等腰三角形和等边三角形练习题
专题17 等腰(等边)三角形问题(学生版)
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题17 等腰（等边）三角形问题考点扫描☆聚焦中考等腰（等边）三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查，也有解答题出现，难度系数小，较简单，属于低档题；考查的知识点主要有：等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质；考查热点主要有：等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.考点剖析☆典型例题（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x ﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．2023•益阳）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE ＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．例4（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（）A．B．6C．8D．例5（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A．2B．3C．4D．5考点过关☆专项突破类型一等腰三角形的性质与判定1．（2023•南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（）A．5B．10C．15D．202．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°3．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°4．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形5．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．46．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．7．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是．8．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为．9．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．10．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．类型二等边三角形的性质与判定1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC 的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°2．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合3．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°4．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°5．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．6．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB 与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．7．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．8．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为．9．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．10．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF 相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是．类型三线段垂直平分线的性质1．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．4．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．2B．4C．6D．85．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．186．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．78．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．。
等腰三角形与等边三角形的综合练习题
等腰三角形与等边三角形的综合练习题在几何学中，等腰三角形和等边三角形是两个基本的三角形类型。
虽然它们具有一些共同点，但也有一些不同之处。
本文将为您提供一些相关的综合练习题，以帮助您更好地理解和应用这两种三角形。
练习题1：等边三角形的性质和相关计算题目：已知一个等边三角形ABC，边长为a。
请计算以下内容：1. 三角形ABC的内角和是多少？2. 计算三角形ABC的高和面积。
3. 求三角形ABC的外接圆半径。
4. 若等边三角形ABC的周长为15cm，求边长a的值。
解答：1. 由于等边三角形的三个内角相等，所以三角形ABC的内角和为180°。
2. 等边三角形ABC的高等于边长，因此三角形ABC的高为a。
根据三角形面积公式，三角形ABC的面积S = 1/2 * a * a * sin60°= a² * √3 / 4。
3. 由于等边三角形的外接圆半径等于边长的一半，所以三角形ABC 的外接圆半径为a / 2。
4. 根据等边三角形的性质，边长a乘以3即为等边三角形的周长。
所以3a = 15，解得a = 5。
练习题2：等腰三角形的性质和相关计算题目：已知一个等腰三角形DEF，底边DE = 8cm，等腰边DF = EF = 6cm。
请计算以下内容：1. 三角形DEF的内角和是多少？2. 求三角形DEF的高和面积。
3. 已知等腰三角形DEF的底边DE = 8cm，求EF的值，使得三角形DEF的面积为12平方厘米。
解答：1. 由于等腰三角形的两个底角相等，所以三角形DEF的内角和为180°。
2. 等腰三角形DEF的高可以通过勾股定理计算，即高h = √(DF² - (DE/2)²) = √(6² - (8/2)²) = √16 = 4。
根据三角形面积公式，三角形DEF的面积S = 1/2 * DE * h = 1/2 * 8 * 4 = 16 平方厘米。
等腰三角形和等边三角形练习题
等腰三角形和等边三角形练习题
1． 如图，等边△ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP＝1，D 为 AC 上一点，
若∠APD＝60°，则 CD 的长为（ ）
A． 3 2
A
B． 2 3
C． 1 2
D． 3 4
60° D
BP
C
2．如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交 DE 于点 F，若 BC＝6，则 DF
A
第 8 题图
A．6
B．7
C．8
D．9
17．已知等腰三角形的一个角为 70°，则另外两个角的度数是（ ）
A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或 70°，40° D．以上都不对
18．已知：一等腰三角形的两边长
x、y
满足方程组
2x 3x
-y 2y
3, 8,
则此等腰三角形的周长为（
连接 BD．若 BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是
A
E
D
B
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA
C．BC＝2AD
D．BD⊥AC
C
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A 、B 是两格点，如果 C 也是图中
的格点，且使得 ABC 为等．腰．三．角．形．，则点 C 的个数是
.
.
