江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测(一)数学试题
江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点()1,2-的抛物线的标准方程是（ ）A ．24y x =或214x y =B ．24y x =C ．24y x =或212=-x yD ．212=-x y 2．已知向量()=4,3,0a ，()3,4,5b =-，则a 与b 的夹角为（ ）． A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°3．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2C ．12D 14．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．325．圆()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->关于直线1y x =-对称，则（ ）A ．2D E +=B ．1D E -=-C ．2DE -=- D ．1D E +=6．已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ⋂=，则//m nB ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥7．已知π0αβπ2<<<<，又3sin α5=，()4cos αβ5+=-，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425C ．2425D ．2425±8．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒ ，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，则点1A 到平面ABD 的距离为（ ）A B C D 9．设1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=><的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）A 12B C ．2 D二、多选题10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c =+，且2B A =，则ABC 不可能为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形11．已知2a =，4c =，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=12．已知向量()2,3,1a =--， ()2,0,4b =，()4,6,2c =-- ，则下列结论正确的是（ ） A ．//a b B ．//a cC ．a b ⊥D ．a c ⊥三、填空题13．已知()1,3,a m =，()2,6,4b n =-，若//a b ，则a b ⋅=______．14．过点()0,3-的直线l 与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程为______．15．椭圆2222:1(0)x y r a b a b+=>>的左、右焦点分别为12.F F 、焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆r 的一个交点M 满足12212,MF F MF F ∠=∠则该椭圆的离心率等于 .16．如图，一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30方向上，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75方向上，且与它相距mi le ，则此船的航速是 n /mile h .四、解答题17．直线3450x y --=与圆C ：()()222125x y -+-=相交于A ，B 两点，求ABC 的面积．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA =且//GM 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值. 19．已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x =+∈R ．（1）求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合； （2）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积21．已知正方形ABCD 的边长为2,AC ∩BD =O .将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使AC =a ,得到三棱锥A -BCD ,如图所示.(1)当a =2时,求证:AO ⊥平面BCD .(2)当二面角A -BD -C 的大小为120°时,求二面角A -BC -D 的正切值.22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN 面积的最大值．参考答案1．C 【分析】讨论两种情况，分别设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入可得答案. 【详解】设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为2y ax =，将点()1,2-代入可得4a =，故抛物线的标准方程是24y x =；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为2x by =，将点()1,2-代入可得12b =-，故抛物线的标准方程是212=-x y ． 综上可知，过点()1,2-的抛物线的标准方程是24y x =或212=-x y ． 故选：C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，考查点与抛物线的位置关系，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 2．C 【分析】由向量数量积公式cos a b a b θ⋅=和坐标运算公式计算即可. 【详解】cos a b a b θ⋅=， cos a b a bθ⋅∴=()4334050a b ⋅=⨯-+⨯+⨯= 0cos 0a bθ∴==90θ∴=︒.故选：C 【点睛】本题考查向量的数量积公式和坐标运算，属于基础题. 3．D 【解析】分析：设2||PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2||PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ====， 故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 4．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3=±y ，所以||3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得(2,0)F ，结合PF 与x 轴垂直，可得||3PF =，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．5．C 【分析】根据圆的一般方程求出圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再根据圆的对称关系得出圆在直线1y x =-上，代入即可得出结果． 【详解】由()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->可知圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为圆关于直线1y x =-对称，所以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线1y x =-上，所以122E D -=--，即2D E -=-． 故选：C 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，属于基础题． 6．A 【分析】根据线面平行与垂直的的性质与判定逐个判断或举出反例即可. 【详解】对A,当//m α,n αβ⋂=时//m n 不一定成立,故A 错误.对B,根据线面垂直的性质可知,当//m n ,m α⊥时n α⊥.故B 正确. 对C,根据线面垂直的性质可知,当m α⊥,m β⊥时//αβ.故C 正确. 对D,根据面面垂直的判定可知,当m α⊥,m β⊂有αβ⊥.故D 正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的判定.属于基础题. 7．B 【详解】340,sin cos 255πααα<<=∴=2πβπ<<3,22ππαβ∴<+<又4cos()5αβ+=- 3sin()5αβ∴+=±当3sin()5αβ+=时， ()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦344324()555525=⨯--⨯=， 当3sin()5αβ+=-时，()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦ 3443()05555=-⨯--⨯=，则sin β等于0或2425，故选B 8．B 【分析】以1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据0GE BD ⋅=，列出方程，求得a 的值，得到向量GE ，进而求得点1A 到平面ABD 的距离． 【详解】由题意，以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设CA CB a ==，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，()0,0,1D ，()1,0,2A a ， 可得,,122a a E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,,333a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，2,,663a a GE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,,1BD a =-，因为点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心，所以GE ⊥平面ABD ， 所以0GE BD ⋅=，即20()10663a a a ⨯+⨯-+⨯=，解得2a =，即112,,333GE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则点1A 到平面ABD 的距离为262d GE ==． 故选：B.【点睛】本本题主要考查了点到平面距离的求解，以及空间向量的应用，其中解答中建立空间直角坐标系，根据GE ⊥平面ABD ,利用空间向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9．