测量平差 第三章习题与答案
测量平差习题集
第二部分 自测题第一章 自测题一、判断题（每题2分，共20分）1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。
（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。
（ ）3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。
（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。
（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。
（ ）6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。
（ ）7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。
（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。
（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。
（ ）10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。
（ ）二、填空题（每空0.5分，共20分）1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。
3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。
经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。
仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。
若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。
6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、 ，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
测量平差所有习题
第二章思考题及习题1.精度的含义是什么？2.为什么不用真误差来衡量观测值的精度而用中误差？3.试比较中误差、平误差作为衡量精度的标准的优缺点。
4.为什么要研究极限误差，极限误差与真误差有什么关系？5.角度的精度可否用相对误差来衡量？为什么？6.平差的原则是什么？观测值的平均误差和中误差。
8.某一三角网共有三十个三角形，在相同条件下进行了观测，由于观测有误差，三角形内角之和就不等于180度，这样就得到了三十个三角形的角度闭合差W（真误差），按绝对值的大小排列如下：+0.5″,-0.6″,+0.8″,-1.0″,+1.4″,+1.7″,-1.8″,+2.1″,+2.5″,-2.7″,+2.8″,+3.0″,+3.2″,-3.6″,+4.2″,-4.8″,-5.3″,+5.9″,-6.1″+6.8″,-6.9″,+7.5″,+8.5″,-9.1″,-9.8″,+11.3″,+12.9″,-14.6″,+18.8″-21″。
①试根据该组误差分析偶然误差的特性；②求三角形内角之和的中误差；③分析最大的偶然误差与中误差的关系；④求三角网中每个角的测角中误差。
9．对三十米的一条边进行了二十次丈量，每次丈量的中误差为±0.02米，另外用同样的方法对60米的一条边进行丈量，其每次丈量的中误差为±0.03米，试问这两条边丈量结果，哪一条边的精度高？10．对30º的一个角观测了十次，每次观测的中误差为±5″。
另外用同样的仪器、同样的方法、同样的次数对60º的一个角观测进行观测，每次观测的中误差为±5″。
试问这两个角度观测结果精度一样吗？11．什么是误差传播定律？12.设一个三角形观测了三个内角，每一个角的测角中误差58''⋅±=βσ，试计算三角形内角和的中误差。
13.在一个三角形中观测了两个角度，其值分别为α=30º20′22″±4″，β=60º24′18″±3″，试求第三个角度γ的角值及其中误差σγ。
测量平差第三章习题与答案
测量平差第三章思考题3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为s ，试求X 的中误差： （1）()12312X LL L =++；（2）123L L X L =3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12s s s ==，120s =，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。
的中误差。
3.3 设有观测向量[]12331TL L L L =，其协方差阵为，其协方差阵为40003002L LD éùêú=êúêúëû分别求下列函数的的方差：分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L =3.4 设有同精度独立观测值向量[]12331TL LLL=的函数为113s i n s i n A BL Y S L =，22A B Y L a =-，式中A B a 和A B S 为无误差的已知值，测角误差1"s =，试求函数的方差12y s 、22y s及其协方差12y y s3.5 在图中△ABC 中测得A A s б，边长b b s ±，c c s ±，试求三角形面积的中误差ss 。
3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？，问可以设多少站？ 3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
测量平差课后练习题(1~3章)2011
《误差理论与测量平差基础》课后测验题第一章 绪论1、什么是观测条件？相同观测条件下进行的观测称为什么观测？2、举出系统误差和偶然误差的例子各5个。
3、观测误差分为几类？分别是如何定义的？4、在测量上为什么要进行多余观测？5、测量平差的任务是什么？第二章 误差分布与精度指标1、什么是真值、真误差？2、简述偶然误差的特性？3、偶然误差服从什么分布？4、衡量精度的指标有哪几种？分别是如何定义的？5、设一段距离为：520m ±2.3mm 代表什么意思？相对误差是多少？6、对于在相同的观测条件下进行的一系列的观测，误差有大有小，是否代表精度不同？7、在测距仪的检定中，要对基线场两固定观测墩点间的精确距离进行多次观测，设精确距离为326.750米，观测了10次，得距离如下：326.758m 326.754m 326.745m 326.755m 326.762m326.749m 326.743m 326.740m 326.751m 326.756m求测量距离的中误差？8、在采用J6经纬仪进行角度测量时，规定半测回角值之差不超过36"，测回间角值之差不超过24"，分别代表什么误差？9、什么是协方差？协方差是描述观测值之间什么关系的？10、在什么情况下，观测值之间相互独立与不相关是等价的？11、什么是方差协方差阵？其是有什么组成的？有何特点？12、何谓准确度？何谓精确度？何谓不确定性？第三章 协方差传播率及其权1、设观测向量T L L L L ]3,2,1[=的方差协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=411121113LLD ，求21L σ、22L σ、21L L σ。
2、写出协方差传播律的主要公式？3、当观测值的函数为非线性时，如何处理？4、简述协方差传播律的应用步骤？5、 已知独立观测值2,1L L 的中误差分别为1L σ、2L σ，求下列函数的中误差：（1）2513L L y +=（2）21L L y =6、设观测向量T L L L L ]3,2,1[=的方差协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=411121113LL D ， 求（1）325131L L L y ++=（2）212L L y -=的1y σ、2y σ、21y y σ、21L y σ7、已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T 的函数，函数关系如下：3162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012D ，证明y 、z 间互不相关。