B
A． 0 x 3
B． x 3 C． 3 x 6
D． x 6
22．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC，已知点 E、F 分别是边 AB、AC 的中点，量得
.
.
EF＝5 米，他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是
一年级数学三角形分类练习题
一年级数学三角形分类练习题在学习数学的过程中，三角形是一个非常重要且基础的概念。
它们有着不同的性质和分类标准。
今天，我们将一起来进行一年级数学的三角形分类练习题。
通过这些练习题，我们可以巩固对三角形分类的理解，提高数学运算能力。
1. 根据三边长度分类练习题一：下列三角形中，哪些是等边三角形，哪些是等腰三角形，哪些是普通三角形？1）边长为3cm、3cm、3cm2）边长为5cm、5cm、4cm3）边长为6cm、7cm、8cm4）边长为2cm、2cm、1cm解答：1）边长为3cm、3cm、3cm是等边三角形。
2）边长为5cm、5cm、4cm是等腰三角形。
3）边长为6cm、7cm、8cm是普通三角形。
4）边长为2cm、2cm、1cm是等腰三角形。
2. 根据角度大小分类练习题二：下列三角形中，哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？1）角A = 60°，角B = 60°，角C = 60°2）角A = 30°，角B = 90°，角C = 60°3）角A = 100°，角B = 40°，角C = 40°4）角A = 90°，角B = 45°，角C = 45°解答：1）角A = 60°，角B = 60°，角C = 60°是锐角三角形。
2）角A = 30°，角B = 90°，角C = 60°是直角三角形。
3）角A = 100°，角B = 40°，角C = 40°是钝角三角形。
4）角A = 90°，角B = 45°，角C = 45°是直角三角形。
3. 根据边长和角度共同分类练习题三：下列三角形中，哪些是等腰锐角三角形，哪些是等腰直角三角形，哪些是等腰钝角三角形？1）边长为3cm、3cm、4cm，角A = 60°，角C = 60°2）边长为5cm、5cm、6cm，角A = 45°，角C = 45°3）边长为8cm、8cm、8cm，角A = 90°，角C = 90°4）边长为7cm、7cm、10cm，角A = 120°，角C = 120°解答：1）边长为3cm、3cm、4cm，角A = 60°，角C = 60°是等腰锐角三角形。
(完整)等腰三角形和等边三角形习题例题
等腰三角形的性质应用及判定【例1】 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O 。
给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD.(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） (2) 选择第(1)小题中的一种情形,证明△ABC 是等腰三角形【例2】如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E,使AE=BD,连接CE,DE 。
求证：△CDE 为等腰三角形【例3】如图,将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（ ） ①DC '平分∠BDE②BC 长为(22 ）a③△BC 'D 是等腰三角形 ④△CED 的周长等于BC 的长 A 。
1个 B.2个 C 。
3个 D.4个【例4】如图，△ABC 是边长为1的正三角形,△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN,点M,N分别在AB ，AC 上，则△AMN 的周长是【例5】已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A 。
20° B.120° C 。
20°或120° D.36°AEBCO D EA BCDD BE CDBC '. E ACB A MNDBC【例6】等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为【例7】如图，点O 事等边△ABC 内一点,∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ，则△COD 是等边三角形；（1）当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？(2）求证：△COD 是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD 的形状,并说明理由等边三角形的性质应用及判定【例8】如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点F.求证：(1）AD=CE;(2）求∠DFC 的度数。
专题19等腰三角形、等边三角形、直角三角形(基础巩固练习)解析版
2021年中考数学专题19 等腰、等边三角形、直角三角形（基础巩固练习，共50个小题）一、选择题（共20小题）：1.（2020•毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【答案】B【解析】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：B．2.（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．3.（2020•呼伦贝尔）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【解析】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．4.（2020•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】B【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．5.（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°【解析】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．6.（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．7.（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC=1（180°﹣40°）＝70°，2∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．8.（2020•巴中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．7【答案】B【解析】解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD=1∠BAC＝60°，2∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝3，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，故选：B．9.（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2√3，则它的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．4√3【答案】C【解析】解：根据等边三角形：三线合一，)2+(2√3)2，设它的边长为x，可得：x2=(x2解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：C．10.（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，√3）C．（√3，1）D．（√3，√3）【答案】B【解析】解：过点B 作BH ⊥AO 于H 点，∵△OAB 是等边三角形，∴OH ＝1，BH =√3．∴点B 的坐标为（1，√3）．故选：B ．11.