D 【分析】 由120PF PF ⋅=，可得12PF F ∆是直角三角形，利用勾股定理和双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：由题意得，12PF F ∆是直角三角形，设12||,||PF m PF n == 由勾股定理得()22222(2)244c m n m n mn a ac =+-++==，220c ac a ∴--=， 210e e ∴--=，1e >，12e ∴=． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 10．BCD 【分析】由余弦定理求出4A π=，然后可得角B ，然后可选出答案.【详解】由余弦定理222cos 22b c a A bc +-==，所以4A π=，又22B A π==，所以4C π，故ABC 为等腰直角三角形. 故选：BCD 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单. 11．AC 【分析】由条件可得222b c a =-，讨论焦点位置写出双曲线的标准方程即可. 【详解】由已知得22212b c a =-=，∴当焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为221412x y-=；当焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为221412y x -=．故选：AC 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，分类讨论的思想，属于中档题. 12．BC 【分析】利用向量共线与垂直的判定条件即可得出． 【详解】∵()2,3,1a =--，()2,0,4b =，()4,6,2c =--， ∴4040a b ⋅=-++=，∴a b ⊥； ∵()4,6,22c a =--=，∴//a c ． 故选：BC 【点睛】本题主要考查向量平行与垂直，属于基础题． 13．28 【分析】由//a b 可建立关系求出,m n ，再根据坐标即可求出a b ⋅. 【详解】 解：由题知13264m n ==-，∴1n =，2m =-， 则()()12362428a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-=． 故答案为：28. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查坐标法求数量积，属于基础题. 14．0x =或3y =-或390x y ++=. 【分析】讨论直线的斜率不存在、存在不为零、为零的三种情况可得答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，满足题意； 直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =-，代入24y x =， 可得()226490k x k x -++=，∴0k =时，直线l 的方程为3y =-，满足题意；0k ≠时，由()2264360k k ∆=+-=，解得13k =-， 此时直线l 的方程为390x y ++=．综上，直线l 的方程为0x =或3y =-或390x y ++=．故答案为：0x =或3y =-或390x y ++=. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的交点个数问题，没有考虑全面是容易发生的错误. 151 【解析】注意到直线过点(,0)c -即为左焦点1F ，又斜率为3，所以倾斜角为060，即01260MF F ∠=.又故02130MF F ∠=，那么02190F MF ∠=.01121·cos602?2MF F F c c ===，02123·sin 602?32MF F F c c ===，12223123c c e a MF MF c c====-++. 【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题. 16．32 【解析】试题分析：因为在ABS ∆中，已知030,45BAS ASB ∠=∠=，且边BS =定理可得：0016sin 45sin 30AB BS AB =====，又因为从A 到S 匀速航行时间为半小时，所以速度应为1632(/)12mile h =. 考点：三角形的实际应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的实际应用问题，解答中需要认真审题，确定好解三角形的条件，恰当的选择正弦定理、余弦定理，准确计算是解答的关键.本题的解答中，在ABS ∆中，利用正弦定理求解16AB =，即可求解航行的速度，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17．25. 【分析】先求弦心距d ，再求弦长AB ，再求面积即可. 【详解】解：圆心()2,1，半径为5，圆心到直线的距离为35d ==．由勾股定理得AB ==，所以三角形的面积为113225ABC S AB d ==⨯=△. 【点睛】考查根据垂径定理求三角形的面积，基础题.18．（1）见解析；（2）锐二面角的余弦值为42. 【分析】试题分析：（1）取11A B 的中点N ，连接AN ，利用1ANB E ，1B N AE 证得四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点；（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，利用两个面的法向量求解即可. 试题解析：（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ，因为GM 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面11B EF B E =，所以1GM B E ，即1AN B E ，又1B N AE ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点.（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()()()()112,2,2,2,1,0,0,2,1,2,0,2B E F A ，可得()10,1,2B E =--，()2,1,1EF =-，设(),,m x y z =是平面1B EF 的法向量，则1·20·20m B E y z m EF x y z ⎧=--=⎨=-++=⎩.令2z =，得()1,4,2m =--.易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA ==，所以·cos ,22m n m n m n ==⨯ 42=故所求锐二面角的余弦值为.19．（1）最小正周期是π，最小值为1x 的集合为3|()8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2）(2)++∞. 【分析】（1）化简函数())14f x x π=++，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）化简()2g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x ，再根据题意，得到2a ->，即可求解．【详解】（1）由题意，函数()sin 2cos 21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可得其最小正周期是22T ππ==， 当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得22,()42x k k πππ+=-+∈Z ，即3()8x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 的最小值为1-此时x 的集合为3|()8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ． （2）由()122844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()22g x x ⎡=∈-⎢⎣，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则max 2()a g x ->，所以2a >+，即求实数a的取值范围(2)++∞． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20．（1）221369x y +=；（2）12k A F F S =△ 【分析】（1）根据离心率以及椭圆定义求解出,a c 的值，即可求解出2b 的值，则椭圆G 方程可求； （2）将圆的一般方程化简为标准方程，即可求解出圆心k A 的坐标，根据121212k K A F F A S F F y ⨯⨯=△即可求解出12k A F F 的面积.【详解】（1）设椭圆G 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，设半焦距为c，则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴22236279b a c =-=-=，所求椭圆G 的方程为：221369x y +=；（2）圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈，即()()222225x k y k ++-=+，则点k A 的坐标为(),2k -，则1212112222k A F F S F F ⨯⨯=⨯==△ 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及由圆的方程确定圆心，主要考查学生的基本计算能力，难度一般.21．(1)见解析 (2) 【详解】(1)根据题意,在△AOC 中,AC =a =2,AO =CO =, 所以AC 2=AO 2+CO 2,所以AO ⊥CO . 又AO ⊥BD ,BD ∩CO =O , 所以AO ⊥平面BCD .(2)折叠后,BD ⊥AO ,BD ⊥CO .所以∠AOC 是二面角A -BD -C 的平面角,即∠AOC =120°.在△AOC 中,AO =CO =,所以AC =.如图,过点A 作CO 的垂线交CO 延长线于点H ,因为BD ⊥CO ,BD ⊥AO ,且CO ∩AO =O ,所以BD ⊥平面AOC .因为AH ⊂平面AOC ,所以BD ⊥AH .又CO ⊥AH ,且CO ∩BD =O ,所以AH ⊥平面BCD .所以AH ⊥BC .过点A 作AK ⊥BC ,垂足为K ,连接HK ,因为BC ⊥AH ,AK ∩AH =A ,所以BC ⊥平面AHK .因为HK ⊂平面AHK ,所以BC ⊥HK .所以∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角. 在△AOH 中,得AH =,OH =,所以CH =CO +OH =+=. 在Rt △CHK 中,HK ==,在Rt △AHK 中,tan ∠AKH ===. 所以二面角A -BC -D 的正切值为.22．（1）（2）3【解析】试题分析：第（1）问首先由124A A=得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA和2PA的斜率之积为34-求出几何量b的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN的面积最值．试题解析：（1）由1224A A a==，得2a=，所以1(2,0)A-，2(2,0)A．设00(,)P x y，则，解得23b=．于是椭圆C的标准方程为．（2）①当直线MN垂直于x轴时，设MN的方程为x n=，由221{43x yx n+==，得(M n，(,N n，从而12OMNS n=⨯⨯=当n=OMN．②当直线线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y kx m=+，由22143x yy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得222(34)84120k x kmx m+++-=．2222644(34)(412)0k m k m=-+->，化简得22430k m-+>．设11(,)M x y，22(,)N x y，则122834kmx xk-+=+，212241234mx xk-=+，234MNk==+原点O 到直线MN的距离d =所以1122OMNSMN d =⋅=≤= 当且仅当22342k m +=时，OMNS综合①②知，OMN考点：椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形面积．。
