈(−1,0)0x ∈{−1,0,1}证明当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x4+1，设0<x 1<x 2<1， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 14x 1+1−2x 24x 2+1=(2x 2−2x 1)(2x 1+x 2−1)(4x 1+1)(4x 2+1)Ⅰ 0<x 1<x 2<1，Ⅰ 2x 2−2x 10，2x 2+x 1−1>0，Ⅰ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 故f(x)在(0, 1)上单调递减． 【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）定义在R 上的奇函数f(x)，可得f(0)＝0，及x ∈(−1, 0)时f(x)的解析式，x ＝−1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．（2）证明单调性可用定义或导数解决． 【解答】解当x ∈(−1, 0)时，−x ∈(0, 1)． Ⅰ f(x)是奇函数，Ⅰ f(x)＝−f(−x)=−2−x 4−x +1=−2x4x +1由f(0)＝f(−0)＝−f(0)，且f(1)＝−f(−1)＝−f(−1+2)＝−f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(−1)＝0．Ⅰ 在区间[−1, 1]上，有f(x)={2x 4x +1x ∈(0,1)−2x4x +1x ∈(−1,0)0x ∈{−1,0,1}证明当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x4x +1，设0<x 1<x 2<1， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 14x 1+1−2x 24x 2+1=(2x 2−2x 1)(2x 1+x 2−1)(4x 1+1)(4x 2+1)Ⅰ 0<x 1<x 2<1，Ⅰ 2x 2−2x 10，2x 2+x 1−1>0，Ⅰ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 故f(x)在(0, 1)上单调递减．21【答案】取x ＝y ＝0，可得f(0)＝0，取y ＝−x ，可得f(x)+f(−x)＝f(0)＝0， 所以f(−x)＝−f(x)，f(x)是奇函数任取x 1<x 2， 则 x 2−x 1>0Ⅰ f(x 2)−f(x 1)＝f(x 2)+f(−x 1)＝f(x 2−x 1) 又Ⅰ 当x >0时，f(x)<0， f(x 2)−f(x 1)<0， 可得 f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x) 在R 上是减函数Ⅰ f(1)＝−2Ⅰ f(2)＝f(1)+f(1)＝−4， f(4)＝f(2)+f(2)＝−8Ⅰ 不等式f(x 2−2x)−f(x)≥−8 可化为f(x 2−2x)−f(x)≥f(4) 即f(x 2−2x)≥f(x)+f(4) 即x 2−2x ≤x +4 即x 2−3x −4≤0 解得−1≤x ≤4故不等式f(x 2−2x)−f(x)≥−8的解集为[−1, 4] 【考点】奇偶性与单调性的综合 抽象函数及其应用【解析】（1）根据已知等式，采用赋值法，取x＝y＝0，可得f(0)的值（2）结合（1）中结论，继续采用赋值法，取y＝−x，结合函数奇偶性的定义，可得f(x)是奇函数；（3）根据函数单调性的定义，任取x1<x2，将f(x2)与f(x1)作差得到负数，从而f(x1)>f(x2)，得到f(x)在R上是减函数；（4）根据函数在R上是奇函数且为减函数，将原不等式转化为x2−3x−4≤0，再根据二次不等式的解法，得到答案．【解答】取x＝y＝0，可得f(0)＝0，取y＝−x，可得f(x)+f(−x)＝f(0)＝0，所以f(−x)＝−f(x)，f(x)是奇函数任取x1<x2，则x2−x1>0Ⅰ f(x2)−f(x1)＝f(x2)+f(−x1)＝f(x2−x1)又Ⅰ 当x>0时，f(x)<0，f(x2)−f(x1)<0，可得f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上是减函数Ⅰ f(1)＝−2Ⅰ f(2)＝f(1)+f(1)＝−4，f(4)＝f(2)+f(2)＝−8Ⅰ 不等式f(x2−2x)−f(x)≥−8可化为f(x2−2x)−f(x)≥f(4)即f(x2−2x)≥f(x)+f(4)即x2−2x≤x+4即x2−3x−4≤0解得−1≤x≤4故不等式f(x2−2x)−f(x)≥−8的解集为[−1, 4]22【答案】（本小题满分1（1）函数f(x)=xln x+ax，x>1．f′(x)=ln x−1ln2x+a，由题意可得f′(x)≤0在x∈(1, +∞)上恒成立；---Ⅰ a≤1ln2x −1ln x=(1ln x−12)2−14，----------------------Ⅰ x∈(1, +∞)，Ⅰ ln x∈(0, +∞)，----------------------Ⅰ 1ln x −12=0时函数t=(1ln x−12)2−14的最小值为−14，Ⅰ a≤−14−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）当a＝2时，f(x)=xln x +2xf′(x)=ln x−1+2ln2xln2x−−−−−−−−−−−−−−−−−−令f′(x)＝0得2ln2x+ln x−1＝0，解得ln x=12或ln x＝−1（舍），即x=e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−当1<x<e12时，f′(x)<0，当x>e12时，f′(x)>0Ⅰ f(x)的极小值为f(e12)=e1212+2e12=4e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Ⅰ)将方程(2x−m)ln x+x＝0两边同除ln x得(2x−m)+xln x=0整理得xln x+2x=m−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−即函数f(x)与函数y＝m在(1, e]上有两个不同的交点；----------------------由(Ⅰ)可知，f(x)在(1,e12)上单调递减，在(e12,e]上单调递增f(e12)=4e12,f(e)=3e，当x→1时，xln x→+∞，Ⅰ 4e12<m≤3e，实数m的取值范围为(4e12,3e]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过f′(x)≤0在x∈(1, +∞)上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．(Ⅰ)利用a＝2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．(Ⅰ)化简方程(2x−m)ln x+x＝0，得xln x+2x=m，利用函数f(x)与函数y＝m在(1, e]上有两个不同的交点，结合由(Ⅰ)可知，f(x)的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分1（1）函数f(x)=xln x+ax，x>1．f′(x)=ln x−1ln2x+a，由题意可得f′(x)≤0在x∈(1, +∞)上恒成立；---Ⅰ a≤1ln2x−1ln x=(1ln x−12)2−14，----------------------Ⅰ x∈(1, +∞)，Ⅰ ln x∈(0, +∞)，----------------------Ⅰ 1ln x−12=0时函数t=(1ln x−12)2−14的最小值为−14，Ⅰ a≤−14−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）当a＝2时，f(x)=xln x+2xf′(x)=ln x−1+2ln2xln2x−−−−−−−−−−−−−−−−−−令f′(x)＝0得2ln2x+ln x−1＝0，解得ln x=12或ln x＝−1（舍），即x=e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−当1<x<e 12时，f′(x)<0，当x>e12时，f′(x)>0Ⅰ f(x)的极小值为f(e 12)=e1212+2e12=4e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Ⅰ)将方程(2x−m)ln x+x＝0两边同除ln x得(2x−m)+xln x=0整理得xln x+2x=m−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−即函数f(x)与函数y＝m在(1, e]上有两个不同的交点；----------------------由(Ⅰ)可知，f(x)在(1,e 12)上单调递减，在(e12,e]上单调递增f(e12)=4e12,f(e)=3e，当x→1时，xln x→+∞，Ⅰ 4e 12<m≤3e，实数m的取值范围为(4e 12,3e]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。
福建省厦门市双十中学2021届高三年(上)半期考试 数学(文)
