第十三章 统计物理基本概念
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波的非相干叠加
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22
波的相干叠加
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微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运 动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或 量子数来描述的。
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。
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统计物理的基本概念
基本出发点：微观性质和质点力学 基本原理：大量微观粒子系统的状态演化由 概率大小决定 基本假定：等概率假设 基本方法：概率统计分析
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热力学:是一门唯象理论,它由四个经验规律 出发,演绎得到的各种宏观的热力学规律. 统计物理学:从微观性质出发,基于最基本的 假定,应用统计分析的方法得到各种宏观性质.
当一个物质系统的任何具有作用量纲的物 理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个 物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统 的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数 来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力 学来研究。
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例一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)
电子、质子、中子等粒子具有内禀的角动量， 称为自旋角动量 S ，其平方的数值等于 S 2 S(S 1) 2， S 称为自旋量子数，可以是整数或半整数。电子的自旋 量子数为 ½ 。
小球数按空间 位置 x 分布曲线
x Δx
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6
统计规律
在一定的宏观条件下 大量偶然事件在整体上表 现出确定的规律
统计规律必然伴随着涨落
统计物理知识点总结
统计物理知识点总结一、统计力学的基本概念1. 微观态和宏观态统计物理研究的对象是处于宏观系统中的微观粒子，其中微观态是指粒子的位置和动量的具体取值，宏观态是指系统的宏观物理性质，例如温度、压强等。
2. 系统的能级系统的能级是指系统各种可能的微观态所对应的能量值，通常将系统的能级表示为E_i，i=1,2,3,...,N。
3. 概率分布统计物理中，概率分布描述了系统各种微观态出现的概率，通常表示为P_i，i=1,2,3,...,N。
4. 统计物理的基本假设统计物理的基本假设包括系统处于平衡态、系统微观态的等可能性、独立粒子假设等，这些假设为统计物理的推导提供了基本条件。
二、玻尔兹曼分布1. 玻尔兹曼分布的概念玻尔兹曼分布描述了理想气体在平衡状态下各个微观态的出现概率与相应能级之间的关系，通过玻尔兹曼分布可以推导出热力学的一些基本性质。
2. 玻尔兹曼分布的表达式玻尔兹曼分布的概率分布表达式为P_i=exp(-E_i/kT)/Z，其中E_i表示系统的能级，k为玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，Z为配分函数。
3. 玻尔兹曼分布的重要性质玻尔兹曼分布是理想气体状态密度的重要分布律，它描述了系统各个微观态的出现概率与相应能级之间的关系，为热力学性质的计算提供了重要依据。
三、配分函数1. 配分函数的概念配分函数是统计物理中的一个重要概念，它描述了系统各个微观态的出现概率和相应能级之间的关系，可以用来计算系统的热力学性质。
2. 配分函数的表达式配分函数通常用Z表示，它的表达式为Z=Σ(exp(-E_i/kT))，其中E_i表示系统的能级，k 为玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，Σ表示对系统所有可能的微观态求和。
3. 配分函数的重要性质配分函数是统计物理的重要概念之一，通过配分函数可以计算系统的内能、熵、平均能级等重要热力学性质，它是统计物理推导的基础。
四、热力学性质1. 内能系统的内能是系统中所有粒子的动能和势能之和，通过配分函数可以计算系统的内能，它是系统热力学性质的重要参量。
统计物理学
研究方法