江苏省江浦高级中学2020学年度第一学期期中高二数学复习试题(一)
江苏省江浦高级中学2020学年度第一学期期中高二数学复习试题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。
)1．从2020名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从2020人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率 （ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等,且为100225D ．都相等,且为2000502．抛物线y =ax 2的准线方程是y =1，则a 的值为 ( )(A)41 (B)41- (C)4 (D)－4 3．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p 1是 “第一次射击击中飞机”，命题p 2是“第二次射击击中飞机”，则命题“恰有一次击中了飞机”可表示为 （ ）A ．p 1 且p 2B ．非p 1 且非p 2C ．（p 1 且非p 2 ）或（非p 1 且p 2 ）D ．p 1 或p 24．盒子中有10只螺丝钉，其中有３只是坏的，现从盒中随机地抽取４个，那么310等于 ( ) Ａ．恰有１只是坏的概率 Ｂ．恰有２只是好的概率 Ｃ．４只全是好的概率 Ｄ．至多２只是坏的概率5．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=，其中0,0a m b >>>，若它们的离心率互为倒数，则( )Ａ．222a b m += B ．222a b m +> C ．222a b m +< D ．a b m +=6．2020年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五” 规划中明确提出要缩小贫富差距，到2020年要实现一 个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数 量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为A ．25% , 27.5%B ．62.5% , 57.9%C ．25% , 57.9%D ．62.5%,42.1%二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)7．在样本数为11组的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的41，且样本容量为160，则中间一组的频数为__ 8、写出命题：“至少有一个实数x , 使32x +=0”的否定 . 9．给出以下四个命题：(1)“若0=+y x ,则x 、y 互为相反数”的逆命题； (2)基本算法语句仅有输入、输出语句；(3)“若1-≤q ，则012=++qx x 有实根”的逆否命题；(4)某种产品有甲、乙两种型号。
江苏省江浦高级中学高三数学上学期检测试题(一)
学习资料江苏省江浦高级中学高三数学上学期检测试题（一）班级：科目：江苏省江浦高级中学2021届高三数学上学期检测试题（一）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1。
“x>1”是“)2(log 21+x ＜0”的( ）A. 充要条件 B 。
充分不必要条件C 。
不必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件2. 连续抛掷两次骰子，先后得到的点数m ，n 为P （m,n ）的坐标， 那么点P （m,n)满足｜m|+|n ｜≤4的概率为（ ) A. 61 B. 41 C 31 D 3625 3. O 是△ABC 内一点。
且｜错误!|=｜错误!|=|错误!｜，则O 是ABC ∆的 ( )A 。
重心 B. 内心 C 。
外心 D. 垂心4. 首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，334S a =，则当n S 取得最大值时，n= ( ）A 。
7B 。
5或6C 。
4 D. 3或45。
已知函数)2||,0(),sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示,若函数)(x f 的图象经过恰当的平移后得到奇函数)(x g 的图象,则这个平移可以是（ )A. 向左平移12π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移12π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度6。
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=6,AD=4，AA 1=3,分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为11V V 1DFD AEA -=，C F C B E B 1111V V 3-=，其余部分为V 2，若141V V V 321：：：：=，则截面A 1EFD 1的面积为( ）A 。
104 B.38 C.134 D .167. 若直线mx+2ny —4=0始终平分圆x 2+y 2—4x-2y —4=0的周长，则n m 的取值范围是（ )A.（0,1) B 。
高二上学期数学检测(三) Word版含答案
江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期高二数学检测（三）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 命题“”的否定（）A. B.C. D.2. 已知命题使，命题，都有，给出下列结论：①命题“”是真命题②命题“”是假命题③命题“”是真命题④“”是假命题，其中正确的是（）A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③3. “”是“”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 不必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 命题“,都有”的否定是()A. ,使得B. ,使得C. ,都有D. ,都有5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（）A. B. C. D.6. 已知等比数列的前项和为,若,,则( )A. B. C. D.7. 在等差数列中，，则数列前项和最大时，（）A. B. C. D.8. 在等差数列中,,,且,则使的前项和成立的中最大的自然数为()A. B. C. D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 下列双曲线中,与共渐近线的是()A. B. C. D.10. 已知抛物线的焦点为,圆与抛物线交于,两点,点为劣弧上不同于,的一个动点,过点作平行于轴的直线交抛物线于点,则下列四个结论中正确的是()A. 点P的纵坐标的取值范围是（2 3 ，5）B.｜PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C. 圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D. △PFN周长的取值范围是（8，10）.11. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的()A.C的方程为x23-y2=1 B. C的离心率为 3C. 曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D. 直线x- 2 y-1=0与C有两个公共点12. （2019山东省实验中学高三月考）设分别是椭圆的左,右焦点,点在椭圆上,若为直角三角形,且,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设,:,:,若是的充分不必要条件,则的值可以是(只需填写一个满足条件的即可)14. 在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为______.15. 对于数列，定义数列满足：，且，，则__________.16. 数列的前项和为,满足,设,则数列的前项和为__________.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 已知：不等式的解集是；：是减函数．若∨为真，∧为假，求的取值范围．18. 设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．19. 已知数列是首项，公比的等比数列，设数列满足，，数列满足．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．20. 已知动点到两定点的距离之和为,且动点的轨迹曲线过点. (1)求的值; (2)若直线与曲线有不同的两个交点,且(为坐标原点),求的值.21. 已知椭圆的离心率为,抛物线的准线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点,分别是椭圆的左顶点、左焦点,直线与椭圆交于不同的两点、(、都在轴上方).且.证明:直线过定点,并求出该定点的坐标.22. 设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数. （1）求，的值；（2）求的表达式（用表示）.江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期高二数学检测（三）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 命题“”的否定（C）A. B.C. D.解：根据存在性命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定为命题“”，故选C．2. 已知命题使，命题，都有，给出下列结论：①命题“”是真命题②命题“”是假命题③命题“”是真命题④“”是假命题，其中正确的是（D）A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③解：∵，而，∴命题为假命题；∵，∴恒成立，即命题为真命题．所以“”是假命题；“”是假命题；“”是真命题；“”是真命题，所以正确的有②③，故D正确．