中考数学专题：图形的变换
2024年中考数学二轮专题复习之图形变换(简单)
中考二轮专题复习之 图形变换 知识点归纳 考点一：对称有关概念 1.轴对称 （1）. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .（2）. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 .（3）.如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .2.中心对称（1）. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．（2）. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．（3）. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.（4）. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 . 对应训练1、如图，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（ ）2、如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）A.①③B. ①④C.②③D.②④3、已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4、如图，AD 是ΔABC 的中线，∠ADC=45°，把ΔADC 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC′与BC 之间的数量关系是 .5、如图，方格纸中有三个点A B C ，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．6、如图，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，C (一4，3)．(1) 在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′，并写出对应点的坐标；(2) 如果ABC △中任意一点M 的坐标为()x y ，，那么它的对应点N 的坐标是 ．7.如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在点Q 处，点D 落在点E 处，EQ 与BC 交于点F.若AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ，AE ＝4 cm ，则△EBF 的周长是________cm .8、如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝2，BD ＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B 与点O 重合，折痕为EF ，则五边形AEFCD 的周长为 ．9、如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，E 是CD 中点，将正方形ABCD 沿AM 折叠，使点B 的对应点F 落在AE 上，延长MF 交CD 于点N ，则DN 的长为 __________．考点二：平移旋转有关概念1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为__ ___，它是由移动的 和 所决定．2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转，叫做旋转中心， 叫做旋转角． 4. 图形的旋转由 、 和 所决定．①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针.③旋转 一般小于360º.5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .对应训练1、如图，下列图案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移且旋转得出的。
中考数学几何图形的变换历年真题解析
中考数学几何图形的变换历年真题解析几何图形的变换是中考数学中的重要内容，涉及平移、旋转、翻转等多种变换方式。
通过对历年真题的解析，我们可以更好地理解和掌握这些变换的方法和应用。
下面将对数学中考几何图形的变换部分进行详细解析。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着一定方向移动一定的距离，保持图形形状和大小不变。
在中考中，常常要求计算平移后的图形坐标或者确定平移向量的特征等。
例题1：已知点A(3,4)，将点A沿向量(2,-3)平移，记平移后的点为B。
求点B的坐标。
解析：根据平移的定义和向量的性质，我们知道平移后点的坐标等于原来点的坐标加上平移向量的坐标。
所以，点B的坐标为(3+2, 4-3)，即B(5,1)。
例题2：如图，平行四边形ABCD经过平移变换得到新的平行四边形A'B'C'D'，其中AB=3cm，CB=4cm，平移向量为v，求平移向量v的坐标。
解析：首先，我们可以利用平行四边形的性质推导出平移向量v的坐标与平行四边形的对应边的向量相等。
由于AB在变换前和变换后分别与A'B'、B'C'平行，所以v的坐标等于AB的坐标，即v=(3, 0)。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着一定的旋转中心按一定的角度旋转。
在中考中，常常要求计算旋转后的图形坐标或者确定旋转角度的特征等。
例题3：如图，A、B、C三点在平面内，点A经过逆时针旋转90°得到点B，点B经过逆时针旋转90°得到点C，求点C的坐标。
解析：根据旋转的性质，我们可以得出旋转90°后，点的坐标分别等于原来点的y坐标、-x坐标。
所以，点C的坐标为(-2, 3)。
例题4：如图，正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转90°得到新图形，求旋转后点C的坐标。
解析：根据旋转的性质，我们可以将旋转90°看作将原点逆时针旋转90°。
因此，旋转后点C的坐标为(-1, 1)。
中考数学总复习：图形的变换--知识讲解(基础)【含解析】
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】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解． 【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
【中考一轮复习】图形的变换---轴对称与中心对称课件
5.如图,将△ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,
折痕为MN,若AB=9,BC=6,则△DNB的周长为( A )
A.12 B.13
C.14
D.15
A
C
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
N
B
当堂训练
6.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90º,将△ABC折叠,使A点与
BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( C )
是( C ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
考点聚焦---轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合, 轴对称 那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称
轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
轴对称 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重 图形 合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
人教版中考数学第一轮总复习
第七单元 图形的变化
§7.3 轴对称与中心对称
目录
01 轴对称与轴对称图形 02 中心对称与中心对称图形
典型例题
【例1-1】下列四个图案中，不是轴对称图案的是( B )
A．
B．
C．
D．
解：A有3条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；
B没有对称轴，不是轴对称图形，故本选项正确；
△CDA,点A,B,C的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐
标为( A )
A.(2,2) C.(2,5)
B.(2,-2) D.(-2,5)
y
A
D
A
x
B
C
做关于对称中心的对称点.
