4.5角的比较与补(余)角
角的比较与补余角
4.5 角的比较与补(余)角(第1课时) -教案亳州市谯城区华佗中心中学颜廷楷一、教学背景（一）教材分析《4.5角比较与补(余)角》是义务教育教科书沪科版《数学》七年级上册第四章第五节的内容。
本节教材内容比较多，为帮助学生有效学习，充分调动学生的动手操作的积极性，故将本节内容划分两课时：角的大小比较和角的互补与互余。
第一课时主要安排了以下几方面的内容：角的大小比较；角的和与差；角的平分线的概念和性质。
在教学过程中，要求教师通过创设与知识背景密切相关的教学情境，帮助学生理解数学概念，寻求解决数学问题的方法。
（二）学情分析学生在前几节学习过线段的长短比较和线段的中点等知识，通过类比的方法比较容易掌握角的大小比较和对角的平分线的认识。
鉴于学生的认知水平和学习几何方法才起步，教学中要始终遵循学生主动学习的原则，低起点、多铺垫、给足时间思考、动手操作，通过丰富的活动让学生经历数学知识的获得与应用过程，揣摩学习几何策略方法，同时采用多媒体辅助教学拓展学生的思维，初步培养学生数学语言的规范性。
二、教学目标（一）知识与能力1.会比较角的的大小；2.理解角的和差，在操作中认识角的平分线。
（二）过程与方法通过实际观察、操作、学会比较角的大小，并能简单说理，培养观察思维能力及合情推理的能力。
（三）情感态度价值观通过角的测量和折叠，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段。
三、教学教学重点与难点重点：角的大小比较方法以及角平分线的概念。
难点：从图形中观察角的数量关系。
四、教学方法分析及学习方法指导 （一）教学方法分析：新课标指出：有效的数学学习活动不是单纯的解题训练，不能单纯地依赖模仿与记忆。
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，教师应激发学生学习的积极性，向学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解数学知识与技能、数学思想和方法，从而获得广泛的数学活动经验。
要达到目标，形成能力，就必须将课堂还给学生，让学生主动参与学习活动，使他们产生强烈的学习欲望，让课堂焕发生命的力量，教师要努力营造学生在教学活动中独立自主学习的时间和空间，使他们成为课堂教学中重要的参与者与创造者，落实学生的主体地位，促进学生的自主学习和研究。
余角和补角 课件 2022--2023学年沪科版七年级数学上册
感悟新知
方法点拨 从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个 方面从角的度数入手，和为90°互余，和为180°互补； 另一个方面从整体入手，直角分成的两个角互余， 平角分成的两个角互补.
感悟新知
解：(1)因为点O 为直线AB 上一点， 所以∠ BOC+ ∠ AOC=180°. 因为∠ AOC= ∠ DOE=90°， 所以∠ BOC=180°－ ∠ AOC=180°－90°=90°. 所以∠ 1+ ∠ 2=90°，∠ 2+ ∠ 3=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°， ∠ 1+ ∠ 4=90°，所以图中互余的角有4 对，分别是∠ 1 和 ∠ 2，∠ 2 和∠ 3，∠ 3 和∠ 4，∠ 1 和∠ 4.
感悟新知
技巧点拨 “同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”
的实质是等量代换，只不过在特定的背景下使用起来 更便捷罢了.
感悟新知
解： 因为∠ 1+ ∠ 3=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°， 同角的补
所以∠ 3= ∠ 2.
角相等
因为∠ 1+ ∠ 4=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°， 所以∠ 4= ∠ 2.
感悟新知
(2)由已知得，∠ 1+ ∠ BOD=180°，∠ 4+ ∠ AOE=180°. 由(1)可知，∠ 1= ∠ 3，∠ 2= ∠ 4. 所以∠ 3+ ∠ BOD=180°，∠ 2+ ∠ AOE=180°. 又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180 °，∠ AOC+ ∠ DOE= 180°，∠ DOE+ ∠ BOC=180°，所以图中互补的角有7 对，分别是∠ 1 和∠ BOD， ∠ 4 和∠ AOE， ∠ 3 和∠ BOD，∠ 2 和∠ AOE， ∠ AOC 和∠ BOC， ∠ AOC 和∠ DOE，∠ DOE 和∠ BOC.