（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且CE =13CD ，CF =13CB ，则S △CEF ＝（ ）A ．√32B ．√33C ．√34D ．√39 【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°∴AB ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝60°∵CE =13CD ，CF =13CB∴CE ＝CF =23∴△CEF 为等边三角形∴S △CEF =√34×(23)2=√39故选：D ．12.（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC【答案】C【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：C．13.（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．BC，∴MH=12∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．14.（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）A．19°B．33°C．34°D．43°【答案】B【解析】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，AC＝AE，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE=12∴∠BAC＝∠ABE＝38°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=1∠BAC＝19°，2∴∠BOF ＝∠BAD+∠ABE ＝19°+38°＝57°，∵BF ⊥AD ，∴∠BFO ＝90°，∴∠EBF ＝90°﹣∠BOF ＝90°﹣57°＝33°；故选：B ．15.（2020•赤峰）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）A ．15B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】解：∵把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'， ∴A ′A ＝CC ′＝3，AA ′∥BC ′，在Rt △ABC 中，∵AB ＝5，AC ＝3，∴BC =√52−32=4，∵AA ′∥BC ′，∴四边形ABC ′A ′是梯形，∴四边形ABC'A'的面积=12（AA ′+BC ′）•AC =12×（3+4+3）×3＝15，故选：A ．16.（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DF ∥BC ，∠ABC 的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴ENHG =EDHD，∵E为HD中点，∴EDHD =12，∴ENHG =12，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EM ⊥BC ，∴EM ＝AE ＝3，∴EN ＝EM ﹣MN ＝3﹣2＝1，则HG ＝2EN ＝2．故选：B ．17.（2020•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E ．若AC ＝2，BC ＝2√2，则BE 的长为（ ）A ．2√63B ．√62C ．√3D ．√2【答案】A【解析】解：方法1：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝2√2，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√22+(2√2)2=2√3，∵D 是AB 的中点，∴BD ＝CD =√3，设DE ＝x ，由勾股定理得（√3）2﹣x 2＝（2√2）2﹣（√3+x ）2，解得x =√33， ∴在Rt △BED 中，BE =2−DE 2=√(√3)2−(√33)2=2√63．方法2：三角形ABC 的面积=12×AC ×BC =12×2×2√2=2√2，∵D 是AB 中点，∴△BCD 的面积＝△ABC 面积×12=√2，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝2√2，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√22+(2√2)2=2√3，∵D 是AB 的中点，∴CD =√3，∴BE =√2×2÷2×2÷√3=2√63．故选：A ． 18.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A ．1013√13B ．913√13C ．813√13D ．713√13 【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC =2+32=√13，∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC ⋅BD =72，∴√13⋅BD =7，∴BD=7√13，故选：D．1319.（2020•德阳）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．2√2−2 C．2√2+2 D．2√2【答案】B【解析】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4√2，∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2√2，∴CM=12∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2√2−2，故选：B．20.（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．100cm2C．50cm2D．75cm23【答案】C【解析】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x，∴x＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）故选：C．二、填空题（共16小题）：21.（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．【答案】10或11【解析】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．22.（2020•眉山）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若△ABD 的周长为26，则DE 的长为 ．【答案】154【解析】解：作AM ⊥BC 于M ，∵边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE =12AC =12×10=5，AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠C ，∵△ABD 的周长为26，∴AB+BD+AD ＝AB+BD+CD ＝AB+BC ＝26，∵AB ＝AC ＝10，∴BC ＝16，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠DAC ，∵∠ACB ＝∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AM DE =BC AC ，∵AB ＝AC ，∴BM=12BC＝8，∴AM=√AB2−BM2=√102−82=6，∴6DE =1610，∴DE=154，故答案为154．23.（2020•滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．【答案】80°【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°．24.（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝．