第六章 自相关
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六章自相关
Econometrics 2005
18
6.3 自相关的检验
6.3.1 图解法
时间序列图（Time Sequence plot):将残差对时间描点。 如图（a）所示，扰动项的估计值呈循环形，并不频繁 地改变符号，而是相继若干个正的以后跟着几个负的。 表明存在正自相关。
t
t
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小于临界值，表示存在序列相关。
Econometrics 2005
28
6.4 自相关的补救1: ( 已知）广义差分法
以双变量回归模型和AR(1)为例。
Yutt
1 2 X t ut1 t
ut
Yt 1 2 X t ut
(1)
Yt1 1 2 X t1 ut1
( 2)
(1) (2) :
Yt Yt1 b0 (1 ) b1( X t X t1) t
差分形式
Yt b0 (1 ) Yt1 b1X t b1X t1 t
a0 b0 (1 )
a1 b1
Yt a0 Yt1 a1 X t a2 X t1 t
a2 b1
往也是正的。于是在不同的样本点之间，随机误差项出现了相关
性，这就产生了序列相关性。
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16
再如，以绝对收入假设为理论假设、以时间序列数据
作样本建立居民总消费函数模型：
Ct 0 1 I t t
t=1,2,…,n
消费习惯没有包括在解释变量中，其对消费量的影响被
包含在随机误差项中。如果该项影响构成随机误差项的
类似一阶自相关的定义， 若rs Cov(ut ,uts ) 0, s 2 则称为是高阶自相关。
Econometrics 2005
第六章 自相关性
估计值显著性，最终把本来重要的解释变量认为 是不重要的而删除掉，即显著性检验失效。
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
接前页
1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
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1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
第六章 自相关性
例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。
10
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。
xt xs xt2 xs2
0
若为负自相关，则E(ut us) < 0，而回归模型中的解
释变量在不同时期通常也负相关，从而
kt ks
xt xs xt2 xs2
0
总之，一般有
ts
kt
ks
E
(
ut
us
)
0
19
从而
Var(ˆ2 )
2
xt2
即如果仍用不存在自相关时的OLS估计参数的方差， 将会低估存在自相关时参数估计值的真实方差。
13
自相关主要存在于时间序列数据中，但是在 横截面数据中，也可能会出现自相关,通常称其 为空间自相关（Spatial auto correlation）。
14Βιβλιοθήκη 第二节 自相关的后果一、对参数估计式统计特性的影响 （1）如果随机误差项具有自相关性，当我们
仍用OLS进行参数估计时，估计式仍具有线性性和 无偏性。
E(ˆ1) E(Y ˆ2 X ) E(Y ) XE(ˆ2 )
(1 2 X ) X2 1
推导也仅用到零均值假定，表明无偏性也成立。
17
（2）不再具有最小方差性。
Var(ˆ2 ) E[ˆ2 E(ˆ2 )]2 E(ˆ2 2 )2
E(kt ut
)2
10
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。
xt xs xt2 xs2
0
若为负自相关，则E(ut us) < 0，而回归模型中的解
释变量在不同时期通常也负相关，从而
kt ks
xt xs xt2 xs2
0
总之，一般有
ts
kt
ks
E
(
ut
us
)
0
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从而
Var(ˆ2 )
2
xt2