《角的比较与补(余)角》(数学沪科七上)
《4.5 角的比较与补（余）角》◆教材分析上一节我们学习了角和角的相关概念，掌握了角的度量单位以及单位之间的换算.本节就是进一步探究有关角的知识，通过引导学生观察比较角的大小，加深学生对角的关系的认识，使学生掌握角的比较方法.帮助学生理解角的和差，掌握角的平分线的定义，以及余角、补角的概念及性质，为进一步学习角的画法奠定基础.◆教学目标【知识与能力目标】1. 会比较两个角的大小，理解角的和差；2. 了解角平分线的意义及概念；3. 理解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.【过程与方法目标】通过实际观察、操作，体会角的大小，掌握比较角的大小的比较方法，培养学生的观察思维能力及合情推理能力.【情感态度价值观目标】在操作、观察、思考、发现的过程中，体会学习几何知识的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力以及合作学习和独立思考的良好学习习惯.◆教学重难点【教学重点】1. 角的大小比较方法以及角平分线的概念；2. 两角互补、互余的概念及性质.【教学难点】从图形中观察角的数量关系.◆课前准备多媒体课件.◆教学过程一、情境引入问题：如何比较两条线段的长短的？①度量法：分别量出两条线段的长度，然后再比较大小.②叠合法：把两条线段叠合在一起比较大小.问题：要如何比较角的大小呢？【设计意图】通过学过的比较线段的方法，运用类比的思想，引出比较角的大小的方法.二、探究新知1．角的比较.角的大小的比较方法：(1)度量法：①将量角器的中心点与角的顶点重合；②量角器的零度刻度线与角的一边重叠；③角的另一边落在量角器的什么刻度线上.(2)叠合法：叠合∠DEF与∠ABC，把∠DEF移动，使它的顶点E移到和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA 的同旁.如图①，如果EF和BC重合，那么∠DEF＝∠ABC；如图②，如果EF落在∠ABC的内部，那么∠DEF＜∠ABC；如图③，如果EF落在∠ABC 的外部，那么∠DEF＞∠ABC.【设计意图】运用类比的思想，通过探究，使学生掌握角的大小的比较方法，为进一步学习角的和差等知识做铺垫.2. 角平分线的定义及性质.(1)认识角的和差.问题：你能将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式吗？∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB是∠AOC与∠COB的差，记作∠AOB＝∠AOC－∠COB.类似地，∠AOC－∠AOB＝∠COB.例1 如图④，求解下列问题：(1)比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；(2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.解：(1)由图④可以看出：∠AOC＞∠BOC(OB在∠AOC 内)∠BOD＞∠COD(OC在∠BOD内)(2)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOC＝∠AOD—∠DOC.(2)认识角的平分线.定义：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.如图⑤，OC是∠AOB的平分线，这时有：∠AOB，∠AOC＝∠COB＝12∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.【设计意图】通过探究，使学生认识角的和差，掌握角平分线的定义及性质，为进一步学习余角、补角等知识做铺垫.3. 余角和补角的概念及性质.问题：已知∠α、∠β、∠γ的，比较它们的大小，并思考∠α与∠β、∠β与∠γ之间有什么特殊关系？互为余角定义：如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．若∠α＋∠β＝90°，那么∠α与∠β互余. 反之若∠α与∠β互余，那么∠α＋∠β＝90°.∠α是∠β的余角，同样∠β也是∠α的余角.互为补角定义：如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.若∠β＋∠γ＝90°，那么∠β与∠γ互补. 反之若∠β与∠γ互补，那么∠β＋∠γ＝180°.∠β是∠γ的补角，同样∠γ也是∠β的余补.例2 如图⑥，∠1＝∠3，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
