抽样技术 7 不等概率抽样

汉森-赫维茨估计量估计给出总体总量的估计, 如果对总体均值估计可按下公式：
假设M 0是总体规模大小的度量

Y HH

Y HH 1 n yi M 0 M 0 n i 1 zi

n yi 1 2 v(Y HH ) 2 ( Y ) HH M 0 n(n 1) i 1 zi
6
放回不等概抽样
PPS抽样：有放回的不等概抽样
设总体包含N 个单元，M i是第i个单元的大小或规模的度量， i 1， ，N，总体的总规模度量为：M 0 M i
i 1 N Mi 则第i个单元的抽选概率为：Z i 0, Z i 1 M0 i 1 N
即抽样概率正比于规模度量，一次抽完后再放回，进行下 一次抽取。独立地进行这样的抽样n次，共抽到n个单元 （有可能重复，只调查一次，但计算时按重复数计算）。
因为是放回抽样，所以是独立样本，数理统计的结 论可以在这里应用。
对上述结论加以说明：
独立同分布样本 抽中概率 新变量 t
n
y1 z1 y1/ z1
i
y2 z2 y2 /z2
… … …
yn zn yn/zn
样本均值 t
t
i 1
n
1 n yi ˆ Y HH n i 1 zi
ˆ ）的无偏估计量为： V （）即 t V （Y HH
i
mi
yi
i
mi
yi
i
mi
yi
1*
2 3 4 5 6 7 8
38.23
13.70 0.75 2.85 2.00 5.00 10.80 2.00
10926
1024 13 30 1102 600 290 430
10
11 12 13 14 15 16 17
5.50
15.00 7.00 15.00 12.30 3.86 15.80 9.00
令M max M i
1i N

每次从 1，N 中简单随机地抽取一随机数a， 同时再独立从 1，M 中简单随机地抽取一随机数b。 若b M a , 则第a个单元入样，若b M a则重抽。 第i个单元被抽中的概率: 1 Mi zi =p{a=i,b M i }=p{a=i} p{b M i }= . N M 显然，zi M i
放回不等概率抽样实施方法 1.代码法
单元i 单元大小M i 1 2 N M1 M2 MN
代码 1， 2， M 1 M 1 1，M 1 2， ，M 1 M 2
M
j1
N 1
j
1， ， M j 2， M j MN M0
j1 j1
N 1
N 1
累计 6 151
代码 1~6 7~151
3
4 5 6 7
1.5
13.7 7.8 15 10
15
137 78 150 100
166
303 381 531 631
152~166
167~303 304~381 382~531 532~631
8
9 10
3.6
6 1.1 ＝73.8
36
60 11 738
667
1900
864 17 1045 220 4600 2370 940
19
20 21 22* 23 24 25 26
1.50
8.00 28.42 9.01 0.75 5.00 28.43 9.97
10
80 13672 3845 480 311 9284 842
9
8.81
992
18*
21.00
640
27
5.20
727 738
632~667
668~727 728~738
假设在[1,738] 中等概产生第一个随机数为354，再在[1,738]中产生第二 个随机数为553，最后在[1,738]中产生第三个随机数为493，则它们所对 应的第5，7，6号单元被抽中。
例：假设有10个乡，每个乡的村庄数不同，按pps抽3个乡 乡 1 2 3 村庄数Mi 累计 5 5 28 26 33 59 代码 1～5 6～33 34～59 结合一下整群抽样、 多阶段抽样
不等概率抽样的特点
1、凡需使用不等概率抽样的场合，必须提供总体单
元的某种辅助信息。 例如：每个单元的“大小”度量Mi。注意：比估计 和回归估计是估计方法用到了辅助信息，本章是抽 样方法用到辅助信息.
2、不等概率抽样的主要优点是由于使用了辅
助信息，提高了抽样策略的统计效率， 能 显著地减少抽样误差。
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
mi 15 23 9 29 8 31 24 29 13 19
yi 75 134 37 152 45 185 133 173 74 87