中考数学复习资料：图形的变换
中考数学复习资料：图形的变换考点一、平移(3~5分) 1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质(1)平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。
考点二、轴对称(3~5分)1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
考点三、旋转(3~8分)1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
考点四、中心对称(3分)1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
专题11 图形的变换-2020年中考数学真题分专题训练(浙江专版)(学生版)
专题11图形的变换1.【2020年浙江省杭州市中考数学试卷】如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝2，BE＝﹣1．2.【2020年浙江省湖州市中考数学试卷】七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A．1和1B．1和2C．2和1D．2和23.【2020年浙江省湖州市中考数学试卷】已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC 边的点P处(不与点A，C重合)，折痕交BC边于点E．(1)特例感知如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；(2)变式求异如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；(3)化归探究如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．4.【2020年浙江省嘉兴、舟山市中考数学试卷】如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是()A．2B．C．D．5.【2020年浙江省嘉兴、舟山市中考数学试卷】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM 的长为cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为(﹣)cm．6.【2020年浙江省嘉兴、舟山市中考数学试卷】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3)．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连结OB，OE(如图4)．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．7.【2020年浙江省丽水市中考数学试卷】下列四个图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．8.【2020年浙江省丽水市中考数学试卷】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是()A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9.【2020年浙江省丽水市中考数学试卷】如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．10.【2020年浙江省丽水市中考数学试卷】图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD(点A与点B重合)，点O 是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是16cm．(2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时，A，B两点的距离为cm．11.【2020年浙江省丽水市中考数学试卷】如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．(1)求BC边上的高线长．(2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长12.【2020年浙江省绍兴市中考数学试卷】将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是()A．B．C．D．13.【2020年浙江省绍兴市中考数学试卷】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO 交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形14.【2020年浙江省绍兴市中考数学试卷】如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数()A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小15.【2020年浙江省绍兴市中考数学试卷】如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为4．16.【2020年浙江省绍兴市中考数学试卷】将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的①②③④(填序号)．①，②1，③﹣1，④，⑤．17.【2020年浙江省绍兴市中考数学试卷】如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α(0°≤α＜180°)得到△A′B′C′．(1)当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．(2)在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．18.【2020年浙江省宁波市中考数学试卷】图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)19.【2020年浙江省台州市中考数学试卷】如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C(0，-1)对应点的坐标为()A. (0，0)B. (1，2)C. (1，3)D. (3，1)20.【2020年浙江省台州市中考数学试卷】把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD(单位：cm)为()A. 7+B. 7+C. 8+D. 8+21.【2020年浙江省台州市中考数学试卷】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________(用含a，b的代数式表示)．22.【2020年浙江省台州市中考数学试卷】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，(1)求证：△BEF是直角三角形；(2)求证：△BEF∽△BCA；(3)当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．23.【2020年浙江省温州市中考数学试卷】如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为_______米，BC为_______米．24.【2020年浙江省温州市中考数学试卷】如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DE ，BF 分别平分∠ADC ，∠ABC ，并交线段AB ，CD 于点E ，F (点E ，B 不重合)．在线段BF 上取点M ，N (点M 在BN 之间)，使BM ＝2FN ．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ．记QN ＝x ，PD ＝y ，已知6125y x =-+，当Q 为BF 中点时，245y =． (1)判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由；(2)求DE ，BF 的长；(3)若AD ＝6．