简谐振动运动方程
简谐振动最基本最重要的运动
当θ角很小时，有： M mgh —— 谐振
单摆：I mL2 h = L I
I
g
L
2 g
L
T 2 L
g
复摆：
2 mgh
I
T 2 I
mgh
振动周期均取决于系统本身。
七.谐振的能量
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin 2 (
2
t
)
1 kA2 sin 2 (
2
t
)
Ep
1k 2
02 2 A、φ由初始条件决定。
若：
2＞
2 0
则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。
2 02
称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。
应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。 二. 受迫振动
1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用 下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐 振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力 的周期，振幅保持不变。
阻尼越小，振幅越大。
定量分析：
dA d (
f
)0
d p
d p
(
2 0
2 p
)2
4
2
2 p
得： 02 2
A Amax
f
Amax
2
02 2
阻力越小，ωp越接近ω0。同时 Aτ也越大。
β
0
ωτ
ω0
Amax
∞
§6. 谐振的合成
一.两个同方向 同频率的合成
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
A = A1－ A2 为最小 二.同方向不同频率的合成 拍
合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。
简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导简谐运动是指具有周期性、振幅恒定、且运动方向与作用力方向相同的运动。
在简谐运动中，物体的位移可以用一个简单的数学公式来描述。
下面我将给出简谐运动位移公式的推导。
假设一个质点进行简谐运动，其运动方程可以表示为：x = X*sin(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，X表示质点的振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
首先，我们知道简谐运动是一种周期性运动，即在一个周期内，物体的运动状态会重复出现。
一个周期的长度为T，即在时间T内，物体完成一次完整的往复运动。
因此，我们可以将角频率ω定义为：ω=2π/T接下来，我们考虑质点的初始运动状态。
初相位φ表示在t=0时刻质点的位移相对于振动的初始位置的差距。
当φ=0时，质点位于振动的初始位置；当φ=π/2时，质点位于振动的最大位移位置。
因此，我们可以得到：x = X*sin(ωt + φ)接下来，我们来推导简谐运动的位移公式。
我们将位移公式的形式写成以下形式：x = A*sin(ωt) + B*cos(ωt)其中，A和B是待定系数。
我们可以通过初始条件来确定这些系数。
当t=0时，由于质点的初始位移为X，所以我们有：x(0) = A*sin(ω*0) + B*cos(ω*0) = X由此可得B=X，即B的取值为振幅X。
当t=0时，由于质点的初始速度为0，所以我们有：v(0) = A*ω*cos(ω*0) - B*ω*sin(ω*0) = 0根据初中学的三角函数性质，sin(0) = 0，cos(0) = 1，所以我们有：v(0)=A*ω*1-B*ω*0=A*ω=0由此可得A=0，即A的取值为0。
综上所述，我们得到了简谐运动的位移公式：x = X*sin(ωt)简谐运动的位移公式中，位移与时间的关系是一个正弦函数关系。
其中，X表示振幅，表示质点的最大位移；ω表示角频率，表示单位时间内的相位改变量。
简谐运动具有周期性和重复性，其运动状态会在一个周期内周期性地发生变化。
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
简谐运动方程知识点总结
简谐运动方程知识点总结1. 简谐运动的基本特征简谐运动是一种最基本的振动运动，它具有以下几个基本特征：（1）周期性：简谐运动是周期性的，即物体在受力作用下做往复振动，每个周期内物体都会经历相同的振动过程。
（2）恢复力的特性：简谐运动的振动是由一个恢复力（例如弹簧力或重力）驱动的，且恢复力的大小与物体的位移成正比。
（3）运动是否受到阻尼和驱动力的影响：简谐运动通常假设没有阻尼和驱动力的影响，即物体受到的唯一作用力是恢复力。
2. 简谐振动方程的一般形式简谐振动可以用一个二阶微分方程来描述，其一般形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，x为物体的位移，t为时间。
上述方程也可以写成更常见的形式：$$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$$这个二阶微分方程描述了简谐振动系统中物体的加速度与位移之间的关系。
该方程是一个线性齐次微分方程，它的解决方法通常是通过代数方法或微积分方法来求解。
3. 简谐振动方程的解法对于上述的简谐振动方程，可以通过代数或微积分方法来求解。
通常有以下几种解法：（1）代数方法：当简谐振动系统的质量m和弹簧的弹性系数k已知时，可以通过代数方法求解简谐振动方程的解析解。
这种方法通常涉及到代数运算和三角函数的应用，例如正弦函数和余弦函数。
（2）微积分方法：对于更一般的简谐振动问题，可以通过微积分方法来求解简谐振动方程。