沪科版七年级数学上册：4.5角的比较与补(余)角教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的生活经验和已有知识，激发他们对角的新认识的好奇心。首先，我会通过展示一些生活中的图片，如房门的开合、剪刀的使用、三角板的形状等，让学生观察并指出这些图片中的角。通过这个活动，学生能够直观地感受到角在生活中的普遍存在。接着，我会提出问题：“你们知道这些角的大小如何比较吗？它们之间有什么关系？”通过问题引导，自然过渡到本节课的学习内容。
-学生通过直观比较和逻辑推理，掌握各种类型角的定义，并能在具体问题中正确分类和应用。
3.理解补角和余角的概念，能够计算给定角的补角和余角。
-学生应理解补角是使两角和为180°的两个角，余角是使两角和为90°的两个角，并能够运用基本的数学运算，计算出补角和余角的度数。
（二）过程与方法
1.通过直观演示和动手操作，培养学生观察、分析、比较的能力。
（三）学生小组讨论
在小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每个小组根据提供的材料（量角器、三角板、图形等）进行讨论。我会给每个小组分配不同的讨论主题，如“如何比较两个角的大小”、“补角和余角的计算方法”等。学生在小组内通过观察、讨论和实际操作，共同解决问题。在这个过程中，我会在各个小组间巡回指导，提供必要的帮助和提示。
-通过教师演示和小组合作，学生可以观察不同角的模型，分析角的性质，通过比较活动来加深对角概念的理解。
2.运用分类讨论的方法，提升学生解决问题的策略。
-在进行角的分类时，教师引导学生通过分类讨论的方法，将角按照大小和性质分类，培养学生面对复杂问题时采用逐步分析和解决的能力。
4.5 角的比较与补(余)角
9.(雨花区期末)如图，OC是∠AOB的平分线，∠DOC＝3∠BOD，∠BOD ＝18°，则∠AOD的度数为( C ) A.72° B.80° C.90° D.108°
10.(金安区期末)如图，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分 ∠AOB，ON平分∠COD. (1)如果∠BOC＝40°，∠MON＝80°，那么∠AOD的度数为 120° ； (2)如果∠AOD＝x°，∠MON＝80°，那么∠BOC的度数为 (160－x)°(用 含x的代数式表示).
解：(1)(2)(3)如图所示.
5.按下列要求画图. (1)画直线AB和CD相交于点O(要求∠AOD比∠AOC小)； (2)用直尺和圆规作∠EFG，使得∠EFG＝∠AOC－∠AOD(保留作图痕迹).
解：(1)如图①所示. (2)如图②，∠EFG即为所求.
3.若两个角互补，则（ D ） A.这两个角都是锐角 B.这两个角都是钝角 C.这两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D.以上答案都不对
4.已知∠α与∠β互为余角，且它们的度数之比为2∶3，求∠α，∠β的补角 的差.
解：设∠α＝2x，则∠β＝3x，由题意得∠α＋∠β＝2x＋3x＝90°，解 得x＝18°.所以∠α＝36°，∠β＝54°. 所以∠α，∠β的补角的差为 180°－∠α－(180°－∠β)＝∠β－∠α＝18°.
解：(2)因为 ∠COE＝∠DOE－∠DOC＝65°， ∠BOC＝180°－∠AOC＝130°， 所以∠BOE＝∠BOC－∠COE＝65°. 所以∠COE＝∠BOE，所以OE平分∠BOC.
12.如图，射线OB，OC在∠AOD的内部，且∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶ 5∶3.若射线OM平分∠AOD，且∠BOM＝45°，求∠AOD的度数.