①当DP ＝DF 时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；②连结PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的x 的值．25.【2020年浙江省衢州市中考数学试卷】二次函数2y x =的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位26.【2020年浙江省衢州市中考数学试卷】如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB 的长度为A B C D．4 327.【2020年浙江省衢州市中考数学试卷】小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”．已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h 的值为dm．28.【2020年浙江省衢州市中考数学试卷】图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上(如图3)．(1)点P到MN的距离为cm；(2)当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．。
人教版中考专题数学 图形的变换基础 演练方阵学生版
演练方阵图形的变换基础平移类型一：图形的平移☞考点说明：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移是图形变换的一种基本形式，平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的．【易】1.下列几个汽车的车标图案中，可以看做是由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【易】2.如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（）A．B．C．D．【易】3.下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【易】4.下列生活中的现象，属于平移的是（）A．升降电梯从底楼升到顶楼B．闹钟的钟摆的运动C．DVD片在光驱中运行D．秋天的树叶从树上随风飘落【中】5.如图，将图中的“小船”平移，使点A平移到点A′，画出平移后的小船．【难】6.花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了三种不同的图案，如图（1）、图（2）、图（3）所示，其中的阴影部分用于种植花草，试比较三种方案中用于种植花草部分的面积的大小，并用平移的知识说明理由．类型二：平移的性质及相关计算☞考点说明：根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．【易】1.如图，将△ABC平移后得到△DEF，若∠A=44°，∠EGC=70°，则∠ACB的度数是（）A．26°B．44°C．46°D．66°【易】2.如图所示，将△ABC沿着XY方向平移一定的距离成为△MNL，就得到△MNL，则下列结论中正确的有（）①AM∥BN；②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNL．A．1个B．2个C．3个D．4个【易】3.已知△ABC的边BC在直线l上，且BC=5，现把△ABC沿着直线l向右平移到△DEF 的位置，若EC=2，则△ABC平移的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．1【中】4.如图，在△ABC中，BC=6，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若A′B′恰好经过AC的中点O，则AA′的长度为．【中】5.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．25 D．26【中】6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC 沿直线BC 向右平移2个单位得到△DEF ，连接AD ，则下列结论：①AC ∥DF ，AC=DF ；②ED ⊥DF ；③四边形ABFD 的周长是16；④S 四边形ABEO =S 四边形CFDO ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【中】7.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC=3，则△ABC 移动的距离是（ ）A ．23B ．33C ．26D ．263 类型三：坐标轴中的平移变换☞考点说明：根据平移前后点的坐标的变化特点可知：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．而平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．【易】1.如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC 平移到△DEF 的位置，下面正确的平移步骤是（ ）A ．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位【易】2.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（2，﹣2）【中】3.已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）【中】4.在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）【中】5.如图，平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a，b的值分别为（）A．1，3 B．1，2 C．2，1 D．1，1【中】6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），若将△ABC平移后，点A的对应点A1的坐标为（1，2），则点C 的对应点C1的坐标为（）A．（﹣1，5）B．（2，2）C．（3，1）D．（2，1）【难】7.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对称点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．【难】8.把△ABC经过平移后得到△A′B′C′，已知A（4，3），B（3，1），B′（1，﹣1），C′（2，0）（1）求A′与C的坐标；（2）求△ABC的面积．【难】9.已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【难】10.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（3）连接AB1，B1C，△AB1C的面积=．【难】11.画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；利用网格点和三角板画图或计算：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．类型四：平移在几何证明中的应用☞考点说明：根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．在几何综合问题中，平移能够提供边相等、角相等的条件，平移前后的图形大小完全相同，且对应边是互相平行的. 【中】1.如图．在△ABC中．∠ACB=90°，请解答下列问题：（1）如图①，①是边AB上的高．∠A与∠BCD有什么关系？说明理由．（2）如图②，将CD向右平移至ED．∠A与哪个角相等？说明理由．（3）如图③．将CD向左平移至ED．∠A与哪个角相等？说明理由．【中】2.如图，等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与EF重合，设移动xs后，三角形与正方形重合部分的面积为y cm2（1）当x=2，7时，y的值分别为多少？（2）求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．【难】3.如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN=120°．