福建省厦门市双十中学2021届高三年（上）半期考试 数学(文)高三 数学考试时间：120分钟学校:___________班级:___________姓名:___________学号:___________一 、 选择题：（本大题共12 小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填入答题卡填空题的相应位置.）1.已知集合A={y|y=ln(x-1)}，B={0,1,2,3}，则A B=( )A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{0,1}∩2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A.B.y=ln(-x)C.D.y =x 3y =xe −xy =x +2x3.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )A.圆锥B.三棱锥C.三棱柱D.三棱台4.已知，则=( )A.-B.-C.D.cos α=,a ∈(−π,0)2√10cos (α−)π4354535455.函数的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )f (x )=a x −bA.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<06.已知两条平行直线之间的距离为1，与圆相切，与C 相交于A ，B 两点，则|AB|=( )A.B.C.3D.,l 1l 2l 1C :+=4x 2y 2l 22‾√3‾√23‾√7.的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A=60°，c=8，a=b+2，那么的周长等于( )A.12B.20C.26D.△ABC △ABC 103‾√8.在中，若点D 满足，点M 为AC 中点，则=( )A.B.C.D.△ABC =2CD −→−DB −→−MD −→−−−23AB −→−13AC −→−+13AB −→−16AC −→−−23AB −→−16AC −→−+23AB −→−16AC−→−9.已知函数f(x)= sinωx(ω>0)，则“函数f(x)的图象经过点”是“函数f(x)的图象经过点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(,1)π4(,0)π210.已知圆台轴截面ABCD 的高为2，AB=2，CD=4，E 是该圆台底面圆弧CD 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A.B.1223C.D.5√325√511.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足，当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是( )A.B.C.D. =|PA ||PB |2‾√2‾√22‾√22√32√312.已知函数，若，则( )A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b)D.f(c)<f(b)<f(a)f (x )=+e x −a e −x +a =lo b =c 3ag 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填入答题卡填空题的相应位置.)13.已知向量a =(1,2)，b =(2,m)，若，则m= .(a +b =+)2a 2b 214.已知函数的图象关于直线对称，则φ的值为 .y=2sin (2x +φ)(−<φ<)π2π2x =π615.若椭圆的焦点在x 轴上，过点(2，1)作圆的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .+=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2+=4x 2y 216.已知函数，若，且，则的取值范围 .f (x )={1+lnx ,x ≥1x +,x <11212≠x 1x 2f ()+f ()=2x 1x 2+x 1x 2三、解答题：(本大题6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，.(1).求A ；(2).已知点D 在BC 边上，DC=2BD=2，AC=，求AD.△ABC cosC =c +2b 2a3‾√18.如图，在多面体中，四边形为矩形，⊥面ABC ，，E ，F 分别是，AC 的中点，G 是线段上的任一点.ABCC 1B 1A 1B C B 1C 1AB =BC =,C 5‾√C 1A //C ,2A =C =AC =2A 1C 1A 1C 1A 1C 1BB 1(1).求证：AC ⊥EG ；(2).求三棱锥的体积.F −EG A 119.某工厂每日生产某种产品x(x≥1)吨，当日生产的产品当日销售完毕，当1≤x≤20时，每日的销售额y(单位：万元)与当日的产量x 满足y=alnx+b ，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况.已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元.(1).把每日销售额y 表示为日产量x 的函数；(2).若每日的生产成本(单位：万元)，当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大?并求出最大值.(注：计算时取1n2=0.7，1n5=1.6)c (x )=x +11220.已知椭圆的离心率为，F 是椭圆C 的一个焦点.点M(0,2)，直线MF 的斜率为.(1).求椭圆C 的方程；(2).若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，且|AB|=|MN|.求l 的方程.C:+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 23√26√321.已知函数.(1).讨论f(x)的单调性；(2).当0≤a≤1时，证明：xf(x)>a(sinx+1).f (x )=lnx +a +1x22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(φ为参数)，直线l 的方程为(1).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程；(2).在(1)的条件下，直线m 的极坐标方程为，设曲线C 与直线l 的交于点O 和点A ，曲线C 与直线m 的交于点O 和点B ，求的面积.{x =1+cos φ5‾√y =2+sin φ5‾√y =x 3‾√θ=(ρ∈R )π6△OAB。
福建省厦门双十中学近年届高三数学暑假第二次返校考试试题文(2021年整理)
福建省厦门双十中学2019届高三数学暑假第二次返校考试试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省厦门双十中学2019届高三数学暑假第二次返校考试试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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双十中学2019届高三数学（文科）暑期考试卷二一、选择题：（本大题共12小题，每小题6分，共60分。
请将答案填入答题卡相应位置。
）1.已知43cos =x ，则=x 2cos A 。
41- B. 41 C. 81- D 。
81 2。
为了得到函数)32sin(2π-=x y 的图象,可以将函数x y 2sin =的图象A 。
向右平移6π个单位长度 B ，向右平移3π单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向左平移3π个单位长度 3。
已知角α终边上一点P 的坐标是（2cos 2,2sin 2-),则=αsinA. 2sin B 。
2sin - C. 2cos D 。
2cos -4。
已知)2,2(,31sin ππθθ-∈=，则 )23sin()sin(θπθπ--的值为 A 。
922 B 。
922- C. 91 D 。
91- 5。
在ABC ∆中，角A, B ， C 所对的边分别为a ，b, c,若A aB b sin cos 3=，则B cos等于 A 。
21- B. 21 C 。
23- D 。
23 6。
函数)sin cos 3cos)(sin 3()(x x x x f -+=的最小正周期是A 。
2π B. π C 。
23π D 。
福建省厦门双十中学2019届高三数学暑假第一次返校考试试题 理(扫描版)
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厦门双十中学高三数学(文)热身考试卷及参考答案