即如果仍用不存在自相关时的OLS估计参数的方差， 将会低估存在自相关时参数估计值的真实方差。
13
自相关主要存在于时间序列数据中，但是在 横截面数据中，也可能会出现自相关,通常称其 为空间自相关（Spatial auto correlation）。
14Βιβλιοθήκη 第二节 自相关的后果一、对参数估计式统计特性的影响 （1）如果随机误差项具有自相关性，当我们
仍用OLS进行参数估计时，估计式仍具有线性性和 无偏性。
E(ˆ1) E(Y ˆ2 X ) E(Y ) XE(ˆ2 )
(1 2 X ) X2 1
推导也仅用到零均值假定，表明无偏性也成立。
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（2）不再具有最小方差性。
Var(ˆ2 ) E[ˆ2 E(ˆ2 )]2 E(ˆ2 2 )2
E(kt ut
)2
第六章 自相关
第六章 自相关§6.1 自相关一. 概念：经典假定4 cov(,)0,()i j u u i j =≠，不被满足，称i u 存在自相关或序列相关。
自 相关主要存在于时间序列中。
自相关又分为正自相关和负自相关，其主要表现是： 正自相关：当某个0t u >时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有大于零的倾向； 当某个0t u <时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有小于零的倾向。
负自项关：相邻两项的符号有相反的倾向。
在时间序列中，t u 的符号信息对以后各期都有一定的影响，即跨期的扰动项序列相关（经济数据中居多）。
所以在实际工作中，以正自相关较为常见。
二. 产生自相关的原因：1. 许多经济变量是时间序列，此时不能认为u 无自相关；2. 非重要因素归入随机误差项，而这些因素又有自相关的情况；3. 一些重大偶然事件对经济的冲击，往往要延续一段时间；4. 模型本身设置的不正确。
三. 自相关强度的度量------自相关系数1. 自相关的阶：一阶自相关：t u 只与1t u -（之前一期）有关，1()t t u f u -=； 二阶自相关：t u 与12,t t u u --（之前两期）有关，12(,)t t t u f u u --= s 阶自相关：t u 与之前s 期有关，12(,,,)t t t t s u f u u u ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅一般情况下，以研究一阶自相关为主。
因为相邻两期的影响最强且一阶的形式也比较简单。
这时通常假定是一阶线性自相关。
2. 自相关系数：若假定是一阶线性自相关，则自相关形式为1t t t u u v ρ-=+且11ρ-<<ρ是常数，可称为（一阶）自相关系数；t v 是一个新的随机项且满足所有经典假定，即 2~(0,)t v v N σ ()0t t E v v '= ()t t '≠()0s t E u v = ()t s >这样自相关形式就是一个不含常数项的线性模型，ρ就是回归参数，可用OLS 法估计ρ：12212nt t t nt t u uuρ-∧=-==∑∑1nt t u u-≈∑ （当n 很大时，22122n nt t t t u u-==≈∑∑）这完全符合相关系数的计算表达，所以称ρ为自相关系数是合理的。
自相关(序列相关性)
0
i
β X
1
β
=
1
∑ x y ∑ x
=
β
1
+
∑k u
i
i
所以，E (
Var( β ) = + 2σ ∑ x x ρ σ 2 ∑x (∑ xt )
1
2 2 t s 1 2 u u t s<t 2
)=β β
1
其中，
k
i
=
x ∑x
i
2 i
1
t s
即 Var（
β）
1
>
1
∑x
2 t
σu2
（一） OLS估计值方差增大 估计值方差增大
k ≠s k ≠s
检验， 检验失效 （二） t检验， F检验失效 检验
（三）预测精度降低
第二节 自相关的检验
一、图示法
通过et的变化来推断ut的变化规律 1.估计模型，求出 2.作 断
et
et 与 t
或
et 与et-1等的相关图，进行判
瓦特森（ 二、杜宾--瓦特森（Durbin--Waston）检验 杜宾 瓦特森 ） 简称， 简称， D--W检验 检验