（1）若∠ADQ=110°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）【难】4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC．将△EDC演这个C方向平移得到△E1D1C1．（1）当点D1刚好落在斜边AB上如图1，求平移距离；（2）设E1D1与边BC交于点N，C1D1与边AB交于点M，当MN∥AC时，求平移的距离．【难】5.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN 上，且∠C=∠OAB=108°，点F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）求证：AB∥OC（2）求∠BOE的度数；（3）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（4）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．轴对称（翻折）类型一：轴对称图形及轴对称变换☞考点说明：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，而这条直线就是对称轴；若两个图形沿着某条直线折叠后能够重合，则这两个图形成轴对称.【易】1.下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（）A．上海自来水来自海上B．有志者事竞成C．清水池里池水清D．蜜蜂酿蜂蜜【易】2.下列图形中，是轴对称图形的有（）①线段；②角；③等腰三角形；④平行四边形；⑤长方形；⑥正方形；⑦圆．A．4个B．5个C．6个D．7个【易】3.如图所示的图形中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【易】4.京剧和民间剪纸是我国的两大国粹，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．下列四个京剧脸谱的剪纸中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【易】5.指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．【易】6.判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【中】7.如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（）A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01【中】8.下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（）A．6 B．7 C．8 D．9【中】9.把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M【中】10.如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．【中】11.尺规作图：把如图（实线部分）补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）．类型二：轴对称的性质及相关计算☞考点说明：根据轴对称的性质可知：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上；④对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【易】1.如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是（）A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线l垂直平分AB、CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形D．AD=BC，OD=OC【易】2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C′=30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【易】3.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．15 cm【易】4.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【中】5.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB=．类型三：坐标轴中的轴对称变换☞考点说明：根据平面直角坐标系中的点的对称的特点可知：如果两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数；如果两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数. 【易】1.已知：如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标．【易】2.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．请在图中作出△ABC关于y轴对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标．【中】3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）A1B1C1（3）求△ABC的面积．【中】4.如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．【难】5.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l过点M（3，0）且平行于y轴．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求P1P2的长．（用含a的代数式表示）（3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点P位置的变化而变化．类型四：折叠问题的处理☞考点说明：根据折叠的性质可知：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．【易】1.如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC一定是全等三角形【易】2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠BAD′的大小是（）A．30°B．45°C．50°D．60°【易】3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．【中】4.如图，在矩形ABCD 中BC=8，CD=6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，则DE 的长是（ ）A ．3B ．524C ．5D ．1689【中】5.如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为34且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．32【中】6.如图，已知AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，使得点C 落在点E 的位置，BC=6；求线段BE 的长．【中】7.在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 边的中点，将△ADC 沿着AC 折叠，得到△AEC ．（1）如图1，求证：四边形ADCE 是菱形；（2）如图2，若BC=43AC ，菱形ADCE 的面积为24，求AB 边的长．【难】8.在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD ．（1）如图1，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD=6时，求AE 的值．（2）如图2，在AC 上取一点E ，使得CE=31AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证：DF=CF ．