【答案】40°【解析】解：如图，延长CB交l1于点D，∵AB＝BC，∠C＝30°，∴∠C＝∠4＝30°，∵l1∥l2，∠1＝80°，∴∠1＝∠3＝80°，∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．25.（2020•黄冈）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．【答案】40°【解析】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40．26.（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．27.（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．【答案】2√7【解析】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC=√CF2−OF2=2√3∴BC=√BO2+OC2=2√728.（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°．【答案】70【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，∵CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝70°，故答案为70．29.（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．【答案】3√3−2【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O 作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，AD＝2，∴OM=12∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2√3，GF=√3，OF＝3√3，∴ME≥OF﹣OM＝3√3−2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3√3−2．30.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB=√AD2+BD2=√82+62=10，∵AE＝EB，∴DE=1AB＝5，2故答案为5．31.（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【答案】20【解析】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．32.（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．【答案】1【解析】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，即可得判定△CDE∽△BDA，且相似比为1：2，∴CEAB =12，即CE＝1．故答案为：133.（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为．【答案】4√5【解析】解：延长BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，过点C作CH∥AB，交BF于点H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵CH∥AB，∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，∴EH＝CE，∵EA＝EB，∴AC＝BH，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC=√82+42=4√5，故答案为：4√534.（2020•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是．【答案】2√3【解析】解：过点E作EH⊥BF于H．∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，∴AD＝AC＝4√2，∵DF＝FC，AE＝EC，AD＝2√2，EF∥AD，∴EF=12∴∠FEC＝∠DAC＝90°，∵∠ABC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2√2，∴EF＝BE＝2√2，∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，∴∠FEB＝90°+30°＝120°，∴∠EFB＝∠EBF＝30°，∵EH⊥BF，∴EH=12EF=√2，FH=√3EH=√6，∴BF＝2FH＝2√6，∴S△EFB =12•BF•EH=12×2√6×√2=2√3．故答案为2√3．35.（2020•十堰）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为．【答案】19【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．36.（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．【答案】10＝24cm，【解析】解：∵C△DBC∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD②，将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，即AC+BC＝24cm，又∵AC＝14cm，∴BC＝24﹣14＝10cm．故填10．三、解答题（共14小题）：37.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．【答案】(1)见解析；(2)80°.【解析】（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△BED 与△CFD 中，{∠BED =∠CFD∠B =∠C BD =CD，∴△BED ≌△CFD （AAS ），∴DE ＝DF ；（2）解：∵∠BDE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠C ＝50°，∴∠BAC ＝80°．38.（2019•攀枝花）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD ＝CE ．求证：（1）点D 在BE 的垂直平分线上；（2）∠BEC ＝3∠ABE ．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．39.（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【答案】(1)48°；(2)见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．40.（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；【答案】(1)54°；(2)见解析.【解析】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=1∠ABC，2∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．41.（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．【答案】(1)30°；(2)见解析.【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣60°＝30°．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，42.（2020秋•道外区期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）【答案】(1)见解析；(2)△DEF和△BFC都为等腰三角形.【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形．