2.自相关产生的原因 自相关产生的原因 （1）随机项 ui 本身的自相关——“真自相关” 例如，一些随机因素：自然灾害、经济政策、战争 等的影响往往会持续若干时期，造成随机项自相关 （2）模型设定不当，包括遗漏重要解释变量或错误确 定模型的数学形式——“拟自相关” （ 3）数据处理不当造成的自相关 例如，对数据进行差分等变换，就可能产生自相关。
，直到其收敛为止。一般，迭代两步就可以
了，所以，又叫科克兰内--奥克特两步法。 杜宾两步法可以推广到高阶自相关的情况。 利用 d=2（1-
i
β X
1
β
=
1
∑ x y ∑ x
=
β
1
+
∑k u
i
i
所以，E (
Var( β ) = + 2σ ∑ x x ρ σ 2 ∑x (∑ xt )
1
2 2 t s 1 2 u u t s<t 2
)=β β
1
其中，
k
i
=
x ∑x
i
2 i
1
t s
即 Var（
β）
1
>
1
∑x
2 t
σu2
（一） OLS估计值方差增大 估计值方差增大
k ≠s k ≠s
检验， 检验失效 （二） t检验， F检验失效 检验
（三）预测精度降低
第二节 自相关的检验
一、图示法
通过et的变化来推断ut的变化规律 1.估计模型，求出 2.作 断
et
et 与 t
或
et 与et-1等的相关图，进行判
瓦特森（ 二、杜宾--瓦特森（Durbin--Waston）检验 杜宾 瓦特森 ） 简称， 简称， D--W检验 检验
2.自相关产生的原因 自相关产生的原因 （1）随机项 ui 本身的自相关——“真自相关” 例如，一些随机因素：自然灾害、经济政策、战争 等的影响往往会持续若干时期，造成随机项自相关 （2）模型设定不当，包括遗漏重要解释变量或错误确 定模型的数学形式——“拟自相关” （ 3）数据处理不当造成的自相关 例如，对数据进行差分等变换，就可能产生自相关。
，直到其收敛为止。一般，迭代两步就可以
了，所以，又叫科克兰内--奥克特两步法。 杜宾两步法可以推广到高阶自相关的情况。 利用 d=2（1-
第六章 自相关
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u存在一阶自相关:
ut = ut -1 + vt
其中， ut 为现期随机误差， ut -1 为前期随机误差。
vt 是经典误差项，满足零均值 E(vt ) = 0 ，同方
差 Var(vt ) = v2 ，无自相关 E(vt vs ) 0 (t s) 的假定。
23
图 6.1 绘制
et 与 et 1 的关系
(et -1 , et ) (t 1,2,..., n)
et -1 , et
的散点图。用
作为散布点绘图，如果大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表明 随机误差项 ut 存在着正自相关。
24
et
et
et-1
et 1
图 6.2
et与et-1的关系
如果大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误 差项 ut 存在着负自相关。
t
E(vt ) 0 , Var(vt ) , Cov(vt , vt+s ) 0 , s 0 则此式称为一阶自回归模式，记为 AR (1) 。因为
2
模型中 ut -1是 ut 滞后一期的值，因此称为一阶。
此式中的 也称为一阶自相关系数。
4
如果式中的随机误差项 vt 不是经典误差项，即
21
第三节 自相关的检验
本节基本内容:
● 图示检验法 ● DW检验法
22
一、图示检验法
图示法是一种直观的诊断方法，它是把给定的
回归模直接用普通最小二乘法估计参数，求出
残差项 et ，et 作为 ut 随机项的真实估计值，
再描绘 et的散点图，根据散点图来判断 et 的 相关性。残差 et的散点图通常有两种绘制方 式 。
第六章自相关
ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（ 1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。
DW检验临界值与三个参数有关。
附表 4 DW 检验临界值表（? = 0.05）
依据 OLS 公式，模型 ut = ? 1 ut -1 + vt 中? 1 的估计公式是
T
? utut?1
a?1
=
t?2 T
。
? ut?12
t?2
若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是 ?? =
T
? utut?1
t?2
。
T
T
? ? ut 2
u
t
?
