全国大学生电工数学建模-电力变压器铁心柱截面的优化设计(Word)

电力变压器铁心柱截面的优化设计摘要本文讨论了电力变压器铁心柱截面的优化设计问题。

针对变压器铁心柱截面优化设计的特点及原则，建立相应的数学模型，得到了较为合理的铁心柱截面设计方案。

针对问题一，以铁心柱截面积最大为目标函数，建立非线性整数规划模型，得到铁心柱外接圆直径为650mm时，铁心柱截面的级数为14级，有效截面积为3207532mm，截面积利用率为96.71% ，各级宽度如下表：注：各级厚度见论文第7页。

针对问题二，考虑工程实际需求，以铁心柱第一级宽度增加5mm为上限，求解公差带。

使铁心外接圆直径以1mm为步长增大，得到一系列铁心柱的最大直径，当外接圆直径增大到657mm时，铁心柱第一级宽度变为增加5mm，故铁心柱外接圆直径的公差带为[]650。

,657针对问题三，利用比较算法，对油道位置进行求解，并将模型程序化，利用计算机实现求解，得到油道的位置为：第1级叠片与第2级叠片之间加设油道，第4级叠片与第5级叠片之间加设油道。

关键词：非线性整数规划；截面积利用率；公差带；比较算法一、问题重述电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。

我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。

根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。

现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。

变压器铁心截面在圆形的线圈里。

为充分利用内空间，心式铁心柱截面常采用多级阶梯型结构，各小阶梯（又称为“级”）均为矩形。

截面在圆内是上下轴对称的，阶梯的每级都是由许多种宽度的硅钢片迭起来的，如何构造各个小矩形，使几何截面积最大？这就是电力变压器铁心柱截面积的优化问题。

为了改善铁心柱内部的散热，在某些相邻阶梯形之间留下一些水平空隙，放入冷却油。

油道的位置应使其分割的各部分铁心柱截面积近似相等。

因此在确定各级的设计后，还要考虑油道的设计。

二、问题分析2.1问题一的分析在理想条件下，多级阶梯形的每一个矩形片都应该与线圈内壁紧密接触，考虑到加工精度与工艺的复杂性，工程上不能实现，但可以用理想情况来进行建立模型。

利用几何关系可以得到面积累加和关于各阶梯形厚度与长度的数学模型，根据各种设计原则，列出约束条件，建立非线性整数规划模型，得到不同级数下的各级宽度和厚度。

2.2问题二的分析实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙，两个直径的取值范围称为各自的公差带。

因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。

在确定最大有效截面积后，增加铁心柱外接圆直径进行二次优化，得到新的截面积利用率，得到的最大外接圆直径与相应最大叠片宽度，即各自的公差带。

2.3问题三的分析由题可知，油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。

在得到有效截面积后，按油道数来确定分割部分的面积，把油道考虑成叠片的一部分，利用比较算法确定有道的位置。

但这样得到的油道位置分割出的面积差别较大不能达到要求，需重新计算。

油道位置确定后，把油道单独考虑，重新以有效截面积最大为目标进行优化，得到新的叠片宽度与厚度。

（1）假设不同方案硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度相同，即叠片系数保持不变；（2）假设铁心柱完全内接于外接圆，每片叠片的定顶点都在外接圆上；（3）假设相邻两叠片是紧密连接，中间无缝隙；（4）假设油道宽度不会随变压器温度的升高而改变四、符号说明D铁心柱外接圆直径（毫米）l第i级的叠片宽度ih铁心厚度il硅钢片的最小宽度m inh第一级厚度的最小值min1S铁心柱有效截面积S 从第一级叠片到第i级叠片的累加面积d外接圆直径的增长步长5.1模型一的建立如图1是一个理想情况下n 级铁心的叠积图，它是由12-n 个内接于铁心圆彻的矩形组成的。

图1中i h 、i l 、i d (1=i ～n )分别表示铁心第i 级的叠片宽度、铁心厚度和级厚，D 是铁心圆的直径。

图 1 铁心柱截面图由几何关系可得计算铁心最大截面积的非线性整数模型为：()i i ni h h l l h S -⋅+⋅=+∑1211max⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<=+++的倍数为5..min1111min 222i i i i i i i l hh h h l l l D l h t s15.2模型二的建立实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。

因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。

由此可知，可以增大外接圆的直径重新计算铁心柱有效截面积。

当外接圆直径增加时铁心柱的最大半径也随之增大，但铁心叠片的宽度为5的整数倍，若外接圆直径增加的较小时铁心柱的最大半径不一定随之增大，故可认为，当外接圆半径的增大使铁心柱最大半径增加5mm 时，外接圆半径则不在增大。

如果外接圆直径增加的过大，会增加生产成本甚至超出设计要求，故以铁心柱第一级宽度随外接圆半径增加5mm 为上限，重新优化设计。

得到的外接圆直径的最大增长长度即为公差带的上限。

设铁心柱外接圆直径以d 为步长增加，可将模型一改写为：()i i ni h h l l h S -⋅+⋅=+∑1211max()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<+=+++的倍数为5..min1111min 222i i i i i i i l hh h h l l l d D l h t s 5.3模型三的建立未考虑冷却油道时求得的有效截面积为S ,油道的个数根据铁心柱的直径可确定（设计原则），从而可以得到每部分的分割面积。