沪科版七年级上册数学4.5角的比较与补余角同步练习含答案解析
《4.5 角的比较与补（余）角》基础练习1. 如图①，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是().图①A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOBC．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC2. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有().A.∠AOC＝∠BOCB.∠AOC＞∠BOCC.∠BOC＞∠AOBD.∠AOB＞∠AOC3. 如图②，如果∠AOB＝∠COD，那么().图②A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．无法确定4. 点P在∠MAN的内部，现有4个等式：①∠PAM＝∠NAP；②∠PAN＝∠MAN；③∠MAP＝∠MAN；④∠MAN＝2∠MAP，其中能表示AP是∠MAN的平分线的有().A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图③，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是().图③A．AD是∠BAC的平分线B．CE是∠ACD的平分线C．∠BCE＝∠ACBD．CE是∠ABC的平分线6. 如图④，∠AOD－∠AOC＝().图④A．∠AOC B．∠BOC C．∠BOD D．∠COD7.下列说法正确的有().①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；②直角没有补角；③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；④直角的补角还是直角；⑤一个锐角的补角与它的余角的差为90°；⑥两个角相等，则它们的补角也相等．A．3个B．4个C．5个D．6个8.若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是().A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°＋∠γ9. 如图⑤，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是().图⑤A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等10. 如图⑥，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB的关系是().图⑥A．互余B．互补C．相等D．和是钝角11. 若一个角为75°，则它的余角的度数为().A．285°B．105°C．75°D．15°12. 已知∠A＝70°，则∠A的补角为().A．110°B．70°C．30°D．20°13. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是().14. 已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，则下列说法错误的是().A．∠1＋∠2＝90°B．∠2＋∠3＝180°C．∠3－∠1＝90°D．∠3－∠2＝90°－∠115. 如图⑦，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，若∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．图⑦答案和解析【答案】1. D2. D3. B4. D5. D6. D7. B8. C9. C 10. A11. D 12. A 13. B 14. D15. ∠3，∠4，∠6.【解析】1. 解：∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC，D错误．故选D.此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的大小比较方法．2. 解：在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有∠AOB＞∠AOC.故选D.此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的大小比较方法．3. 解：因为∠AOB＝∠COD，所以∠1＋∠BOD＝∠2＋∠BOD，所以∠1＝∠2.故选B.此题考查了角的和差，掌握等量代换方法是解题的关键.4. 解：由角的平分线的几何表示可知：①∠PAM＝∠NAP；②∠PAN＝∠MAN；③∠MAP＝∠MAN；④∠MAN＝2∠MAP，都能表示AP是∠MAN的平分线，共有4个.故选D.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．5. 解：因为∠BAD＝∠CAD，所以AD是∠BAC的平分线，A正确；因为∠BCE＝∠ACE，所以CE是∠ACD的平分线，∠BCE＝∠ACB ，B、C正确，D错误.故选D.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．6. 解：由图可知，∠AOD－∠AOC＝∠COD，故选D.本题考查了角的和差，解题关键是掌握角的和差计算方法.7. 解：锐角的余角是锐角，锐角的补角是钝角，①错误；直角有补角，直角的补角还是直角，②错误，④正确；钝角没有余角，钝角的补角是锐角，③正确；若∠1是锐角，则它的补角为180°－∠1，它的余角为90°－∠1，那么这个锐角的补角与它的余角的差为(180°－∠1)－(90°－∠1)＝180°－∠1－90°＋∠1＝90°，⑤正确；两个角相等，则它们的补角也相等，⑥正确，故正确的有4个，故选B.主要紧扣锐角、直角、钝角、余角、补角的特征进行判断，除①②不正确外，其他说法都正确．由于互余的两个角之和为90°，所以这两个角都为锐角；互补的两个角之和为180°，所以这两个角为一个锐角、一个钝角或两个角都为直角．8. 解：因为∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，所以∠α、∠γ是∠β的补角，根据同角(或等角)的补角相等，∠α＝∠γ，故选C.此题考查的是补角的性质，根据“同角(或等角)的补角相等”进行解答即可.9. 解：因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是同角的补角相等.故选C.此题考查的是补角的性质，根据“同角的补角相等”进行解答即可.10. 