选D3. “”是“”的(B )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 不必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件解：由解得，所以“”是“”的充分不必要条件.选B4. 命题“,都有”的否定是(B)A. ,使得B. ,使得C. ,都有D. ,都有解：命题“,都有”的否定是:,使得.选B 5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（D）A. B. C. D.解：由题意得，，，即，，又因为，所以根据余弦定理求得.选D6. 已知等比数列的前项和为,若,,则( D )A. B. C. D.解：,.选D7. 在等差数列中，，则数列前项和最大时，（C）A. B. C. D.解：因为，即，故，所以. 故选C.8. 在等差数列中,,,且,则使的前项和成立的中最大的自然数为(C)A. B. C. D.解：∵为等差数列,,,∴,又∵,∴即, 由,,故可得使的前项和成立的中最大的自然数为.选C二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 下列双曲线中,与共渐近线的是(C,D )A. B. C. D.解：的渐近线方程为,经检验C,D符合题意.选C,D10. 已知抛物线的焦点为,圆与抛物线交于,两点,点为劣弧上不同于,的一个动点,过点作平行于轴的直线交抛物线于点,则下列四个结论中正确的是(B,C,D)A. 点P的纵坐标的取值范围是（2 3 ，5）B.｜PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C. 圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D. △PFN周长的取值范围是（8，10）.解：易知抛物线的焦点,准线方程为,圆的圆心与抛物线的焦点重合,半径,如图.A项,由消去,得,解得或(舍),数形结合可知劣弧上的点的纵坐标的取值范围是,故A 项不正确;B项,因为点在抛物线上,所以过点作抛物线准线的垂线,垂足为,则由抛物线的定义可知,又直线与抛物线的准线垂直,所以,,三点共线,所以,故B项正确;C项,圆的圆心也是抛物线的焦点,所以圆到抛物线准线的距离为,故C项正确;D项,设点的纵坐标为,则由选项B可知,又抛物线的焦点就是圆的圆心,所以,所以的周长为,又,且当时,,,三点共线,不构成三角形,所以周长的取值范围是,所以D项正确.选B,C,D11. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的(A,C)A.C的方程为x23-y2=1 B. C的离心率为 3C. 曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D. 直线x- 2 y-1=0与C有两个公共点解：设双曲线方程为代入得,即,A正确;,,,B错;焦点在上,C正确; 联立可得,只有个交点,D错.选A,C12. （2019山东省实验中学高三月考）设分别是椭圆的左,右焦点,点在椭圆上,若为直角三角形,且,则椭圆的离心率是(A,B )A. B. C. D.解：由,,得到, 当为直角时,,即,; 当为直角时,,即,.选A,B三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设,:,:,若是的充分不必要条件,则的值可以是12（（0，1）的任意数均可） (只需填写一个满足条件的即可)解：由得,所以:,又,:,若是的充分不必要条件,则,,所以,满足题意的(的任意数均可).14. 在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为______.4解：由等比数列性质得,∴,∴,, ∴.15. 对于数列，定义数列满足：，且，，则__________.8解：由知数列是公差为的等差数列，又，所以，，解得.16. 数列的前项和为,满足,设,则数列的前项和为__________.1011解：由①,得时,,解得,时,②,由①②两式相减得:,即,∴,即是以为首项,以为公比的等比数列,∴.则,∴,则数列的前项和为.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分） 17. 已知：不等式的解集是；：是减函数．若∨为真，∧为假，求的取值范围．解：因为不等式的解集是，所以或，解得，即：.又是减函数，所以，即：， 又∨为真，∧为假，所以和一真一假． 即为真，为假；或为假，为真． ∴或或，得或. ∴的取值范围是或.18. 设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．解：（1）当时，， 即，解得；（2）由， 得，即，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列；（3）由（2）知，，即.数列是以为首项，为公差的等差数列，，即，数列的通项公式为.19. 已知数列是首项，公比的等比数列，设数列满足，，数列满足．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．解：（1）证明：由已知得，故数列为等差数列．（2）解：，．20. 已知动点到两定点的距离之和为,且动点的轨迹曲线过点. (1)求的值; (2)若直线与曲线有不同的两个交点,且(为坐标原点),求的值.解：(1)依题意,即知:曲线是以两定点为焦点, 长半轴长为的椭圆,所以, 设曲线的方程为,代入点, 解得,由,解得,所以.(2)由(1)知曲线的方程为, 设点,联立方程,消去得,,得,,, 则,得, 所以的值为.21. 已知椭圆的离心率为,抛物线的准线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点,分别是椭圆的左顶点、左焦点,直线与椭圆交于不同的两点、(、都在轴上方).且.证明:直线过定点,并求出该定点的坐标.解：(1)由题意可知,抛物线的准线方程为,又被椭圆截得弦长为, ∴点在椭圆上,∴,①又,∴, ∴,②,由①②联立,解得,. ∴椭圆的标准方程为:,(2)设直线,设,把直线代入椭圆方程,整理可得,,即, ∴,,∵,∵、都在轴上方.且,∴,∴,即, 整理可得,∴, 即,整理可得, 此时,且,∴直线为,∴直线过定点.22. （2018江苏）设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数. （1）求，的值； （2）求的表达式（用表示）.解：（1）记为排列的逆序数，对的所有排列，有， 所以. 对的排列，利用已有的的排列，将数字添加进去，在新排列中的位置只能是最后三个位置，因此，. 所以，3)2(3=f ，5)2(4=f（2）对一般的的情形，逆序数为的排列只有一个：，所以. 逆序数为的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以. 为计算，当的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此，. 当时，， 因此，当时，.。
江苏江浦高级中学21-22学度高二上阶段性检测-数学
江苏江浦高级中学21-22学度高二上阶段性检测-数学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答卷纸上对应横线上．．．．．．．．．） 1、命题 012>++∈∀x x R x ， 的否定为 ▲ 2、双曲线1222=-y x 的渐近线方程是 ▲3、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ▲4、直线02=+y x 被圆0152622=---+y x y x 截得的弦长等于 ▲5、若方程15922=-+-m y mx 表示椭圆，则实数m 的取值范畴是 ▲ 6、等轴双曲线的一个焦点是)0,6(1-F ，则其标准方程为 ▲7、已知命题p ：{0}φ⊆，q ：直线的倾斜角的取值范畴是[0,]π，由它们组成的“p q ∨”、“p q ∧”、“﹁p ”形式的新命题中，真命题的个数为 ▲ 8、双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为3，离心率为2，则双曲线C 的左焦点坐标是 ▲9、圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 ▲ 10、过点(3,2)-且与椭圆224936x y +=有相同焦点的双曲线的方程为 ▲11、两圆229x y +=与22286250(0)x y x y r r ++-+-=>相交，则r 的取值范畴是 ▲12、已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ▲13、下列四个命题①“,R x ∈∃112≤+-x x ”的否定；②“若,062≥-+x x 则2>x ”的否命题；③在ABC ∆中，“”是 30>A “21sin >A ”的充分不必要条件；④“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(z k k ∈=πϕ”。
江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高一上学期检测(一)数学试题
江苏省江浦高级中学2020-2021学年高一年级数学检测（一）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 已知{}A x x x R =≤∈∣，a =b = ） A. a A ∈且b A ∉ B. a A ∉且b A ∈C. a A ∉且b A ∈D. a A ∉且b A ∉B根据已知中{}A xx x R =≤∈∣，判断a b ，的值与a b ，与集合A 的关系.根据题意得：a ==>b ==<a A ∉，b A ∈；故选:B. 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，判断一个元素是否属于一个集合，关键是判断元素是否满足集合的条件．2. 若不等式2210mx x -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围为（ ） A. ()0,1 B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. (,1)-∞B易知0m =时不成立，故20240m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得答案. 易知0m =时不成立，故由题意可得20240m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m .故选：B. 本题考查了不等式恒成立问题，属于简单题. 3. 下列各组对象不能构成集合的是( ) A. 拥有手机的人 B. 某校高一(1)班成绩优秀的学生 C. 所有有理数 D. 小于π的正整数B根据集合元素“确定性”，可知B 项中的对象不符合集合的定义，而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项．对于A ，“拥有手机的人”其中的对象是明确的，能构成集合； 对于B ，“成绩优秀的学生”其中对象是不明确的，不能构成集合； 对于C ，“所有有理数”其中对象是明确的，能构成集合；对于D ，“小于π的正整数”其中对象是明确的，能构成集合.故选：B. 本题考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题.4. 