误差理论与测量平差(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年山东建筑大学
第一章测试1.误差是不可避免的。
A:对B:错答案:A2.构成观测条件的要素有哪些A:外界条件B:计算工具C:观测者D:测量仪器答案:ACD3.对中误差属于那种误差A:系统误差B:偶然误差C:不是误差D:粗差答案:B第二章测试1.两随机变量的协方差等于0时，说明这两个随机变量A:相关B:互不相关C:相互独立答案:B2.观测量的数学期望就是它的真值A:错B:对答案:A3.衡量系统误差大小的指标为A:精确度B:准确度C:不确定度D:精度答案:B4.精度是指误差分布的密集或离散程度，即离散度的大小。
A:错B:对答案:B5.若两观测值的中误差相同，则它们的A:测量仪器相同B:真误差相同C:观测值相同D:精度相同答案:D第三章测试1.设L的权为1，则乘积4L的权P=（）。
A:1/4B:4C:1/16D:16答案:C2.有一角度测20测回，得中误差±0.42秒，如果要使其中误差为±0.28秒，则还需增加的测回数N=（）。
A:25B:45C:20D:5答案:A3.在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设25站。
A:对B:错答案:A4.已知距离AB=100m，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样的精度丈量CD的距离16次，CD=400m，则两距离丈量结果的相对中误差分别为（ 1/5000 ）、（1/20000 ）。
A:错B:对答案:B5.A:29B:35C:5D:25答案:D第四章测试1.当观测值为正态随机变量时，最小二乘估计可由最大似然估计导出。
A:对B:错答案:A2.多余观测产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。
A:对B:错答案:A3.在平差函数模型中，n、t、r、u、s、c等字母各代表什么量？它们之间有何关系？( n观测值的个数 )(t必要观测数 )(r多余观测数,r=n-t )(u所选参数的个数 )( s非独立参数的个数,s=u-t )( c所列方程的个数,c=r+u )A:对B:错答案:A4.A:对B:错答案:A5.A:错B:对答案:B第五章测试1.关于条件平差中条件方程的说法正确的是：A: 这r个条件方程应彼此线性无关B: 应列出r个条件方程C: r个线性无关的条件方程必定是唯一确定的，不可能有其它组合。
(整理)测量平差习题集
第二部分 自测题第一章 自测题一、判断题（每题2分，共20分）1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。
（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。
（ ）3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。
（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。
（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。
（ ）6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。
（ ）7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。
（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。
（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。
（ ）10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。
（ ）二、填空题（每空0.5分，共20分）1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。
3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。
经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。
仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。
若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。
6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。
8、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
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测量平差第三章思考题
3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差： （1）()12312
X L L L =++；
（2）12
3
L L X L =
3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，
12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。
3.3 设有观测向量[]1
2
331
T
L L L L =，其协方差阵为
4
000300
2LL
D ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L =
3.4 设有同精度独立观测值向量[]1
2
3
31
T
L L L
L
=的函数为113
s i n s i n AB
L Y S L =，
22AB Y L α=-，式中A B α和AB S 为无误差的已知值，测角误差1"σ=，试求函数的方差1
2
y σ、
2
2
y σ
及其协方差12
y y σ
3.5 在图中△ABC 中测得A A σ∠±，边长b b σ±，c c σ±，试求三角形面积的中误差s σ。
3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？
3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边
长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
3.9 以相同观测精度A ∠和B ∠，其权分别为14
A P =，12
B P =，已知8"B σ=，试求单位
权中误差0A σ∠和的中误差A σ。
3.10 已知观测值向量21L 的权阵为522
4LL P -⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
，试求观测值的权1L P 和2L P
答案：
3.1 (1)x σ=
, (2)3
x L
σ=
3.2 2x σσ=,y σ=,z σ=
,t σ=
3.3 1
22F D =,22
2
231827F D L L =+
3.4 ()1
222
2
2
113"2
2
3
cos
sin cot sin AB y S
L L L L σ
ρ
=
+⋅
()222
1y σ=秒
12
0y y σ
=
3.5 s σ=
3.6 最多可设25站 3.7 再增加5个测回
3.8 1
4.0P =，2
5.0P =，310.0P =，0()km σ=
3.9 "0 5.66σ=，"
11.31A σ=
3.10 1
4L P =，2
165
L P =。