1n阶行列式
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n 阶行列式的定义与性质
是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例1
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12
2 x1 x2 1
解
因为 D
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
记号
a11
a12
a21 a22
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
12
记
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
(1)
( j1 j2 j3 j4 j5 )
(1)
t
上述结论对n级排列也适用。
24
任一n级排列 j1 j2 ... jn可经上述方法对换变成1,2,…n 设n级排列 j1 j2 ... jn 经过t次对换变成1,2，…n 显然1,2…n为偶排列，因此
如果 j1 j2 ... jn 是奇（偶）排列，则t必为奇（偶）数
3-1 n阶行列式的概念
第三章 n阶行列式 阶行列式
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
第一节 n 阶行列式
7
§1.1
数域与n 排列 数域与n元排列
研究行列式需要数域和排列，为此， 研究行列式需要数域和排列，为此，我 们先讨论数域和排列. 们先讨论数域和排列.
一、数域
前家知道：数是数学的一个最基本的概 前家知道： 绝前多数计算最终都归结为数的代数运算. 念，绝前多数计算最终都归结为数的代数运算. 又研究某些问题， 又研究某些问题，常与研究对象的取值范围有 关，如方程 x 2 + 1 = 0 在有理数范围和实数范围均无解， 在有理数范围和实数范围均无解，但在复数 x 范围有解： 范围有解： = ±i
a11 a 21
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 . a 22
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， 称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， (determinant) a 纵排叫列， 叫行列式的元素， 纵排叫列， ij叫行列式的元素，元素aij 的第一个 下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 16
a11 x1 + a12 x 2 = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
15
当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0时，
用加减消元法可求得它的唯一解： 用加减消元法可求得它的唯一解： b1 a 22 − b2 a12 b2 a11 − b1 a 21 x1 = , x2 = a11a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21 为了便于记忆，引入记号 为了便于记忆，
定义1.3 在一个 级排列 1i2…in中, 如果有较前的数 t 在一个n级排列 级排列i 如果有较前的数i 定义 排在较小的数i 前面(i 则称i 构成一个逆序 逆序. 排在较小的数 s前面 s<it), 则称 t与is构成一个逆序 一个 n级排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为 1i2…in). 级排列中逆序的总数, 逆序数, 级排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为t(i 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排 奇排列 偶排列. 列称为偶排列 列称为偶排列. 交换一个排列中某两个数的的位置而 11 其余数的保持不动的变换称为对换 对换. 其余数的保持不动的变换称为对换.
§1.1
数域与n 排列 数域与n元排列
研究行列式需要数域和排列，为此， 研究行列式需要数域和排列，为此，我 们先讨论数域和排列. 们先讨论数域和排列.
一、数域
前家知道：数是数学的一个最基本的概 前家知道： 绝前多数计算最终都归结为数的代数运算. 念，绝前多数计算最终都归结为数的代数运算. 又研究某些问题， 又研究某些问题，常与研究对象的取值范围有 关，如方程 x 2 + 1 = 0 在有理数范围和实数范围均无解， 在有理数范围和实数范围均无解，但在复数 x 范围有解： 范围有解： = ±i
a11 a 21
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 . a 22
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， 称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， (determinant) a 纵排叫列， 叫行列式的元素， 纵排叫列， ij叫行列式的元素，元素aij 的第一个 下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 16
a11 x1 + a12 x 2 = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
15
当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0时，
用加减消元法可求得它的唯一解： 用加减消元法可求得它的唯一解： b1 a 22 − b2 a12 b2 a11 − b1 a 21 x1 = , x2 = a11a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21 为了便于记忆，引入记号 为了便于记忆，
定义1.3 在一个 级排列 1i2…in中, 如果有较前的数 t 在一个n级排列 级排列i 如果有较前的数i 定义 排在较小的数i 前面(i 则称i 构成一个逆序 逆序. 排在较小的数 s前面 s<it), 则称 t与is构成一个逆序 一个 n级排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为 1i2…in). 级排列中逆序的总数, 逆序数, 级排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为t(i 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排 奇排列 偶排列. 列称为偶排列 列称为偶排列. 交换一个排列中某两个数的的位置而 11 其余数的保持不动的变换称为对换 对换. 其余数的保持不动的变换称为对换.