解：因为∠BOD＝90°，所以∠COB＋∠COD＝90°，又因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠COB，所以∠DOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－∠COB－90°＝90°－∠COB，所以∠DOE和∠COB的关系是互余.故选A.此题考查的是角平分线的性质和余角、补角的性质，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和余角、补角的性质是解题的关键．11. 解：若一个角为75°，则它的余角的度数为90°－75°＝15°，故选D.本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．12. 解：已知∠A＝70°，则∠A的补角为180°－∠A＝180°－70°＝110°，故选A.本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.13. 解：因为三角形的内角和为180°，所以选项B中，∠1＋∠2＝90°，即∠1与∠2互为余角，故选B.此题考查的是余角的定义，掌握三角形内角和定理和余角的定义是解题关键.14. 解：因为∠1和∠2互为余角，所以∠1＋∠2＝90°，A正确；因为∠2与∠3互补，所以∠2＋∠3＝180°，B正确；∠3＝180°－∠2，∠1＝90°－∠2，所以∠3－∠1＝(180°－∠2)－(90°－∠2)＝180°－∠2－90°＋∠2＝90°，C正确；故选D.此题考查的是余角、补角的定义，根据余角、补角的定义，正确找到角之间的和差关系是解题的关键．15. 解：由图可知，∠1的补角有∠3、∠4，因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2是∠1的补角，根据同角(或等角)的补角相等，得∠2＝∠3＝∠4，又因为∠2＋∠5＝180°，∠5＋∠6＝180°，所以∠2＝∠6，所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角的补角，便可确定与∠2相等的角．“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”的实质是等量代换，在特定的背景下使用起来更便捷．《4.5 角的比较与补（余）角》提高练习1. 如图①，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝()．图①A．120°B．180°C．150°D．135°2. 如图②，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠COB＝35°，则∠AOD等于()．图②A．35°B．70°C．110°D．145°3. 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角()A．65°B．75°C．85°D．95°4.如图③，OC平分平角∠AOB，∠AOD＝∠BOE＝20°，图中互余的角共有().A．1对B．2对C．3对D．4对图③5. 已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为(). A．28°B．112°C．28°或112°D．68°6. 如图④，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是( ).图④A．125°B．135°C．145°D．155°7.如图⑤，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( ).图⑤A．35°B．55°C．70°D．110°8. 如图⑥所示，已知AB为一条直线，O是AB上一点，OC平分∠AOD，OE在∠BOD内，∠DOE ＝∠BOD，∠COE＝75°，求∠EOB的度数．图⑥9. 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．10. 如图⑦，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度数；(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．图⑦答案和解析【答案】1. B2. C3. B4. D5. C6. B7. C8. 9 ∠BCM或∠DCO9. 15°10. (1)60°；(2)15°.【解析】1. 解：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．2. 解：因为射线OC平分∠BOD，∠COB＝35°，所以∠BOD＝2∠COB＝70°，所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－70°＝110°，故选C.根据角平分线的性质可知，∠BOD＝2∠COB＝70°，由图可知，∠AOD与∠BOD互补，进而可以求出∠AOD的度数.本题主要考查了角的判定，可以根据图形依次数出角的个数.3. 解：一副三角尺的角有45°、45°、90°；30°、60°、90°.故借助一副三角尺，可以画出45°＋30°＝75°的角.故选B．本题考查了三角尺相关的知识，掌握三角尺的各个角的度数是解题关键.4. 解：因为OC平分平角∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，所以∠AOD与∠COD互余，∠BOE与∠COE互余，又因为∠AOD＝∠BOE＝20°，所以∠BOE与∠COD互余，∠AOD与∠COE互余，故图中互余的角共有4对.故选D.此题考查的是角平分线的性质和余角的性质，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和余角的性质是解题的关键．5. 解：如图⑧，当点C与点重合时，∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°－42°＝28°；当点C与点重合时，∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝70°＋42°＝112°.图⑧故选C.此题考查的是角的和差，本题要分两种情况进行讨论：(1) 当点C与点重合时；(2)当点C与点重合时，进而根据图形正确找到角之间的和差关系进行解答即可.6. 解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°，又因为∠BOD＝45°，所以∠EOD＝∠BOE－∠BOD＝90°－45°＝45°，所以∠COE＝180°－∠EOD＝180°－45°＝135°.故选B.此题考查的是余角、补角的定义，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解余角、补角的定义是解题的关键．7. 解：因为OE平分∠COB，所以∠COE＝∠EOB，因为∠EOB＝55°，所以∠COE＝55°，所以∠BOD＝180°－∠COE－∠EOB＝180°－55°－55°＝70°.