高二数学下学期期中试题 理 (4)

霍邱二中2015-2016学年度高二年级期中考试

数学（理科）

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1已知复数，则是（ ）

A. B.

C. D.

2.下列导数运算错误．．

的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3.下面几种推理是类比推理的是（ ）

①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180，得出所有三角形的内角和都是180；②由()cos f x x =，满足()(),f x f x x R -=∈，得出()cos f x x =是偶函数；③由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值，得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值. A.①② B.③ C.①③ D.②③

4.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60?”时,假设正确的是（ ）

A ．假设三内角都不大于60?

B ．假设三内角都大于60?

C ．假设三内角至多有一个大于60?

D ．假设三内角至多有两个大于60? 5. 已知1

()sin 2sin 3(3

f x a x x a =-为常数），在3

x π

=处取得极值，则a =（ ）

A ．

12 B ．1 C ．23 D ．12

- 6. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ） A. 8

8A B. 4

44

4A A C.4455A A D.5

8A 7．在2

3

1()2n

x x -

的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

8.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y .

① k 的取值范围是1

(0,)e

.

② 12

11k x x <<.

为负.

③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A.① B.①② C.①③ D.②③

1

x 2

x x

y

A

B

9．已知函数

1ln ()x f x x +=

在区间2

(,)3

a a +（0a >）上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．2(,1)3 C ．1(,1)2 D ．1

(,1)3

10．设函数()y f x =在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =-处取得极小值，则函

数()y xf x '=的图象可能是（ ）

11．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相

邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同 着色方法的种数为（ ）

A ．72

B ．60

C ．48

D ．24

12．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.

若在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知

32

11()62

f x x mx x =

-+在(1,2)-上是“凸函数”，则()f x 在(1,2)-上（ ） A ．既有极大值，又有极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 有极大值，无极小值 D. 既无极大值，也无极小值 二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，

13．已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .

14．由直线

12x =

，2x =，曲线1

y x =

及x 轴所围成的图形的面积是 .

15.已知()9

2

9012912x a a x a x a x -=+++

+，0129a a a a ++++= .

16.设3

0x ax b ++=，其中,a b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_______．(写出所有正确条件的编号)

①3a b ==-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==.

三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现需把球全部放进盒子里， （1）没有空盒子的方法共有多少种？ （2）可以有空盒子的方法共有多少种？

2 4

3

1 5

（3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？（最后结果用数字作答）

18、（本小题满分12分）已知函数cx bx ax x f ++=2

3

)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：

x

-3 -2 0 1 3 4 8 '()f x -24

-10

6

8

-10

-90

根据表中数据，回答下列问题：

（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.

（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.

19.（本小题满分12分）设

（Ⅰ）比较与的大小；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．

20．（本小题满分12分）已知函数R a x

a

x x f ∈+

=,7ln )( （1）若函数)(x f y =在其定义域内有且只有一个零点,求实数a 的取值范围;

（2）若函数)(x f y =在[2

,e e ]上的最小值为3, 求实数a 的值． （e 是自然对数的底数）

21.（本小题满分12分）已知函数1

()(0)f x x x

=

>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为

i C (1,2,

,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,

,)i n =.

（Ⅰ）求1x ；

y

()

i f x (,())

i i x f x

（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.

22．（本小题满分12分）已知.1

2)

12ln()(+++=

x x m x f （R m ∈）

（1）若曲线)(x f y =在0=x 处的切线与直线020162=--y x 垂直，求函数)(x f 的极值；

（2）若关于t 的函数)()12(201613ln )(22

x f x t t t t F '+--+=在??????--∈21,2

12e e x 时恒有3个

不同的零点，试求实数m 的范围。（)(x f '为)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数） 参考答案

BABBB CBCDC AC

13. 3x+y ﹣4=0． 14. 2ln 2 15. -1 16.①③④ 17解：（1）没有空盒子的方法：种 …………3分

（2）可以有空盒子的方法：种 ………………6分

（3）恰有一个空盒子的方法：

种 ………………10分

18（Ⅰ）6，3. --------4分 （Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，---5分

由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =??=?解得2,

32.

a b ?