这种方法通常涉及到微分方程的解法，例如特征方程法、特解法和叠加原理等。
（3）复数方法：简谐振动方程也可以通过复数方法进行求解。
这种方法通常利用复数的性质和欧拉公式来简化求解过程，从而得到方程的解析解。
4. 简谐振动方程的解析解当求解简谐振动方程时，通常可以得到一组解析解，它们可以用来描述简谐振动系统的振动特性。
一般而言，简谐振动方程的解析解可以分为如下几种情况：（1）无阻尼情况下的简谐振动：当简谐振动系统没有受到阻尼力的作用时，其解析解通常为正弦函数或余弦函数。
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它在自然界和工程领域中都有广泛应用。
简谐振动的运动方程描述了振动物体在平衡位置附近的周期性运动规律，可以用于解释弹簧振子、摆钟、电路中的振荡电流等现象。
简谐振动的运动方程可以表示为x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示振动物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位差。
这个方程描述了振动物体随时间变化的位置情况。
简谐振动的周期是指振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期T与角频率ω之间有关系T = 2π/ω。
振动的频率则是指单位时间内完成的振动次数，可以表示为 f = 1/T = ω/2π。
振动的频率与角频率是相互关联的，它们描述了振动物体的快慢程度。
简谐振动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，振动物体的运动范围就越大。
振动物体的能量也与振幅有关，振幅越大，能量越高。
振幅与振动物体的势能和动能之间也存在着一定的关系。
简谐振动的初相位差是指振动物体在某一时刻与参考点的位移差。
初相位差决定了振动物体的起始位置，它与振动物体的初始条件有关。
初相位差的不同会导致振动物体的运动规律发生变化。
简谐振动的运动方程可以通过牛顿定律和胡克定律推导得到。
牛顿定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，胡克定律则描述了弹簧的弹性特性。
将这两个定律结合起来，可以得到简谐振动的运动方程。
简谐振动在自然界和工程中都有广泛的应用。
在自然界中，摆钟的摆动、弹簧振子的弹动、声波的传播等都是简谐振动。
在工程领域中，简谐振动的原理被应用于建筑物的抗震设计、机械振动的控制、电路中的振荡电流等。
简谐振动还有一些特殊的性质。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度之间存在着一定的相位关系。
位移和速度的相位差是π/2，位移和加速度的相位差是π。
这些相位关系可以通过简谐振动的运动方程进行推导得到。
简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它可以用运动方程来描述振动物体的运动规律。
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
简谐振动方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
大学物理(一)_ 简谐振动_41运动方程及特征量_
弹簧振子周期
T = 2π m
k
单摆周期
T = 2π l
g
表示一个质点一秒内振动的次数
2π T 表示一个质点2π 秒内振动的次数
简谐振动方程
y = A co s(ω t + ϕ )
三、特征量
1 振幅 A = ym ax
2 周期、频率、角频率
y
A o
−A
y−t 图
T
t
T
2
y = A c o s (ω t + ϕ ) = A cos[ ω ( t + T ) + ϕ ]
压，电磁场中电场强度和磁场强度
合成 3．最简单、最基本的振动是简谐振动
简谐振动 分解 复杂振动
§4-1 简谐振动的运动方程及特征量
一、简谐振动的定义
切向合力：在振动方向上所受合力
F t = − ky
Ft
=
mat
=
d2y m
dt 2
=
−ky
at
=
d 2y dt 2
=
−
k m
y
k =ω2
m
d 2y dt 2
= 2π
l （周期）
g
周期由系统本身性质决定
微振动是谐振动
二、简谐振动的振动表达式
解方程
d2 y dt2
+
ω
2y
=
0
简谐振动的微分方程
解得 y = A c o s ( ω t + ϕ )
简谐振动方程
积分常数，根据初始条件确定
运动速度 加速度
v
=
a
dy = − Aω sin (ω t + ϕ )
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程
(1)一维简谐振动：是指单位质量上单个物体沿着一条直线往复运动，它受到线性弹簧的弹力以及空气阻力的影响而有一定的规律。
(2) 一维简谐振动方程：它的运动方程用一阶欧拉方程表示：
d^2x/dt^2 + 2βdx/dt + ω_0^2x = 0，其中，X表示一维简谐振动的位移，ω_0为自振频率，β为阻尼系数。
(3)该方程用于描述一维简谐振动的动态行为，使用该方程可以求出
振动幅值和相位随时间变化的特征，以及在特定频率中振动的振幅大小。
此外，它还可以用来分析悬挂系统的振动行为、水力传输系统的液动传输、电路等系统的动态响应情况。
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程x = A cos(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
在这个方程中，振幅A表示质点离开平衡位置的最大位移量。
角频率ω表示单位时间内振动的次数，单位为弧度/秒。
初相位φ表示在t=0时刻的初始相位。
一维简谐振动的运动方程可以通过引入受力分析得到。