J.W.吉布斯把整个系统作为统计的个体，提出研究大量系统构成的系综在相宇中的分布，克服了气体动理论 的困难，建立了统计物理。在平衡态统计理论中，对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综；对于可 以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正 则系综。这是三种常用的系统，各系综在相宇中的分布密度函数均已得出。量子统计与经典统计的研究对象和研 究方法相同，在量子统计中系综概念仍然适用。区别在于量子统计认为微观粒子的运动遵循量子力学规律而不是 经典力学规律，微观运动状态具有不连续性，需用量子态而不是相宇来描述。
研究对象
研究对象从少量个体变为由大量个体组成的群体，导致规律性质和研究方法的根本变化，大量粒子系统所遵 循的统计规律是不能归结为力学规律的。统计物理是由微观到宏观的桥梁，它为各种宏观理论提供依据，已经成 为气体、液体、固体和等离子体理论的基础，并在化学和生物学的研究中发挥作用。气体动理论（曾称气体分子 运动论）是早期的统计理论。它揭示了气体的压强、温度、内能等宏观量的微观本质，并给出了它们与相应的微 观量平均值之间的关系。平均自由程公式的推导，气体分子速率或速度分布律的建立，能量均分定理的给出，以 及有关数据的得出，使人们对平衡态下理想气体分子的热运动、碰撞、能量分配等等有了清晰的物理图像和定量 的了解，同时也显示了概率、统计分布等对统计理论的特殊重要性。
非平衡态统计物理内容广泛，是尚在迅速发展远未成熟的学科。对处于平衡态附近的系统，研究其趋于平衡 的弛豫时间及其与温度的依赖关系；对离平衡不太远，维持温度差、浓度差、电势差等而经历各种输运过程的系 统，研究其各种线性输运系数，另外，还研究涨落现象。弛豫、输运、涨落是平衡态附近的主要非平衡过程。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是研究大量粒子系统的行为和性质的物理学分支。
它基于统计学和概率论的方法，通过对粒子的统计行为进行建模和分析，揭示了微观粒子行为与宏观现象之间的关联。
本文将介绍统计物理学的基本原理，包括热力学、熵、配分函数和统计力学等方面。
热力学与统计物理学热力学是研究能量转化和宏观系统性质的科学。
它通过定义一些宏观量（如温度、压力、体积等）来描述系统状态，并建立了一系列定律（如能量守恒定律、熵增定律等）来描述系统的行为。
然而，热力学无法解释系统内部微观粒子的行为，而统计物理学正是为了弥补这一不足而发展起来的。
统计物理学通过对大量粒子的统计行为进行建模，从微观层面揭示了宏观现象背后的规律。
它将粒子看作是具有一定能量和状态的个体，通过概率论和统计学的方法来描述粒子的分布和相互作用。
通过对粒子的统计行为进行平均，可以得到宏观系统的性质，如温度、压力等。
熵与统计物理学熵是描述系统无序程度的物理量，也是统计物理学中一个重要的概念。
根据热力学第二定律，系统的熵总是趋向于增加，即系统总是朝着更加无序的状态演化。
统计物理学通过对粒子的分布和状态进行统计，可以定量地描述系统的熵。
在统计物理学中，熵可以通过配分函数来计算。
配分函数是描述系统状态的函数，它包含了系统所有可能的微观状态，并与系统的能量和温度相关。
通过对配分函数进行求导和积分，可以得到系统的各种宏观性质，如内能、熵等。
配分函数与统计力学配分函数是统计物理学中一个重要的工具，它用于描述系统的状态和性质。
配分函数包含了系统所有可能的微观状态，并与系统的能量和温度相关。
通过对配分函数进行求导和积分，可以得到系统的各种宏观性质。
在统计力学中，配分函数起到了连接微观和宏观之间的桥梁作用。
通过对配分函数的计算，可以得到系统的平均能量、熵等宏观性质。
同时，配分函数还可以用于计算系统的平衡态和非平衡态下的性质，如相变、相平衡等。
统计力学与量子力学统计力学在量子力学中也有着重要的应用。
统计物理初步
统计物理初步统计物理是一门研究物理系统的数量特征和规律的学科。
它利用概率论和数学方法，从微观层面出发，研究宏观物理规律。
统计物理在各领域中有广泛的应用，如热力学、固体物理、高能物理、天体物理、计算物理等。
本文将介绍统计物理的基本概念和主要内容。
基本概念统计物理的基本概念包括微观状态、宏观状态和分配函数。
微观状态指的是一个物理系统所有粒子的状态和位置等微观信息。
每个粒子的状态包括其能量、自旋、位置、动量等参数。
微观状态信息的不同，对应着不同的宏观物理性质。
宏观状态是指宏观上观察到的物理性质，如温度、压力、体积、熵等。
宏观状态能够表示出微观状态的特征，它与微观态的关系是统计物理的核心问题之一。
分配函数描述了微观状态与宏观状态之间的联系。
分配函数是一种用数学语言描述物系的数学函数，常用的分配函数有配分函数和配合函数。
它们是微观状态的函数，确定了微观状态出现的可能性，从而给出了宏观状态的描述。
扩大规模与独立性假设统计物理在研究物理系统时通常采用扩大规模和独立性假设。
扩大规模是指将物理系统的规模不断扩大到非常庞大的程度，以致于观察宏观性质时可以不考虑微观的详细信息。
独立性假设是指认为粒子之间相互作用可以被平均掉，从而使得粒子之间的相互作用可以视为独立的。
