第九章一元气体动力学基础
流体力学_龙天渝_一元气体动力学原理
第九章 一元气体动力学基础一、学习指导 1. 基本参数 （1） 状态方程气体的压强p ，密度ρ以及温度（绝对）T 满足状态方程p RT ρ=式中，R 为气体常数，对于空气，287/()R J kg K =⋅。
（2） 绝热指数k/p v k c c =式中，c p 和c v 分别是等压比热和等容比热，他们与气体参数地关系为1p k c R k =-，11p c R k =-（3） 焓和熵焓h 的定义是ph e ρ=+式中，e 是气体内能，v e c T =。
h 可一表示为 p h c T =熵的表达式为ln()kps cv c ρ=+常数（4） 音速cc =（5） 马赫数马赫数M 的定义是uM c =式中，u 是气流速度；c 是音速。
2. 一元恒定流动的运动方程 （1） 气体一元定容流动ρ=常数22pv g γ+=常数 （2） 气体一元等温流动T =常数，pRT cρ==2ln 2v c p +=常量2ln 2v RT p +=常量（3） 气体一元绝热流动k p cρ= 212k p v k ρ⋅+-=常量3. 滞止参数气流在某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。
用p 0、ρ0、T 0、i 0、c 0表示滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止音速。
0/T T ，0/p p ，0/ρρ，0/c c 与马赫数M 的函数关系：20112T k M T -=+11200112k kk k p T k M p T ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111200112k k T k M T ρρ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1122200112c T k M c T -⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. 气体一元恒定流动的连续性方程2(1)dA dv M A v =-（1） M<1为亚音速流动，v<c ，因此dv 与dA 正负号相反，速度随断面面积增大而减慢；随断面面积减小而加快。
9第九章 一元流体动力学基础
一、稳定流动连续性方程的基本形式
管道任意截面1—1、2—2流进、流出的流体质量流量：
qm1 1qV1 1v1 A1
qm 2 2qV 2 2v2 A2
据质量守恒定律, 有:
流体在管道中作稳定 流动的连续性方程
qm1 qm 2 1v1 A1 2v2 A2
1.损失能量
实际流体流动时, 因克服流动阻力而损耗的机械能 以热量形式散失, 称为能量损失。 1kg的流体流动时的能量损失用符号hw表示，单位 为J/kg。
2.外加能量
其作用是将机械能传递给流 体，使流体的机械能增加
将1kg流体从流体输送机械（如泵）获得的能量称 为外加能量，用符号he表示，单位为J/kg。 实际流体在稳定流动状态下的总能量衡算式为:
学习要求
本章的重点是连续性方程和柏努利方程，通过学习应达到以 下要求： 1.理解稳定流动与非稳定流动的概念及与工程实际中流动现 象的关系。 2.理解流量和平均流速的定义，掌握它们之间的计算关系。 3.掌握连续性方程的形式、使用条件，并能熟练应用于求解 工程实际问题。
4.理解柏努利方程的推导过程，掌握实际流体柏努利方程的 三种表示形式、使用条件和注意事项，并能熟练应用于求解 工程实际问题。
（3）压力能
又称为静压能，是流体因存在一定的静压力 而具有的能量。
与流体流动 与否无关
压力
mp
比压力能
p
v
p
h
2.理想流体稳定流动的机械能衡算 伯努利方程
1kg流体带入1—1截面的总机械能为
v12 p1 E入 gz1 2 1
1kg流体在2—2截面处带出的总机械能为
2 v2 p 2 E出 gz2 2 2
重庆大学853流体力学考点勾画
重庆大学2022年城市建设与环境学院《流体力学》考研大纲第一章绪论：表面张力不考。