故选C.此题考查的是角平分线的性质和补角的定义，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和补角的定义是解题的关键．8.解：设∠AOD的度数为x°，则∠BOD＝(180－x)°.因为OC平分∠AOD，∠DOE＝∠BOD，所以∠COD＝∠AOD＝，∠DOE＝∠BOD＝(180－x)°.由于∠COE＝∠COD＋∠DOE＝75°，因此，＋(180－x)＝75，解得x＝90.所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－90°＝90°，∠EOB＝∠BOD＝60°.(1)几何题中包含多个已知量，条件包含多个数量关系，我们可选一个恰当的量为x，再用这个x来表示其他未知量；(2)利用方程思想进行计算，往往能达到意想不到的效果．本题中用到角的平分线及角的和、差、倍、分关系，涉及的角较多，应注意利用这些数量关系将未知角用已知角表示出来．9. 解：因为∠A与∠B互余，所以∠A＋∠B＝90°.又因为∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，所以∠A＝3∠B＋30°，所以3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠B的值．此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．10. 解：(1)因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°；(2)因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，所以∠AOC＝120°－90°＝30°，因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.(1)根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．《4.5 角的比较与补（余）角》培优练习1. 如图①，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论：①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC中，正确的有().图①A．4个B．3个C．2个D．1个2. 如图②，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF＝75°，则∠AED′等于().图②A. 75°B. 65°C. 30°D. 25°3. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③(∠α＋∠β)；④(∠α－∠β)．不能表示∠β的余角的是().A. ①B. ②C. ③D. ④4. 如图③，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？(2)在(1)的条件下，如果∠DOC＝20°，那么∠BOE是多少度？图③5. 如图④，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．图④答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. (1)65°；(2)45°.5. 15°【解析】1. 解：因为∠1＝∠2，所以AE平分∠DAF，③正确；又因为∠3＝∠4，所以∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，所以AE平分∠BAC，⑤正确. 故正确的有2个.故选C.由角的平分线的几何表示可知：当∠1＝∠2时，AE平分∠DAF；再由∠3＝∠4可得∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，因此AE平分∠BAC.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．2. 解：由折叠的性质可知，∠D′EF＝∠DEF，因为∠DEF＝75°，所以∠D′EF＝75°，所以∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF＝180°－75°－75°＝30°.故选C.由于∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF，∠DEF为已知角，而∠D′EF＝∠DEF，易求得∠AED′的度数．折叠问题中的折痕平分被折边与原边的夹角．3. 解：由定义知∠β的余角为90°－∠β，故①正确；因为∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，所以∠α＋∠β＝180°，∠α＞90°，所以∠β＝180°－∠α，所以∠β的余角为90°－(180°－∠α)＝∠α－90°，故②正确；因为∠α＋∠β＝180°，所以(∠α＋∠β)＝90°，所以∠β的余角为90°－∠β＝(∠α＋∠β)－∠β＝(∠α－∠β)，故④正确，而③错误．故选C.此题考查的是余角、补角的定义，能够正确找到角之间的和差关系，理解余角、补角的定义是解题的关键．4. 解：(1)因为OC平分∠AOD，所以∠DOC＝∠AOD.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD.所以∠COE＝∠DOC＋∠DOE＝(∠AOD＋∠BOD)＝∠AOB＝×130°＝65°.(2)由(1)可知∠COE＝65°，因为∠DOC＝20°, 所以∠DOE＝∠COE－∠DOC＝45°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝45°.(1)由已知可知∠DOC＝∠AOD，∠DOE＝∠BOD.由于∠COE＝∠DOC＋∠DOE，因此，∠COE ＝∠AOD＋∠BOD＝∠AOB.(2)结合(1)的结论可求出∠DOE的度数，从而求出∠BOE的度数．利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同表达方式．在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角．5. 解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.由ON平分∠AOC，得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．。
沪科版七上数学 角的比较与补(余)角
再结合角平分线的定义，
易得到∠MOC＋∠CON＝
1 2
∠AOB.
在有关角的计算中，几何图形与等式的性
质同时使用，问题会迎刃而解．
解：因为点 A，O，B 在一条直线上，所以∠AOB＝180°.