（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，∵D、E分别为AB、AC中点，∴AD=12AB，AE=12AC，∴△ADE为等边三角形，AB，∴AD＝DE=12∴BD＝DE，即△BDE为等腰三角形，同理△DEC为等腰三角形．∵AB＝BC，E为AC的中点，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠ADE＝∠ABC＝60°，∴DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB＝30°，同理∠BCD＝∠EDC＝30°，∴FB＝FC，DF＝EF．即△DEF和△BFC都为等腰三角形．43.（2020•海淀区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．（1）求证：△ABF是等边三角形；（2）若∠CDF＝45°，CF＝2，求AB的长度．【答案】(1)见解析；(2)√3+.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DAB＝120°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝60°，∴∠FAB＝∠ABF＝60°，∴∠FAB＝∠ABF＝∠AFB＝60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FCG＝∠ABC＝60°，∴∠GFC＝30°，∵CF＝2，∠FGC＝90°，∴CG＝1，FG=√3，∵∠FDG＝45°，∠FGD＝90°，∴∠FDG＝∠DFG＝45°，∴DG＝FG=√3，∴DC＝DG+CG=√3+1，∴AB=√3+1，即AB的长度是√3+1．44.（2018•无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．【答案】(1)PB=125+95=215；(2)m=√3n.【解析】解：（1）如图，作CH⊥AB于H．由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，∵PQ⊥PA，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠QPC＝135°，∵∠QPB ＝90°，∴∠BPC ＝45°，∵CH ⊥AB ，∴CH ＝PH ，在Rt △ABC 中，AB =2+BC 2=√32+42=5，∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，BH =2−CH 2=95， ∴PB ＝PH+BH =125+95=215．（2）如图2中，连接BQ ．由翻折不变性可知：PA ＝PQ ，∠QPC ＝∠APC ，∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴PQ ＝BC ＝PA ＝n ，PQ ∥BC ，∴∠QPC+∠PCB ＝180°，∴∠PCB＝∠BPC，∴PB＝BC＝n，∴AP＝PB＝n，AB＝2n，在Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，∴m2＝3n2，∵m＞0．n＞0，∴m=√3n．45.（2020秋•齐河县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．（1）求证：AE＝ED；（2）若AC＝2，求DE的长．【答案】(1)见解析；(2)1.【解析】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB，∴CD＝AD＝BD=12∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°，∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠A＝∠ADC，∴AC＝DC，∵CE垂直于AB于点E，∴AE＝ED；（2）解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACE＝30°，AC，∴AE=12∵AC＝2，AE＝DE，∴DE＝AE＝1．46.（2020秋•农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．【答案】(1)见解析；(2)4.【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．又∵CE＝CF，∴CF＝2．∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．47.（2020秋•松江区期末）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 是AC 中点，∴DE =12AC ，BE =12AC ，∴DE ＝BE ，∵点F 是BD 中点，∴EF ⊥BD ；（2）证明：设AC ，BD 交于点O ，∵DH ⊥AC ，EF ⊥BD ，∴∠DHO ＝∠EFO ＝90°，∵∠DOH ＝∠BOE ，∴∠HDF ＝∠OEF ，∵DE ＝BE ，∴∠EDO ＝∠EBO ，∵BD 平分∠HDE ，∴∠HDF ＝∠BDE ，∴∠OEF ＝∠OBE ，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．48.（2020秋•南海区期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】(1)S△ABC ＝150；(2)S△ABC=42.1575.【解析】解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，∴CD2+AD2＝CA2，∴△△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴BD=√BC2−CD2=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴S△ABC =12×25×12＝150；（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，解得：x＝10.5，∴CD=2−AD2=√132−10．52≈7.665，∴S△ABC =12AB⋅CD=12×11×7.665=42.1575．49.（2020春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．50.（2020秋•锦江区校级期末）如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC【答案】(1)AE=8√5=16√55；(2)S△ECF＝8（2−√3）；(3)见解析.【解析】（1）解：如图1中，∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC=√AC2+AB2=√82+162=8√5，∵AE⊥BC，∴S△ABC =12•BC•AE=12•AC•AB，∴AE=8√5=16√55．（2）解：如图2中，在CE上取一点T，使得FJ＝CJ，连接FJ．∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵AE⊥BC，AC＝8，∴CE＝AC•cos60°＝4，∵∠DCA＝45°，∴∠FCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°，∵JF＝JC，∴∠JFC＝∠JCF＝15°，∴∠EJF＝∠JFC+∠JCF＝30°，设EF＝m，则FJ＝JC＝2m，EJ=√3m，∴√3m+2m＝4，∴m＝4（2−√3），∴EF＝4（2−√3），∴S△ECF =12×4×4（2−√3）＝8（2−√3）．（3）证明：如图3中，过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠AMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF+AF＝CN+BN，即PF+AF＝BC．。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
等腰三角形与等边三角形专项练习(精品测试卷)(2022年最新)
