2023届湖北省襄阳市第五中学高三上学期暑期返校数学试题(解析版)

2023届湖北省襄阳市第五中学高三上学期暑期返校数学试题一、单选题1．设集合{}lg A y y x ==，{B x y ==，则A B =（ ） A ．[0.)+∞ B ．(,1]-∞C ．[0,1]D ．(0,1]【答案】B【分析】有题意可知，集合A 表示函数lg y x =的值域，集合B表示函数y =义域，分别求出集合A 、B ，最后利用交集的定义求解即可. 【详解】集合A 表示函数lg y x =的值域，即为R ,集合B表示函数y =10x -≥，解得1x ≤， 所以{}1A B x x ⋂=≤， 故选：B. 2．若ππ2θ<<，tan 3θ=-1sin 2cos 2sin cos ++-=（ ） A ．35B ．54-C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案. 【详解】因为ππ2θ<<，tan 3θ=-，所以cos 0θ<，sin 0θ>，22cos 2cos sin sin cos θθθθθ+-=()222cos sin cos 2cos cos sin sin cos 2cos θθθθ-+-=22222222cos sin 1tan 194cos sin cos sin 1tan 195θθθθθθθθ---=-====-+++． 故选: C ．3．给出下列三个命题：①命题“0x ∀>，有1x e ≥”的否定为：“00,x ∃≤01x e <”；②已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角，则实数k 的取值范围是9k <； ③函数()f x [1,)+∞；其中错误命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】由全称命题的否定形式可判断①；考虑夹角为钝角时，cos ,1a b 〈〉≠-的情况可判断②；求出函数()f x 定义域可判断③.【详解】解：对于①，命题“0x ∀>，有1x e ≥”的否定为:“00,x ∃>01x e <”，故①错误； 对于②，由向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角，可知·0a b <且cos,1a b ≠-〈〉， ②没有考虑cos ,1,66,1a b k k ≠-≠-≠-的情况，故②错误； 对于③，函数2()28f x x x =--可知2280x x --≥，解得函数定义域为4x ≥或2x -≤，所以函数的单调递增区间为4x ≥，故③错误； 故选：D4．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P 距地面的距离，小明同学在场馆内的A 点测得P 的仰角为30，120ABO ∠=︒，30BAO ∠=︒，60AB =（单位：m ），（点,,A B O 在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP =（ ）A ．45mB ．452mC ．60mD ．603m【答案】C【分析】在ABO 中由正弦定理算出3AO =Rt APO 中，得到60OP =. 【详解】在ABO 中, 120ABO ∠=︒，30BAO ∠=︒，所以30AOB ︒∠=，又60AB =，由正弦定理可得,sin sin AB AOAOB ABO=∠∠,360sin 26031sin 2AB ABOAO AOB⨯∠===∠,在Rt APO 中，3tan 30=3603OP OP AO ︒==, 所以，60OP =（m ） 故选：C. 5．函数3341x y x =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用2x =时0y >排除选项D ，利用2x =-时0y <排除选项C ，利用12x =时0y <排除选项B ，所以选项A 正确. 【详解】函数3341y x =-{}1x x ≠±当2x =时，333401521y =>-，可知选项D 错误； 当2x =-时，()334301521y =<--，可知选项C 错误；当12x =时，3110y ⎛⎫-⎪==<，可知选项B 错误，选项A 正确.故选：A6．已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（ ） A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】设切点为(,(1)e )a a a +，利用导数的几何意义求出切线的斜率()k f a '=，利用点斜式写出切线方程，将点M 的坐标代入切线方程，可得关于a 的方程有三个不同的解，利用参变分离可得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，利用导数求出()g x 的单调性和极值，则根据()y g x =与y t =有三个不同的交点，即可求出实数t 的取值范围 【详解】设切点为(,(1)e )a a a +，由()()1e x f x x =+，得()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+，所以切线的斜率为()()2e ak f a a '==+，所以切线方程为(1)e (2)e ()a a y a a x a -+=+-， 因为点M （1，t ）在切线上， 所以(1)e (2)e (1)a a t a a a -+=+-， 化简整理得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，则2()(32)e (1)(3)e x x g x x x x x '=--=--+， 所以当3x <-或1x >时，()0g x '<，当31x -<<时，()0g x '>， 所以()g x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递减，在(3,1)-上递增，所以()g x 的极小值为336(3)(39)e eg --=-=-，极大值为(1)2e g =， 当3x <-时，()0g x <， 所以()g x 的图象如图所示，因为过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线， 所以()y g x =的图象与直线y t =有三个不同的交点，所以由图象可得360e t -<<， 故选：D7．