厦门双十中学高三数学（文）热身考试卷1. 设全集是实数集R ，M=N M C x x N x x R )(},1|{},22|{则<=≤≤- 等于A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<1或x>2}D.{x|-2≤x<1}2.在函数2133x y -=-的反函数图象上的一个点可以是（A ）(27,2) （B ）(2,27) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3、在三角形ABC 中，“A<600”是“ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知圆4)(22=+-y a x 被直线1=+y x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为A 0和4B 1 或3C —2或6D —1或35.已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：①m n m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥αα∥n ②n nm m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥α∥α ③n m n m //////⇒⎩⎨⎧αα ④n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα// 其中正确命题的序号是A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③ 6．已知{an }是正项的等差数列，如果满足,642752725=++a a a a则数列{a n }的前11项的和为A ．8B ．44C ．56D ．647．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为A ．1辆B ．10辆C ．20辆D ．70辆8.定义运算a ○×b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数x x f 21)(⊗=的图象大致为9．若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个元素排成一行，要求A 不排在左端，且B ，C 相邻，则不同的排法有A ．96种B ．120种C ．144种 D.19210. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式。
2021届福建省厦门双十中学高三热身考试数学(文)试题
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学（文）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}ln 1A y y x ==-，{}=0,1,2,3B ，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,1 2．复数z 满足i 2i z ⋅=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i -+C ．12i +D ．12i --3．若sin()4πα-=cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A B ． C ． D ．-4．某商场一年中各月的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）①利润最高的月份是2月份；②收入最高值与收入最低值的比是2∶1；③1至2月份的收入增长最快；④第二季度月平均收入为50万元.A ．①②③④B ．①②C ．②④D ．②③④ 5．已知()13ln2a =，()13ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为(2,0)F -，经过点F 且与圆223x y +=相切的直线与C 的一条渐近线平行，则C 的离心率为（ ）AB ．2 CD7．若,x y 满足约束条件2401010x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．83C ．8D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．4B ．9C ．16D ．259．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（ ）ABC．D．10．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知抛物线T 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与T 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则△CMD 是()A ．等腰三角形且为锐角三角形B ．等腰三角形且为钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．非等腰的直角三角形12．已知函数e ()xf x x=，存在三个不同实数123,,x x x 满足()()()123123f x f x f x a x x x ===，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2e ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2e ,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(2,)b m =，若222()a b a b +=+，若m =_______.14．若2()e 1x x f x ax =+-是偶函数，则a =_______. 15．已知D 是直角ABC 斜边BC上一点，AC =，AD =，若ABD△的面积是ACD 面积的两倍，则BD =__________. 16．已知点A ，B ，C 在半径为2的球O 的球面上，且OA ，OB ，OC 两两所成的角相等，则当三棱锥O ABC -的体积最大时，平面ABC 截球O 所得的截面圆的面积为_______．三、解答题17．已知数列{}n a 为等比数列，且123n n n a a +-=⋅（1）求公比q 和3a 的值；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：3-，n S ，1n a +成等差数列．18．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，33BC AD ==，,E F 分别为11,AB A B 中点，DE CF ⊥.（1）求AB 的长度；（2）若线段1DB 与,,E F C 三点所确定的平面交于点T ，求1DT TB 的值. 19．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案①：规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案②：规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（2）若骑手甲、乙选择了日工资方案①，丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案①的概率；（3）若从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．已知椭圆222:14x y C b +=的左顶点 A 与上顶点B． (Ⅰ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．21．已知函数2()ln 3f x x ax x=++-. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x a t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C 上一点A 的极坐标为π1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点,M N 在1C 上，点P 在2C 上（异于极点），若,,,O M P N 四点依次在同一条直线l 上，且||,||,||MP OP PN 成等比数列，求l 的极坐标方程.23． 设函数(),0f x x a a =+>.(Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集； (Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】根据対数型函数的值域化简集合A ,再根据交集的概念进行交集运算即可.【详解】因为A R =,{0,1,2,3}B =,所以{0,1,2,3}A B ⋂=.故选:A【点睛】本题考查了集合的交集运算,対数型函数的值域,属于基础题.2．C【分析】 由题意，2i i z +=，结合复数的四则运算，求出z ，进而求得z 即可. 【详解】 由题意，()22i i 2i 12i 12i i i 1z +⋅+-+====--，所以12z i =+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3．D【分析】首先根据角之间的关系，应用诱导公式求得结果.【详解】由题意可得cos()sin[()]sin()sin()424445πππππαααα+=-+=-=--=-， 故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目. 4．D【分析】根据折线图，对四个命题逐个分析可选出答案.【详解】根据折线图，利润最高的月份是10月份，故①错误；收入最高值为80万元，最低值为40万元，二者的比是2∶1，故②正确；折线图中，1至2月份的斜率最大，即1至2月份的收入增长最快，故③正确；第二节度的总收入为506040150++=万元，平均收入为150=503万元，故④正确. 