量子力学试题含答案

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值 22222282s s e ne E μμ-=-= )2(=n ，几率为122[](2)2i V t μ**∂-ψ=-∇+ψ∂(1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：][2222****ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμt i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ∙∇=ψψ∂∂***μ）（t i τμτττd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ∙∇=ψψ***⎰⎰ ）（τμτττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ∙∇-=ψψ***⎰⎰ ）（ττωττd J d t r dt d∙∇-=⎰⎰),(0=∙∇+∂∂J tω角动量平方有确定值为2222)1( =+=L )1(= ，几率为1 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为41， 432、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数。

解：波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数ˆzd L i d φ=-πφφψππ12||2202220===⎰⎰c d c d 归一化系数。

是积分常数，亦可看成其中解得：c ce l d d i L zi l zz φφψφψφψφφψ ==-=)()()()(ˆ)2()(πφψφψ+=)2(πφφ+=→zi z i l l cece 12=πzi l e,2,1,022±±==m m l zππ于是 ,2,1,0±±==→m m l z最后，得 L z 的本征函数3、（20分）某量子体系Hamilton 量的矩阵形式为：设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似。

解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。

所以能量的 0 级近似为：E 1(0) = 1 E 2(0) = 3 E 3(0) = -2由非简并微扰公式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎩⎪⎨⎧-'='=∑≠)0()0(2)2()1(||kn knnk nnn n E E H E H E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c ccH,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ得能量一级修正：能量二级修正为：二级近似下能量本征值为：本套试卷共两大类题，11题，满分100分。

最后一页有可能用到的数学公式。

一、证明题（共30分） 1．（本题5分）证明x 方向动量算符ˆx pi x∂=-∂为厄密算符。

证明：*ˆ***x p dx i dx i idx x x ψψϕψϕψϕϕ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞∂∂=-=-+∂∂⎰⎰⎰ （3分）ˆ()*x p d x ψϕ∞-∞=⎰（2分）命题得证。

2．（本题5分）⎪⎩⎪⎨⎧='=='=='=c H E H E H E 33)1(322)1(211)1(100221)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(1||||||c E E H E E H E E H E k k n k -=-'+-'=-'=∑≠221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(2||||||c E E H E E H E E H E kk n k =-'+-'=-'=∑≠0||||||)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3=-'+-'=-'=∑≠E E H E E H E E H E k k n k ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=-=c E c E c E 231322122211证明对易关系：ˆˆ[,]x xp i = 。

证明：做运算：ˆˆx xpi x x ψψ∂=-∂，ˆˆ()x p x i x i x i x xψψψψ∂∂=-=--∂∂（3分） 故有：ˆˆˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 即 ˆˆˆˆx x xp p x i -=记为：ˆˆ[,]x xp i = （2分）3．（本题5分）证明对易关系：ˆˆˆ[,]y z xL L i L =。

证明：ˆˆˆˆˆˆ[,][,]y zx z y x L L zp xp xp yp =-- ˆˆˆˆ[,][,]x y z x zpxp xp yp =+ˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]x y x y z x z x x zpp zp x p y xp p xp y p =+++ ˆˆˆˆ[,][,]x y z x zpx p y xp p =+ （3分） ˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]x y x y z x x z z px p z x p p yx p p y x p p =+++ ˆˆˆˆ[,][,]x y x z z px p y x p p =+ ˆˆˆˆˆ()y z z y xi zp i yp i yp zp i L =-+=-= （2分） 4．（本题5分）已知：1/2ˆˆˆ()()2ia x p μωμω=+，†1/2ˆˆˆ()()2ia x pμωμω=-，证明：†ˆˆ[,]1a a = 证明：†1/21/2ˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][()(),()()][(),()]222iiiia a x pxp x px pμωμωμωμωμωμωμω=+-=+- 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[(),()]{[,][,][,]()[,]}22iiiiixpx pxx xp px pp μωμωμωμωμωμωμω=+-=-+-22ˆˆ{[,]}{}122iixp i μωμωμωμω=-=-= （5分）5．（本题5分）若,,x y z σσσ为泡利矩阵，证明x y z i σσσ=。

证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （5分） 6．（本题5分）22d d i x是否为厄密算符？给出证明。

不是厄密算符 （2分）2-2d d d *d * d * d d d d d i x i i x x x x x φψφψφψ∞∞∞∞-∞-∞=-⎰⎰ 22d *d d *d * d ( d )d d d d i x i i x x x x xψφψψφφ∞∞∞-∞-∞-∞=-=--⎰⎰ 2222d *d d ()* d d d i x i x x xψφψφ∞∞-∞-∞=≠⎰⎰ （3分）二、计算题（共70分） 7．（本题10分）设粒子处于2ˆL 和ˆzL 的共同本征态lm Y 态，试求x L 和y L 。

注意到 y z z y x L L L L L i ˆˆˆˆˆ-=即 )ˆˆˆˆ(1ˆy z z y x L L L L i L -=**1ˆˆˆˆx lm y z lm lm z y lm L Y L L Y d Y L L Y d i ⎡⎤=Ω-Ω⎣⎦⎰⎰ **1ˆˆ0lm y lm lm y lm m Y L Y d m Y L Y d i⎡⎤=Ω-Ω=⎣⎦⎰⎰ （5分） 利用 )ˆˆˆˆ(1ˆz x x z y L L L L i L -=**1ˆˆˆˆy lm z x lm lm x z lm L Y L L Y d Y L L Y d i ⎡⎤∴=Ω-Ω⎣⎦⎰⎰ **1ˆˆˆˆ()z lm x lm lm x z lm L Y L Y d Y L L Y d i ⎡⎤=Ω-Ω⎣⎦⎰⎰ **1ˆˆˆ0lm x lm lm x z lm m Y L Y d m Y L L Y d i⎡⎤=Ω-Ω=⎣⎦⎰⎰ （5分） 8．（本题15分）设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级()01E 和()02E ，(0)(0)12E E >，现在受到微扰'ˆH的作用，体系的哈密顿算符为(0)1(0)2E b a H aE ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ 其中,a b 为常数，用微扰公式求能量至二级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较（提示：做级数展开，保留到前三项）。