【难】9.如图，长方形纸片ABCD ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，连接EF ，将∠BEF 对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．类型五：最短路径问题☞考点说明：最短距离的问题是一类问题，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题，其本质都是对三点共线问题的应用．【易】1.已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【易】2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC与点D，EF垂直平分AB，交AC于F，在EF上确定一点P使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【中】3.如图，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于（）A．74B．74+3 C．74﹣3 D．3【中】4.如图，在半径为1的⊙O中，∠BAC=30°，点D是劣弧CB的中点，点P是直径AB上的一个动点，则CP+DP的最小值为（）A．2B．322C．3D．12【中】5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P是对角线BD 上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是（）A．3B．23C．332D．33【中】6.如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【难】7.已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．（1）求CD的长；（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．【难】8.阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A，B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A ，B 分别向x 轴、y 轴作垂线AM 1、AN 1和BM 2、BN 2，垂足分别是M 1、N 1、M 2、N 2，直线AN 1交BM 2于点Q ，在Rt △ABQ 中，AQ=|x 1﹣x 2|，BQ=|y 1﹣y 2|，∴AB 2=AQ 2+BQ 2=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为：（1）AB= ．（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A （1，﹣3），B （﹣2，1）之间的距离为 ；（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式()2222132+-++x x 的最小值．旋转类型一：旋转对称图形及旋转变换☞考点说明：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的定义可以判断旋转的角度及旋转后的图形．将基本的图形经过多次的旋转就能够设计出美丽的复杂图案.【易】1.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）A ．B ．C ．D ．【易】2.下列运动属于旋转的是（ ）A．扶梯的上升B．一个图形沿某直线对折过程C．气球升空的运动D．钟表的钟摆的摆动【易】3.下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（）A．B．C．D．【中】4.把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．72°【中】5.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2012次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．【中】6.如图是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F 点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．（A）60°；（B）120°；（C）180°；（D）以上答案都不对．类型二：中心对称及作图☞考点说明：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形绕着某一个点旋转180°后能够与另一个图形重合，这两个图形就是成中心对称关系.根据中心对称及中心对称图形的定义可以进行相关的作图.【易】1.已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上【易】2.如图，四边形ABD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【易】3.下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【中】4.如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC=4，则E′D′=（）A．2 B．3 C．4 D．1.5【中】5.已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．【中】6.在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．类型三：平面直角坐标系中的旋转变换☞考点说明：根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心连线所成的角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，因此可以利用这一性质，在平面直角坐标系（或网格）中进行相关的点的坐标的计算及作图.其中，旋转180°即为中心对称.【易】1.线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，1）D．（﹣1，﹣3）【易】2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，0）【易】3.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣6，1），C （﹣1，1），将△ABC绕着原点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1，则点B的对应点B1的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（4，﹣3）C．（﹣1，﹣1）D．（6，﹣1）【中】4.已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转90°得AB，则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣3，2）C．（﹣1，5）D．（3，﹣2）【中】5.如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC 绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，则点C′的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（22，22）类型四：旋转的性质及相关计算☞考点说明：根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．旋转前后的图形全等，则可以为几何的证明和计算提供相等的边和相等的角.【易】1.如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【易】2.如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 边的延长线上，下列结论错误的是（ ）A ．∠BCB′=∠ACA′B ．∠ACB=2∠BC ．∠B′CA=∠B′ACD ．B′C 平分∠BB′A′【中】3.如图，将△ABC 沿BC 翻折得到△DBC ，再将△DBC 绕C 点逆时针旋转60°得到△FEC ，延长BD 交EF 于H ．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF 的面积为（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．23【中】4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是BC 的中点，P 是A'B'的中点，连接PM ．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【中】5.如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．求证：EF=EH．【难】6.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结BC′，求BC′的长．【难】7.如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．。