故选：D.【点睛】本题考查折线图，考查统计知识，考查学生的推理能力，属于基础题.5．B【分析】结合0,1进行a,b,c 的大小比较，即可．【详解】 22log 0.7log 10c =<=,()()11330ln 21ln 3a b <=<<=,故c a b <<,故选B.【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等． 6．B【分析】 双曲线的渐近线为b y x a =±，过点F 作圆的切线，切点为P ，可得tan b PFO a∠=，再结合tan OPPFO PF ∠=，从而可求得b a 的值，进而可求出C 的离心率c e a ==【详解】 由题意，双曲线的渐近线为b y x a=±，过点F 作圆223x y +=的切线，设切点为P ，则tan b PFO a∠=，又2OF =，OP =1PF ===，所以tan OPPFO PF ∠==b a=所以，C 的离心率为2c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查离心率的求法，考查圆的切线，考查学生的计算求解能力，属于中档题.7．B【分析】作出不等式组对应的可行域，当目标函数经过点A 时，z 取得最小值，求解即可.【详解】 作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为1122y x z =-+， 联立24010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可求得点25,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当目标函数经过点A 时，z 取得最小值min 2582333z =-+⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.8．C【分析】运行该程序，根据3i >时输出S ，可得出答案.【详解】程序开始运行，输入1,1S i ==，则2113T =⨯+=，134S =+=，112i =+=； 判断框不成立，则2215T =⨯+=，459S =+=，213i =+=；判断框不成立，则2317T =⨯+=，9716S =+=，314i =+=；判断框成立，输出16S =.故选：C.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9．A【分析】连结111,,,AC CB AB BC ，易证1CB ⊥平面11BC D ，CA ⊥平面1BDD ，从而可得1CA BD ⊥，11CB BD ⊥，进而可得1BD ⊥平面1ACB ，取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ，所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF 为所求截面，求出面积即可.【详解】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ⋂=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥， 又1CACB C =，故1BD ⊥平面1ACB .取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ， 所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF 为所求截面.易知MEF 为正三角形，边长ME ==故12MEFS==故选：A.【点睛】本题考查几何体截面的面积，考查正方体的性质，考查线面垂直、面面平行的判定，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 10．A 【分析】先由()f x 的图象经过点π14⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω；再由()f x 的图象经过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭求出ω，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】函数()f x 的图象经过点（4π，1）时，有sin 14πω=，所以，242k k Z ，ππωπ=+∈，因为0ω>，所以28k ω=+，,k N ∈函数为：()()sin 28f x k x =+，k N ∈ 当2x π=时，()()sin 28sin 4022f k k ππππ⎛⎫=+⨯=+=⎪⎝⎭，所以，充分性成立； 当函数()f x 的图象经过点（,02π）时，sin02πω=，所以， ,2k k Z πωπ=∈，即2k ω=,k Z ∈，()sin2(0,)f x kx k k Z =>∈， 当4x π=时，sin 2sin 442k f k πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不一定等于1，所以，必要性不成立． 故选A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 11．A 【解析】不妨设抛物线T 的方程为y 2＝2px (p >0).∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，F 为抛物线的焦点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，NM 是M 到抛物线准线的垂线，垂足为N ，准线与x 轴的交点为E ，如图：∴△CMD 中，|CN |＝|ND |，所以△CMD 是等腰三角形， 又根据抛物线定义，|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |， ∴∠CFD ＝∠CFE ＋∠DFE ＝∠ACF ＋∠BDF ＝∠AFC ＋∠BFD . 可得∠CFD ＝90°，又|MN |>|EF |，可得∠CMD <90°. 则△CMD 是等腰三角形且为锐角三角形. 答案 A 12．C 【分析】存在三个不同实数123,,x x x 满足()()()123123f x f x f x a x x x ===，则函数()f x x与y a=的图象有三个交点，求出()f x x 的单调性，并作出函数()f x x与y a =的图象，可得出答案. 【详解】构造函数2()e ()xf xg x x x==，定义域为()(),00,-∞+∞，求导得()3e (2)x x xx g '=-， 当2x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当02x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减； 当0x <时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增. 作出函数()g x 的图象，如下图，当0x >时，()g x 的最小值为2e (2)4g =，值域为2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当0x <时，()g x 的值域为0,.因为存在三个不同实数123,,x x x 满足()()()123123f x f x f x a x x x ===，所以函数()g x 与y a =的图象有三个交点，故只需2e 4a >即可. 故选：C.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数图象交点问题，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于中档题. 13．-1. 【分析】由222()a b a b +=+，可求得0a b ⋅=，进而可求出m 的值. 【详解】由题意，222()2a b a b a b +=++⋅，所以22222a b a b a b ++⋅=+，即0a b ⋅=， 所以1220a b m ⋅=⨯+=，解得1m =-. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14．1 【分析】函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，结合()f x 为偶函数，可知对定义域内任意的x 都满足()()f x f x -=，可得222e 1e 1x xx xax ---=--恒成立，整理可求得a 的值. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为()f x 为偶函数，所以对定义域内任意的x 都满足()()f x f x -=，则22e 1e 1x x x x ax ax ---=+--，即222e 1e 1x xx xax ---=--恒成立， 又()2e 222e 2e 1e 1e 11e 1e 1x x x x x x x x x x x x --⋅-=-=------， 因为()(),00,x ∈-∞+∞，所以()2e 2e 11x xx x =--，则22x ax =恒成立，即1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题考查偶函数的性质，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 15．