初等数论中的几个重要定理(竞赛必备)
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛数论定理数论是数学的一个重要分支，它研究的是整数之间的性质和关系。
在中学阶段数学竞赛中，数论是一个必考的难点，其中数论定理是必须掌握的内容。
下面就来讲述一下中学数学竞赛中常考的数论定理。
1. 质数分解定理任意一个自然数都可以唯一分解成若干个质数的积。
例如，24=2×2×2×3，而28=2×2×7。
在数论中，质数是自然数中只能够被1和其本身整除的数，2、3、5、7、11、13、17等等都是质数。
而将一个自然数n分解成若干个质数的积，又称为n的质因数分解式。
2. 最大公约数定理对于任意两个自然数a和b（a≠0或b≠0），有：它们的最大公约数（Greatest Common Divisor，缩写为GCD）等于它们的公因数中最大的一个。
例如，GCD（18，24）=6，因为18的因数有1、2、3、6、9和18，而24的因数有1、2、3、4、6、8、12和24，它们的公因数有1、2、3和6，而其中最大的一个就是6，即GCD（18，24）=6。
4. 模运算定理（欧拉定理）当a和n是互质的正整数时，有a^(φ(n)) ≡ 1(mod n)，其中φ(n)代表n的欧拉函数，即小于n的正整数中与n互质的数的个数。
例如，当a=2、n=3时，φ(n)=2，有2^(φ(n))=2^2=4，而4-1=3是3的倍数，因此2^(φ(n)) ≡ 1(mod n)，即2^(φ(n)) ≡ 1(mod 3)。
5. 费马小定理当p是一个质数，a是一个正整数时，有a^(p-1) ≡ 1(mod p)。
以上就是中学数学竞赛中常考的数论定理。
掌握好这些定理，将有利于解决数论问题。
初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA ＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
海伦（Heron）公式：塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。
密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2 B3于A3 B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：已知在△ ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
初等数论定理
初等数论1. 整除性质a) 若a|b，a|c，则a|(b±c)。
b) 若a|b，则对任意c，a|bc。
c) 对任意非零整数a，±1|a，±a|a。
d) 若a|b，b|a，则|a|=|b|。
e) 如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。
f) 如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。
g) 如果a∣b且b∣c，则a∣c。
h) 如果c∣a且c∣b，则c∣ua+vb，其中u，v是整数。
i) 对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
j) 若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。
若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。
若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。
累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
又称欧几里得算法。
2. 带余除法a) 对于a，b两个整数，其中b≠0，则存在唯一q，r使得：a = bq+r，0 ≤ r< |b|．r称为a被b除得到的余数．显然当r = 0时，b∣a．3. 最大公约数设a，b是两个整数，如果整数c∣a且c∣b，则c称为a，b的公因子．设c>0是两个不全为零的整数a，b的公因子，如果a，b的任何公因子都整除c，则c称为a，b的最大公因子，记为c= (a，b)．a) (a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)b) (0,a)=ac) 设a，b是两个不全为零的整数，则存在两个整数u，v，使(a，b)= ua+vb．4. 欧几里德除法（辗转相除法）：已知整数a，b，记r0=a，r1=b，r0=q1r1+r2，0 ≤r2＜r1=b;r1=q2r2+r3，0 ≤r3＜r2;…r n-2=q n-1r n-1+r n，0 ≤r n＜r n-1;r n-1=q n r nf) 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数，特殊地,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)g) 幂运算如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)h) 如果a ≡ b (mod m)，且d∣m，d是正整数，则a ≡ b (mod d)i) 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数j) 推论如果a1≡b1 (mod m)，a2≡b2 (mod m)，则a1x+ a2y≡b1x+ b2y (mod m)，其中x，y是任意整数．a1n=b1n(mod m)，其中n是正整数．f(a1) ≡f(b1) (mod m)，其中f(x)是任一给定的整系数多项式：f(x) = c0+ c1x+…+c k x k．10. 威尔逊定理若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。
第五节初等数论中的几个重要定理
第五节 初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。
并定义},,2,1{)(m s m ==ϕ中和m 互质的数的个数，)(m ϕ称为欧拉（Euler ）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=ϕ，而对于1>m ，)(m ϕ就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ϕ。
引理：∏⋅=为质数）－（P |P 11)(mP m m ϕ；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ϕ= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤∀，于是对每个s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ，使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a sj j s j j s ∏∏==≡。
1),(1=∏=sj j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证毕。
分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡ϕ，我们得设法找出)(m ϕ个n 相乘，由)(m ϕ个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ϕ的个数：)(21,,,m a a a ϕ ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ϕ 也是与m 互质的)(m ϕ个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ ≡)(21,,,m aa aa aa ϕ ≡)(m a ϕ)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ （m mod ），而（)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ m ）＝1，故)(mod 1)(m am ≡ϕ。
初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛中常用的数论定理：
1. 质数与因数：任何一个整数都可以唯一分解成若干质数的乘积，而且所有的因子都由这些质因子的指数作出来。
2. 最大公因数和最小公倍数：两个正整数a和b的最大公因数和最小公倍数分别记作gcd(a,b)和lcm(a,b)。
它们有许多重要性质可以应用。
3. 素性质数列：素数可以用许多方式列举出来，例如欧拉函数、Wilson定理、费马小定理等等。
其中一些方法在竞赛中比较常用。