2023中考九年级数学分类讲解 第十三讲 图形的变换、立体图形的展开与折叠(含答案)(全国通用版)
第十三讲图形的变换、立体图形的展开与折叠专项一轴对称与中心对称知识清单1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条直线，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线，直线两旁的部分能够互相，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的．3．轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形；（2）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴，对应线段，对应角．4．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做．5．中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的．6．中心对称的性质：（1）成中心对称的两个图形；（2）成中心对称的两个图形，对应线段，对应角，对应点的连线都经过，且被对称中心．考点例析例1以下是我国部分博物馆的标志图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D分析：根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐项判断即可．例2如图1，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，P是线段AC上一动点，点M在线段AB上．当AM＝13AB时，PB+PM的最小值为（）A．B．C．2D．3图1 图2分析：如图2，作点B关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，此时PB+PM的值最小，为B'M 的长．在Rt△ABC中，由∠A＝30°，AB＝6，可求得BC，进而求得B'B，过点B'作B'H⊥AB于点H，解Rt△B'HB，得B'H，BH的长，结合AM＝13AB，可求得MH，最后在Rt△B'HM中，利用勾股定理求出B'M，即可得解．归纳：在一条直线同侧有两点，则直线上存在到两点的距离之和最短的点，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点．跟踪训练1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D2.在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是．3.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，D是AB边上一点，点B关于直线CD的对称点为B′．若B′D∥AC，则∠BCD的度数为．第3题图第4题图4.如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上任意一点，则AP+PQ 的最小值为．专项二图形的平移知识清单1．平移：在平面内，把一个图形由一个位置整体沿某一直线方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．2．平移两要素：平移的和平移的．3．平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形；（2）平移前后，对应线段（或在同一条直线上）且，对应角；（3）平移前后，连接对应点的线段（或在同一条直线上）且．考点例析例如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为．分析：由平移的性质可知BE＝CF，结合题中给出的数据计算即可．跟踪训练1.四盏灯笼的位置如图所示，已知点A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b）．若平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位长度B．将C向左平移4个单位长度C．将D向左平移5.5个单位长度D．将C向左平移3.5个单位长度第2题图2.在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位长度得到点A2，则点A2的坐标为．3.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（﹣1，1）和（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是．专项三图形的旋转知识清单1．旋转：在平面内，把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，点O 叫做，转动的角叫做．2．旋转三要素：、和．3．旋转的性质：（1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形；（2）对应点到的距离相等；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于．考点例析例如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE．若∠E＝70°，AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°分析：由旋转的性质，得∠BAD ＝55°，∠C ＝∠E ＝70°，再由直角三角形的性质，得∠DAC 的度数，进而得解．归纳：图形的旋转为全等变换，解题时可充分利用其性质，得出线段的长或角的度数．另外，注意旋转角为60°时考虑运用等边三角形的性质，旋转角为90°时考虑运用等腰直角三角形的性质．跟踪训练1.如图，在△AOB 中，AO ＝1，BO ＝AB ＝32．将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得到△A ′OB ′，连接AA ′，则线段AA ′的长为（ ）A ．1BC ．32 D第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 'B 'C ，点B 的对应点B '在AC 边上（不与点A ，C 重合），则∠AA 'B '的度数为（ ）A ．αB ．α﹣45°C ．45°﹣αD ．90°﹣α3.如图，在平面直角坐标系中，线段OA 与x 轴正方向的夹角为45°，且OA ＝2．若将线段OA 绕点O 沿逆时针方向旋转105°得到线段OA ′，则点A ′的坐标为（ ）A ．)1-B ．(-C ．()D ．(1,第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的坐标为（﹣3，3），将点A 绕点C 顺时针旋转90°得到点B ，则点B 的坐标为 ．专项四立体图形的展开与折叠知识清单正方体的表面展开图考点例析例1 下列图形是正方体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据正方体的表面展开图的特征解答即可．归纳：判断正方体表面展开图的方法：（12）若展开图有三行，3布在该图形上下两侧．