不等式的性质(第一课时)
（－2）×（－6）3×（一6）
（5）－4＞－6（－4）÷2（－6）÷2
（－4）十（－2）（－6）十（－2）
2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学 们并与他们交流．
3、类比着等式的性质说一说你的发现。
三、深入学习
2、比较不等式性质2和性质3，指出它们有什么区别？
不等式性质2是都乘（或除以）同一个正数而性质3是都乘（或除以）同一个负数。
3、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处 与不同之处吗？
等式的性质有两条，它们表示了等式的两边进行同样的加（减）乘（除） 运算时相等关系不变；不等式的性质有3条，它们表示了不等式的两边进行加（减）乘（除）运算时的大小关系时不变，有时改变。要分乘数的正、负分别讨论，两个的结果不同。
2、简单的不等式的解法
3、等式性质与不等式性质的不同之处；
4、在运用“不等式性质3"时应注意的问题．
教学反思
回顾等式的性质，类比说出不等式的性质。
1、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：
不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）， 不等号的方向不变．
不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（3） ∵a < b∴－2a<－2b
（4）∵－ 2a > 0∴a > 0
（5）∵－a < 0∴a < 3
2、填空
（1）∵2a>3a∴a是数
（2）∵ ∴a是数
（3）∵ax < a且x > 1∴a 是数
3、根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。
（1）a－3 > b－3（2）
4、基础训练，巩固应用
如果a＞b，判断下列不等式是否正确：
（1）-4+a＞-4+b;（）
（2）a-3＜b-3 ;（）
（3） ＞ ;（）
（4）-5a＞-5b.（）
四、课堂检测
1、判断（关键让学生说出在什么基础上，两边做了 如何运 算，依据是不等式的性质几）
（1）∵a < b∴a－b < b－b
（2）∵a < b∴
如果a=b，那么a+c=b+ca-c=b-c
性质2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b那么ac=bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如果a=b(c≠0)那么
二、自主学习
1、用“＞”或“＜”填空．
（1）－1 < 3－1＋23＋2－1－33－3
(2) 5 >3 5＋a3+a 5－a3－a
(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）
五、课堂小结
1、 不等式的性质1、2、3
2、简单的不等式的解法
3、等式性质与不等式性质的不同之处；
4、在运用“不等式性质3"时应注意的问题．
二次备课
作业布置
1、必做题：教科书第120页习题9.1第4、5题
2、选做题：教科书第120页习题9. 1第7题．
板书设计
§9.1.2不等式的性质（1）
1、不等式的性质1、2、3
9.1.2不等式的性质（第一课时）
教学目标
（1）探索并理解不等式的性质.
（2）体会探索过程中所应用的归纳和类比的数学思想方法．
教学重点
探索不等式的性质．
教学难点
正确运用不等式的性质。
教学方法
自主学习，小组合作探究
教学准备
课件。
教学过程
一、知识回顾
回顾等式的性质
性质1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
第一节---不等式的基本性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．
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4、下周一时，妈妈又各给了他们b元，你能用“＞”或“＜连接
小亮和小明身上的钱数吗？
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5、自己任意写一个不等式，在它的两边同时加上或减 去同一个数，看看不等式关系有没有变化.同桌互相交 流，你们发现了什么规律？
解：(1)不等式的两边都加上6，得：
x-6+6>5+6 即x>11． (2)不等式两边都减去2x，得: 3x-2x<2x-2-2x 即x<-2．
迁移应用
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由（2）可以看出，运用不等式基本性质1 对 3x< 2x-2 进行化简的过程，就是对不等式3x< 2x-2 作了如 下变形：
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不等式具有什么性质呢?
讨论猜想
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不等式
100>85 100>85 100>85 100>85
不等式的两都都 加上（或减去） 同一个数（式）
+15 -10
+c
-b
结果
与原不等式比
(2)移项，得:
2x-x<6 即x<6．
总结：移项只改变移动的项的符号，不等号的方向不变.
拓展延伸
在三角形中任意两边之和大于第三边，即 如图所示，在△ABC中，有
不等式的性质(第1课时)优课教学课件
(3) 4a < 4b；
(4) a > b ；
2
2
(5) 1.5a 1 < 1.5b 1；
学生活动;（1）-（4）学生独立完成，（5）小组讨论
第三步：分层提高
2.用“>,<”填空，并说明依据不等式的哪条性质
< (1) 若a 3 9，则 a 12；
> (2) 若 1 a 1，则 a
4；
4
3+2 ；
5-2
3-2 .
-1-3
3-3 .
第二步：互助探究：
用“＜”或“＞”填空，猜想其中的规律。
（1）5 > 3 ；
（2）-1 < 3 ；
5+2 > 3+2 ； 5-2 > 3-2 .
-1+2 < 3+2 ； -1-3 < 3-3 .
不等式的性质1: 不等式两边加(或减)同一个数 （式子），不等号的方向不变。
9.1.1 不等式的性质 （第1课时）
学习目标
经历通过类比，猜想，验证，归纳发现 不等式性质的探索过程，掌握不等式的性 质。
第一步：回顾旧知
➢问题1：请直接说出下列不等式的解集
x 3 6 2x 8 x 2 0
➢问题2：你还能直接说出下面不等式的解集吗？
2x x 1 32
第一步：回顾旧知
“<”
(1)若a>b,则2a+1 > 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y > -8; (3)若a<b,且c>0,则ac+c < bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c < 0.