2 1
t?2
t?2
对于充分大的样本显然有
-2
0
2Leabharlann d. 负自相关序列散点图X (-1)
4
6
X (-1)
4
6
4 U
2
0
-2
-4
-4
-2
0
f 非自相关序列散点图
U (-1)
2
4
6.1自相关产生的原因
（138页）
自相关产生的原因： 1．经济变量的惯性作用。大多数经济时间序列都 存在自相关。
2. 经济行为的滞后性。 3. 数据处理造成的相关。（如用时距扩大法、指数平 滑法、内插法处理数据） 4.模型设定偏误。 5.蛛网现象。
以一元线性回归模型 yt = ?0 + ? 1 xt + ut 中? 1 为例，
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
由于解释变量之一是被解释变量的滞后值，称为自 回归模型。人们的消费习惯不会轻易改变，从而 对模型产生自相关性。
（3）模型设定偏误（specification error）。
一是应含而未含变量（excluded variable）设定偏 误；二是不正确的函数形式。例
Yi
1
2 X 2i
3
X
2 2i
ui
• 同时，可以推出下列结论
•
E(ut ) mE(vtm ) 0
m0
（6.1.14）
•
Var(ut
)
m0
2 mVar (vt
m
)
1
2 v
2
（6.1.15）
三、自相关产生的原因
（1）惯性（inertia）。
大多数经济时间序列都一个明显的特点，就是它的 惯性或黏滞。例如，GDP、价格指数、就业等时 间序列都呈现出一定的周期性。这种“内在的动 力”惯性往往产生序列自相关。
E ( ˆ2
)
E
(
xt yt xt2
)
E(2
xtut xt2
)
•
2
xt E(ut ) xt2
2
（6.2.5）
• 即参数 2的OLS估计量为无偏估计量。
在随机干扰项不满足无自相关条件时，得到OLS估 计量的方差为：
Var(ˆ2
)
E(ˆ2
2
)
E(
xtut xt2
)2
1 ( xt2 )2
下，经济变量也是正相关，式子（6.2.6）括号内的数值是 大于0的。也就是说，仍使用式子（6.2.3）作为参数估计 量的方差将会低估真实的方差。
• 当随机干扰项不存在自相关时， 2 的无偏估计为：
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误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 正相关
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
16
一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
6
二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
30
再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
31
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。
e
t =1
n
（由 et2 ≈
t =2
n
2 e t -1 ≈ t =2
n
2 e t） t =1
n
2 t
n et et -1 ≈ 2 1- t =2n 2 et t =1 ˆ） ＝（ 2 1－
ˆ≈ （由
e e
t =2 n t =1
n
C ov ut , us 0
3
一阶自相关系数
自相关系数 的定义与普通相关关系的公式形式相同
u u
t= 2 2 u t t 2 n
n
t t -1 2 u t 1 t 2 n
(6.1)
的取值范围为 -1 1
式（6.1）中 ut -1是 ut 滞后一期的随机误差项。 因此，将式（6.1）计算的自相关系数 称为一阶 自相关系数。
18
ut = vt + vt -1 + 2 vt -2 + ... = r vt -r
r =0
可以推得:
E(ut ) = r E(vt -r ) = 0
r =0
无穷等比数列 v2 a1 1 q 1 2
2 σ 2 Var(ut ) = r Var(vt -r ) = v 2 = u 1- r =0
方程估计窗口 解：DW=0.866234，n=30, k’=3, 查表得： dL=1.214，du=1.650 所以，存在一阶正自相关。
39
5、DW检验的缺点和局限性
● DW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落
在这两个区域，就无法判断。这时，只有增大样本 容量或选取其他方法; ● DW统计量的上、下界表要求 n 15 ，这是因为 样本如果再小，利用残差就很难对自相关的存在性 做出比较正确的诊断; ● DW只能检验一阶自相关， DW检验不适应随机 误差项具有高阶序列相关的检验; ●只适用于有常数项的回归模型并且解释变量中不
蛛网现象 模型设定偏误
7
高铁梅， 第二章
时间序列数据的处理方法
1. 季节调整 季节调整就是从时间序列中去除季节变动 要素，从而显示出序列潜在的趋势循环特征。 只有季度、月度数据才能做季节调整。 在序列窗口， proc/seasonal adjustment
8
2. 指数平滑
指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。 移动平均法不考虑较远期的数据，并在加权移 动平均法中给予近期资料更大的权重； 而指数平滑法则不舍弃过去的数据，但是仅给 予逐渐减弱的影响程度，即随着数据的远离，赋予 逐渐收敛为零的权数。
17
vt
随机误差项 ut 的各期滞后值为
逐次代入可得 ut = vt + vt -1 + 2 vt -2 + ... = r vt -r
r =0
ut -1 = ut -2 + vt -1 , ut -2 = ut -3 + vt -2 , ...