下列不等式中，与不等式24322x x x +>-+的解集相同的是（ ）A. ()2(4)223x x x +-+>B. ()24322x x x +>-+C. 213224x x x >-++D. 222143x x x -+<+B由于2220x x -+>，故不等式等价于()24322x x x +>-+，进而得答案.解：因为()2222110x x x -+=-+>， 所以不等式24322x x x +>-+等价于()24322x x x +>-+.故选：B .本题考查不等式的性质，是基础题.5. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ）①{}{}2332≠，，； ②{}{}()11x y x y y x y ，+==+=； ③{}{}11x x y y >=>； ④{}{}11x x y y x y +==+=． A. 0 B. 1C. 2D. 3C∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立； {（x ，y ）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立； 由集合的性质知③④正确． 故选C ．6. 若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. 11a b> B.11a b a>- C. a b >D. 22a b >B由于0a b <<，利用函数单调性可以比较大小． 解：∵()10,a b f x x <<=在(,0)-∞单调递减，∴ 11a b>，故A 成立，不符合题意； ∵()10,0,a b a b a f x x<<>->=在(,0)-∞单调递减，∴11a b a <-，故B 不成立，符合题意； y x =在(,0)-∞单调递减，a b ∴>，故C 成立，不符合题意；∵()2f x x =在(,0)-∞单调递减，∴22a b >，故D 成立，不符合题意.故选：B ．本题考查由已知条件判断不等式是否成立，属于基础题.7. 设全集{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=∣，若1A B ∉，则B 等于（ ） A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5C首先根据题意得到1B ∈，从而得到140m -+=，再解方程即可得到答案. 因为1A B ∉，1B ∈，所以140m -+=，即3m =，所以{}{}24301,3B xx x =-+==∣.故选：C 本题主要考查集合的补集运算，属于简单题. 8. 设0m n <<，则“1mn >”是“11m n m n+<+”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充要条件 D. 即不充分也不必要条件C根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．1111m nm n m n m n m n n m mn-+<+⇔-<-⇔-<， 又0m n <<，∴0m n -<，∴111m n m n mn mn mn--<⇔>⇔>， ∴“1mn >”是“11m n m n+<+”成立的充要条件.故选：C. 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 由实数x ，x -，||x） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个AB按照0x >、0x =、0x <分类，即可得解.当0x >时，||0x x ==>，0x =-<，此时集合共有2个元素； 当0x =时，||0x x x ===-==，此时集合共有1个元素； 当0x <时，||0x x -==>，0x <，此时集合共有2个元素； 综上所述，此集合有1个或2个元素.故选：AB.本题考查了集合元素个数的求解，考查了分类讨论思想，属于基础题.10. 已知{}22,3,23U m m =+-，{}|1|,2A m =+，{}5UA =，则m 的值可以是（ ）A. -4B. -2C. 2D. 4AC根据集合的运算法则得到213235m m m ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得答案.由题可知213235m m m ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得2m =或4m =-，故选：AC .本题考查了根据补集的运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11. 下列范围满足不等式833x ≤+的有（ ） A. 3x ≤- B. 3x >-C. 13x ≥-D. 3x <-CD转化条件为3103x x +≥+，解分式不等式即可得解. 由833x ≤+可得8303x -≤+即3103x x +≥+， 则()()313030x x x ⎧++≥⎨+≠⎩，解得13x ≥-或3x <-.故选：CD.本题考查了分式不等式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 12. 已知a 、b 、c 、d 是实数，则下列一定正确的有（ ）A. ()2222a b a b ++≥ B. 12a a+≥C. 若11a b>，则a b < D. 若0a b <<，0c d <<，则ac bd >AD利用作差法可得A 正确；利用不等式的性质可得B 错误；举例可说明C 错误；利用不等式的性质可得D 正确．因为222222()111()02222a b a b a b ab a b ++-=+-=-≥，所以A 正确； 当0a <时，10a a+<，故B 错误； 当1a =，2b =-时，11a b>，但a b >，故C 错误；若0a b <<，0c d <<，则0ac >，0bd >，且1ab >，1cd >，所以1ac bd>，又0bd >，所以ac bd >，故D 正确；故选：AD本题考查不等式的性质的应用，考查作差法比较大小，属于基础题． 三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知关于x 的方程210x mx m -+-=的两根为1x ，2x ，且22125x x =+，则m =___________.1m =-或3m =由韦达定理得12x x m +=，121x x m =-，再结合22125x x =+得2225m m -+=，解方程即可得答案.根据韦达定理可得12x x m +=，121x x m =-，()22221212122225x x x x x x m m +=+-=-+=，解得1m =-或3m =，经检验1m =-或3m =都符合题意， 所以实数1m =-或3m =.本题考查二次方程根与系数的关系，考查运算能力，是基础题. 14. 命题p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0”，则¬p 为_____．∃x ∈R ，x 2﹣x+1≤0．试题分析：利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0”，则¬p 为：∃x ∈R ，x 2﹣x+1≤0． 故答案为∃x ∈R ，x 2﹣x+1≤0． 考点：命题否定．15. 命题“0x R ∃∈，使20420x x m ++=”为真命题，则实数m 的取值范围是__________. 2m ≤由题意知：2420x x m ++=有实根，利用0∆≥即可求出m 的值.∵0x R ∃∈，使200420x x m ++=为真命题，所以方程2420x x m ++=有实根， 则1680m ∆=-≥，解得2m ≤.故答案：2m ≤本题主要考查了已知命题真假求参数，属于中档题.16. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记作[k]，即[]{5|}0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=，．给出如下四个结论：①[]20110∈； ②-3[3]∈；③[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中正确的结论的序号为_______． ①③④ 试题分析：，，真；，，假；显然③真；若则,,则,若,则,，,④真.考点：集合的创新题型四、解答题（第17题12分，第18题10分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 写出下列命题的“p ⌝”命题，并判断它们的真假. （1）p ：任意x ，2440x x ++≥.（2）p ：存在0x ，2040x -=.(1) 存在200,440x x x ++<，为假命题；(2) 任意2,40x x -≠，为假命题. （1）（2）两小问都可以先写出命题的否定，再根据原命题的真假判非命题的真假. （1）因为p ：任意x ，2440x x ++≥.()224420x x x ++=+≥，故其为真命题.故p ⌝：存在200,440x x x ++<，为假命题；（2）因为p ：存在0x ，2040x -=.显然存在02x =±，故其为真命题.故p ⌝：任意2,40x x -≠，为假命题.本题考查含一个量词的命题的否定的求解，以及真假的判断，属综合基础题.18. 已知集合{}2320,A xax x a R =-+=∈∣．问是否存在a ，使 （1）A 中只有一个元素； （2）A 中至多有一个元素；（3）A 中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由． （1）存在，0a =或98a =；（2）存在，0a =或98a ≥；（3）存在，98a ≤.（1）考虑0a =和0a ≠两种情况，计算980a ∆=-=得到答案. （2）考虑A =∅或A 中只有一个元素，计算得到答案.（3）A 中至少有一个元素，即方程有解，考虑方程有一个解或者方程有两个解的情况，计算得到答案.（1）当0a =时，方程只有一解，即23x =； 当0a ≠，且980a ∆=-=，即98a =时，方程有两个相等的根，A 中只有一个元素. 综上所述：当0a =或98a =时，A 中只有一个元素. （2）A 中至多有一个元素，即A =∅或A 中只有一个元素.由（1）可知0a =或98a =时A 中只有一个元素， 而980a ∆=-<，即98a >时方程无解，A 为空集，综上所述：当0a =或98a ≥时，A 中至多有一个元素.（3）A 中至少有一个元素，即方程有解，0a ≠时，0∆≥，即98a ≤，其中98a =时，方程有两个相等的根，1243x x ==，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若98a <，方程有两个不相等的根，1x =，232x a+=，此时3322A a a ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭.0a =时，方程有根23x =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综上所述：98a ≤时，A 中至少有一个元素.本题考查了根据集合中元素的个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.19. 若方程()230x m x m +-+=的两根分别为1x 、2x .（1）若方程有两个正根，求实数m 的取值范围； （2）若方程有一正一负根，求实数m 的取值范围；（3）若方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，求实数m 的取值范围. （1）(]0,1；（2）(),0-∞；（3）(),0-∞.