因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
又因为 OM，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线，
角 的 比 较
角的比较 角平分线 互余与互补
度量 叠法合法
概念 与角有关的和、差、 倍、分的计算
互余：两角之和为直角
互补：两角之和为平角 性质：同(等)角的补 (余)相等.
A．30°
B．35°
C．20°
D．40°
4. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角 的度数. 解：设这个角是 x°，则它的补角是(180°－x°)， 余角是(90°－x°).
根据题意，得 180°－x°= 4 (90°－x°). 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60°.
课堂小结
当堂练习
1. 如图，∠AOB＝50°，OC 平分∠AOB，则∠AOC＝_2_5_°.
AB
C
D O 2.如图，∠1＝∠3，那么（ C ）.
A.∠1＝∠2 C.∠AOC＝∠BOD
B. ∠2＝∠3 D. ∠1＝ 1 BOD
2
3.如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分
∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD 等于( B )
不变.
结论：角的两边张开越大，角就越大，与所 画边的长短无关.
典例精析 例1 如图，求解下列问题： (1) 试比较∠AOC 与∠BOC，∠BOD 与∠COD 的大小； (2) 将∠AOC 写成两个角的和与两个角的差的式．解：(1Leabharlann 由图可看出：∠AOC＞∠BOC，
沪科版数学七年级上册(培优练习)4.5《角的比较与补(余)角》
《4.5 角的比较与补（余）角》培优练习1. 如图①，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论：①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC中，正确的有( ).图①A．4个B．3个C．2个D．1个2. 如图②，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF＝75°，则∠AED′等于( ).图②A. 75°B. 65°C. 30°D. 25°3. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③12(∠α＋∠β)；④12(∠α－∠β)．不能表示∠β的余角的是( ).A. ①B. ②C. ③D. ④4. 如图③，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？(2)在(1)的条件下，如果∠DOC＝20°，那么∠BOE是多少度？图③5. 如图④，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC 的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．图④答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. (1)65°；(2)45°.5. 15°【解析】1. 解：因为∠1＝∠2，所以AE平分∠DAF，③正确；又因为∠3＝∠4，所以∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，所以AE平分∠BAC，⑤正确.故正确的有2个.故选C.由角的平分线的几何表示可知：当∠1＝∠2时，AE平分∠DAF；再由∠3＝∠4可得∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，因此AE平分∠BAC.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．2. 解：由折叠的性质可知，∠D′EF＝∠DEF，因为∠DEF＝75°，所以∠D′EF＝75°，所以∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF＝180°－75°－75°＝30°.故选C.由于∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF，∠DEF为已知角，而∠D′EF＝∠DEF，易求得∠AED′的度数．折叠问题中的折痕平分被折边与原边的夹角．3. 解：由定义知∠β的余角为90°－∠β，故①正确；因为∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，所以∠α＋∠β＝180°，∠α＞90°，所以∠β＝180°－∠α，所以∠β的余角为90°－(180°－∠α)＝∠α－90°，故②正确；因为∠α＋∠β＝180°，所以12(∠α＋∠β)＝90°，所以∠β的余角为90°－∠β＝12(∠α＋∠β)－∠β＝12(∠α－∠β)，故④正确，而③错误．故选C.此题考查的是余角、补角的定义，能够正确找到角之间的和差关系，理解余角、补角的定义是解题的关键．4. 解：(1)因为OC平分∠AOD，所以∠DOC＝12∠AOD.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝12∠BOD.所以∠COE＝∠DOC＋∠DOE＝12(∠AOD＋∠BOD)＝12∠AOB＝12×130°＝65°.(2)由(1)可知∠COE＝65°，因为∠DOC＝20°, 所以∠DOE＝∠COE－∠DOC＝45°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝45°.(1)由已知可知∠DOC＝12∠AOD，∠DOE＝12∠BOD.由于∠COE＝∠DOC＋∠DOE，因此，∠COE＝12∠AOD＋12∠BOD＝12∠AOB.(2)结合(1)的结论可求出∠DOE的度数，从而求出∠BOE的度数．利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同表达方式．在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角．5. 解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝12∠AOB，即∠AOB＋12∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.由ON平分∠AOC，得∠AON＝12∠AOC＝12×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝12∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．。
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解：(1 )由图可以看出:
Z AOC>Z
BOC,(OB 在Z AOC 内)
叠合/ DEF 与/ ABC,如上图，把/ DEF 移动，使 它的顶点E 移到和/ ABC 的顶点B 重合，一边 ED 和BA 重合，另一边
EF 和BC 落在BA 的同 旁.