假设质点的质量为m，弹簧的劲度系数为k，那么质点在弹簧的作用下受到恢复力的作用。
根据胡克定律，恢复力与质点的位移成正比，方向与位移方向相反。
恢复力的大小可以表示为F = -kx。
根据牛顿第二定律，质点的加速度a与受力F成正比，且方向与受力方向相同。
根据定义，加速度a等于位移x对时间t的二阶导数。
所以，如果我们用F = -kx和F = ma结合，可以得到以下方程：m(d^2x/dt^2) = -kx这就是简谐振动的运动方程。
为了求解这个微分方程，我们可以假设解为x = Acos(ωt + φ)，然后将它代入方程中验证。
根据两边的积分运算得到：-mω^2Acos(ωt + φ) = -kAcos(ωt + φ)根据三角函数性质，如果两个角度相等，则它们的余弦值也相等。
所以，我们可以得到两个方程：-mω^2A=-kAω^2=k/m从第一个方程我们可以看出，质点振动的角频率与质点的质量和劲度系数成正比。
从第二个方程我们可以看出，角频率的平方等于弹簧劲度系数与质点的质量比值。
根据以上的分析，我们可以得到简谐振动的一维运动方程：x = Acos(ωt + φ)其中，振幅A和初始相位φ可以由初始条件确定。
角频率ω可以根据弹簧劲度系数k和质点质量m计算得到。
简谐振动方程的求解可以帮助我们理解振动的特性，如振动频率、振动周期等。
它也为我们的工程应用提供了理论基础，如在建筑结构设计中用于减震、在机械工程中用于设计自由摆、在电子工程中用于设计电路等等。
总之，一维简谐振动方程是一种重要的物理方程，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
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3
（d）
3
(b)
T t0
4
51 7
t0
T 8
T 4
T 8
0
t0 T
2
7 2
8
7
4
或 ：0
4
(d)
v0
cos 0
x0 A
1 2
0
v0 A sin0 0
0
3
x0
A 2
v0 0
sin0 0
例2、劲度系数为k的轻质弹簧，上端与质量为m的 平板相连，下端与地面相连。今有一质量也为m的 物体由平板上方h高自由落下，并与平板发生完全
Acos[ (t T ) 0 ] Acos( t 0 ) (t T ) 0 t 0 2
---- 描述谐振运动的快慢
T 2 周期
1 频率 T 2
2. 振幅A ：
A | xmax |
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
由
x Acos( t 0 )
v A sin( t 0 )
结构框图
第12章 振 动
摆动
混沌
阻尼振动 受迫振动
共振
简谐 振动
振动的 合成
电磁振荡
频谱 分析
• 核心内容： 简谐振动
运动方程 特征量 能量 振动的合成
自学内容：单摆的非简谐运动与混沌现象；频谱分析
§12.1 简谐运动
一. 简谐振动的运动方程 1. 理想模型：弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点）
dx dt
)2
c1
x2
C1
2
1
dx dt
o
x
与振动过程和振动曲线如何对应？
dx dt
o
x
x
T/2 o
Tt
相图为闭合曲线：显示出简谐振动的周期性，循环往复。
二. 简谐振动的特征量
1. 角频率 、周期T、频率
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率
由谐振动周期性特征看 的物理意义:
x(t T ) x(t)
—— 费曼
1、作业题册
时间：第一周星期五(9.10)下午1：00 — 4：00 地点：X6220 说明：以自然班为单位。5.00元/本
2、答疑 时间：星期二 下午1:00 —— 3:00
地点： X6220
本学期教学内容及特点
基 实物运动规律 本 粒 子 相互作用和场
振动 与
波动
量子现象 与
量子规律
0(2的整数倍)
同相
(的奇数倍)
反相
x x1
x2
2 1 0
x2 振动超前x1振
动
t 2 1 0
x2 振动落后x1振
动
[例] 由振动曲线决定初相 解:
x A v0
(1)
cos0
x0 A
0
x0 0 t0
t
v0 A sin0 0
sin0 0
arccos x0 为四象限角
扩展:
F kx 不仅适用于弹簧系统
离系统平衡位置的位移
准弹性力
F kx
系统本身决定的常数
2. 运动方程
F k x
F
m
d2 dt
x
2
d2 x k dt2 m x 0
令
k 2
m
得
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
判据二：任何一个物理量对时间的二阶导数与其本身 成正比且反号时，该物理量的变化称为简谐振动。
非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向 下为正，求振动周期、振幅和初相。
解：振动系统为（2m, k)
k ,
2m
T 2 2m
k
m
h m
k
解：第一阶段：m下落h
mgh 1 mv 2 2
v 2gh
第二阶段：平板与物体发生完
全非弹性碰撞
m
2gh 2mv0
v 0
gh 0 2
第三阶段：平板和物体做简谐运动
v
dx dt
Asin(t
0
)
a
d2 x dt 2
A 2cos( t
0
)
av x
T4
o
3T 4
T2
0 0, 1
t
T
由状态参量 x, v d x
dt
曲线族称为相图。
为坐标变量作出的函数
思考:
简谐振动的相图并理解其意义。
d2 x dt 2
2
x
对t积 分 ：
dx dt
2
2 x2
c1
(
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
求解*得运动方程：
x Acos(t 0 ) A, 0 为积分常数
判据三：任何一个物理量如果是时间的余弦（或 正弦）函数，那么该物理量的变化称为简谐振动
, A,0 : 简谐振动的特征量
3.