【分析】作出图形，设()0DC x x =>，可得AC =，22BD CD x ==，AB =，进而求出cos B 的值，在ADB △中，由余弦定理可得222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅，进而求得2253AD x =，再结合AD =，可求出x 的值，进而求出BD .【详解】 如下图，π2BAC ∠=，设()0DC x x =>，则AC =， 因为ABD △的面积是ACD 面积的两倍，所以22BD CD x ==，故AB =，cos AB B BC ==， 在ADB △中，由余弦定理得，222222cos 23AB BD AD B AB BD +-===⋅，解得2253AD x =，又AD =25203x =，解得x =所以2BD x ==故答案为：【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 16．83π 【分析】易知三棱锥O ABC -为正三棱锥，通过勾股定理用AB 表示出直角三角形OAG 三边，再利用体积求出最大值时AB 的取值，最终确定截面圆半径. 【详解】由题意知：三棱锥O ABC -为正三棱锥，如图所示：D 为BC 中点，OG ⊥平面ABC ，且G 为ABC ∆的重心设AB x =，则223323AG AD x x ==⨯=OG∴==2134O ABCV x-=⨯=令()20,12t x=∈()()212g t t t⇒=-()2324g t t t⇒'=-+令()0g t'=，解得：8t=且()0,8t∈时，()g t单调递增；()8,12t∈时，()g t单调递减28x t∴==时三棱锥OABC-体积最大，此时22833AG x⎛⎫==⎪⎝⎭平面ABC截球O所得的截面圆的面积283S AGππ=⋅=本题正确结果：83π【点睛】本题考查空间几何体体积的最值类问题，最值类问题解题关键在于能够建立起关于某变量的函数关系式，通过函数求最值得方式得到所求关系.17．（1）3，27；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设得2132618a aa a-=⎧⎨-=⎩，结合{}n a为等比数列即可求得首项与公比，进一步求得3a的值；（2）由113n nna a q-==，可得1113n nna a q++==，()131333132n nnS+--==-，然后利用等差中项的概念证明13,,n nS a+-成等差数列．【详解】（1）由题设得2132618a aa a-=⎧⎨-=⎩，∵{}n a为等比数列，∴2121618a a a q a q -=⎧⎨-=⎩，∴3q =，又∵21116a a a q a -=-=， ∴13a =，∴3n n a =，经检验，此时113323n n n n n a a ++-=-=⋅成立，且{}n a 为等比数列， ∴33327a ==；（2）∵113n nn a a q -==，∴1113nn n a a q ++==，()131333132n n nS +--==-，∵ 113333(3)322n n n S ++-+--=+=， ∴11113333322n n n n n a S ++++-+-==-， ∴1(3)n n n S a S +-=--， ∴ 13,,n n S a +-成等差数列． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的前n 项和，考查计算能力，是中档题． 18．（1）AB =（2）43【分析】（1）连接,EF EC ，可知EF ⊥平面ABCD ，可得EF DE ⊥，结合DE CF ⊥，可证明DE ⊥平面ECF ，从而可知DE EC ⊥，进而可证明BEC EDA ∠=∠，ADE BEC ∽，从而求出AE ，进而可求出答案；（2）设点D 、1B 到平面EFC 的距离分别为12,h h ，可知1112D EFCB EFC V h DT TB h V --==，进而求得13D EFC F DEC DEC V V SFE --==⋅，113B EFC B EF EBC CS V V FE --=⋅=，从而可得1DEC EBCSDT T SB =，求出DECS和EBC S，可得出答案.【详解】（1）连接,EF EC ，因为1A A ⊥平面ABCD ，1//AA EF ，所以EF ⊥平面ABCD ， 因为DE ⊂平面ABCD ，所以EF DE ⊥. 又因为DE CF ⊥，EFCF F =，所以DE ⊥平面ECF ，从而DE EC ⊥.因为π2AED BEC AED EDA ∠+∠=∠+∠=，所以BEC EDA ∠=∠， 所以ADE BEC ∽，所以AE ADBC EB=， 因为AE EB =，所以23AE AD BC =⋅=，解得AE =AB =（2）设点D 、1B 到平面EFC 的距离分别为12,h h ，则1112D EFCB EFC V h DT TB h V --==， 13D EFC F DEC DECV V SFE --==⋅，因为1//BB EF ，所以113B EFC B EFC F EBC EBCS FE V V V ---===⋅，又因为EC ==2ED ==，所以122DECS=⨯=，132EBCS =⨯=所以11131433DECD EFCDEC B EFCEBCEBCS FEV S DT TB SS F V E--⋅=====⋅.【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质及判定、多面体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题. 19．（1）0.4；（2）56；（3）选择方案（1），理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图求得快递业务量不少于65单的频率之和即为所求概率；（2）分别计算从四名骑手中随机选取2人的情况和至少有1名骑手选择方案（1）的情况，根据古典概型求得概率；（3）利用频率分布直方图估计快餐店人均日快递量的平均数，从而可求得两种方案的平均日工资，通过平均日工资的多少可知应选择方案（1）. 【详解】（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05()0.20.150.050.4P A ∴=++=（2）设事件B 为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有246C =种情况 其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况有：1122225C C C +=种情况()56P B ∴=（3）由频率分布直方图可知：快餐店人均日快递量的平均数为：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴方案（1）平均日工资约为：50623236+⨯=方案（2）平均日工资约为：()10062445190+-⨯= 可知方案（2）平均日工资低于方案（1）平均日工资 故骑手应选择方案（1） 【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体频率、平均数，古典概型的概率求解问题.关键是要熟记利用样本估计总体的方法，属于常规题型.20．(Ⅰ) 22142x y +=；12(F F (Ⅱ) 25- 【解析】【分析】=2b ，进而可得出椭圆方程，求出焦点坐标； (Ⅱ)先设()00,P x y ，先分析当点P 为右顶点时，不满足题意，得到002,0x y ≠±≠；再设线段PA 中点为M ，得到002,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭，根据PA MQ ⊥，PAQ 为正三角形，建立等量关系，进而可求出结果.【详解】=所以22b = 所以椭圆方程为 22142x y +=所以c ==焦点坐标分别为())12,,F F (Ⅱ)设()00,P x y ，则2200142x y +=，且()2,0,A - 若点P 为右顶点，则点Q为上（或下）顶点，4,AP AQ ==，△PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以002,0x y ≠±≠.设线段PA 中点为M ，所以002,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=-因为直线PA 的斜率002Ap y k x =+ 所以直线MQ 的斜率002MQ x k y +=-又直线MQ 的方程为000022y x y -=-- ⎪⎝⎭令0x =，得到()()00002222Q x x y y y +-=+ 因为2200142x y +=,所以02Q y y =- 因为PAQ 为正三角形， 所以AP AQ ==化简，得到200532120x x ++=，解得002,65x x =-=-（舍） 即点P 的横坐标为25-. 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程、椭圆焦点以及椭圆中存在满足某条件的点的问题，熟记椭圆的方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.21．