设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e xf x x >的解集为（ ）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+【答案】C【分析】构造函数()()2e xf xg x x =-，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得.【详解】设()()2e xf xg x x =-，则()()()()()2e 2e e xx xf x f x f x f xg x ''---'=-=， ∵()()2e 0xf x f x '-+<，∴()0g x '>，函数()g x 在R 上单调递增，又()224e f =，∴()()22240ef g =-=,由()2e xf x x >，可得()20e xf x x ->，即()()02g x g >=，又函数()g x 在R 上单调递增，所以2x >，即不等式()2e xf x x >的解集为()2,+∞.故选：C ．8．已知实数α，β满足3e 1αα-=，()4ln 1e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ的值为（ ） A ．3e B ．32e C ．42e D ．4e【答案】D【分析】将3e 1αα-=整理成ln 3αα+=，将()4ln 1e ββ-=整理成()()ln 1ln ln 130ββ-+--=，然后构造函数()ln 3f x x x =+-，利用导数得到()f x 在()0,+∞递增，所以能得到ln 1αβ=-，通过指对数运算再得到答案【详解】因为3e 1αα-=，所以3e e αα=，所以ln 3αα+=． 因为()4ln 1e ββ-=，所以()ln ln ln 14ββ+-=．联立()()ln 30ln 1ln ln 130ααββ+-=⎧⎨-+--=⎩，所以α与ln 1β-是关于x 的方程ln 30x x +-=的两根．构造函数()ln 3f x x x =+-，该函数的定义域为()0,+∞，且该函数为增函数， 由于()()ln 10f f αβ=-=，所以ln 1αβ=-，又ln 30αα+-=， 所以ln 1ln 30βα-+-=，即()ln 4αβ=，解得4e αβ=． 故选：D ．二、多选题9．在ABC 中，下列说法正确的有（ ） A ．若222a b c <+，则为锐角三角形 B ．若222a b c >+，则为钝角三角形 C ．若A B >.则sin sin A B > D ．cos cos a b C c B =+【答案】BCD【分析】根据余弦定理可判断ABD 的正误，根据正弦定理可判断C 的正误. 【详解】对于A ，222cos 02b c a A bc+-=>，而A 为三角形内角， 故A 为锐角，但此时不能得到ABC 为锐角三角形，故A 错误. 对于B ，222cos 02b c a A bc+-=<，而A 为三角形内角， 故A 为钝角，此时ABC 为钝角三角形，故B 正确.对于C ，若A B >，则a b >，故2sin 2sin R A R B >即sin sin A B >，故C 正确.对于D ，222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c a ab ac+-+-+=⨯+⨯=，故D 正确. 故选：BCD.10．已知0,0x y >>，且3x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．ln ln +x y 有最大值94B ．222x y +有最小值3 C ．41x y +有最小值43D ．2xy 有最大值4【答案】BD【分析】对于A,直接由基本不等式求得94≤xy ，即可判断A ；对于B ，将3y x =-代入222x y +中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将41x y +变形为41()3x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数2232()(3)3,(03)==-=-+<<f y xy y y y y y ，利用导数求得最大值，即可判断.【详解】对于A 选项，因为0,0x y >>，且3x y +=，所以由3+=≥x y 94≤xy ， 当且仅当32x y ==时等号成立，9ln ln ln ln 4+=≤x y xy .故A 错误；对于B 选项，由22222233(3)69(2)332222+=+-=-+=-+≥x x y x x x x ，当且仅当2,1x y ==时等号成立，故B 正确；对于C 选项，因为41()41453333333⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭x y y x x y x y 所以413+≥x y ，当且仅当433=y x x y即2,1x y ==时等号成立，故C 错误 对于D 选项，因为2232()(3)3,(03)==-=-+<<f y xy y y y y y ， 令2()360=-'+=f y y y ，解得2y =或0y =（舍），令2()360=-'+>f y y y ，解得02y <<，令2()360f y y y '=-+<，解得23y <<，故32max ()(2)2324==-+⨯=f y f ，此时1,2x y ==，故D 正确故选：BD11．函数()cos()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 图像的一条对称轴可能为直线43x π=B ．