d x d2 x x, d t , d t2
均随时间周期性变化
x Acos( t 0 )
在 t = 0 时刻
x Acos
0
0
v0 A sin0
解得
A
x2
v2 0
0
2
3. 相位 t 0, 初相0
相位是描述振动状态的物理量
(1)初相： 0
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
x0 Acos0 v0 A sin 0
0
arctg(
v0
x0
)
或
} cos0
x0 A
多粒子 体系的 热运 动
➢ 物理概念、物理思想深化 ➢ 更加贴近物理前沿和高新科技 ➢ 对自学能力的要求提高
第四篇 振动与波动
摆动的秋千 鸟的翅膀
船的起伏
➢ 任何一个物理量( 如位移、角位移、电流、电压、 电场强度、磁场强度等) 在某一定值附近随时间周 期性变化的现象叫做振动。
➢ 波动: 振动在空间的传播 共同特征：运动在时间、空间上的周期性
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
(3) (t 0 ) 每变化 2 整数倍，x、v重复
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地 反映出谐振动的周期性特征。
(4) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
相差
(t 2 ) (t 1) 2 1
集中弹性 集中惯性
回复力 F kx
(平衡位置为坐标原点） 回复力和物体惯性交互作用形成谐振动 判据一：物体所受回复力恒与位移成正比且反向 时，物体的运动是简谐运动
扩展:
F kx 不仅适用于弹簧系统
自学下册 P 4 [例1]
立方体 F
回复力：重力与浮力的合力
l
o
F kx
mg
k l2水g
x
s in 0
v0
A
由cos 0大小和sin0的符号决定0
(2) ( t 0 )与状态参量 x，v 有一一对应的关系
x Acos(t 0 ); v A sin(t 0 )
例：
当t
0
3Hale Waihona Puke 时：x A, 2v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
当
t
0
5
3
时：
x A, 2
0
A
(2) 与初相为零的余弦函数比较
x Acost 1
振动函数:
x Acos(t )
2
0
x A v0
x0 0 t0
x 1
x
2
t
2
1
0
从图上可以看出:
x 2
落后
x 1
0
t 0
2
t
T
0
t
0
0
练习
教材 P13 12.1.3
答案：
(a)
0
5
4
或
3
4
（b） 7
4
或
4
（c）
m
m
x0
o
h
t0
kv0
x
以平衡位置为坐标原点，向下为正。
以平板运动时刻为t = 0，初始条件为:
x0
mg k
0
v0
gh 0 2
得： A
x2 0
v2 0
2
m2 g 2 mgh mg
k2
k
k
1 kh mg
又：
cos0
x0 A
0
v0 A sin 0 0
} 0
为三象限角
sin 0 0
0
arctg( v0
2. 孤立谐振动系统的能量
x0
)
arctg
kh
mg
小结： 简谐振动
一.运动方程 (平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 dt
x
2
2
x
0
x Acos(t 0 )
二. 特征量
角频率 振幅 初相
km
A
x02
v02
2
0
arctg(
v0
x0
)
复习: 教材 P3 ~ 12 练习:12.1, 12.2, 12.4 预习: 1. 旋转矢量
R.P.Feynman
我们将要学习的谐振子， 在许多其他领域中有类似的东 西。虽然我们从力学的例子， 如挂在弹簧上的重物、小振幅 的摆，或者某些其他的力学装 置出发，但实际上我们是在学 习某一种微分方程。这种在物 理学和其他学科中反复出现， 而且事实上它是许多现象中的 一部分，是值得我们认真研究 的。