网络单纯形算法
12(2)网络单纯形算法
A;
带有费用，容量供需量的网络图
定价
行i i的供应量
j的供应量
行j
i
）的检验数。
一个人工的初始基本可行解
z 对于每个b(j)<0，增加弧（1,j ）带有
最高的费用。
z 对于每个b(j)>0，增加弧（j,1）带有
最高的费用。
从节点1到4 发送2单位流，3单位到节点3，从节点2到1发送3单位流。
有一个节点叫做根节点。
从根节点到任意其他节点有一条唯一的路径（无方向）。
从节点1到5的路径是什么？
假设非树弧流量非0。
这将会怎么影响计算？
弧(4,3)流量多大？ 提示：节点4的供应为2。
一棵有供应和需求的树。
（假定其他弧流量是0。
）
考虑到流的上限，调整供应/需求量。
与前面的方法一样计算流。
例如，弧(4,3)的流量是多少？
的最优性条件。
这是带有弧费用的生成树。
如何选择节点势，使树的每个弧的检验数是0？
注意：弧(i,j)的检验数是c ij -πi +πj 假定π1=0。
看动画演示
首先，确定节点势，这样所有树弧的检验数是０。
下限弧(6,5)正在最小值，这是一条不符合最优性条件的弧，可以进基。
弧(5,4) 正在最大值。
满足最优性条件。
为生成树增加一条非基弧，形成一个基本回路。
调整基本回路中的流量这样供应/需求约束仍然满足。
假定弧(6,5)正处于上界流量。
调整基本回路的流量使供应/需求约束仍然满足。
单纯形方法（SimplexMethod）
单纯形⽅法（SimplexMethod）最近在上最优理论这门课，刚开始是线性规划部分，主要的⽅法就是单纯形⽅法，学完之后做了⼀下⼤M算法和分段法的仿真，拿出来与⼤家分享⼀下。
单纯形⽅法是求解线性规划问题的⼀种基本⽅法。
线性规划就是在⼀系列不等式约束下求⽬标函数最⼤值或最⼩值的问题，要把数学中的线性规划问题⽤计算机来解决，⾸先要确定⼀个标准形式。
将所给的线性规划问题化为标准形式：s.t.是英⽂subject to 的简写，意思是受约束，也就是说第⼀个⽅程受到后⾯两个⽅程的约束。
对于求最⼤值问题可以将⽬标函数加负号转换为最⼩值问题。
对于求最⼤值问题可以将⽬标函数加负号转换为最⼩值问题。
其他的问题就是将实际问题中的不等式约束改为等式约束，主要⽅法是引进松弛变量和剩余变量，以及将⾃有变量转换为⾮负变量。
①对于不等式，引⼊松弛变量将其变为等式形式如下：②对于不等式，引⼊剩余变量将其变为等式形式如下：③若变量为⾃有变量（可取正、负或零，符号⽆限制），则引⼊两个⾮负变量将其表⽰如下：关于线性规划问题的解：确定了标准形式，我们就针对这个标准形式讨论⼀下线性规划问题的解。
线性规划问题的解能满⾜标准形式中约束条件的向量X的值，但只有最优解才能使⽬标函数值最⼩。
对于上⽂中的标准形式，约束矩阵A是⼀个m*n维矩阵，且m<n，所以⼀定可以从A中找到⼀个满秩m*m矩阵。
这个矩阵就称作矩阵A的⼀个基阵，矩阵A就可以写作 [B N] , 相应的解 x 也可以写成 x=(xB,xN)’，那么 Ax=b 就变为，左式两端同乘B矩阵的逆，得到。
由此引出下列名词：基阵：⾮奇异矩阵（满秩矩阵、可逆矩阵）B基向量：基阵B由m个线性⽆关的向量组成，称之为基向量基变量：向量xB各分量，与基向量对应的xB中的m个分量成为基变量⾮基变量：向量xN各分量基本解：令xN各分量为0，由得到的解称为基阵B对应的基本解基本可⾏解：当成⽴时，称基本解为基本可⾏解，因为只有满⾜所有分量不⼩于0，才符合标准形式中的约束条件（最后⼀条）。
12网络单纯形法演示
cij-πi+πj