这表明随机误差项 ut 可表示为独立同分布的随机误 差序列 vt , vt 1 , vt 2 , 的加权和，权数分别 为 1 , , 2 , 。 当 0 1 时，这些权数是随时间推移而呈几何衰 减的；而当 1 0 时，这些权数是随时间推移 而交错振荡衰减的。
9
指数平滑法作为一种预测方法， 与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平 滑法的预测用该序列过去的值来预测未来值，而不 是用过去的X-Y方程、X值来进行预测。 当只有少数观测值时这种方法是有效的。 在序列窗口，proc/exponential smoothing
10
3. 趋势分解 HP滤波法 时间序列（以GDP为例）一般都具有趋势， HP滤波法可以将原序列中的趋势成分和波动成分 分开，得到其中的趋势要素。
的值，因此称为一阶。此式中的 称为一阶自相 关系数。
12
一阶自回归是指：模型中 ut -1 是 ut 滞后一期
2、二阶自回归AR(2)
ut = 1ut -1 + 2ut -2 + vt
其中，1 为一阶自相关系数， 2为二阶自相关系
是经典误差项。 数，vt
13
3、m阶自回归AR(m)
随机误差项的一阶自回归形式为：
ut = ut -1 + t
为了检验序列的相关性，构造的原假设是：
H0 : 0
为了检验上述假设，定义DW统计量为 ：
DW = (et - et -1 ) 2t =2n源自2 e t t =1n
34
3、DW统计量值取值范围
在大样本情况下
DW =
2 2 e + e t t -1 - 2 et et -1 t =2 t =2 t =2 n n n
Exercise——data4
采用数据data4（即数据4），
得到以Y为被解释变量，X2、X3、X4为 解释变量的方程的残差图（et--et-1残差图）。
步骤：
（1）方程估计 （2）制造残差序列（命名为e） （3）画图
28
（1）方程估计
DW检验Exercise
29
（2）制造残差序列 Procs/make residual series （3）画图 Quick/graph/图形对话框里键入e (-1) e, Type中选择scatter
2、不再具有最小方差性
随机扰动项方差增大，导致参数的方差增大。
20
三、自相关对模型检验和预测的影响
1、参数显著性检验失效 t检验、F检验、拟合优度检验失效
2、区间预测和预测区间的精度降低
ˆ 增大，区间扩大。 se 2
21
ˆ 增大→ 存在自相关 → Var 2
第三节 自相关的检验
一般地，如果 u1 ,u2 ,...,ut 之间的关系为
ut = 1ut -1 + 2ut -2 + ... + mut-m + vt
其中， vt 为随机误差项。则称此式为 m 阶自回
归模式，记为 AR(m) 。 在经济计量分析中，通常采用一阶自回归形式， 即假定自回归形式为一阶自回归 AR(1) 。
14
空间自相关
自相关关系主要存在于时间序列数据中，但 是在横截面数据中，也可能会出现自相关,通常 称其为空间自相关（Spatial auto correlation）。 消费行为中，一个家庭（一个地区）的 消费行为可能会影响另外一些家庭（地区） 的消费支出。
15
第二节 自相关的后果
●一阶自回归形式的性质 ●自相关对参数估计的影响 ●自相关对模型检验的影响 ●自相关对模型预测的影响
第六章 自相关
●什么是自相关
●自相关的后果
●自相关的检验
●自相关的补救
1
第一节 什么是自相关
●自相关的概念 ●自相关产生的原因 ●自相关的表现形式
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第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（Auto Correlation），又称序列相
关（Serial Correlation）是指总体回归模型的 随机误差项 ui 间存在相关关系。
表明，在 u 为一阶自回归的相关形式时，随机 t 误差 u 依然是零均值、同方差的误差项。
t
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二、自相关对参数估计的影响 1、无偏性仍成立
Σxt yt Σxt ut ˆ 2 2 + 2 Σxt Σxt2 Σxt ut Σxt ut ˆ E 2 E 2 + 2 = E 2 + E 2 E 2 2 Σxt Σxt
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et
t
图1
et的时间分布
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et的散点图