函数()f x 的解折式可以为()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间1723,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】BC【分析】先根图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】由图象可知352463T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得2T π=， 所以212πωπ==，所以()cos()f x x ϕ=+， 因为函数图象过点5,16π⎛⎫⎪⎝⎭，所以5cos 16πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以52,Z 6k k πϕπ+=∈， 得52,Z 6k k πϕπ=-∈， 因为0πϕ-<<，所以56π=-ϕ， 所以5()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，因为445cos cos 013362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43x π=不是()f x 图象的一条对称轴，所以A 错误， 对于B ，55()cos cos cos sin sin 662333f x x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 正确，对于C ，因为445cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以C 正确，对于D ，由522,Z 6k x k k ππππ-+≤-≤∈，得522,Z 66k x k k ππππ-+≤≤+∈，当1k =时，111766x ππ≤≤，当2k =时，232966x ππ≤≤，可知函数在1117,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2329,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以函数在1723,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以D 错误， 故选：BC12．已知函数(),115ln ,1xx x f x x x x⎧<⎪⎪-=⎨⎪≥⎪⎩，下列选项正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调减区间为(),1-∞、()e,+∞B ．函数()f x 的值域为(),1-∞C ．若关于x 的方程()()20f x a f x -=有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．若关于x 的方程()()20f x a f x -=有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是51,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD【分析】利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A 选项；求出函数()f x 的值域，可判断B 选项；数形结合可判断CD 选项. 【详解】对于A 选项，当1x <时，()1x f x x =-，则()()2101f x x '=-<-， 当1≥x 时，()5ln xf x x =，则()()251ln x f x x -'=，由()0f x '<可得e x >， 所以，函数()f x 的单调减区间为(),1-∞、()e,+∞，A 对； 对于B 选项，当1x <时，()1111f x x =+<-， 当1≥x 时，()()5ln 50e ex f x f x ≤=≤=， 因此，函数()f x 的值域为5,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B 错；对于CD 选项，作出函数()f x 的图像如下图所示：若0a ≤，由()()20f x a f x -=可得()0f x =，则方程()0f x =只有两个不等的实根；若0a >，由()()20f x a f x -=可得()0f x =或()f x a =或()f x a =-，由图可知，方程()0f x =有2个不等的实根，方程()f x a =-只有一个实根， 若关于x 的方程()()20f x a f x -=有3个不相等的实数根，则5ea >，C 对；若关于x 的方程()()20f x a f x -=有5个不相等的实数根，则51ea ≤<，D 对. 故选：ACD.三、填空题13．若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__． 2212【分析】设22,2u a v b =-=-，得到1231123()()222232a b u v a b u v u v +=+-=++---，结合基本不等式，即可求解.【详解】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>， 所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++--- 123123223221(3)(32)1323222v u v u u v u v =++-≥+⋅-==， 当且仅当632,323v u =-=时，等号成立，取得最小值． 2212． 14．已知函数()()21,9321x x x x f x g x t -==-⋅+，若存在实数,a b 同时满足()()0f a f b +=和()()0g a g b +=，则实数t 的取值范围为___________. 【答案】[)1,+∞【分析】根据奇偶性定义求得()f x 为奇函数，从而可得=-b a ，从而可将()()0g a g a +-=整理为：()23322333333aaa a a aa at ----+-==+-++，令()332a a m m -=+≥，则2t m m =-在[)2,+∞有解，通过求解函数()()22h m m m m=-≥的值域可得到t 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域是R ，且()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，()f x ∴为R 上的奇函数， 又()()0f a f b += b a ∴=-()()0g a g a ∴+-=93930a a a a t t --∴-⋅+-⋅=有解，即()()2333320a a a a t --+-+-=有解， 即()23322333333a aa a a aa a t ----+-==+-++ 令()332a am m -=+≥，则2t m m=-在[)2,+∞有解， 令()()22h m m m m=-≥，则()2210h m m '=+>，()h m ∴在[)2,+∞上单调递增， ()()22212h m h ∴≥=-=， 所以1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞15．