同济版 高等数学(上册) 第一章课件
A B
B [0, 2]
R R {( x, y ) | x, y R} 即为 xOy 面上全体点
O
A [0,1] 1
图1-6
x
的集合， R R 常记作 R 2 .
9
2.区间 设 a 和 b 都是实数，且 a b ， 数集 x a x b 称为开区间，记作 a, b （见图1-7），即
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
[a,b] a
图1-8
b
x
a 和 b 也称为闭区间 a, b 的端点，且 a a, b ， b a, b .
10
2.区间
第一章 函数、连续与极限
数集 x a x b 及 x a x b 称为半开区间，分别记作 a, b 和 a, b (见图1-9
第一章 函数、连续与极限
Advanced mathematics
第一章
函数、连续与极限
高等数学
人民邮电出版社
1
第一章 函数、连续与极限
第一章
内容导航
第一节 集合与函数 第二节 数列的极限定义与计算 第三节 函数的极限定义与计算 第四节 极限的证明与性质
第五节 两个重要极限
第六节 无穷小的概念与比较
第一章 函数、连续与极限
(a,b) a
图1-7
b
x
a, b x a x b
b a, b . 类似地，数集 x a x b 称为闭区间，记作 a, b （见图1-8），
a 和 b 称为开区间 a, b 的端点，其中 a 为左端点，b 为右端点，且 a a, b ，
B 的差集（简称差），记作 A \ B ，即 A \ B {x | x A 且 x B} ；
特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为
U）中进行， 集合 A 是U 的子集 （见图 1-5），此时称 U \ A 为 A 的余集
（或补集），记作 CU A 或 AC.
A B
log a x log a y log a xy
y log a x 和 y a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y x 对称，且有 a loga x x ，
进一步，我们在以后的计算中经常会用到 e
ln x
x 和e
a ln x
e
ln x a
xa.
18
1. 基本初等函数 （4）.三角函数
（读作正无穷大）及 （读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间
或开区间：
a, x x a , b x x b
b
a, x x a
, b x x b
这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11 ~1-14所示. a
23
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余割函数
y csc x
y csc x
24
1. 基本初等函数 (５) 反三角函数
第一章 函数、连续与极限
定义１ 在区间
π π , 上的正弦函数的反函数记作 2 2
， y arcsin x
定义域为 [1,1] ，值域为
y
y tan x
π (, )，最小正周期是 x | x kπ, k 0, 1, 2, ，值域是 2
π ，在定义域
的定义域是 {x | x kπ, k 0, 1, 2,} ，值域是 (, )，最小正周期是 π ，在定义域
y
y cot x
Ac 或 CU A
A
A\ B
U
图1- 4
图1-5
7
1. 集合及其运算 关于集合的余集，我们有如下性质.
第一章 函数、连续与极限
性质1（对偶性质） 设 U 是一个基本集，A, B 是它的两个子集，则
01
OPTION
C C A B A B C
02
OPTION
C C A B A B C
y
y log a x (a > 1)
y
y log a x (0<a<1)
O O 1 x
1
x
图1-20
图1-21
17
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
对数具有以下运算性质：对任意的 x, y R , a 0, a 1，b R ,
（i） （ii）
x log a x log a y log a y b （iii） log a x b log a x
y=x2 1
y=x
(1,1)
o
y=x3
1
x
幂函数的最小定义域是 (0, ) .
图1-17
15
1. 基本初等函数 (2) 指数函数:
第一章 函数、连续与极限
y ax
( a 0, a 1)
y ex
Hale Waihona Puke 1 x y( ) ay ax
( a 1)
( 0,1)
16
1. 基本初等函数
第七节 函数的连续性及其性质
2
课 前 导 读
集 合
具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别
对象称为集合的元素. 习惯上，用大写英文字母 A, B, C , 表示集合， 用小写字母 a, b, c, 表示集合的元素. a A 表示 a 是集 A 的元素
（读作 a 属于 A ），
(３) 对数函数: y log a x(a 0, a 1)
第一章 函数、连续与极限
对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域是 (0, ) ,其图像位于 y 轴的右方且通过 点 (1, 0) .. 当 a 1 时， y log a x 是单调增加函数(见图1-20)； 当 0 a 1时， y log a x 是单调减少函数(见图1-21). 当 a e 时的对数函数 记为 y ln x，称为自然对数函数.
y π
y arccos x ,
[ 1,1]
-1
O
1
x
图1-27
26
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
π π 定义3 在区间 2 , 2 上的正切函数的反函数记作 y arctan x，
定义域为 , ，值域为
和图1-10）.
[a,b) a
图1-9
(a,b] b
x
a
图1-10
b
x
以上这些区间都称为有限区间，数 b a 称为这些区间的长度. 从数轴上看，这些 区间是长度为有限的线段.
11
2.区间
第一章 函数、连续与极限
此外，对于这样的集合： x x a ， x x a， x x b ， x x b ，我们引进记号
在数轴上， x a 表示点 x 与点 即 a x a ，所以
U a, x a x a
因此， U a, 也就是开区间 a , a .
a
a
图1-15
a + x
见图1-15，显然，这个开区间以点 a 为中心，而长度为 2 .
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
图1-11
x
a
图1-12
x
图1-13
b
x
图1-14
b
x
12
全体实数的集合 R也记作 , ，它也是无限的开区间.