举个例子，假设我们要研究一杯水的温度，采用扩大规模和独立性假设的方法，可以认为水分子之间相互作用可以被视为独立的，从而可以考虑每个水分子的能量，将每个水分子的能量加起来得到总能量，再利用分配函数得到整个系统的温度。
统计力学统计力学是统计物理的一部分，它研究物理系统的动力学性质，如宏观物理量的演化、时间演化、相变等。
统计力学通常采用配分函数方法，通过计算配分函数的方式来求解各物理量。
配分函数是统计力学中的一个重要概念。
它是与温度、能量等宏观物理量相联系的微观状态量函数，揭示了不同微观状态所占的比例。
配分函数可以用来计算各种宏观物理量，如内能、自由能、熵等。
当配分函数和实验数据相符合时，我们可以得到关于物理系统的各种宏观性质，从而可以进一步深入研究物理性质。
热力学和统计物理
热力学和统计物理一、基本概念1. 热力学- 系统与外界- 热力学研究的对象称为系统，系统以外与系统有相互作用的部分称为外界。
例如，研究气缸内气体的性质时，气缸内的气体就是系统，气缸壁、活塞以及周围的环境等就是外界。
- 平衡态- 一个孤立系统经过足够长的时间后，宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态。
例如，将一个盛有热水的容器放在绝热环境中，经过一段时间后，水的温度不再变化，水就达到了平衡态。
平衡态可以用一些宏观参量来描述，如压强p、体积V、温度T等。
- 状态参量- 用来描述系统平衡态的宏观物理量称为状态参量。
- 几何参量：如体积V，它描述了系统的几何大小。
对于理想气体，体积就是气体分子所能到达的空间范围。
- 力学参量：压强p是典型的力学参量，它是垂直作用于容器壁单位面积上的力。
- 热学参量：温度T是热学参量，它反映了物体的冷热程度。
从微观角度看，温度与分子热运动的剧烈程度有关。
2. 统计物理- 微观态与宏观态- 微观态是指系统内每个粒子的微观状态（如每个粒子的位置、动量等）都确定的状态。
而宏观态是指由一些宏观参量（如压强、体积、温度等）确定的状态。
一个宏观态往往包含大量的微观态。
例如，对于一个由N个粒子组成的气体系统，给定气体的压强、体积和温度，这就是一个宏观态，但这些粒子的具体位置和动量有多种可能组合，每一种组合就是一个微观态。
- 等概率原理- 对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的概率相等。
这是统计物理的一个基本假设。
二、热力学定律1. 热力学第零定律- 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统彼此也必定处于热平衡。
这一定律为温度的测量提供了依据。
例如，我们可以用温度计（第三个系统）去测量不同物体（两个系统）的温度，当温度计与物体达到热平衡时，就可以确定物体的温度，并且如果两个物体与同一温度计达到热平衡，那么这两个物体之间也处于热平衡，它们具有相同的温度。
高考物理难点剖析热力学与统计物理篇
高考物理难点剖析热力学与统计物理篇高考物理难点剖析——热力学与统计物理篇热力学与统计物理是高考物理考试中的难点之一。
本文将对热力学与统计物理的相关知识点进行剖析，并提供解题思路和方法，帮助考生更好地应对高考物理考试。
一、热力学基本概念热力学是研究热、功、能量转化和宏观物质性质变化规律的学科。
高考物理中，热力学重点考察以下几个方面的知识：1. 热平衡与温度：热平衡是指两个物体之间不再有热量的净交换，达到了温度的均衡状态。
温度是物体内部微观粒子的平均动能的度量。
2. 热容与比热容：热容是物体吸收或放出单位温度变化的热量，比热容是单位质量物质的热容。
3. 理想气体定律：理想气体状态方程P V = n R T ，其中P为气体压强，V为气体体积，n为气体的物质量，R为气体常数，T为气体的绝对温度。
二、热力学应用题解析1. 热机效率计算：热机效率是指热机从热源吸收的热量转化为有用功的比例。
根据热力学第一定律，热机效率计算公式为η = 1 - Qc/Qh，其中Qc为冷热源吸收的热量，Qh为热源释放的热量。
2. 热传导问题：热传导是热能在物体内部通过分子碰撞而传递的过程。
高考中，常常涉及到棒的温度分布、导热系数的计算等问题。
应用热传导公式Q = λA△T/ △x，其中Q为传热量，λ为导热系数，A为热传导面积，△T为温度差，△x为传热距离。
三、统计物理基本概念统计物理是基于微观粒子的统计规律，研究宏观系统的物理性质的学科。
高考物理中，统计物理重点考察以下几个方面的知识：1. 分子平均动能：分子平均动能与温度成正比，根据分子平均动能公式E = 3/2 kT，其中E为分子的平均动能，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
2. 理想气体性质：理想气体在低密度和高温度下符合理想气体状态方程。
根据理想气体状态方程P V = n R T，可以计算气体的物态参数。
3. 热力学基本过程：高考中，常常涉及到等压、等体积、绝热等热力学基本过程。
统计物理学基础
x xdP ( x ) x ( x )dx
lim i N i N
i lim ( N i N ) i Pi
N N
比较！
4-2
理想气体的压强
温度和内能
一、理想气体的微观模型和统计假设