=-???=?-------------7分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，---8分 由'()0f x <可得(,1)

x ∈-∞-(3,)+∞，------9分

因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，

所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ---11分 所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.---12分

19解： （1）∴

…………………4分

（2）由（1）得类似的， (6)

分

又；

……………………………9分

∴

…12分

20． 解：（1）2

2771)(,7ln )(x

a x x

a x

x f x

a x x f -=-='∴+=

①即,07≤a 0≤a ，)(x f 在),0(+∞上单调递增，∵071)1(<+-=ea e

f ， 又∵+∞→+∞→)(,x f x ，∴0≤a 函数)(x f y =有且只有一个零点。………4分 ②,07>a 即,0>a )(x f 在)7,0(a 上单调递减，)(x f 在),7(+∞a 上单调递增， 函数)(x f y =在其定义域内有且只有一个零点，当且仅当017ln 777ln )7(=+=+=a a

a a a f ，

解得e a 71=

，综合①②可知：实数a 的取值范围为 0≤a 或e

a 71= ….………6分 （2）22771)(,7ln )(x

a x x a x x f x a x x f -=-='∴+= ①若e a ≤7,此时()f x 在[2

,e e ]上是增函数．3)(=∴e f , 解得7

2e a =（舍去）…8分

②若2

7e a e <<,令()0f x '=,得a x 7=．

当a x e 7<<时, ()0f x '<，所以()f x 在)7,(a e 上是减函数；

当2

7e x a <<时，()0f x '>，所以()f x 在),7(2

e a 上是增函数．

317ln )7()]([min =+==∴a a f x f ，解得7

2e a =

．（舍去） …………………10分

③若2

7e a ≥，此时()f x 在[2,e e ]上是减函数，372)()]([2

2min =+==∴e

a e f x f ,

解得72e a =． 综上所述：． 7

2

e a = ………………………………………………12分

21（Ⅰ）解：由题意知，1

2(())2()i i i i i

C x f x x x =+=+

(1,2,,)i n =，

所以1

2i i i

S x x =+

(1,2,,)i n =.令i ＝1，得111

1

2S x x =+

， 又11S x =，且1x ＞0，故11x =. （Ⅱ）解：令i ＝2，得222

12S x x =+

， 又212S x x =+，11x =，且2x ＞0

，故21x =； 令i ＝3，得333

12S x x =+

， 又3123S x x x =++，11x =

，21x =，且3x ＞0

，故3x =

n x =n ∈N +).

下面用数学归纳法证明：

①当n ＝1时，11x =，命题成立；

②假设n ＝k

时命题成立，即k x =(k ∈N +)， 则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k k

S x x =+， 故111

11

()2k k k k k x x x x x ++++

+=+

，

由k x =

，得2

1110k k x +++-=，

所以1k x +=

). 即当n ＝k ＋1时命题成立。

综上所述，对任意自然数n

，都有n x =. 22．解：（1）由.12)12ln()(+++=

x x m x f 可得[],)

12()12ln(22)(2

+++-='x x m x f 由条件可得,222)0(-=-='m f 解得2=m …………………………….……………2分

则

)21.(12)12ln(2)(->+++=

x x x x f ，[],)

12()

12ln(22)12()12ln(222)(2

2++--=+++-='x x x x x f 由0)(>'x f 可得,1)12ln(-<+x 即,2121e

e x -<<-

0)(<'x f 可得,1)12ln(->+x 即 ,21e

e x -> … …………………………..……………4分

∴)(x f 在（e

e 21,2

1--）上单调递增，在（+∞-,21e

e ）上单调递减，

∴)(x f 的极大值为,)21(e e

e f =-无极小值。 ………………………………………．．5分

（2）由[],)

12()12ln(22)(2

+++-='x x m x f 可得[])12ln(22)()12(2

++-='+x m x f x ，

令[],)12ln(22)(++-=x m x g 则,1

24

)(+-

='x x g 又,21->x ∴,0)(<'x g

∴)(x g 在??????--21,2

12

e e 上单调递减。∴[])12ln(22)(++-=x m x g 在???

???--21,212

e e 上的最大值为m e g 2)2

1(-=-，最小值为22)21

(2--=-m e g ………………….……………8分

令t t t t h 3ln )(2

-+=，则t

t t t h )1)(12()(--='，令0)(='t h 可得21=t 或1=t

)(),(t h t h '随的变化情况如下表所示：

t （21,0） 21 （1,2

1

）

1 （+∞,1） )(t h ' + 0 - 0 + )(t h 递增 极大值 递减 极小值 递增

由上表可知t t t t h 3ln )(2

-+=的极大值为4

2ln )2(-

-=h ，极小值为2)1(-=h …….10分 要使)(t F 有三个不同的零点，则有??????

?--<-->--452ln )2(2016

12)22(2016

1

m m ，

解得：20152ln 10081260<