（1）见解析；（2）[)1,+∞【分析】 （1）求导，222()(0)ax x f x x x+-'=>，令2(2)ax h x x =+-，显然只需研究()h x 与0的大小关系，即可得到函数()f x 的单调性，分类讨论，即可求出答案；（2）由(1)0f ≥，可得1a ≥，结合（1）可知min ()f x f =⎝⎭，令0x=，可得(]00,1x =，再结合0x 的关系式，可得20020ax x +-=，从而得到()0004ln 40f x x x =+-≥，构造函数4()ln 4g x x x=+-，研究其单调性，可知(0,1)x ∈时，()0>g x ，又因为(]00,1x ∈，从而可知0()0g x ≥，即()00f x ≥.【详解】（1）由题意，22()(0)f x a x x x x '=+-=>， 令2(2)ax h x x =+-，()0,x ∈+∞， ①当0a ≠，且180a ∆=+≤，即18a ≤-时，()0≤h x ，所以()0f x '≤在(0,)+∞恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当108a -<<时，>0∆，由()0h x =得x =当11x ⎛⎛⎫--∈+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x <，()0f x '<；当1122x a a ⎛-+--∈ ⎝⎭时，()0h x >，()0f x '>.故()f x 在10,2a ⎛-+ ⎝⎭和12a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增； ③当0a =时，由()0f x '=得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增；④当0a >时，>0∆，由()0h x =得x =舍去）.当10,2x a ⎛-+∈ ⎝⎭时，()0h x <，()0f x '<；当12x a ⎛⎫-+∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()0f x '>.故()f x 在10,2a ⎛-+ ⎝⎭单调递减，在12a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）因为(1)230f a =+-≥，所以1a ≥.由（1）得min 1()2f x f a ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，故只需102f a ⎛-+≥ ⎝⎭，即可满足()0f x ≥.令012x a -+=，则021ax =-整理得20020ax x +-=，即0021ax x =-， 所以()00000024ln 3ln 40f x x ax x x x =++-=+-≥， 设4()ln 4g x x x =+-，所以22144()x g x x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0g x '<；当(4,)x ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 在(0,4)单调递减，在(4,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0>g x ；当(1,4)x ∈时，()0<g x ，又0x =，因为1a ≥3≥，10-+≠，所以(]0410,1x -+==， 所以0()0g x ≥，即()00f x ≥，故()0f x ≥，又20021a x x =- 所以a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】 本题考查函数的单调性与最值、导数的应用等知识，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于难题.22．（1）24cos 10ρρθ-+=；（2）π4θ=或3π()4θρ=∈R 【分析】（1）先根据平方关系消元得曲线1C 的直角坐标方程，再根据222,cos x y x ρρθ==+将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入A 点极坐标，可求出a 的值，进而得出答案； （2）先设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，代入12,C C ，根据||,||,||MP OP PN 成等比数列得()()233123ρρρρρ=--，代入化简可得α，进而可得出答案. 【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22()3x a y -+=，化简得222230x y ax a +-+-=，又222x y ρ+=，cos x ρθ=，所以222cos 30a a ρρθ-+-=. 代入点π1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得220a a --=，解得2a =或1a =-， 因为0a >，所以2a =，所以曲线1C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.（2）由题意，可设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设点()()()123,,,,,M N P ραραρα，则12ρρ<.联立24cos 10ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得24cos 10ρρα-+=，所以124cos ρρα+=，121ρρ=. 联立cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得3cos ρα=. 因为||,||,||MP OP PN 成等比数列，所以()()233123ρρρρρ=--，即()23123122ρρρρρρ=+-.所以222cos 4cos 1αα=-，解得cos α=. 所以l 的极坐标方程为π4θ=或3π()4θρ=∈R . 【点睛】 本题考查圆的参数方程及极坐标方程，考查直线的极坐标方程，考查极坐标的含义的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23．（1）()()12-∞-⋃+∞，，（2）()0,4 【详解】(Ⅰ)当2a =时，不等式为22x x +<.若2x ≥-，则22x x +<，解得2x >或1x <-，结合2x >-得2x >或21x -≤<-.若2x <-，则22x x --<，不等式恒成立，结合2x <-得2x <-.综上所述,不等式解集为()()12-∞-⋃+∞，，. (Ⅱ)()21,1121,121,x x a g x x a x a a a x a x x a -≥+⎧⎪=++--=+-<<+⎨⎪-+≤-⎩则()g x 的图象与直线11y =所围成的四边形为梯形,令2111x -=,得6x =,令2111x -+=，得5x =-,则梯形上底为21a +, 下底为 11,高为()1121102a a -+=-.()()1121S 102202a a ⎡⎤++⎣⎦=->. 化简得2200a a +-<，解得5a 4-<<，结合0a >，得a 的取值范围为()0,4.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
高三数学暑假第一次返校考试试题 理 试题
双十中学2021年高三上理科数学第一次返校考考卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共14个小题,每一小题5分,一共70分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，那么〔 〕A ．{}|0AB x x =< B ．A B R =C ．{}|0A B x x =<D ．A B =∅()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，那么以下数值排序正确的选项是〔 〕A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.以下函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是〔 〕A ．y x =．tan y x = C ．1y x x=+ D ． x x y e e -=- ()f x 满足11()()2f f x x x x+-=〔0x ≠〕，那么(2)f -=〔 〕 A ．72 B ．92 C.72- D ．92- a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，那么函数12x y =*的值域为〔 〕 A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，[]()g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，那么0()g x 等于〔 〕A ．1B ．2 C.3 D ．47.：命题p :假设函数2()||f x x x a =+-是偶函数，那么0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是〔 〕A ．○2○3B ．○2○4 C. ○3○4 D ．○1○4 2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，那么a 的取值范围为〔 〕A ．