6.若式子 有意义，则一次函数 的图象可能是（）
A. B. C. D.
7.要使直线y=（2m－3）x＋（3n＋1）的图象经过一、二、四象限，则m与n的取值为（ ）
A.m＞ ，n＞ B.m＞3，n＞－3
C.m＜ ，n＜ D.m＜ ，n＞
8.为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（）
13.如果直线y＝2x＋m不经过第二象限，那么实数m的取值范围是___．
14.表格描述的是y与x之间的函数关系：
x
…
－2
0
2
4
…
y＝kx＋b
…
3
－1
m
n
…
则m与n的大小关系是____________．
15.如图,直线y＝kx＋b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点,则不等式－3≤－2x－5＜kx＋b的解集是_______________．
18．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．
19．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．
20．（2020春•延庆区期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
25．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
26．（2020秋•泰兴市期中）已知：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．
27．（2020春•渭南期中）已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形．
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.等腰三角形和等边三角形练习题1．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP＝1，D 为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD 的长为（）A．32B．23C．12D．34 AD60°CBP2．如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交 DE 于点 F，若 BC＝6，则DF 的长是（A）2 （B）3 （C）52（D）43．如图，点A 的坐标是(2,2) ，若点 P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不．可．能．是（）A．(4，0) B．（1．0）C．（-2 2 ，0）D．（2，0）yByA21-1 0 1 2 3 4 x A DC4．如图， AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD 的度数是（）A．20 B．30 C．35 D．405．如图，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平分么 BAC 交BC 于点E，点D 为 AB 的中点，连结DE，则△BDE 的周长是( )A．7+ 5 B．10 C．4+2 5 D．12..6.在等腰△ABC中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15 和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7 或11 D．7 或107 ．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 o，腰长为 4 cm ，则其腰上的高为cm ．8．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是．9.在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于__________度_ ．10．如图，在△ABC 中，AB= AC，∠A =36 °，BD、CE分别是△ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(A)5 个(B)4 个(C)3 个(D)2 个ADEB C(第 10 题)11.（2010 黄冈）如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于E，Q 为1 BC 延长线上一点，当PA＝CQ 时，连 PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A．31 B．2C．23D．不能确定12．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20 °。
线段AB 的垂直平分线交AB 于D，交 AC 于E，连接 BE，则∠CBE 等A、80 °B、70°C、60°D、50°..13．已知等腰三角形的两条边长分别是7 和3，则下列四个数中，第三条边的长是( ) A．8 B．7 C．4 D．314．如图，△ABC 内有一点D，且 DA=DB=DC ，若∠DAB=20 °，∠DAC=30 °，则∠BDC 的大小是（）ADCB A.100 ° B.80° C.70° D.50°15．如图，在△ABC 中，D，E分别是边 AC，AB 的中点，连接 BD．若 BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是AEDBA．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥ACC16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC为等．腰．三．角．形．，则点C 的个数是.BA第 8 题图A．6 B．7 C．8 D．917．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（）A．55 °，55°B．70°，40°C．55°，55°或 70°，40°D．以上都不对18．已知：一等腰三角形的两边长x、y 满足方程组2x- y 3,则此等腰三角形的周长为（）3x 2y8,A．5 B．4 C．3 D．5 或 419．如图，点C 是线段 AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE是在 AB 同侧的两个等边三角形， DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点 C 在线段 AB 上沿着从点A 向点 B 的方向移动(不与点 A，B 重合)，连接 DE，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（）（A）逐渐增大(B) 逐渐减小(C) 始终不变(D) 先增大后变小20．如图，把等腰直角△ABC 沿BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD ＝DC C．AD ＝DE D．AD ＝EC21．已知：△ABC中，AB=AC= x ，BC=6 ，则腰长 x 的取值范围是（）A．0 x 3 B．x 3 C．3 x 6 D．x 6.22．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC，已知点E、F 分别是边AB、AC 的中点，量得EF＝5 米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是AE FB C(第5题图 )A、15 米B、20 米C、25 米D、30 米23．如图1，△ABC 中， AC=AD=BD ，∠DAC=80 °。