（1）利用判别式，两根之和与两根之积可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（2）利用判别式，两根之积可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围； （3）利用判别式，两根之积与两根之和可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.（1）由题意可得()()21212340300m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=-->⎨⎪=>⎩，解得：01m <≤，因此，实数m 的取值范围是(]0,1；（2）由题意可得()2123400m m x x m ⎧∆=-->⎪⎨=<⎪⎩，解得：0m <.因此，实数m 的取值范围是(),0-∞；（3）由题意可得()()21212340300m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪+=-->⎨⎪=<⎩，解得：0m <.因此，实数m 的取值范围是(),0-∞.本题考查利用二次方程根的分布求参数，考查计算能力，属于中等题. 20. 设全集U =R ,集合A {x |36x x ≤-≥或},B {x |214x -≤≤}(1)求如图阴影部分表示的集合;(2)已知{|21}C x a x a =≤≤+,若C B ⊆,求实数a 的取值范围．(1)(](),314,∞∞--⋃+;(2)[) 1,∞-+.试题分析：(1)根据韦恩图知表示为()A C U B ⋂，直接求解即可; (2)通过比较集合的端点值进行求解,但不要忽视空集的特殊情况． 试题解析：(1)阴影部分表示的集合为()(]()A C ,314,U B ∞∞⋂=--⋃+. (2) 当2a >a +1,,即a >1时,C =∅,成立; 当2a ＝a +1,即a ＝1时,成立;当21a a <+,即1a <时,114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩由得11a -≤<,综上所述,a 的取值范围为[)1,∞-+.21. 已知集合{}2210A xx ax =++=∣，{}24210B x x x =+-=∣. （1）求集合B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围. （1）{}7,3-；（2）11a -<<. （1）解一元二次方程即可；（2）由A B ⊆，按A φ=和A φ≠分类讨论即可.（1）∵{}24210B xx x =+-=∣，24210x x +-=的根为7,3-，∴{}7,3B =-； （2）∵A B ⊆，且集合{}2210A xx ax =++=∣，{}7,3B =-， 当A φ=时，2440a ∆=-<，∴11a -<<，满足题意；当A φ≠时，若{}7A =-，则2440214491a a ⎧∆=-=⎪-=-⎨⎪≠⎩，解得a φ∈，若{}3A =，则24402691a a ⎧∆=-=⎪-=⎨⎪≠⎩，解得a φ∈，若{}7,3A =-，则244024211a a ⎧∆=->⎪-=-⎨⎪-≠⎩，解得a φ∈，综上：11a -<<.本题考查了一元二次方程的运算，以及集合的包含关系求参数的问题，属于基础题．22. 已知由实数组成的集合A 满足：若x A ∈则11A x∈-. （1）设A 中含有3个元素，且2A ∈，求A ； （2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由.（1）12,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）不能，答案见解析.（1）将2x =，1x =-，12x =代入集合计算得到答案. （2）设A 中仅含一个元素，不妨设为a ，得到11a a=-，方程无解，得到答案.（1）因为2A ∈，所以1112A =-∈-，又1A -∈，所以111(1)2A =∈--，即12A ∈， 故12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2）假设A 中仅含一个元素，不妨设为a ，则a A ∈，有11A a∈-. A 中只有一个元素，所以11a a=-，即210a a -+=，此方程∆<0，即方程无实数根， 因此不存在这样的a .本题考查了集合的元素个数问题，求集合中的元素，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
江苏省江浦高级中学2020-2021学年高一数学上学期检测试题(一)
某某省江浦高级中学2020-2021学年高一数学上学期检测试题〔一〕一、选择题〔每一小题5分，共8小题40分〕1. },23|{R x x x A ∈≤=，52=a ，32=b ，如此( )A.A b A a ∉∈且B. A b A a ∈∉且C. A b A a ∈∉且D. A b A a ∉∉且2. 假如不等式0122>+-x mx 的解集为R,如此实数m 的取值X 围为( ) A.(0,1)B. 〔1，+∞〕C. 〔0，+∞〕D. 〔-∞，1〕3. 如下各组对象不能构成集合的是( )A. 拥有手机的人B. 某校高一(1)班成绩优秀的学生C. 所有有理数D. 小于的正整数4. (2017某某晋中市高一下期末)如下不等式中,与不等式32242>+-+x x x 的解集一样的是() A. B. C. D.5. 下面关于集合的表示正确的个数是( )①2}{33}{2，，≠②}1|{}1|),{(=+==+y x y y x y x③}1|{}1|{>=>y y x x ④}1|{}1|{=+==+y x y y x x .A. 0B. 1C. 2D. 36. 假如0<<b a ,如此如下不等式中错误的答案是( )A. a b a 11>- B. b a 11> C.||||b a > D. 22b a >7. 设全集A={1，2，4}，B={x|x 2-4x+m=0},假如B C 1A ∉,如此B 等于( )A.{1,-3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}8. 设n m <<0,如此“1>mn 〞是“n n m m 11+<+〞成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件二、多项选择题〔每一小题5分，共4小题20分〕9. 由实数332,|,|,,x x x x x --,组成的集合中,元素的个数可能为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. }32,3,2{2-+=m m u ,}2|,1{|+=m A ,}5{=A C U ,如此m 的值可以是( ) A. -4B. -2C. 2D. 411. 如下X 围满足不等式338≤+x 的有( ) A. 3-≤x B. 3->x C. 31-≥x D. 3-<x 12. d c b a ,,,是实数,如此如下一定正确的有( )A. B. C. 假如,如此 D. 假如,,如此三、填空题〔每一小题5分，共4小题20分〕13. 关于x 的方程x 2-mx+m-1=0的两根为x 1,x 2,且x 12+x 22=5,如此m=__________.14. 命题01,:2>+-∈∀x x R x p ，如此命题p ⌝是__________ 15. 命题“024,0200=++∈∃m x x R x 使〞为真命题,如此实数m 的取值X 围是__________. 16. 在整数集Z 中,被5除所得余数为K 的所有整数组成一个“类〞,记作[k],即[k]={5n+k|n ∈Z,k=0,1,2,3,4,.给出如下四个结论:①2015∈[0];②-3∈[3]; ③[z]=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a,b 属于同一‘类’〞的充要条件是“a-b ∈[0]〞. 其中正确的结论的序号为__________.四、解答题〔第17题12分，第18题10分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分〕17. (2019某某省北大附某某实验学校高二期末(文))写出如下命题的“p ⌝〞命题,并判断它们的真假.(1)044:2≥++x x x p ，任意: (2)04:200=-x x p ，存在.18. 集合},023|{2R a x ax x A ∈=+-=．问是否存在a ，使〔1〕A 中只有一个元素；〔2〕A 中至多有一个元素；〔3〕A 中至少有一个元素．假如存在，分别求出来；假如不存在，说明理由．19. 假如方程0)3(2=+-+m x m x 的两根分别为x 1,x 2, (1)假如方程有两个正根,某某数m 的取值X 围;(2)假如方程有一正一负根,某某数m的取值X围. (3)假如方程有一个正根,一个负根,且正根绝对值较大,某某数m的取值X围.20. 设全集U=R,集合A={x|x≤-3或x≥6},B={x|-2≤x≤14}.(1)求如图阴影局部表示的集合(2)C={x|2a≤C⊆,某某数a的取值X围.x≤a+1},所以BA⊆，某某数a的取值X围.21. 集合A={x|x2+2ax+1=0},B={x|x2+4x-21=0}. (1)求集合B；(2)假如B22. 由实数组成的集合A满足:假如x∈A如此11-x∈A. 〔1〕设A中含有3个元素，且2∈A，求A；〔2〕A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由.。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期期中调研测试高二数学(含解析)
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为A ．3B ．13 C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x29＋y2m＝1与双曲线T ：x 2－y2m＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 37．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为A ．292 B ．29 C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为A ．3－1B ．5－1C ．3＋1D ．5＋1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x24＋y22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个 C ．距离坐标为(1，2)的点有4个N（第11题）OMPl 2l 1 （第6题）C 1（第7题）ABCB 1OD ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________． 14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐．．（第12题）标．为▲________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小． 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．DBB 1A 1（第19题）C 1AC（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足ON→＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．