1. 理想气体微观模型 分子本身的大小比起它们之间的平均距离 可忽略不计。
3kT 3 RT v m M
2
v T
2
v 1
2
M
气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平 方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。
例:在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果
压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到
1770C，体积减少一半，这时气体分子的平均平动 动能变化多少？ 解： W 3 kT 2
3 3 k (T T ) W W W w w2 2w1 1 2k (T22 T1 ) 1 2 3 1.38 10 23 ( 450 300) 3.11 10 21 J 2
四、能量按自由度均分定理 1.自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。 以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例
z
z
C ( x, y, z )
y
C ( x, y, z )
x
单原子分子
平动自由度t=3
y
x 双原子分子
平动自由度t=3
转动自由度r=2
i tr3
i tr5
z
C ( x, y, z )
x
三原子或三 原子以上的 分子
y
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D( ) 表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为
态密度。如果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式 需乘以2。
将
p 代入上式，可求得，在体积V内，在 到 2m d 的范围内，自由粒子可能的状态数为
1 4 V 2 4 V 2 p dp 2 m d (2 m ) h3 h3 3 1 2 V 3 (2m) 2 2 d h
例如
(1,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,1)
所以该能级为六度简并，而基态为非简并。
（2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准 连续的，这时往往考虑在体积V L3 内，在一定 的动量范围内的自由粒子量子态数。 求：V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
在V=L3内，符合上式的量子态数：
L 3 dn x dn y dn z ( ) dp x dp y dp z 2
dn x dn y dn z的含义为
V
dpx dp y dpz 中的量子态数。 2
3
采用球坐标系，用
p, , 代替 px , p y , pz
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos
第十三章
统计物理的基本 概念 §2.1 粒子运动状态的经典描述
粒子是指组成物质系统的基本单元。 粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运 动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运 动状态的描述称为量子描述。
赣南师范学院物理系
§13.1
V 2 dn( p, , ) 3 p sin dpdd h
: 0 , : 0 2
积分：
可求得，在体积V内，动量大小在P到P＋dP的范围 内（动量方向为任意），自由粒子可能的状态数为
V dn( p) 3 h
0
2
0
p sin dpdd
2
4V 2 3 p dp h
2 nx 可知，px与nx是一一对应的，且 由 px L
相邻的两个nx之差为1，因此在Px到Px+dPx范围 内，可能的Px的数目为
dnx L 2 dp x
在V=L3内，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到 Pz+dPz间可能的Px， Py， Pz的数目为
L dnx dpx 2 L dny dpy 2 L dnz dpz 2
广义动量： p1 px mx p2 p y my p3 pz mz
q3 z
2 2 能量： 1 ( p x py p z2 )
2m
2、线性谐振子
质量为 m 的粒子在弹性力 f kx作用下，将在原 点附近作圆频率为 k m 的简谐振动，称为线性 谐振子。 自由度： 1 μ空间维数：2
将
p 代入上式，可求得，在体积V内，在 到 2m d 的范围内，自由粒子可能的状态数为
1 4 V 2 4 V 2 p dp 2 m d (2 m ) h3 h3 3 1 2 V 3 (2m) 2 2 d h
2
D( )d
2V 32 12 ( 2 m ) d 3 h
引言