[1,2)B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是〔 〕A ．B ． C. D ．41()2x f x x e =+-〔0x <〕与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，那么a 的取值范围是〔 〕A ．()e -∞B ．(e -∞ C.(e e D ．(,e e2()(21)x f x ae x a x =-++，假设函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞ 32()31f x ax x =-+，假设()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，假设方程()()f x f x -=有五个不同的根，那么实数a 的取值范围是〔 〕A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞- 2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=〔 〕二、填空题〔每一小题6分，满分是30分，将答案填在答题纸上〕15.?左传·僖公十四年?有记载：“皮之不存，毛将焉附？〞这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的根底，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？那么“有毛〞是“有皮〞的 条件〔将正确的序号填入空格处〕．○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 3()ln(1)x f x e ax =++是偶函数，那么a = ．21()log (2)3xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为 ． ()2sin f x x x =-，假设正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，那么14a b+的最小值是 ．()2x f x x =+，()ln g x x x =+，()1h x x x =--的零点分别为1x ，2x ，3x ，那么1x ，2x ，3x 的大小关系是 〔由小到大〕．20.如下图，函数2log (4)y x =图象上的两点A ，B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC ∆为正三角形时，点B 的横坐标为 ．三、解答题 〔本大题一一共4小题，一共50分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕21. 311()12x f x x a ⎛⎫=+. ⎪-⎝⎭〔0a >，且1a ≠〕. 〔1〕讨论()f x 的奇偶性；〔2〕求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.22. 抛物线C ：22y px =〔0p >〕的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点P PF x ⊥轴.〔1〕求p 的值；〔2〕抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程. 21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. 〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕证明：假设5a <，那么对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--.()(1)x f x bx e a =-+〔a ，b R ∈〕.〔1〕假如曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；〔2〕假设1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA二、填空题15.① 16.32- 17.3 18.9+19.123x x x <<三、解答题21.解：〔1〕由于10x a -≠，那么1xa ≠，得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠对于定义域内任意x ，有311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭ 311()12x x a⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭ 3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭ 311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数〔2〕由〔1〕知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012x x a ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭， 即11012x a +>-，即102(1)x x a a +>-，那么1x a > 又∵0x >，∴1a >.因此当a 的取值范围为(1,)+∞时，()0f x >22.解：〔1〕(,0)2p F ，设00(,)P x y ，那么 2000022y px y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0x ⇒=∵PF x ⊥轴 ∴02p x =，∴2p =2p = 〔2〕由〔1〕知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点(1,0)Q -设直线AB 的方程为1x ny =-，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y 214x ny y x=-⎧⎨=⎩ 消去x ，得方程2440y ny -+=. 121244y y n y y +=⎧⎨=⎩，22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点， 所以221222121212()244211,2822y y y y y y x n y y y n ⎧+⎪+-===->⎪⎨⎪+==⎪⎩ 消去n 得，222y x =+〔1x >〕.所以点M 的轨迹方程为222y x =+〔1x >〕.23.〔1〕()f x 的定义域为(0,)+∞. 211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==. 〔i 〕假设11a -=即2a =，那么2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增. 〔ii 〕假设11a -<，而1a >，故12a <<，那么当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.〔iii 〕假设11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.〔2〕考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，那么21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--， 当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>--- 24.〔1〕函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩〔2〕当2b =时，()(21)xf x x e a =-+〔1a <〕，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0x x e a ax -+-<的整数解有且只有一个.构造()(21)x F x e x a =+-①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥，所以(21)1x e x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <即00()f x ax <②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0xe x +<.当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤< 当0a <时，3(1)20F a e -=-+<，不符合题意.综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
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福建省厦门双十中学2021届高三数学暑假第一次返校
考试试题文
一、选择题：本大题共10个小题,每小题7分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数2()ln(2)1
f x x x x =+--的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[]1,2