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单纯形乘子
在最小费用流问题 中有一个多余的约 束。
可以自主确定π１， 令π１＝０。
节点２的单纯形乘 子是什么？
弧 (2,6) 流 量 多大？
弧 (7,1) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
弧 (1,2) 流 量 多大？
注意：有两种 方法计算弧 (1,2) 的 流 量 ， 结果都是 4。这 是不是巧合？
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单形乘子
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
15.053
网络单纯形法演示
计算一棵生成树流
一棵有供应和 需求的树。（假 定其他弧流量 是 0）。
弧 (4,3) 的 流 量 多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
要计算流量， 重复观察树， 找出流量是 唯一确定的 弧。
弧(5,3)流量多 大？
弧 (3,2) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将(2,1)加入树中。
回路是 什么？ 可以发 送多少 流量？
沿回路发送 2 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
经过一轮迭代后
更新乘子
更新的生成树
在迭代中， 加入 T 中 一条弧，从 T 中去掉 一条弧。
当前乘子与检验数
如何使 c*=0 且 其他树 弧检验 数为 0？
网络单纯形算法
5
基本流
基本结构包含生成树 T,弧的集合L,弧集U, T ∪L ∪U = A. 对每个 (i,j) ∈ L, xij= 0. 对每个 (i,j)∈U, xij= uij. 选择在T中的弧流,以便每个结点满足它的供应/需求约 束. 如果流也满足上下界限制,基本结构也是可行的. 基本结构也可能不可行. 实际上,这就是对偶单纯形算法 的正常情况下.
看动画.
10
另一种替换计算单纯形乘子的方法
令πi 是在T中从结点i到结点1 (根结点)的路径的代价. 如果 (j,k) 反向的,那么使用代 价-cjk. 什么是结点4的单纯形乘子? 什么是结点6的单纯形乘子?
11
最优化条件(又一次)
生成树解的最优化条件: 以下条件是最小代价流问题的最优解的条件,对于对 偶问题,π是最佳的. 1. 基本流 x 是可行的 2. π 是单纯形乘子向量 3. For 每个非树弧(i,j) a. 如果 cπij> 0, 那么 xij= 0 b. 如果cπij< 0, 那么 xij= uij 如果弧(5,6)满足最优条件, 在弧(5,6)上的流是什么?
16
生成树,部分生成树解
结点1是根结点. 树从 根结点"悬挂".
17
结点深度和前驱
,其他
18
线
在进行深度优先搜索 的时候,获得线. 在深度优先搜索中, 每个结点指向下一个 结点.
19
寻找圈
procedure IDENTIFY CYCLE; begin 设置 i : = k 且 j : = l; while i ≠j do begin
在单纯形方法中,我们如何避免成圈?(或者说如果环绕 圈发送的流总数是0,我们做什么?) 单纯形方法的最坏情况性能是什么? 在实践中,加速性能的好的启发式方法是什么?