借助这些方法可采用排除法快速判断正方体的表面展开图．例2 如图是一个正方体的表面展开图，把它折叠成正方体后，有“学”字一面的相对面上的字是（）A．雷B．锋C．精D．神分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答即可．归纳：判断正方体表面展开图的相对面的方法：（1）在一条直线上的三个正方形，首尾两个正方形一定是正方体的相对面；（2）由几个小正方形组成的“Ｚ”字型两端的小正方形是相对面．正方体的每个面都有且只有一个相对面，所以在展开图中分析每个小正方形相对面的个数也可用来判断其是否能围成正方体．跟踪训练1.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（）A B C D2.把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱第2题图第3题图3.一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图所示，则下列判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表专项五投影知识清单1．一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．2．投影分为投影（由平行光线形成的投影，如太阳光线）和投影（由点光源发出的光线形成的投影）．3．在平行投影中，当投影线与投影面时，物体在投影面上的投影叫做正投影．平面图形的正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．考点例析例在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，某一高楼的影长为60 m，那么这幢高楼的高度是（）A．18 m B．20 m C．30 m D．36 m分析：设此高楼的高度为x m，根据同一时刻物高与影长成正比例列出关于x的比例式，求解即可．归纳：投影中蕴含着相似三角形，借助相似三角形的性质进行相关计算可使问题迎刃而解．跟踪训练1.如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A B C D2.学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7 m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8 m到达点D处，测得影子DE长为2 m，则路灯灯泡A 离地面的高度AB为m．第2题图专项六三视图知识清单1．对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做．2．画三视图时，三个视图都要放在正确的位置，并且注意视图与视图的长对正，视图与视图的高平齐，视图与视图的宽相等．考点例析例1一个几何体如图1所示，它的左视图是（）A B C D 图1分析：左视图是由左向右观察物体的视图．归纳：画三视图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，并规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线，不能漏掉．例2 由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图2所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（）A．4个B．5个C．7个D．8个图2分析：由左视图第一行有1个正方形，结合俯视图可知几何体上面一层有1或2个小立方块，由左视图第二行有2个正方形，结合俯视图可知几何体下面一层有4个小立方块，所以该几何体有5或6个小立方块．例3 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A．12πB．18πC．24πD．30π图3分析：观察三视图可知该几何体是空心圆柱，根据圆柱体积公式结合图中数据计算即可．归纳：根据三视图计算几何体的表面积或体积时，首先要确定几何体的形状，若是常见几何体，根据几何体的表面积公式或体积公式直接计算即可；若是较复杂的组合体，可拆分成常见几何体再进行计算．注意要准确判断三视图中的已知数据在实物图中对应的含义．跟踪训练1.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．长方体C．球D．圆柱第1题图第2题图2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，其左视图是（）A B C D3.如图，该几何体的左视图是（）A B C D第3题图第4题图4.如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）A ．7.2πB ．11.52πC ．12πD ．13.44π第5题图 第6题图 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）A ．214°B ．215°C ．216°D ．217°专项七 图形变换中的分类讨论思想知识清单在解决图形变换的有关问题时，由于经过变换的图形位置或形状不确定常导致问题的结果有多种可能，这时就需要把待求解的问题根据图形变换的可能性结合题目要求进行分类讨论，分类讨论时要选择恰当的分类标准，做到不重复、不遗漏．考点例析例 如图1，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，E 为射线BC 上一动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于M ，N 两点．当B ′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为（ ）A ．32BC ．32D图1分析：当MB '＝13MN 时，如图2所示；当NB '＝13MN 时，如图3所示．可设BE ＝x ，由折叠的性质表示出相关线段，再在Rt△B'EN中，利用勾股定理列方程即可求得BE的长．图2 图3跟踪训练1.如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．()4-或()-C．()-或()2-D．(2,-或(-第1题图第3题图2.）在矩形ABCD中，AB＝2 cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD 交于点E，且DE＝3 cm，则矩形ABCD的面积为cm2．3.如图，腰长为2的等腰三角形ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处．当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．参考答案专项一轴对称与中心对称例1 A 例2 B1．D 2．（2，﹣4）3．33°4专项二图形的平移例 31．C 2.（0，﹣2） 3.（4，﹣1）专项三图形的旋转例 C1．B 2．C 3．C 4.（2，2）专项四立体图形的展开与折叠例1 C 例2 D1．D 2．A 3．A专项五投影例 D1．D 2．8.5专项六三视图例1 B 例2 B 例3 B1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．C专项七图形变换中的分类讨论思想例 D1．C 2．(或(6-3或- 11 -。
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浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编专题4：图形的变换一、选择题1.（2012浙江湖州3分）下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是【】A．B．C．D．【答案】D。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于从主视图、左视图、俯视图可以看出这个几何体的正面、左面、底面是长方形，所以这个几何体是长方体。
故选D。
2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）下列图案中，属于轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形。
故选A。