3. 邻域
第一章 函数、连续与极限
设 a 与 为两个实数， 且 0 ，数集 x x a 称为点 a 的 邻域， 记作 U a, ，即
8
1. 集合及其运算
第一章 函数、连续与极限
除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积. 设 A, B 是两个非空的集合，则由有序数对 x, y 组成的集合
y 2
A B {( x, y ) | x A, y B}
称为 A 与 B 的直积. 例如： 设 A [0,1], B [0, 2] 则 A B {( x, y ) | 0 x 1, 0 y 2} ，如图 1-6所示.
a -
a
图1-16
a + x
为了方便，有时将开区间 a , a 称为 a 的左邻域，而将开区间 a, a 称为
a 的右邻域.如果不强调半径，以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记 作 U a .
14
二、常用函数 1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
13
3. 邻域
第一章 函数、连续与极限
有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点 a 的 邻域去掉中心 a 后， 称为点 a 的去心 邻域，记作 U a, ，即
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定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
同济高数第一章第一节
定义在R上的任意函数 上的任意函数， 证明 定义在 上的任意函数，都可以表示为 一个奇函数与一个偶函数之和。 一个奇函数与一个偶函数之和。 证 设 f ( x) x ∈ R 1 1 记 ϕ( x ) = [ f ( x ) − f ( − x )], ψ( x ) = [ f ( x ) + f ( − x )] 2 2 1 ϕ( − x ) = [ f ( − x ) − f ( x )] = − ϕ( x ) 奇函数 2 1 ψ( − x ) = [ f ( − x ) + f ( x )] = ψ( x ) 偶函数 2
例6 证明
3x + 1 y= 2 有界 x +4
3 x + 1 | 3 x + 1 | 3 | x | +1 证 | 2 |= 2 ≤ 2 x +4 x +4 x +4 3| x | 1 3( x 2 + 1) 1 = 2 + 2 ≤ + 2 x + 4 x + 4 2( x + 4) 4
3 1 7 ≤ + = 2 4 4 3x + 1 ∴y= 2 x +4
第一章 函数、极限与连续 函数、
第一节 函数
一、集合 总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素 记为： 记为： a ∈ M , a ∉ M , 集合分类： 集合分类： 有限集 无限集 集合表示： 集合表示： A = {a1 , a 2 ,L , a n }
函数的两要素: 定义域与对应法则 函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数与表示自变量的字母无关 指出下列函数是否相同，为什么？ 例5 指出下列函数是否相同，为什么？
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
f (x) A ,
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
同济高等数学第一章第五节课件
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3 x2 5 2 x 7 求 lim 例例 7 2 x 3x 2x 1 2 2x 1 3 x 所以 解 因为 lim 0 解 所以 3 2 x 2x x 5 3 x2 5 2 x lim 2 x 3x 2x 1
lim f [g(x)] lim f (u) A >>>
u u0
•说明
把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果
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定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则
n
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求极限举例
例 例 11 求 lim (2x 1)
x1
解 lim (2x 1) lim 2x lim 1 2 lim x 1 2111
x 1 x 1 x 1 x 1
•讨论 若 P(x) a0 xn a1xn 1 an 1x an 则 lim P(x) ? •提示 >>> lim P(x) P(x0 )
lim (x3 1)
x 3 例 例 33 求 lim 2 x3 x 9 3 lim x 3 1 解 解 lim x lim x3 x2 9 x3 ( x 3)(x 3) x3 x 3 lim 1 x3 1 lim (x 3) 6
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3 x2 5 2 x 7 求 lim 例例 7 2 x 3x 2x 1 2 2x 1 3 x 所以 解 因为 lim 0 解 所以 3 2 x 2x x 5 3 x2 5 2 x lim 2 x 3x 2x 1
lim f [g(x)] lim f (u) A >>>
u u0
•说明
把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果
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定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则
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求极限举例
例 例 11 求 lim (2x 1)
x1
解 lim (2x 1) lim 2x lim 1 2 lim x 1 2111
x 1 x 1 x 1 x 1
•讨论 若 P(x) a0 xn a1xn 1 an 1x an 则 lim P(x) ? •提示 >>> lim P(x) P(x0 )
lim (x3 1)
x 3 例 例 33 求 lim 2 x3 x 9 3 lim x 3 1 解 解 lim x lim x3 x2 9 x3 ( x 3)(x 3) x3 x 3 lim 1 x3 1 lim (x 3) 6
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同济高等数学第六版上册第一章ppt.
第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限∞第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(x f y =对0)1(x x →+→0)2(x x -→0)3(x x ∞→x )4(+∞→x )5(-∞→x )6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限x 0定理2 .若在0x 的某去心邻域内0)(≥x f )0)((≤x f , 且,)(lim 0A x f x x =→则.0≥A )0(≤A 证:用反证法.则由定理1,0x 的某去心邻域,使在该邻域内,0)(<x f 与已知所以假设不真, .0≥A (同样可证0)(≤x f 的情形)思考:若定理2 中的条件改为,0)(>x f 是否必有?0>A 不能!lim 2=→x x 存在如假设A < 0, 条件矛盾,故时,当0)(≥x fyX-xX直线y= A为曲线的水平渐近线.第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=±)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f ±证: 因,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小)于是)()()()(βα+±+=±B A x g x f )()(βα±+±=B A 由定理1 可知βα±也是无穷小,再利用极限与无穷小BA ±=的关系定理, 知定理结论成立.定理3 .若推论:若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==且),()(x g x f ≥则.B A ≥( P46 定理5 ))()()(x g x f x -=ϕ利用保号性定理证明.说明:定理3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理4. 若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明:定理4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论1 .)(lim )](lim[x f C x f C =( C 为常数)推论2 .nnx f x f ])(lim [)](lim[=( n 为正整数)例2.设n 次多项式,)(10nn n x a x a a x P +++= 试证).()(lim 00x P x P n n x x =→证:=→)(lim 0x P n x x 0a x a x x 0lim 1→+++ nx x n xa 0lim →)(0x P n =BA =。