simplex 单纯形法
simplex 单纯形法单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于线性规划问题求解的有效算法。
它由美国运筹学家Dantzig于1947年提出，被广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
本文将介绍单纯形法的基本原理、步骤与应用，并探讨其优缺点。
一、基本原理单纯形法是通过不断地在可行解空间中移动来逼近最优解的方法。
该方法从一个初始可行解出发，通过一系列迭代操作，每次改变一个基本变量以达到更优的目标函数值。
最终，算法将找到一个全局最优解或者判断问题无界或无可行解。
二、基本步骤1. 线性规划标准形式化：将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数最小化，约束条件为线性等式。
2. 初始可行解：找到一个满足约束条件的初始可行解，并将其称为基本可行解。
3. 进行迭代操作：通过改变基本变量来改善目标函数值，直到达到最优解或者判断问题无界或无可行解。
4. 基本变量的选择：在每一次迭代中，选择一个非基本变量作为入基变量，并选取一个基本变量作为出基变量。
5. 确定迭代终止条件：判断是否终止迭代，若目标函数值无法继续改善或者判断问题无界或无可行解，则终止迭代。
6. 输出最优解：若找到了最优解，输出最优解及最优目标函数值。
若判断问题无界或无可行解，则给出相应的判断结果。
三、应用领域单纯形法广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
以下是一些典型应用案例：1. 生产计划优化：通过使用单纯形法，可以优化生产计划以最大化产出，同时考虑资源约束和成本限制。
这对于提高生产效率和降低成本非常重要。
2. 物流网络优化：单纯形法可以帮助优化物流网络的设计和运作，以最小化物流成本、最大化物流效率，并满足客户需求。
3. 能源系统调度：单纯形法可以应用于能源系统的调度问题，包括电力系统、天然气输送网络等，以最大化供应效率，并解决资源分配和运营问题。
4. 金融投资组合优化：通过单纯形法，可以优化金融投资组合以最大化收益或最小化风险，并满足投资者的需求。
下山单纯形算法
下山单纯形算法摘要：一、下山单纯形算法简介1.什么是下山单纯形算法2.算法的基本思想二、下山单纯形算法的步骤1.初始解的确定2.可行性检验3.单纯形下山步骤三、下山单纯形算法的应用1.路径规划2.网络优化四、下山单纯形算法的优缺点1.优点2.缺点正文：下山单纯形算法是一种解决最优化问题的方法，它是在单纯形法的基础上，结合下山法的特点进行改进的一种算法。
该算法的基本思想是在单纯形法的基础上，每次迭代都朝着目标函数值减小的方向进行，从而更快地找到最优解。
一、下山单纯形算法简介下山单纯形算法是一种解决最优化问题的方法，它的核心思想是在单纯形法的基础上，每次迭代都朝着目标函数值减小的方向进行。
这种方法能够更快地找到最优解，并且具有较好的收敛性。
下山单纯形算法主要应用于路径规划、网络优化等领域。
二、下山单纯形算法的步骤1.初始解的确定：给定一个初始解，这个解可以是随机生成的，也可以是根据领域知识推测的。
2.可行性检验：检验当前解是否可行，即目标函数值是否小于等于规定的最大值。
3.单纯形下山步骤：如果当前解可行，那么进入单纯形下山步骤。
这一步骤主要包括以下操作：a.确定变量进行入基操作；b.确定变量进行出基操作；c.更新目标函数值。
三、下山单纯形算法的应用1.路径规划：下山单纯形算法可以用于求解车辆路径规划问题，即在给定起点和终点的情况下，寻找一条最优的行驶路线。
2.网络优化：下山单纯形算法可以用于求解网络流问题，即在给定网络图的情况下，寻找一种流量分配方案，使得网络中的流量满足一定的约束条件，并且总的流量最大。
四、下山单纯形算法的优缺点1.优点：下山单纯形算法具有较好的收敛性，能够较快地找到最优解。
2.缺点：下山单纯形算法的计算复杂度较高，尤其是在大规模问题中，计算量会随着问题规模的增长而显著增加。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形算法的一般原理
单纯形算法的一般原理单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
考虑到如下线性规划问题：其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。
根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。
这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。
Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
求解思想如下图所示：maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。
那么约束方程AX=b 就可表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量 ，则基变量由此可得初始的基本可行解B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→● 问题：要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
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11
5
39
跟随从结点8开始的线 跟随从结点 开始的线
1 8 3 10 6 9 7 2 12
什么是 thread(8)?
11
5
40
跟随从结点8开始的线 跟随从结点 开始的线
1 8 3 10 6 9 7 2 12
什么是 thread(3)?