如果EF 和BC 重合，那么/ DEFN ABC
如果EF 落在/ ABC 的内部，那么 / DEF V/ ABC
能，同时也培养 了学生的动手能
力。
如果EF 落在/ ABC 的外部，那么 / DEF >
/
ABC
【思考】图中有几个角？它们之间有什么关系?
/ AOC 是/ AOB 与/ BOC 的和，记作/ AOC =Z AOB
+ Z BOC,
/ AOB 是/ AOC 与/ COB 的差，记作/ AOB =Z AOC
-Z COB.
类似地，/ AOC -Z AOB =Z COB. 【例】如图所示，求解下列问题:
(1)比较Z AOC 与Z BOC, Z BOD 与Z COD 的大小; (2)将/ AOC 写成两个角的和与两个角的差的形
教师提出问
题，学生思考 后回答，教师 检查学生能否 用文字语言。
学生在学习新 知识的基础上 做例题。
通过观察图形, 分析角的和、差 关系，并用符号 语言表示它们的 关系，建立图形 语言、文字语言 与符号语言的关 系，在建立多元 联系表示的同 时，发展符号感 和空间观念，进 一步体会数形结 合思想。
式.
又因为/ 1= / 3,所以 _/2__=_/ 4.
【总结归纳】
1•补角的性质:
同角的补角相等，即：若/ A +Z B = 180°，/ A
+ Z C = 180°，则/ B =Z C.
等角的补角相等，即：若/
A +Z
B = 180 °，/ D
+ Z C = 180° ,Z A =Z D ,则Z B =Z C.
【思考】余角有无与上面补角类似的性质？
2.余角的性质：
同角的余角相等，即：若Z
A +Z
B = 90° ,Z A +
Z C = 90°，则 Z B =Z C.
等角的余角相等，即：若Z
A +Z
B = 90° ,Z D +
Z C = 90°,Z A =Z D ,则Z B =Z C.
解：因为Z AOB = 48°,Z 1 = 32° 24',
所以Z 2 = 48 ° - 32° 24 ' = 47° 60'- 32 24'= 15°
36'
角相等的性质
3 =90°,
a 叫做/ 3的余角, / 3也叫做/ a 的余角，/ a 与/ 3互余。
通过所学知识 做例题。
【例】如下图，
/ 1 = Z
解：因为/ 1与/ 2互补,
1与/ 2互补,
3, /
O
因为/ 3与/ 4互补，所以/ 4 = 180 ° - Z 3 . 在教师的引导 下总结归纳。
通过轻松愉快的
游戏过程拉近师
生之间的距离， 让
学生在的愉快 轻
松的游戏氛围 中
学会熟练地求 解一个角的余角 和
补角。
课堂练习
1.如图，Z AOB= 48° ,Z 1 = 32° 24',求Z 2的 学生在学习新
知识的基础上 做练习。
通过一系列练 习，可以实现知 识向能力的转 化。
度数.
2•如图，/ 1 = Z 2，/ 3=Z 4,则下列结论：① AD 平分/
BAF;②AF平分/ DAC;③AE平分/ DAF;
④AF平分/ BAC;⑤AE平分/ BAC
中，正确的有（C ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3•下列说法正确的有（B ）
①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；
②直角没有补角；
③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；
④直角的补角还是直角；
⑤一个锐角的补角与它的余角的差为90
⑥两个角相等，则它们的补角也相等.
因为/ 1 + /3 =
C. 同角的补角相等
D. 等角的补角相等
5•如图，直线AB与/ C0D的两边OC, 0D分别相交
于点E, F,若/ 1 + 7 2= 180° .找出图中与/ 2 相等的角，并说明理由.
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
4•如图，直线AB, CD交于点0,
1=7 2的依据是
等角的余角相等
B.。