09级第1章行列式n阶行列式
证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
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1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
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*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )
N阶行列式 01
= −4( −7 + 5) = 8
按不同的行或列,展开的结果是一样的 按不同的行或列 展开的结果是一样的. 展开的结果是一样的 行列式按零元素较多的行(列 展开比较简便 行列式按零元素较多的行 列)展开比较简便
※降阶展开法可以应用到n阶行列式 降阶展开法可以应用到 阶行列式
a11 a12 a 22 L a1 n L a2n O M a nn .
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负. 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负
例 6 计算上三角形行列式 A. =
解: 将n阶上三角形行列式按第一列元素降阶展开 后,再按同一方法继续下去,可得:
a11 A= a12 a 22 L a1n L a2 n O M a nn
a 22 = a11 ( −1)1+1 L a2 n O M + 0 +L+ 0 a nn
A22 = a11
A=
a11 a 21
a12 a 22
= a11a 22 − a12 a 21
= a21 A21 + a 22 A22
二阶行列式也可表示成它的第二行各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和. 应的代数余子式的乘积之和 归纳:二阶行列式可表示成它的任意一行 列 各元 归纳 二阶行列式可表示成它的任意一行(列)各元 二阶行列式可表示成它的任意一行 素与其对应的代数余子式的乘积之和. 素与其对应的代数余子式的乘积之和
a i −12 L a i −1 j −1 a i −1 j
按不同的行或列,展开的结果是一样的 按不同的行或列 展开的结果是一样的. 展开的结果是一样的 行列式按零元素较多的行(列 展开比较简便 行列式按零元素较多的行 列)展开比较简便
※降阶展开法可以应用到n阶行列式 降阶展开法可以应用到 阶行列式
a11 a12 a 22 L a1 n L a2n O M a nn .
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负. 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负
例 6 计算上三角形行列式 A. =
解: 将n阶上三角形行列式按第一列元素降阶展开 后,再按同一方法继续下去,可得:
a11 A= a12 a 22 L a1n L a2 n O M a nn
a 22 = a11 ( −1)1+1 L a2 n O M + 0 +L+ 0 a nn
A22 = a11
A=
a11 a 21
a12 a 22
= a11a 22 − a12 a 21
= a21 A21 + a 22 A22
二阶行列式也可表示成它的第二行各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和. 应的代数余子式的乘积之和 归纳:二阶行列式可表示成它的任意一行 列 各元 归纳 二阶行列式可表示成它的任意一行(列)各元 二阶行列式可表示成它的任意一行 素与其对应的代数余子式的乘积之和. 素与其对应的代数余子式的乘积之和
a i −12 L a i −1 j −1 a i −1 j
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0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
因而是奇排列.
返回
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(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
返回
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性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
证： 记
即bij＝aji
(i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义
返回
上一页 下一页
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证
交换第p、q两列，得行列式
返回
上一页 下一页
同理可证
返回
上一页 下一页
代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:
返回
上一页 下一页
例 计算n阶行列式 解法一
返回
上一页 下一页
例 计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
返回
上一页 下一页
这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
返回
上一页 下一页
例 利用递推公式法计算 解：按第一行展开
Dn＝
返回
上一页 下一页
例 证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列， 故逆序数
返回
上一页 下一页
所以行列式的值为
返回
上一页 下一页
例设
a11
a1k 0
0
D ak1
akk 0
0
c11
c1k b11
b1n
cn1
a11 D1
则有R=P+Q，于是
D
(1)PQ a1p1 a2 p2
p1 pk q1 qn
a b b kpk 1,q1 2,q2
bn,qn
(1)P a1p1a2 p2
p1 pk
akpk (
(1)Q b1,q1b2,q2
q1 qn
bn,qn )
(1)P a1p1 a2 p2
p1 pk
对于D中任一项 其中I为排列 在D1中必有对应一项
的逆序数
其中I1为排列 与
的逆序数 只经过一次对换
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所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的 符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。
交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式 i，j两列，记作c（i，j）。
推论 若行列式有两行（列）元素对应相等， 则行列式为零。
练习
排列12的逆序数为 0. 排列231的 逆序数为 2. 排列215479683的逆序数为 11. 排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是 n(n-1).