已知()sin 2sin 2βαβ=+，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.【答案】3- 【分析】先由()()sin sin cos cos sin βαβααβα=+-+()()()2sin 22sin cos 2cos sin αβαβααβα+=+++结合题目中关系求得()()sin cos 3cos sin 0αβααβα+++=，同时除以()cos cos αβα+即可求解.【详解】()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+，()()()()2sin 22sin 2sin cos 2cos sin αβαβααβααβα+=++=+++，则()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+-+=+++， 即()()sin cos 3cos sin 0αβααβα+++=，又()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ， 则()cos 0,cos 0,tan 0αβαα+≠≠≠，则()()()()sin cos 3cos sin 0cos cos cos cos αβααβααβααβα+++=++，即()tan 3tan 0αβα++=，则()tan 3tan αβα+=-.故答案为：3-.16．如图，正方形ABCD 的边长为10米，以点A 为顶点，引出放射角为π6的阴影部分的区域，其中EAB x ∠=，ππ124x ≤≤，记AE ，AF 的长度之和为()f x ．则()f x 的最大值为___________．【答案】106【分析】由题意结合三角恒等变换得到203)3()1sin(2)62x f x x ππ+=++且ππ124x ≤≤，令62sin()[3t x π+=+∈，进一步得到203()()22f x g t t t==-，由函数单调性求最大值即可.【详解】由题设，10cos cos AB AE x x ==，ππ124x ≤≤， 而5[,]412FAD EAB EAF ππ∠=∠+∠∈，故[,]3124DAF x πππ∠=-∈，所以10cos()cos()33AD AF x x ππ==--，综上，11()10[]cos cos()3f x x x π=+-且ππ124x ≤≤，所以)13()10(101cos sin(2)62x f x x x ππ+===++，令sin()3t x π=+∈，则2221cos(2)1cos(2)1sin(2)3266sin ()3222x x x t x πππππ-+-++++=+===，所以2sin(2)216x t π+=-，故()()22f x g t t t==-t ∈上递减，所以max max ()()f x g t g ====12x π=或4x π=.故答案为：四、解答题17．在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件②12=，条件③：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围． 【答案】(1)3A π=(2)ABC周长的取值范围为(26]+【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B -=，再根据诱导公式等价转化即可.（2）由正弦定理，边化角得4sin 26a b c B π⎛⎫++ ⎝++⎪⎭=，结合B 的范围求解.【详解】(1)选条件①：因为3sin cos tan 4A A A =，所以sin 3sin cos cos 4A A A A =，即23sin 4A =，又因为ABC 为锐角三角形，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin A ，所以3A π=.选条件②12=，所以cos )cos A A A A -=+3cos A A =，又因为(0,)2A π∈，所以cos 0A ≠，所以tan A =所以3A π=，选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B -=即2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=A A B C C B B C A ，又因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.(2)22(sin sin )sin sin 2sin 3a a b c B C B B A π⎫⎛⎫++=++=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎭13sin sin 2sin 24sin 2226B B B B B B π⎫⎫⎛⎫++++=++⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2ππ0,0,322C B B π⎛⎫=-∈∈ ⎪⎝⎭（），，ππ2,,,62633B B πππ⎛⎫∴∈+∈ ⎪⎝⎭（）， 则sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦即(2a b c ++∈+， 即ABC 周长的取值范围为(26]+.18．已知数列{}n a 的首项为3，且()()1122n n n n a a a a ++-=--．(1)证明数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()11nnn a b n =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)证明见解析；12n a n=+ (2)()1111nn -+-+ 【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)对{}n b 裂项求和即可.