则∠B 的度数是A．40 °B．35°C．25°D．20°24．如图，小红作出了边长为1 的第1 个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1 的面积，然后分别取△A1 B1C1 三边的中点A2，B2，C2，作出了第 2 个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2 的面积，用同样的方法，作出了第 3 个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3 的面积⋯⋯，由此可得，第8 个正△A8 B8C8 的面积是（）A．3 17( )4 2B．3 18( )4 2C．3 17( )4 4D ．3 18( )4 425．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是A．17 B．17 或22 C．20 D．2226．如图所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B、C、E 在同一条直线上，AE 与 BD 交于点O，AE 与 CD 交于点G，AC 与 BD 交于点F，连结O C、FG，则下列结论：①AE＝.BD ②AG＝BF ③FG∥BE ④∠ BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个27．如图，△ABC 中， DE 垂直平分AC 交AB 于E，∠A=30 °，∠ACB =80 °，则∠BCE= ▲°．CDABE（第16 题）28．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，⋯⋯，则得到的第五个图中，共有_______个_正三角形．⋯⋯图①图②图③29．（2010 山东滨州）如图,等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点 ,E 是 AC 边上一点 .若AE=2,EM+CM 的最小值为..30．如图，在△ABC 中，AB=AC=13 ，BC=10 ，D 是AB 的中点，过点D 作DE⊥AC 于点 E，则DE 的长是。
31．如图，等腰三角形ABC 中，已知 AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线交AC 于D，则∠CBD 的度数为.7.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cm C．17cm D ．16cm 或17cm 8.如图，在△ABC 中，AB AC 13，BC 10，点D 为BC 的中点， DE DE AB ，垂足为点E ，则DE 等于（）A．1013B．1513C．6013D．75139.边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.10.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.12.在等腰Rt△ABC 中，∠C=90 °，AC＝1，过点 C 作直线 l∥AB，F 是l 上的一点，且AB＝AF，则点 F 到直线 BC 的距离为．13.已知等边△ABC 中，点 D,E分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线 DE 翻折，使点B 落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边 AC 于点 F，G，若∠ADF=80 o ，则∠EGC的度数为10.如图，等边三角形ABC 中，D、E 分别为AB、BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE与CD 交于点 F，AG⊥CD 于点G，则F GAF．CEFGAD第15 题B11.如图 6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点 D，AB=5 ，BC=6 ，则AD=__________________.解答题11.如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE 平分∠BDC；（2）若点 M 在DE 上，且 DC=DM ，求证：ME=BD ．12.如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90 °，D 为AC 边上中点，过D 点作DE⊥DF，交 AB 于E，交 BC 于F，若AE=4 ，FC=3 ，求 EF长．ADEB F C13.如图 1，在等边△ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点P 是线段 DC 上的动点(点P 与点 C 不重合)，连结 BP. 将△ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180 °），得到△A1B1P,连结AA 1，射线 AA1 分别交射线PB、射线 B1B 于点 E、F.（1）如图1，当 0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP 始终存在▲关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP= β. 当60°＜α＜180 °时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，当α=60 °时，点 E、F 与点B 重合. 已知AB =4 ，设 DP= x，△A1BB1 的面积为S，求S 关于 x 的函数关系E BBFMA1A1B B1EFMB1A1CA D CA D PPA DPCB1图 1 图2 图314.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36 °，AC 的垂直平分线交AB 于E，D 为垂足，连结E C．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5 ，求BC 长．5．如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线， D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE,连结B E.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 延长BE 至 Q, P 为BQ 上一点，连结CP、CQ 使CP＝CQ＝5, 若 BC＝8 时，求PQ 的长.12.已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD、CE 相交于点O，且OB=OC ，（1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。