4. 同余定理：如果a和b除以正整数m的余数相同，即
a≡b(mod m)，那么a和b就被称为模m同余。
同余关系具有传递性、对称性和反对称性，可以用来证明各种数学恒等式和不等式。
5. 等比数列：等比数列指的是一个数列中每个数都是前一个数乘以一个固定的比例因子。
一些有用的定理包括调和平均值不小于几何平均值、柯西不等式等等。
6. 解方程：竞赛中常常需要解各种复杂的方程，例如二次方程、方程组、移项变系数、绝对值不等式等等。
有些常见的技巧包括配方法、因式分解、代数恒等式、三角变换等等。
36-初中数学竞赛中常用重要定理 (1)
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、 E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线。
3、 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则1=••PACPNC BN MB AM4、 塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的 边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PACPNC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
5、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+ 6、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有ACABDC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ， 则有ACABDC BD =7、 托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P 9、 正弦定理、在△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;10、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ， PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线。
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初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而
也是与互质的个数，且两两余数不一样，故
（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系
是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则
由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；
若，，则，，故对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式
（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：
，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：
这里，，以及满足，（即为对模的逆）。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。
（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式
定理5：
是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。
另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到
意想不到的作用，如：，。
这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。
典例分析
例1.设，求证：。
证明：因为，故由知，从而，但是
，故由欧拉定理得：，，从而；同理，。
于是，，即。
注明：现考虑整数的幂所成的数列：若有正整数使，则有，其中；
因而关于，数列的项依次同余于这个数列相继的项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。
如下例：
例2．试求不大于100，且使成立的自然数的和。
解：通过逐次计算，可求出关于的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：
因而通项为的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：
3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………
类似地，经过计算可得的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：
7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………
于是由上两式可知通项为的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：
3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………
这就表明，当时，当且仅当时，，即；又由于数列的周期性，故当时，满足要求的只有三个，即
从而当时，满足要求的的和为：
.
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：
例3．求证：对于任意整数，是一个整数。
证明：令，则只需证是15的倍数即可。
由3，5是素数及Fetmat小定理得，，则
；
而（3，5）=1，故，即是15的倍数。
所以是整数。
例4．求证：（为任意整数）。
证明：令，则；
所以含有因式
由Fetmat小定理，知13|7|
又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=能整除。
例5．设是直角三角形的三边长。
如果是整数，求证：可以被30整除。
证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。
若2 ，2 ，2 c，则，又因为矛盾！
所以2|.
若3 ，3 ，3 c，因为，则
，又，矛盾！从而3|.
若 5 ，5 ，5 c，因为，，所以或0(mod5)与矛盾！
从而5|.
又(2,3,5)=1，所以30|.
下面讲述中国剩余定理的应用
例6．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。
证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的素数，而考虑同余组①
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
于是，连续个数分别被平方数整除。
注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。
（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数
两两互素，故将①中的转化为后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。
例7．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都不是幂数。
分析：我们来证明，存在连续个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幂数。
证明：取个互不相同的素数，考虑同余组
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
对于因为，故，但由①式可知，即在的标准分解中恰好出现一次，故都不是幂数。
例8．设是给定的偶数，且是偶数。
证明：存在整数使得，且。
证明：我们先证明，当为素数幂时结论成立。
实际上，能够证明，存在使
且：
若，则条件表明为偶数，此时可取；
若，则与中有一对满足要求。
一般情形下，设是的一个标准分解，上面已经证明，对每个存在整数使得且，而由中国剩余定理，
同余式①有解，
同余式②有解。
现不难验证解符合问题中的要求：因，故，
于是，又由①②知，
故。
注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数的问题，化为为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。