【详解】(1)因为()()1122n n n n a a a a ++-=-- ，所()()()()112222n n n n a a a a ++---=--， 则111122n n a a +-=--，所以数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1132=- 为首项，公差等于1的等差数列， ∴()1112n n n a =+-=-，即12n a n=+；(2)()()()()12111111111nn n n n a b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫=-=-+=-+⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦， 则()()1111111111112233411n n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋅⋅⋅+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 综上，12n a n =+，()1111nn S n =-+-+ . 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，3BAD π∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．(1)点M 在线段PC 上，13PM PC =，求证：PA ∥平面MQB ；(2)在（1）的条件下，若3PB =，求直线PD 和平面MQB 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 213【分析】（1）连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，利用ANQ CNB ∽，可得13AN AC =，进而可得//PA MN ，从而根据线面平行的判断定理即可证明；（2）在平面PQB 内作PT QB ⊥于T ，证明PT ⊥平面ABCD ，以点Q 为原点，建立空间直角坐标系，设直线PD 和平面MQB 所成角为θ，利用向量法即可求解. 【详解】(1)证明：连接AC 交BQ 于N ，连接MN ， 因为 //AQ BC ，所以ANQ CNB ∽， 所以12AQ AN BC NC ==， 所以13AN AC =，又13PM PC =， 所以//PA MN ，因为PA ⊂平面MQB ，MN ⊂平面MQB ， 所以PA ∥平面MQB ；(2)解：连接BD ， 由题意ABD △，PAD △都是等边三角形， 因为Q 是AD 中点，所以,PQ AD BQ AD ⊥⊥，又PQ BQ Q =，所以AD ⊥平面PQB ，3,3PQ BQ PB ===， 在PQB △中，3391cos 2233PQB +-∠==-⨯⨯，所以23PQB π∠=，在平面PQB 内作PT QB ⊥于T ，则3313,sin3,cos 33322322PQT PT PQ QT PQ πππ∠===⨯===⨯=， 由AD ⊥平面PQB ，所以AD PT ⊥，又AD BQ Q ⋂=， 所以PT ⊥平面ABCD ，以点Q 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则33(0,0,0),(1,0,0),3,0),(3,0),(1,0,0),0,2Q A B C D P ⎛⎫--⎪⎝⎭， 由13PM PC =，可得2,0,13M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2,0,1,(0,3,0)3QM QB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面MQB 的法向量(,,)m x y z =, 则20,303QM m x z QB m y ⋅=-+=⋅==，可取3,0,2x y z ===，则(3,0,2)m =，直线PD 的方向向量331,,22PD ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 设直线PD 和平面MQB 所成角为θ，则333sin |cos ,|1313||||213PD m PD m PD m θ⋅--=〈〉===⨯⨯，所以213cos 13θ=，即直线PD 和平面MQB 所成角的余弦值等于21313. 20．为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M 处和N 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；(2)在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率. 【答案】(1)90(2)18【分析】（1）求出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，即可求出甲同学通过测试的概率，可得通过测试的人数()300,0.3Y B ~，则可求出期望； （2）求出乙同学通过测试的概率，利用条件概率公式即可求出.【详解】(1)甲同学两分球投篮命中的概率为5436710101010100.55++++=，甲同学三分球投篮命中的概率为11210101010100.15++++=，设甲同学累计得分为X ，则()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.10.50.50.075P X ==⨯+⨯⨯= 则()()()4450.3P X P X P X ==+==， 所以甲同学通过测试的概率为0.3.设这300名学生通过测试的人数为Y ，由题设()300,0.3Y B ~， 所以()3000.390E Y =⨯=.(2)乙同学两分球投篮命中率为2435610101010100.45++++=，乙同学三分球投篮命中率为123131*********0.25++++=. 设乙同学累计得分为Y ，则()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()50.20.40.20.60.40.128P Y ==⨯+⨯⨯=.设“甲得分比乙得分高”为事件A ，“甲､乙两位同学均通过了测试”为事件B ， 则()()()540.0750.1280.0096P AB P X P Y ==⋅==⨯=，()()()][()()45450.0768P B P X P X P Y P Y ⎡⎤==+=⋅=+==⎣⎦， 由条件概率公式可得()()()0.009610.07688P AB P AB P B ===∣.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,2M 是椭圆C 的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点．