以mm D 650=为例（级数取14级），半园中冷却油道数为2，一共4个油道将整个铁心柱分割为5部分，每部分面积大致应为5S。

下面用比较算法确定油道位置。

从第一级叠片开始计算叠片的累加面积S '，将面积值与N S⋅5（N 的初值为1）比较：①如果N SS ⋅>'5，则增设油道，且1+=i i ，同时判断i 是否大与14，若大于则停止;②如果N S S ⋅<'5继续累加面积再与N S⋅5比较，转到①。

根据上述讨论，很容易编制出计算油道位置的计算程序．将计算的结果输入到参数化程序中，就可以计算出油道位置。

程序框图如图2所示：图 2 比较法程序框图六、模型的求解6.1模型一的求解由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数，即为五的倍数i l 。

此条件计算机实现困难，故作如下处理：设()i x l i ⋅=5,其中()i x 为正整数，由此模型的约束条件变为：()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=><<<=+++为正整数i x i x l h h h h l l l D l h t s i i ii i i i 5..min 1111min 222 利用lingo 软件求解上述整数规划问题（源程序见附录1）得到的结果如表1：表 1 不同级数的铁心柱叠片截面积与利用率注：铁心线圈的截面积为331662.52mm .由此可知当级数为14时有效截面积最大，此时的截面利用率也最大。

由lingo 软件求解的结果如表2：表 2 级数为14时的叠片宽度与厚度续表 2：由上表可以看到，各级叠片的宽度均为5的倍数，最后一级的宽度大于20毫米，完全满足设计要求。

6.2模型二的求解以mm D 650=为例，外接圆直径的增加步长mm d 1=，当增加7次后铁心柱第一级的宽度从645mm 增长到650mm ,得到的不同直径对应的铁心最大半径、有效面积及面积利用率如表3：表 3 不同直径对应的铁心最大半径、有效面积及利用率表3中的数据表明随着铁心外接圆直径的增加，铁心最大半径也随之增加，相应的有效截面积、界面利用率也在增加，当mm D 657=时，铁心柱第一级叠片的宽度从645mm 增长为650mm ，铁心柱外接圆公差带为[]657,650。

6.3模型三的求解由模型三的到的算法求出的只是油道的位置，并未考虑油道自身的面积影响。

根据分析可知，虽然油道只有6mm 厚，但由于油道宽度很宽，所以油道的截面较大，故不能进行忽略。

取冷却油道相邻两篇叠片进行研究如图3：图 3 被油道隔开的相邻两篇叠片由上图可知，冷却油道的被安装在两相邻叠片之间，宽度只可能和第1+i h 片叠片相同。

如果在求解出各叠片厚度与宽度后，直接将油道安放在两叠片之间，会使竖直轴线方向的厚度增加，超出铁心柱外接圆的直径。

因此可以将冷却油道考虑为第1+i h 片叠片的一部分，在求出油道位置后，将第1+i h 片叠片在竖直方向切除6mm ，即可得到新的叠片厚度。

以mm D 650=为例，所需油道个数为4。

利用MATLABA 软件编写模型三的程序（源程序见附录3），求解出的油道位置为：第1级叠片与第2级叠片之间加设油道，第4级叠片与第5级叠片之间加设油道。

得到的结果如表4。

表 4 增加油道的位置及分割面积表4数据表明分割后的两面积较为接近，但去除油道的面积后使得铁心有效截面变为311037.982mm ，利用率下降到93.78%。

七、模型的改进由表2可知个叠片的厚度均为小数点后五位，这就要求有很高的加工精度，但这会使加工工艺很复杂，而且工程上的实际需要也不用达到如此高的精度，故可取叠片厚度为整数，由此得到的叠片厚度如下表：冷却油道第i h 片叠片第1+i h 片叠片此时得到的有效截面积为：3187802mm，利用率为96.01%，虽然利用率有所下降，但是从加工工艺与降低加工成本的角度考虑，还是合理的。

此时铁心外接圆半径变为325.04mm,最大直径为650.8mm，在公差带允许范围内。

故实际的生产中可以只生产整数厚度的叠片。

八、模型评价与推广8.1模型的优点（1）以最大有效截面积为目标函数，建立非线性整数规划模型，得到了较为理想的结果；（2）在求解叠片宽度时将宽度设为整数变量的5倍进行程序求解，将数学模型程序化便于进算计编程求解；（3）给出的算法以生产工艺要求为前提，具有使用性。

8.2模型的缺点（1）在求解有效面积时，目标函数只设为截面积最大，并未考虑铁心柱的几何形状，因而求解出的铁心柱的圆滑度可能受到了影响；（2）对公差带的求解时，从工程加工的需要考虑，以铁心柱第一级长度增加5mm 为上限求解铁心外接圆直径，减小了外接圆直径的变化范围；（3）求解油道位置时，以牺牲铁心有效截面积为代价，致使面积利用率下降较多。

参考文献[1] 管金云，变压器铁心最优截面设计计算方法，中国学术期刊电子出版社，11-13页，2003年12月；[2] 姜宏伟，巫付专，中小型变压器铁心截面设计，中国学术期刊电子出版社，13-16页，2001年9月；[3] 何小天，欧小平，周进，变压器铁心油道设置及铁心截面的机辅设计，中国学术期刊电子出版社，12-14页，1993年12月；[4] 王学群，郭雪瑛，计算铁心最大截面积的动态规划法，中国学术期刊电子出版社，1-5页，2005年5月。