11
5
41
跟随从结点8开始的线 跟随从结点 开始的线
1 8 3 10 6 9 7 2 12
什么是 thread(10)?
11
5
42
跟随从结点8开始的线 跟随从结点 开始的线
1 8 3 10 6 9 7 2 12
什么是 thread(11)?Biblioteka 11543
跟随从结点8开始的线 跟随从结点 开始的线
1 8 3 10 6 9 7 2 12
什么是 thread(6)?
11
5
44
停止规则
1
停止规则: 停止规则 当depth(当 当 前结点) 前结点 ≤ depth(8)的时 的时 候停止
为了计算流，向上 为了计算流， 迭代树， 迭代树，寻找流能 唯一确定的弧. 唯一确定的弧
3
2
2 4
在弧(5,3)中的流是 中的流是 在弧 什么？ 什么？
3
计算生成树流
1 1 -6 2 1 3 6 -4 7
在弧(3,2)中的流是 中的流是 在弧 什么？ 什么？
3
2
2 4
3
5 3
4
计算生成树流
1 1 -6 2 7 6 -4
7
depth = 1
3 10
8 6
depth = 1
2
11
9
12
5
45
添加弧 (3,4) 到生成树
26
沿圈发送流
T L U
1
4,2 3,0
2, 2 4,2 3,2
4
4, 0
3
5, 3
1, 0
2
5
下一个生成树 解是什么？ 解是什么？
沿圈发送1 个单位的流. 沿圈发送 个单位的流
27
下一个生成树解
T L U
1
4,2 3,0
2, 2 4,2 3,2
4
4, 0
3
5, 3
1, 0
这里是有弧代价的生 成树.如何选择结点势 成树 如何选择结点势 以便即约代价是0呢 以便即约代价是 呢 ？
回忆: 回忆 (i,j)的即约代 的即约代 价是 cij - πi + πj
9
计算生成树的单纯形乘子
0 1
-6 7 -4 6 1 5
在最小代价流问题中 有一个多余的限制. ，有一个多余的限制
5 2 3 3 -2 4
2
2 4
3
5 3
7
计算生成树流
1 1
4
-6 2
3
7 3
6
1 3
4
6 -4
注释: 注释 有两中不同的 方法计算在(1,2)的流 方法计算在 的流 ，两种方法都给出流 这是巧合吗？ 为 4.这是巧合吗？ 这是巧合吗
2
2 4
3
5 3
8
计算生成树的单纯形乘子
5 2 3 3 -2 4 1 5 -4 6
1 -6 7
11
5
37
使用深度和前驱
0
8 3 10 6 9 1 7 2 12
结点3和 的 结点 和5的 最小共同祖 先被找到. 先被找到
11
5
38
更新乘子： 更新乘子：使用线和深度
1 8 3 10 6 9 7 2 12
假设弧 (1,8) 将从树中删 以结点8 除.以结点 以结点 为根的子树 是什么？ 是什么？
11
35
使用深度和前驱
0
8 1 7 6 9 2 2 12
depth(2) = 2; depth(3) = 2; 用 pred(2) 替换结点2; 替换结点 用 pred(3) 替换结点3 替换结点
2
10
3
11
5
36
使用深度和前驱
0 1
3 10 8 6 9 1 7 1 2 12
depth(8) = 1; depth(7) = 1; 用 pred(8) 替换结点8; 替换结点 用 pred(1) 替换结点7 替换结点
1 8 3 10 6 9 7 2 12
11
5
33
使用深度和前驱
0
8 1 7 6 9 2 12
2
10
3
depth(5) = 4; depth(3) = 2; 用 pred(5) 替换结点5 替换结点
11
5
4
34
使用深度和前驱
0
8 1 7 6 2 9 3 5 12
2
10
3