一、粒子的状态经典描述
粒子的自由度数r 能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目。 自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r 个广义坐标和广义动量确定。
广义坐标:
q1 , q2 , q3 ,qr
广义动量： p1 , p2 , p3 , pr
能量＝（ q1 , q2 , qr；p1 , p2 , pr）
由此2r个作为直角坐标构成的2r维空间称为μ空间
空间：（q1 , q2 , qr；p1 , p2 , pr）
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一 个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随 时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出 一条轨迹。
二、实例 1、自由粒子
自由度： 3 μ空间维数：6 广义坐标: q1 x q2 y
1 n (n ) 2 n 0,1,2,
其中n是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数， 能量值是分立的。 线性谐振子的能级等间距，均为 。能级为非 简并。
二、自由粒子
一维自由粒子
考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子的运动 状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状态， 其德布罗意波长 满足 2 L nx , nx 0,1, 2, 又：k x 2
8 V 2 D d 3 3 d hc
广义坐标: q x 能量：
广义动量： p mx
p2 1 m 2 x 2 2m 2
§13.2
相空间
p k
微观粒子具有波粒二象性（粒子性与波动性） 德布罗意关系：
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标， 说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的 运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波 函数或量子数来描述的。
p n 2m
2
2 2 2 px py pz
2m
2 m
2 2
2 2 2 nx ny nz
L3
（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离 性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。
2 2 2 n n n 能量值决定于 x y z
2 2 2 2 2 2 nx n y nz 1 3 mL 有六个量子态与之对应，
kx L nx , nx 0, 1, 2,
代入德布罗意关系式： px kx
2 px nx L
因此，一维自由粒子的量子数：1个
2 2 px 2 2 2 nx nx 2m m L
nx
nx 0,1,2,
基态能级为非简并，激发态为二度简并。
三维自由粒子
考虑处于体积为 L3 的三维容器中自由粒子的运动状 态。 仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能 值为
2 px nx L 2 py ny L 2 pz nz L
nx , ny , nz 0,1,2,
量子数：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个
nx , ny , nz
能量的可能值为
2
2V D( )d 3 (2m) 3 2 1 2 d h
D( ) 表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为
态密度。如果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式 需乘以2。
考虑到光子的自旋为1，自旋在动量方向的投影有两 个可能值，故以上量子态数应乘以2，因此，在体积 V内，在 到 d 的范围内，光子可能的状态数 为
微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由 一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子 的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级.如果一 个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果 一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。
实例
一、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为