人教版七年级下册数学 第九章 不等式与不等式组 不等式 不等式的性质(第一课时)
探究新知
知识点 2 不等式的性质2 用不等号填空： （1）5 > 3 ；
5×2 > 3×2 ； 5÷2 > 3÷2 . （2）2 < 4 ；
2×3 < 4×3 ；2÷4 < 4÷4 . 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一 个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了 什么规律？
解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根 据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不 变，得 x-7+7 ＞ 26+7，
x ＞ 33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
探究新知
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据
__不__等__式__性__质__1_，不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向
探究新知
（3）已知 a<b，则 -a3
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
-b3+2
.
巩固练习
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
探究新知
如果_a_>_b_且__c_>_0_, 那么_a_c_>_b_c__
(或 a b ) cc
探究新知
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变.
人教版初一数学下册9.1.2不等式的性质(第一课时)教学设计
9.1.2不等式的性质（第一课时）教学设计莆田中山中学雍俊山教学目标1.探索并掌握不等式的性质；2.会用不等式的基本性质进行化简；3.培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力；4.培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神。
教学重难点教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。
教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。
教学方法通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握。
教学过程活动1 复习等式的基本性质问题：等式的基本性质是什么？•性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.•性质2：等式两边同时乘一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.活动2 探索不等式的性质问题1：用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）若5＞3 ，则5+2 3+2，5－ 2 3－2；（2）若－ 1 <3 ，则－1+2 3+2，－1－ 3 3－3；规律：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果a>b ，那么a+c ＞b+c(或a-c ＞b-c)b a b +c a +c o问题2：用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）若6 > 2，则6× 5 ___2×5， 6 ÷ 5___ 2 ÷ 5；规律：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.2、如果 a>b ，c>0 ，那么ac ＞ bc 或 利用数轴解释：aac o b bc问题3：用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）若－ 2< 3 ， 则（－ 2）× （－ 6 ） ___ 3×（－6 ） ，（－ 2） ÷ （－ 6）___ 3 ÷ （－ 6）（2）若 7< 4 ，则 7×（－1）______4×（－1）， 7×（－2）______4×（－2）， 7×（－3）______4×（－3）， 7 ÷ （－1）______4 ÷ （－1）， 7 ÷ （－2）______4 ÷ （－2）， 7 ÷ （－3）______4 ÷ （－3）， 规律：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3、如果 a>b ，c<0 ，那么ac ＜ bc 或c b c a >cb c a <aobac bc不等式的性质: 不等式的性质1： 如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c 。
教学设计 不等式的基本性质第一课时
课 题： 不等式的基本性质三维目标：1.知识与技能：掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。
2.过程与方法：通过实例探究不等式基本性质应用3.情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用 教学难点：能根据不等式的基本性质进行简单应用教学设计：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为ma mb ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
不等式的基本性质(第一课时)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例2对于实数 ,判断下列命题的真假:
变式引申:已知 均为正数,且 ,比较 与 的大小.
[分级训练]:
A.基础训练
1.“ ”的一个充分条件是
2.若 ,则有
3.若 ,则 的取值范围是
4.若 ,则下列各式中恒成立的是
B.能力培养
5. ,两个不等式 同时成立的充要条件是
6.已知命题“ ”和“ ”
是真命题,则下列命题中的真命题为
7.以下四个不等式:① ② ③ ④ 其中使 成立的充分条件有.
8.对实数 和 而言,不等式
成立的条件是.
C.综合提高
9.已知 ,比较 与 的大小.
10.已知
,求 的取值范围.
11.设 ,求证:
12.已知 ,Leabharlann 比较 的大小.[备选练习]:
1.若 ,则下列结论中不正确的是
2.若 ,则下列不等式:
① ② ③ ④ 其中,正确的有
A.1个B.2个C.3个D.4个
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
不等式的基本性质
[知识要点]:
1.对于任意两个实数 有且只有以下三种情况之一成立: , ,
.
2.不等式的基本性质:
对称性: ;
传递性: ;
加(减): ;
乘(除): ;
乘方: ;( 且 )
开方: ;( 且 )
[激活思维]:
高中一年级上学期数学《等式性质和不等式性质(第1课时)》教学设计
教学设计（5）如图，设C 是直线AB 外的任意一点，CD 垂直于AB,垂足为D ，E 是直线AB 上不同于D 的任意一点，则CD<CE.问题2：某种杂志原以每元2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本你，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？解：设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭万元。
不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为2.580.2200.1x x -⎛⎫-⨯≥ ⎪⎝⎭.求解出上述不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.【设计意图】：从两个问题引入不等式，让学生对不等式有一个初步的了解，再通过分析问题所包含的不等关系写出不等式的代数解释，激发学生学习本节课的兴趣.（二）新知探究问题3：如何判断两个实数大小？关于两个实数大小的比较，有以下基本事实：如果a-b 是正数，那么a>b;如果a-b 等于0，那么a=b;如果a-b 是负数，那么a<b.作差比较法0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<33,3x x >∴∴+>（三）拓展探索 问题4：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表了中国人民热情好客.请在图中找出一些相等关系和不等关系.把“风车”抽象成平面图形.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a,b ()a b ≠，正方形ABCD 的面积为S ，4个直角三角形的面积和为1S ，则：（1）正方形ABCD 的边长为22a b +（2） 22S a b =+ ；（3） 12S ab =；（4）由图可知，1S S > ，即222a b ab +>，当直角三角形为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩到一个点，这时有222a b ab +=，于是就有222a b ab +≥.（四）初试公式 辨析理解问题5：不等式 222a b ab +≥对任意的实数都成立吗？由()22220a b ab a b +-=-≥，当且仅当a b =时，等号成立。