et
et－1
et与 et 1的关系 图2 (et -1 , et ) (t 1, 2,..., n)
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
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一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
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二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
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再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
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二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。
e
t =1
n
（由 et2 ≈
t =2
n
2 e t -1 ≈ t =2
n
2 e t） t =1
n
2 t
n et et -1 ≈ 2 1- t =2n 2 et t =1 ˆ） ＝（ 2 1－
ˆ≈ （由
e e
t =2 n t =1
n
C ov ut , us 0
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一阶自相关系数
自相关系数 的定义与普通相关关系的公式形式相同
u u
t= 2 2 u t t 2 n
n
t t -1 2 u t 1 t 2 n
(6.1)
的取值范围为 -1 1
式（6.1）中 ut -1是 ut 滞后一期的随机误差项。 因此，将式（6.1）计算的自相关系数 称为一阶 自相关系数。
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ut = vt + vt -1 + 2 vt -2 + ... = r vt -r
r =0
可以推得:
E(ut ) = r E(vt -r ) = 0
r =0
无穷等比数列 v2 a1 1 q 1 2
2 σ 2 Var(ut ) = r Var(vt -r ) = v 2 = u 1- r =0
方程估计窗口 解：DW=0.866234，n=30, k’=3, 查表得： dL=1.214，du=1.650 所以，存在一阶正自相关。
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5、DW检验的缺点和局限性
● DW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落
在这两个区域，就无法判断。这时，只有增大样本 容量或选取其他方法; ● DW统计量的上、下界表要求 n 15 ，这是因为 样本如果再小，利用残差就很难对自相关的存在性 做出比较正确的诊断; ● DW只能检验一阶自相关， DW检验不适应随机 误差项具有高阶序列相关的检验; ●只适用于有常数项的回归模型并且解释变量中不
蛛网现象 模型设定偏误
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高铁梅， 第二章
时间序列数据的处理方法
1. 季节调整 季节调整就是从时间序列中去除季节变动 要素，从而显示出序列潜在的趋势循环特征。 只有季度、月度数据才能做季节调整。 在序列窗口， proc/seasonal adjustment
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2. 指数平滑
指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。 移动平均法不考虑较远期的数据，并在加权移 动平均法中给予近期资料更大的权重； 而指数平滑法则不舍弃过去的数据，但是仅给 予逐渐减弱的影响程度，即随着数据的远离，赋予 逐渐收敛为零的权数。
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vt
随机误差项 ut 的各期滞后值为
逐次代入可得 ut = vt + vt -1 + 2 vt -2 + ... = r vt -r
r =0
ut -1 = ut -2 + vt -1 , ut -2 = ut -3 + vt -2 , ...
