高中三角函数典型例题

【典型例题】：
1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值．
解：因为2cos sin tan ==
x
x
x ，又1cos sin 22=+a a ， 联立得⎩⎨
⎧=+=，1
cos sin cos 2sin 2
2
x x x
x
解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x
2、求)
330cos()150sin()690tan()
480sin()210cos()120tan(ο
οοοοο----的值。

解：原式)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο
οοοοο
3、若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ，求x x cos sin 的值．
解：法一：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-
得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得
，，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x
所以⋅-
=10
3cos sin x x 法二：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-，
所以2
2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-，
所以有⋅-
=10
3cos sin x x 4、求证：x x x x 2
2
2
2sin tan sin tan -=。

5、求函数)6
π
2sin(2+
=x y 在区间]2,0[π上的值域。

解：因为]20π≤≤x ，所以π≤≤
20x ，6
7626π
ππ≤
+≤x 由正弦函数的图象，得到
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈+=1,21)6π2sin(2x y ，所以[]
2,1)6π2sin(2-∈+∈x y
6、求下列函数的值域．
（1）2cos sin 2
+-=x x y ； （2）)cos (sin cos sin 2x x x x y +-=)
解：（1）2cos sin 2
+-=x x y
=3)cos (cos 2cos cos 12
2++-=+--x x x x
令x t cos =，则,413)21(413)2
1(3)(],1,1[22
2
++-=+
+-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2) )cos (sin cos sin 2x x x x y +-=
=)cos (sin 1)cos (sin 2
x x x x +--+
令x x t cos sin +=2=
)4
π
sin(+x ，则]2,2[-∈t
则,12
--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-
∈y 7、若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。

解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是
41
个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8
πω 又由)28π
sin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ϕ
8、已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π
,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．数x
x y cos 3sin 1--=的值域．
解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;
1)4
π
sin(2=--当8
π
3=
x 时，f (x )取最小值为.2-
9、已知2tan =θ，求（1）θ
θθ
θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解：（1）
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθ
θθθθ； (2) θ
+θθ
+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2
cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
24122221cos sin 2cos sin cos sin 2
222-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过 程简化。

10、求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈，则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
，因为[t ∈，所以
当t =
时，max 3y =12t =-时，min 3
4
y =，
所以，函数的值域为3
[34
y ∈，。

11、已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，；（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。

解：22
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=-
(1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-
=+，即38
π
x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842
ππππ
f x x x x -
-=---=--=-，
())]2)28842
ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。

12 、已知函数y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 解：（1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41
+4
3（2sinx ·cosx ）+1
=
41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=
21sin(2x+6π)+4
5
所以y 取最大值时，只需2x+
6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换： （i ）把函数y=sinx 的图像向左平移
6π，得到函数y=sin(x+6
π
)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2
1
倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+
6
π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2
1
倍（横坐标不变），得到函数y=
21sin(2x+6
π
)的图像； （iv ）把得到的图像向上平移
45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。

综上得到y=2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。