1【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】由题意抛物线p 的几何意义为焦点到准线的距离，而该题中2p =2，所以p =1，故答案选B.2【答案】B【考点】空间向量共线的坐标运算（第21题）PABCDE（第22题图）【解析】由题意a ∥b ，则412432⨯-=-⨯=-n m ，，解得26=-=n m ，，所以m +n =－4；或利用空间向量共线定理可得a =λb ，即3×－2=m ，－1×（－2）=n ，解得26=-=n m ，，依旧有：m +n =－4，故答案选B.3【答案】D【考点】三角函数恒等变换公式的应用【解析】由题意()θθπθcos 2cos 2sin -=-=，则2tan -=θ， 所以tan(θ+π4 )=()()312121tan 1tan 1-=---+=-+θθ，故答案选D. 4【答案】D【考点】椭圆及双曲线的几何性质【解析】由题意9－m =1+m ，解得m =4，所以双曲线标准方程为1422=-y x ，则其渐近线方程为x x aby 2±=±=，故答案选D. 5【答案】A【考点】圆的标准方程及圆的性质【解析】由题意可解得A(4，0)，B(0，2)，且由圆心在y 轴上可设圆C 的圆心为(0，m )，因为圆C 经过A ，B ，所以|CA|=|CB|，即()r m m =-=+22224，化简解得m =－3，则圆C 的半径为5，所以圆C 的标准方程为()22253=++y x ，化为一般方程为：x 2＋y 2＋6y －16＝0 ，故答案选A.6【答案】D【考点】空间想象能力与椭圆的几何性质【解析】由题意可知椭圆的长轴长为Rt 三角形中的斜边，且一个直角边为底面直径，斜边与底面的夹角为60°，则解得长轴长为860cos 4=︒，而椭圆的短轴为底面的直径4，则椭圆的焦距为3424282222222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=b a c ，故答案选D.7【答案】A【考点】空间向量基本定理（线性运算）、模长的求法【解析】由题意可知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，→→→→→+=+=121CB AC CO AC AO⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→121BB CB AC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→121AA AC AB AO ，则21241⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AA AC AB AO 22112122241241212121414141⋅+⋅=⋅+++⋅+++=→→→→→→→→→AA AC AA AB AC AB AA AC AB 42960cos 322160cos 3221341241241222=︒⋅⋅⋅+︒⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=，解得229=→AO ， 故答案选A.8【答案】C【考点】双曲线的几何性质应用：求离心率【解析】由题意可知|OF |=c ，由四边形OFMN 为菱形，可得|MN |=|OF |=c ，设点M 在F 的上方，可知M 、N 关于y 轴对称，可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-232c c M ，，代入双曲线方程可得：12322222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b c a c ，又由222c b a =+，化简可得0842244=-+c a a c ，方程两边同除4a ，可得8424=-+e e ，解得3242+=e ，因为1>e ，解得324+=e ()13312+=+=，故答案选C.9【答案】BC【考点】立体几何的位置关系：平行与垂直【解析】由题意，对于A 选项，β⊂m 也可以满足，选项A 错误；对于B 选项，可由线面垂直的性质定理证明，选项B 正确；对于C 选项，可由面面垂直的判定定理证明，选项C 正确；对于D 选项，α与β可以是任意关系：平行、垂直、相交，选项D 错误.故答案选BC.10【答案】ABC【考点】椭圆的几何性质：焦点三角形【解析】由题意，c =2，2a =4，由椭圆的定义可得：AF 1＋AF 2＝4，则有： ①若221π=∠AF F ，则有()()()222212c AF AF =+，联立解得AF 1＝2；②若221π=∠F AF ，则有()()()222212AF c AF =+，联立解得AF 1＝1；③若212π=∠F AF ，则有()()()212222AF AF c =+，联立解得AF 1＝3；故答案选ABC.11【答案】ABC【考点】直线与直线的位置关系及对称问题【解析】由题意，对于A 选项，距离坐标(0，0)的点是l 1与l 2的交点，即点O ，只有一个，选项A 正确；对于B 选项，距离坐标为(0，1)的点分别在l 2上方和下方，有2个点，选项B 正确；对于选项C ，距离坐标为(1，2)的点可由距离l 1为1的直线有两条，距离l 2为2的直线有两条，其四条直线共有4个交点，可满足题意，选项C 正确；对于D 选项，距离坐标为(x ，x )的点在l 1与l 2的角平分线上，有两条直线满足，选项D 错误.故答案选ABC.12【答案】ACD【考点】空间几何体的体积、外接球半径的计算、空间角的计算 【解析】由题意该立方八面体可看作是由棱长为2的立方体切去8个角得到，则呈现完全对称性，且外接球的球心为该立方八面体的中心，由勾股定理可得外接球半径为1，则直径为2，即选项A 、D 正确；对于选项B ，棱A 2A 3与B 2C 3不共面，则A 2A 3与B 2C 3所成的角即为A 2A 3与B 2A 3所成的角，可得为60°，所以选项B 错误；对于选项C ，该立方八面体的体积可利用割补法解得=V ()3252221318223=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-，选项C 正确.故答案选AC D.13【答案】2【考点】平行直线的判断及两平行线间的距离公式【解析】由题意可得－(a －3)×1=2a ，解得a =1，则直线l 1：x ＋y ＝0，直线l 2：x +y －2＝0，由平行线距离公式得222==d . 14【答案】29-【考点】空间向量得坐标运算【解析】由题意()a a AB -+=→，，11，()a a AC --+=→210，，，()201--=→，，BC ，所以()()()0924212014112=--=+--=--⋅+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→a a a a BC AC AB ，，，，，解得29-=a . 15【答案】4π【考点】立体几何中三棱锥的外接球【解析】由题意∠ACB =90°，则取PB 的中点为点O ，可得OA=OB=OP=OC ，即O 为球心，则其半径121212122222=++=+==BC AC PA AB PA PB R ，则其表面积ππ442==R S .另解：可把该三棱锥补成长宽高分别是1，2，1的长方体，则其体对角线为外接球的直径可求得()πππ412142222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==R S .16【答案】()214365--=x y ；13140 【考点】抛物线的实际问题【解析】由题意可知拱桥为以原点为顶点的抛物线，且经过点C (20，－5)，可设拱桥所在抛物线的方程为2ax y =，带入点C 可解得801-=a .而溢流孔ABC 是以点B (14，0)可解得为顶点的抛物线，也经过点C (20，－5)，则设溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214-=x b y ，代入点C 可解得365-=b ，所以溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214365--=x y 。
江苏省江浦高级中学高二年级数学检测(一)
江苏省江浦高级中学高二年级数学检测〔一〕一、选择题〔每题5分，共8小题40分〕1. 过点〔1，-2〕的抛物线的标准方程是〔 〕A.x y 42=或y x 412=B. x y 42=C.x y 42=或y x 212-=D. y x 212-= 2. 向量a →=〔4，3，0〕，b →=〔-3，4，5〕,那么a →与b →的夹角为( ). A. B. C. D.3. 〔2021全国II 文〕F 1、F 2是椭圆C 两个焦点，P 是C 上的一点，假设PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=600，那么C 的离心率为〔 〕A. 23-1B. 3-2C. 21-3 D. 1-3 4. 〔2021全国Ⅰ文〕F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是〔1，3〕.那么△APF 的面积为( ) A.13 B. 12 C.23 D. 325. 圆)04-(02222>+=++++F E D F Ey Dx y x 关于直线1-=x y 对称，那么( )A. D+E=2B. D-E=-1C.D-E=-2D.D +E=16. n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同平面，以下命题中错误的选项是( )A. 假设，那么 B. 假设，，那么 C. 假设，，那么 D. 假设，那么 7. πβπα<<<<20，又53sin =α,53)sin(=+βα，那么βsin 等于( ) A. B.0或2524C. 2524D. 2524± 8. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=900,侧棱AA 1=2,D,E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G,那么点A 1到平面ABD 的距离为〔 〕A. 36B.362 C. 35D. 352 二、多项选择题〔每题5分，共4小题20分〕9. 在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a ,假设bc c b a 2222-+=,且B=2A,那么△ABC 不可能为( )A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10. 4,2==c a ，那么双曲线的标准方程为( )A.112422=-y x B. 141222=-y x C. 112422=-x y D. 141222=-x y11. 向量a →=〔-2，-3，1〕，b →=〔2，0，4〕，c →=(-4,-6,2),那么以下结论正确的选项是( ) A.a →||b →B. a →||c →C.a →⊥b →D. a →⊥c →12. 设F 1、F 2是双曲线)0b ,0(12222<>=-a by a x 的左、右焦点,点P 在双曲线上,假设PF 1→·PF 2→=0, 且|PF 1→|·|PF 2→|=2ac (c 为双曲线的半焦距),那么以下选项不符合双曲线离心率的是( )A. 221+B. 3C. 2D. 251+ 三、填空题〔每题5分，共4小题20分〕13. a →=〔1，3，m 〕，b →=〔2n ，6，-4〕，,假设a →||b →,那么a →•b →=__________. 14. 过点(0,-3)的直线与抛物线x 4y 2=只有一个公共点，那么直线l 的方程为__________.15. 