2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．sin 2y x x =+
B ．2cos y x x =-
C ．122x x y =+
D ．2sin y x x =+ 3.设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ． b c a <<
4.某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销售量减少10件，试运算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则估量单价为多少时，利润最大（ ）
A ．8元/件
B ．10元/件 C.12元/件 D ．14元/件
5.函数1()x x f x x e e +=⋅-的递增区间是（ ）
A ．(,)e -∞
B ．(1,)e C.(,)e +∞ D ．(1,)e -+∞
6.将自然数0，1,2，…按照如下形式进行摆列：
依照以上规律判定，从2021到2020的箭头方向是（ ）
A ．
B ． C. D ．
7.函数||x
x a y x
=（1a >）的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ． C. D ．
8.已知1F ，2F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A 20x y ±=
B ．20x ±= C.20x y ±= D ．20x y ±=
9.已知函数ln ,0,(),0x x f x x x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩
与()||1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范畴是（ ）
A ．R
B ．(,]e -∞- C.[,)e +∞ D ．∅
10.已知函数3()cos x f x x =的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，当||2i x π<（1,2,3i =）时，若120x x +>，230x x +>，130x x +>，则123()()()0f x f x f x ++>的值（ ）
A ．恒小于零
B ．恒等于零 C.恒大于零 D ．可能大于零，也可能小于零
二、填空题（每题7分，满分28分，将答案填在答题纸上）
11.运算：121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭
． 12.圆C 的圆心在x 轴上，同时过点(1,1)A -和(1,3)B ，则圆C 的方程为 ．
13.函数22,0,()26ln ,0
x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是 ．
14.已知函数2()ln(1)f x x x =+，()()2017g x f x =+，下列命题：
①()f x 的定义域为(,)-∞+∞；
②()f x 是奇函数；
③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
④若实数a ，b 满足()(1)0f a f b +-=，则1a b +=；
⑤设函数()g x 在上的最大值为M ，最小值为m ，则2017M m +=.
其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数()1x
a f x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（2）求函数()f x 的极值.
16.已知椭圆C ：22221x y a b
+=（0a b >>）的离心率为2，其中左焦点为(2,0)F -. （1）求椭圆C 的方；
（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，
且线段AB 的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值.
17.已知定义在R 上的函数||1()22x x f x =-
. （1）若3()2f x =
，求x 的值； （2）若2(2)()0t f t mf t +≥关于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范畴.
18.设函数221()(ln )f x x a x x x
=---，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDBBD 6-10:ACACC
二、填空题
11.-20 12.22(2)10x y -+= 13.2 14.①②③④
三、解答题
15.解：（1）由()1x a f x x e =-+，得'()1x
a f x e =- 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，
得'(1)0f =，即10a e -
=，解得a e =. （2）'()1x
a f x e =-， ①当0a ≤时，'()0f x >，()f x 为(,)-∞+∞上的单调增函数，因此函数()f x 无极值. ②当0a >时，令'()0f x =，得x
e a =，即ln x a =，
当(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <；当(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，
因此()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，
故()f x 在ln x a =处取得极小值且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值.
综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；
当0a >时，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值. 16.解：（1
）由题意，得22222,,c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22
184
x y +=.
（2）设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y
线段AB 的中点为00(,)M x y ，
22
1,84,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得，2234280x mx m ++-=， 29680m ∆=->
，∴m -<< ∵120223x x m x +==-，∴003
m y x m =+=， ∵点00(,)M x y 在圆221x y +=上，∴222()()133
m m -+=
，∴m =. 17.解：（1）当0x <时，()0f x =，无解；
当0x ≥时，1()22x
x f x =-，由13222
x x -=，得2223220x x ⋅-⋅-=， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得22x =或122x =-， ∵20x >，因此1x =.
（2）当[1,2]t ∈时，2211222022t t t t t m ⎛⎫⎛⎫+
++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 即24(21)(21)t t m -≥--，
∵2210t ->，∴2(21)t m ≥-+恒成立， ∵[1,2]t ∈，∴2(21)[17,5]t
-+∈--，
故实数m 的取值范畴是[5,)-+∞.
18.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 22223233
21222(2)()'()1()x x x x a f x a a x x x x x x +++-=+-+=-=， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减；
当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增
综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.
（2）由（1）知，min 2211()()(ln )ln f x f a a a a a a a a a a ==-
--=--， 即1()ln g a a a a a
=--. 要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --
<，即证：2111ln a a a
--<， 令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a =++->， 223331122(2)(1)'()a a a a h a a a a a a
---+=--==， 当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增； 因此min 111()(2)ln 21ln 20244
h a h ==+
+-=->，因此()0h a >，即()1g a <.。