3. （2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A．①B．②C．③D．④【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。
故选B。
4. （2012浙江丽水、金华3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【】A．①B．②C．⑤D．⑥【答案】A。
【考点】生活中的轴对称现象。
【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞。
故A。
5. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】A．2010 B．2012 C．2014 D．2016【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，∴2016既是三角形数又是正方形数。
故选D。
6. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，逐一分析判断：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
7. （2012浙江宁波3分）如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是【】A．四面体B．直三棱柱C．直四棱柱D．直五棱柱【答案】B。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】只有直三棱柱的视图为1个三角形，2个矩形，故选B。
8. （2012浙江宁波3分）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是【】A．41 B．40 C．39 D．38【答案】C。
【考点】正方体相对两个面上的文字。
【分析】∵三个骰子18个面上的数字的总和为：3（1+2+3+4+5+6）=3×21=63，看得见的7个面上的数字的和为：1+2+3+5+4+6+3=24，∴看不见的面上的点数总和是：63﹣24=39。
故选C。
9. （2012浙江衢州3分）长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为【】A．3 B．4 C．12 D．16【答案】A。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，从而得出：左视图面积=宽×高=1×3=3。
故选A。
10. （2012浙江绍兴4分）如图所示的几何体，其主视图是【】A．B．C．D．【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】从物体正面看，看到的是一个等腰梯形。
故选C。
11. （2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【】A ．B ．C ．D ．【答案】B 。
【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。
【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n 个灯的里程数为10+40（n ﹣1）=（40n ﹣30）米，由51040n 30550≤≤﹣，解得1113n 1422≤≤，∴n=14。
当n=14时，40n ﹣30=530米处是灯，则510米、520米、540米处均是树。
∴从此路牌起向右510m ～550m 之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。
故选B 。
12. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为【 】A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=12BC=52，AD1=AD﹣DD1=158，AD2=25532⨯，AD3=37532⨯，…∴AD n=21532nn+⨯。
故AP1=54，AP2=1516，AP3=26532⨯…APn=12532nn-⨯。
∴当n=14时，AP6=512532⨯。
故选A。
13. （2012浙江台州4分）如图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图为【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层左边有1个正方形，下层有2个正方形。
故选A。
14. （2012浙江台州4分）在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】中心对称。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，符合此定义的只有选项B。
故选B。
15. （2012浙江温州4分）我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是【】。
【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体：主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，故选B。
16. （2012浙江义乌3分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】简单几何体的三视图。
【分析】主视图是分别从物体正面看，所得到的图形，因此，A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B、球的主视图是圆，故此选项正确；C、圆锥的主视图是三角形，故此选项错误；D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；故选B。
17. （2012浙江义乌3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为【】A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C。
【考点】平移的性质。
【分析】根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。
又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。
故选C。
二、填空题1. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为▲ ．【答案】（﹣1，1），（﹣2，﹣2）。
【考点】利用轴对称设计图案。
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标：如图所示：A′（﹣1，1），A″（﹣2，﹣2）。
2. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是▲ ．【答案】50°。
【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：连接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。
∴BO＝CO。
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB＝∠OAC＝25°。
∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。
∴∠OBC＝65°－25°＝40°。
∴∠OBC＝∠OCB＝40°。
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。
∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。
3. （2012浙江宁波3分）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为▲ ．【答案】y=﹣（x+1）2﹣2。
【考点】二次函数图象与几何变换，旋转的性质。
【分析】∵二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），∴绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）。