这表明随机误差项 ut 可表示为独立同分布的随机误 差序列 vt , vt 1 , vt 2 , 的加权和，权数分别 为 1 , , 2 , 。 当 0 1 时，这些权数是随时间推移而呈几何衰 减的；而当 1 0 时，这些权数是随时间推移 而交错振荡衰减的。
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指数平滑法作为一种预测方法， 与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平 滑法的预测用该序列过去的值来预测未来值，而不 是用过去的X-Y方程、X值来进行预测。 当只有少数观测值时这种方法是有效的。 在序列窗口，proc/exponential smoothing
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3. 趋势分解 HP滤波法 时间序列（以GDP为例）一般都具有趋势， HP滤波法可以将原序列中的趋势成分和波动成分 分开，得到其中的趋势要素。
的值，因此称为一阶。此式中的 称为一阶自相 关系数。
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一阶自回归是指：模型中 ut -1 是 ut 滞后一期
2、二阶自回归AR(2)
ut = 1ut -1 + 2ut -2 + vt
其中，1 为一阶自相关系数， 2为二阶自相关系
是经典误差项。 数，vt
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3、m阶自回归AR(m)
随机误差项的一阶自回归形式为：
ut = ut -1 + t
为了检验序列的相关性，构造的原假设是：
H0 : 0
为了检验上述假设，定义DW统计量为 ：
DW = (et - et -1 ) 2t =2n源自2 e t t =1n
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3、DW统计量值取值范围
在大样本情况下
DW =
2 2 e + e t t -1 - 2 et et -1 t =2 t =2 t =2 n n n
Exercise——data4
采用数据data4（即数据4），
得到以Y为被解释变量，X2、X3、X4为 解释变量的方程的残差图（et--et-1残差图）。
步骤：
（1）方程估计 （2）制造残差序列（命名为e） （3）画图
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（1）方程估计
DW检验Exercise
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（2）制造残差序列 Procs/make residual series （3）画图 Quick/graph/图形对话框里键入e (-1) e, Type中选择scatter
2、不再具有最小方差性
随机扰动项方差增大，导致参数的方差增大。
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三、自相关对模型检验和预测的影响
1、参数显著性检验失效 t检验、F检验、拟合优度检验失效
2、区间预测和预测区间的精度降低
ˆ 增大，区间扩大。 se 2
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ˆ 增大→ 存在自相关 → Var 2
第三节 自相关的检验
一般地，如果 u1 ,u2 ,...,ut 之间的关系为
ut = 1ut -1 + 2ut -2 + ... + mut-m + vt
其中， vt 为随机误差项。则称此式为 m 阶自回
归模式，记为 AR(m) 。 在经济计量分析中，通常采用一阶自回归形式， 即假定自回归形式为一阶自回归 AR(1) 。
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空间自相关
自相关关系主要存在于时间序列数据中，但 是在横截面数据中，也可能会出现自相关,通常 称其为空间自相关（Spatial auto correlation）。 消费行为中，一个家庭（一个地区）的 消费行为可能会影响另外一些家庭（地区） 的消费支出。
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第二节 自相关的后果
●一阶自回归形式的性质 ●自相关对参数估计的影响 ●自相关对模型检验的影响 ●自相关对模型预测的影响
第六章 自相关
●什么是自相关
●自相关的后果
●自相关的检验
●自相关的补救
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第一节 什么是自相关
●自相关的概念 ●自相关产生的原因 ●自相关的表现形式
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第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（Auto Correlation），又称序列相
关（Serial Correlation）是指总体回归模型的 随机误差项 ui 间存在相关关系。
表明，在 u 为一阶自回归的相关形式时，随机 t 误差 u 依然是零均值、同方差的误差项。
t
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二、自相关对参数估计的影响 1、无偏性仍成立
Σxt yt Σxt ut ˆ 2 2 + 2 Σxt Σxt2 Σxt ut Σxt ut ˆ E 2 E 2 + 2 = E 2 + E 2 E 2 2 Σxt Σxt
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et
t
图1
et的时间分布
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et的散点图
et
et－1
et与 et 1的关系 图2 (et -1 , et ) (t 1, 2,..., n)