depth(9) = 3; depth(3) = 2; 用 pred(9) 替换结点9 替换结点
-6
-4
4
16
网络单纯形算法
T L U
2 1
4, $1
2, $4 4, $2 3, $5 3, $4
-4 4
1, $4 4, $2
3
5, $5
2 5
5 -3
最小代价流问题
17
生成树流
T L U
2 1
0 2
1 1 3
-4 4 3
0 0
2 5
初始生成树解
3
5 -3
18
单纯形乘子和即约代价
T L U c45 = 2
在弧(2,6) 中的流是 在弧 什么? 什么
3
6
1 3
2
2 4
3
5 3
5
计算生成树流
1 1 -6 2 7
在弧(7,1)中的流是 中的流是 在弧 什么? 什么
3
6
1 3
4
6 -4
2
2 4
3
5 3
6
计算生成树流
1 1
3
-6 2 7 3
在弧(1,6)中的流是 中的流是 在弧 什么? 什么
6
1 3
4
6 -4
T L U
0 1
0 2
0 0 3 2 2
-4 4
2
3
0
2 1
5 -4
这棵树的解是 最优的吗？ 最优的吗？
更新的乘子和即约代价. 更新的乘子和即约代价
25
添加一条违反弧到生成树， 添加一条违反弧到生成树，创建圈
T L U
1
4,2 3,0
2, 1 4,3 3,3
4
4, 0
3
5, 3
1, 0
2
5
圈是什么，能 圈是什么， 发送多少流？ 发送多少流？
结点 7 的单纯形乘子 是什么？ 是什么？
11
计算生成树的单纯形乘子
0 1
-6 7
5
(7,1)的即约代价是 的即约代价是 c12 - π1 + π2 = 0. c71 - π7 + π1 = 0. 因此 -6 - π7 +0 = 0. 结点 3 的单纯形乘子 是什么？ 是什么？
-5 2 -4 3
3 -2 4 1 5 6
23
从 T 删除 (2,1) 把 T 分裂成两部分
T L U
0 1
-2 0
0 0 3 2 4
-4 4
4
3
0
2 3+
5 -2+
应该选择什么 样的 值，
添加 到树的一侧不影响任何树 弧的即约代价， 弧的即约代价，除了 (2,1). 为 什么? 什么
产生即约代 价 (2,1) = 0?
24
更新的乘子和即约代价
-6
12
计算生成树的单纯形乘子
0 1
-6 7
5
-5 2 -4 3 -2 3
-2 4 1 5 6
-6 结点 6 的单纯形乘子 是什么？ 是什么？
13
计算生成树的单纯形乘子
0 1
-6 7
5
-5 2 -4 3 -2 3
-2 4 1 5 6 -1
-6 结点 4 的单纯形乘子 是什么？ 是什么？
14
计算生成树的单纯形乘子
0 1
-2 0
0 0 3 2 4
-4 4
?
3
0
2 3
5 -2
什么弧是违规的？ 什么弧是违规的？
初始单纯形乘子和即约代价
19
添加违规弧到生成树， 添加违规弧到生成树，创建圈
u14, x14
2, 1 4,1 3,2 3,3
T L U
1
4,0
4
4, 0
3
5, 3
1, 0
2
5
圈是什么，能 圈是什么， 发送多少流？ 发送多少流？
π1 可以被任意设置 可以被任意设置. 我们令 πi = 0.
结点 2 的单纯形乘 子是什么？ 子是什么？
10
计算生成树的单纯形乘子
0 1
-6 7 6 1 5
(1,2)的即约代价是 的即约代价是 c12 - π1 + π2 = 0. 因此5 - 0 + π2 = 0. 因此
5
-5 2 -4 3
3 -2 4
2
5
这是更新的生成树解
28
更新的乘子
T L U
0 1
0 2
0 0 3 2 2
-4 4
2
3
0
2 1
这是当前乘子. 这是当前乘子
5 -4
我们如何修改 乘子？ 乘子？
29