定义4 一个排列中，将某两个数对调，其余的 数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对 换，叫做相邻对换（邻换）。
我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两 个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也 是如此。
全为零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列 式，它等于对角线上元素的乘积。
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定理2 n阶行列式的项可以写成
其中S与T分别是n级排列p1p2…pn与q1q2…qn的逆序数。
证明：将
重排，使其行标成为自然
顺序
, 行标、列标同时作了一次对换，总
逆序数之和不改变奇偶性。
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例 计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性 (1) 42531，（2） 135…（2n-1）246…(2n).
解（1） 对于所给排列， 4排在首位，逆序个数为0； 2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1； 5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0； 3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2； 1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4. 把这些数加起来，即
ak1
证明D=D1D2.
cnk bn1
bnn
a1k
b11
b1n
D2
akk
bn1
bnn
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证 记 a11
a1k 0
0
D ak1 c11
akk 0 c1k b11
0
d11
b1n
dk n,1
d1,k n dk n,k n
其中
cn1
cnk bn1
bnn
dij=aij dk+I ,k+j=bij
dk+i, j =cij di,k+j=0
(i, j= 1, 2,…，k)；
(i, j= 1, 2,…，n)；
(i= 1, 2,…，n; j= 1, 2,…，k).
(i= 1, 2,…，k; j= 1, 2,…，n).
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考察D的一般项 (1)R d1r1d2r2 d d krk k1,rk 1
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说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘 积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。
2) 各项的正负号与列标排列有关，偶 排列为正，奇排列为负。
3) 因为1,2,…n的排列有n!个，故等式
右边共有n!项。
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例 计算4阶行列式
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
akpk D2
D1D2
行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。
主对角线以上的元素全为零（即i<j时元素aij＝0） 的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元
素的乘积。
主对角线以下的元素全为0（即i>j时元素aij＝0） 的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元
素的乘积。
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素
p1 pi1 pi1 pim pi pim1 pim2 pn , 再把 pim1 往前连续作 m+1 次相邻对换，排列变为
p1 pi1 pim1 pi1 pim pi pim2 pn ,
从而实现了 pi 与 pim1 的对换，
它是经过 2m+1 次相邻对换而成， 排列也就改变了 2m+1 次奇偶性， 所以两个排列的奇偶性相反.
D＝aijAij
证 先证i＝1，j＝1的情形
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对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即 可得到结论。
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定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
证
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例 计算行列式 解 由定理3 知
注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。
§4 行列式的计算
定义6 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行 与第j列中的元素，剩下的(n-1)2 个元素按其原来的排法 构成一个n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记 Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。
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引理 在n阶行列式D中，如果第i行元素除aij外全部 为零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积， 即
于是D中不为0的项可以记作
这里
(1)R a1p1 a2 p2 a b b kpk 1,q1 2,q2 bn,qn
pi ri , qi rki k , 1 ri k , k 1 rki k n ,
R也就是排列 p1 p2 pk (k q1) (k qn ) 的逆序数， 以P，Q分别表示排列 p1 p2 pk 与 q1q2 qk 的逆序数，
3 行列式第i行或第i列乘上数k 加到第j行或第j列对应元素上
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例 计算四阶行列式 解
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例 计算四阶行列式 解
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例：
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例：计算行列式 解：
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例：
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故结论成立。
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例 利用范德蒙行列式求解 解：
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推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
证
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当ij, 因为Ajk 与行列式中的第j 行的元素无关，将
式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得
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性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元 素上，记作r（j＋i（k）），[ c（j＋i（k）]，有
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总结：三种行列式变换 1 互换两行或两列
2 第i行或第j列乘上非零数k
R是排列 r1r2 rk rk1 rkn的逆序数，
dkn,rk n
由于 di, jk 0 (i=1,2,…，k; j=1，2，…，n)，
可见 r1, r2 , , rk 均不可大于k值，否则该项为0， 故 r1, r2 , rk 只能在1，2，…，k中选取，