i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
mi 40 32 17 26 11 36 25 5 38 42
95422 75 56163 2 134 56163 2 177 56163 2 [( ) ( ) 2 ... ( ) ] 30 29 15 9542 23 9542 30 9542 2806070 ˆ ) 1675 v(Y （头） HH
例5.2：某部门要了解所属8500家生产企业当月 完成的利润，该部门手头已有一份去年各企 业完成产量的报告，将其汇总得到所属企业 去年完成的产量为3676万吨。考虑到时间紧， 准备采用抽样调查来推算当月完成的利润。 根据经验，企业的产量和利润相关性比较强， 且企业的特点是规模和管理水平差异比较大， 通常大企业的管理水平较高些，因此采用与 去年产量成比例的PPS抽样，从所属企业中抽 出一个样本量为30的样本。
不等概率抽样的分类
放回不等概抽样：按照总体单元的规模大小来确定在每次抽 中的概率。抽取后放回总体，再进行下一次抽样，每次抽 样都是独立的。这种抽样称为放回不等概抽样(sampling with probabilities proportional to sizes，简称PPS抽样) • 不放回的不等概抽样：每次在总体中对每个单元按入样概 率进行抽样，抽出的样本不再放回总体，因此，在抽取了 第一个单元后，余下的单元再以什么概率被抽取就较复杂。 这种抽样不是独立的，无论是抽样方法还是方差估计，都 要比放回抽样繁复得多。不放回抽样通常称为πPS抽样。
拉希里法抽样举例： 例5.1中，M=150,N=10.在[1,10],[1,150] 中分别产 生（ i,m）如下: 第一次 (3,121) , M3=15<121, 舍弃，重抽 ； 第二次（8，50），M8=36<50, 舍弃，重抽 ;
第三次 (7,77) , M7=100>77, 第7号单元入样；
4
5 6 7 8
14
10 38 7 50
73
83 121 128 178
60～73
74～83 84～121 122～128 129～178
9
10
2
8
180
188
179～180
181～188
放回不等概率抽样实施方法 2.拉希里法(二次抽取法)（统计学家Lahiri最先提出）： 设 M1, M2,…MN为单元的规模
样本单元被抽中的概率z1， ，zn , 则对总体总量Y的估计是
n 1 ˆ yi Y HH n i 1 zi ˆ ) Y (1) E (Y HH N Yi 1 ˆ (2)V (YHH ) Z i ( Y ) 2 n i 1 Zi n yi ˆ 2 1 ˆ ) ˆ )的无偏估计。 (3)v(Y ( YHH ) 是V (Y HH HH n(n 1) i 1 zi
第四次（5，127），M5=78<127, 舍弃，重抽 ; 第五次 (4,77), M4=137>77, 第4号单元入样； 第六次(9,60),M9=60≥60, 第9号单元入样； 因此第4，7，9号单元被抽中。
放回不等概率抽样对总体特征的估计 三、Hansen-Hurwitz（汉森-郝维茨）估计量及其性质：
yi 258 186 69 156 49 221 145 33 288 304
i 21 22 23 24 25 26 27 28
mi 19 26 37 21 7 43 18 30
yi 124 160 215 104 49 336 96 177
其中第2、19号被抽中两次
解：根据题中所给资料，n=30,M0=9542, 利用汉森-郝维茨估计量，则有：
Y HH 1 n yi M 0 n 1 zi n yi 1 mi
n
9542 75 134 177 ( 2 ... ) 56163(头) 30 15 23 30
2 n n y M yi ˆ 2 1 2 i 0 ˆ ) ˆ v(Y ( Y ) = ( YHH ) HH HH n(n 1) i 1 zi n(n 1) i 1 mi
不等概率抽样概述
2、抽样单元在总体中所占的地位不一致：例 如：要反映某小麦品种的优良情况，以村作 为抽样单位，但各村的种植面积不同，一些 种植面积大的村庄在抽样中是否被抽中对推 断总体的结果有很大影响 ，所以让“大单元” 被抽到的概率大，“小单元”被抽到的概率 小，这样能够大大提高样本的代表性，减少 抽样误差。
在PPS抽样中，赋予每个单元与Mi相等的代码 数，将代码数累加得到M0，每次抽样都等概产 生一个[1，M0]之间的随机数，设为m，代码m 所对应的单元被抽中。
例5.1 设某个总体有10个单元，相应的单元大小及其代码 数如下表，在其中产生一个n=3的样本。
i
1 2
Mi
0.6 14.5
Mi*10
6 145