椭圆C:)0b (12222>>=+a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c.假设直线)(3c x y +=与椭圆C 的一个交点M 满足1221F MF 2F MF ∠=∠，那么该椭圆的离心率等于__________. 16. 如图，一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东300方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东750方向，且与它相距nmile 28．此船的航速是__________.四、解答题〔第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分〕17. 直线0543=--y x 与 圆O ：25)1()2(22=-+-y x 相交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．18. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，F ，G 分别是棱CC 1，AA 1的中点，E 为棱AB 上一点，B 1M →=3MA 1→ 且GM||平面B 1EF.〔1〕证明：E 为AB 的中点； 〔2〕求平面B 1EF 与平面ABC 1D 1所成锐二面角的余弦值.19. 函数)(cos 2cos sin 2)(2R x x x x x f ∈+=(1)求)(x f 的最小正周期，并求)(x f 的最小值；(2)令1)8()(-+=πx f x g ，假设2)(-<a x g 对于]3,6[ππ-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 20. 椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在X 轴上,离心率为23,两个焦点分别为F 1和F 2,椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.圆1C :)(0214222R k y kx y x ∈=--++的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程.(2)求21F F A k ∆的面积21. 正方形ABCD 的边长为2，O =BD AC ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使a =AC ，得到三棱锥A-BCD ，如以下图所示． 〔1〕当2=a 时，求证：AO ⊥平面BCD ； 〔2〕当二面角A-BD-C 的大小为1200时，求二面角A-BC-D 的平面角的正切值.22. 椭圆)0b (12222>>=+a by a x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,且4||21=A A ,P 为椭圆上异于1A ,2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为43-． 〔1〕求椭圆C 的标准方程； 〔2〕设O 为椭圆中心，N M ,是椭圆上异于顶点的两个动点〔直线MN 不过原点〕，求OMN ∆面积的最大值．。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期高二期中数学模拟试卷(1)
南京市2020～2021学年度第一学期期中调研模拟卷高 二 数 学 2020.10一、单选题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分）1．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ▲ ）A B ．2C ．4D ．2．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ▲ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ．④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（ ▲ ） A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）A ．1312B C D 5．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ▲ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．6．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ▲ ）A ．3B ．3C ．3D ．37．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是（ ▲ ）A B ．2C ．23D ．348．过抛物线216y x =焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆与直线13x =相切，则直线l 的方程为（ ▲ ）A ．y =-y =-+B ．416y x =-或416y x =-+C ．28y x =-或28y x =-+D ．4y x =-或4y x =-+二、多选题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分） 9．已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（ ▲ ） A ．tan 0θ< B ．24tan9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin20θ>10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <11．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ） A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为64C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN =12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）13．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =▲ .14．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ .16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是 ▲ ；若直线l 过点F ，则k = ▲ . 四、解答题（本大题共6 小题，共 78 分）17．（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.已知 ▲ ，计算ABC 的面积.请①7a =，②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P . （1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点()2,0A，()2,0B -，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M 、N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．20．（14分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==． （Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是22．21．（14分）已知点P 是抛物线21:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线1C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆222:143x y C +=于C 、D 两点，1S 、2S 分别是PAB △、PCD 的面积，求12S S 的最小值.22．（16分）已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：0x y -=截得的弦长为27. （1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ. ①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1．B2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．AB 10．BC 11．ABC 12．BCD 13．23π14．15116．24x y = ±17．答案不唯一，见解析 18．（1）15（2）13-19．（1）()22102x y y +=≠；（2）10x y --=或10x y +-=． 20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．21．（1）定点坐标为()1,0，证明见解析；（2）43. 22．（1）()()22139x y -+-=；（2）①()()22551x y -+-=，Γ是圆；②存在， 4949,1010D ⎛⎫⎪⎝⎭.。
江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期高一年级数学检测(三)
,
,
, 判 断 与 的 关 系 ; (3) 当
时,若函数
的值域为
,求实数 , 的值.
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坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上，其中 与发射
方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略
其大小)，其飞行高度为 千米，试问它的横坐标 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
22. 已 知 函 数
为 偶 函 数 . (1) 求 实 数 值 ; (2) 记 集 合
,
,则
A.
B.
C.
D.
4. 命题“
”的否定是( )
A. x0 R, x02 3x0 1 0 B. x0 R, x02 3x0 1 0
C. x R, x2 3x 1 0 D. x R, x2 3x 1 0
的解集是（ ）
5. 设全集 是实数集 ,
与
都是 的子集(如图所示),则阴影部分所
人参加球类.同时参加游泳和田径的有 人,同时参加游泳和球类的有 人,则只参加一个项目的有
__________人.
16. 已知函数 是 上的奇函数，且
为偶函数．若
，则
__________．
四、解答题（每小题 12 分，共 6 小题 72 分）
17. 已知集合
，
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， (1)求集合 , (2)若
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数
,则不等式
的解集不正确的为(
)
A.
B.
C.
D.
三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）