【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据条件确定a,b 的值，从而可得椭圆方程；（2）讨论直线AB 的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B 坐标表示128k k +=，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点. 【详解】(1)由题意点()0,2M 是椭圆C 的一个顶点，知2b =， 因为12F MF △是等腰直角三角形，所以a =，即a = 所以椭圆C 的标准方程为：22184x y +=．(2)若直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，由题意知2m ≠±．由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，由题意知228(84)0k m ∆=+->，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以122412km x x k -+=+，21222812m x x k -=+，因为128k k +=，所以12121212122222y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+ ()1221242(2)22828x x kmk m k m x x m +-=+-⨯=+-⨯=-， 所以42km k m -=+，整理得122m k =-， 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．若直线AB 的斜率不存在，设其方程为0x x =，()00,A x y ，()00,B x y -． 由题意得0000228y y x x ---+=，解得012x =-， 此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用()11,A x y ，()22,B x y 的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.22．已知函数2()2(1)e x f x a x x =--（其中,e a ∈R 为自然对数的底数）． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，2(1)ln 3f x x x x +>---，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的单调性；（2）分离参数，构造新函数，利用新函数的单调性求解最值或者利用换元法求解最值，可得答案.【详解】(1)由2()2(1)e x f x a x x =--可得()()2e 1xf x x a '=-，当0a 时，e 10x a -<，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，从而()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞； 当0a >时，由()0f x '=得，10x =，21lnx a=， ①若1ln 0a=，即1a =时，()0f x '恒成立，故()f x 在R 上单调递增：②若1ln 0a <，即1a >时，由()0f x '>可得，1ln x a<或0x >．令()0f x '<可得1ln0x a<<， 此时()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③若1ln0a >，即01a <<时，由()0f x '>可得，0x <或1ln x a>， 令()0f x '<可得10lnx a<<， 此时()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a 时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞； 当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立， 即ln 22e e xx x a x +->对任意的0x >恒成立， 令ln 2()(0)exx x g x x x +-=>， 则22211e (1)e (ln 2)(1)(3ln )()e e xx x xx x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-++- ⎪+--⎝⎭'==， 令()3ln h x x x =--，则1()10h x x'=--<，则()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)20h =>，故()0h x =在(0,)+∞上有唯一的实根，第 21 页 共 21 页 不妨设该实根为0x ，故当()00,x x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故()000max 00ln 2()e x x x g x g x x +-==， 又因为003ln 0x x --=，所以00ln 3x x +=，00ln 3e e x x -=，030e e x x =，所以()000030ln 21e ex x x g x x +-==， 由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 另解：（2）由不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立， 即ln 22e e x x x a x +->，()ln e 22e ex x x a x ->对任意的0x >恒成立， 令e 0x t x =>，ln 2()(0)t g t t t-=>，则23ln ()t g t t '-=， 故当()30,e t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当()3e ,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，故()3max 31()e e g t g ==， 由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查导数的应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.。