流体的内摩擦阻力计算题要考。
第二章流体静力学：浮体，潜体不考，本章的一些证明不考(如压强公式的证明)第三章*（重点章）一元流体动力学：1、考试重点章节，动量方程为重点。
2、水头线不考，气体部分的总压线和全压线不考。
气体能量方程（供暖，供热，供燃气，通风及空调工程考）。
3、恒定平面势流问题：关于应力和应变率的关系不考，关于微团的流动只需了解，需知道液体微团运动的意义，恒定平面势流中势流的叠加不考，流函数，势函数的关系重点(必考)。
4、不可压缩流体运动微分方程:方程的意义要会写，紊流的基本方程，要知道平均值，切应力如何产生要知道。
第四章流动阻力的能量损失：1、只考普朗特假设，粗糙雷诺数，层流底层厚度，局部阻碍相互干扰要了解比较透彻。
水击不考。
2、切应力计算公式(层流圆管切应力τ)需了解，紊流运动中了解概念，普朗特假设不考。
3、绕流阻力:什么叫绕流阻力，如何产生的？边界层分离的概念要考。
第五章孔口，管嘴，管路闸孔：计算一般不考(非重点，但需了解)1、孔口，管嘴环状管网，闸孔不考，但枝状管网，串，并联要考。
2、管网的水力计算:环状管网的水力计算不考，枝状管网需了解。
3、堰流、闸孔出流不考，水击不考。
4、气孔射流(稳定射流)计算不考，概念要考（如什么叫质量流速）。
第六章射流与扩散：重点掌握射流特征，其余不考。
1、射流计算不考（市政工程，供暖，供热，供燃气，通风及空调工程不用看射流，其他专业要了解它的概念）。
扩散不用看。
第七章不可压缩流体动力基础：1、微团运动不考，但微团的运动分为平动和转动和变形运动要记牢。
应力表示的运动方程不考，应力不考，应变率不考第八章绕流，平面势流*（重点章）：涡流运动的性质不考。
掌握判断势流的叠加，流函数和势函数必考计算题。
差分法不考。
第九章气体动力基础（除供暖，供热，供燃气，通风及空调工程，其他专业不用看）：等温管路不考，绝热管路不考，只考可压缩气体方程。
流体力学(热能)第7章 一元气体动力学基础
(dT 0) (dA 0)
P263(c)
dp d dv kM dl p v (1 kM ) 2 D
2 2
(9 4 17)
讨论： （1）l增加，摩阻增加 若kM2<1，v沿程增加，p、ρ减小； 若kM2>1，v沿程减小，p、ρ增加。
§9-4 实际气体管路流动
等截面管道的恒定气流 如高压蒸气管道、煤气管道 预备知识：
气体管路运动微分方程
沿程损失：
dl v 2 dhf D 2 dp 2 vdv v dl 0 2D 2dp dv 或 2 dl 0 v D v 2
讨论：式中p、ρ、v均为待求变量。A、D为常数，λ为气流的沿程阻力系数。
2、参数的计算公式，根据能量方程及有关断面参数求得。
p0 k k p v2 0 k 1 0 k 1 2 k k v2 RT0 RT k 1 k 1 2 v2 i0 i 2 (9 2 9) (9 2 10)
2 c0 c2 v2 k 1 k 1 2
缩气体，密度为ρ，压强为p，F作用
dv向右运动，产生微小的平面扰动波， 波速为c 。坐标固在波峰上。如图：
小扰动波波峰 c-dv
1 2 c
1 2
（1）连续性方程：1-2断面的控制体 d dv cA (c dv)( d ) A 略去二阶无穷小量 c （2）动量方程：
cA[(c dv) c] pA ( p dp) A（质量力为零，忽略切应力）
vD f ( Re , ) D
①D、管材一定， 一定； D
②等截面， v =常数。 ③ 随温度变化，等温管路。 =常数， λ 为常数。 ④绝热管道， λ 为变量，但在实用上，仍可作为常数考虑。
一元气体动力学基础
p0、T0 p、T
5.气体按不可压缩处理的极限
空气k=1.4 取M=0.2
0 0 1 2.1% 密度相对变化
取M=0.4
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M· c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系 由连续性方程
k k 1
k 1 2 1 M 2 k 1 2 1 M 2
1 2
k k 1
0 T0 T
1 k 1
1 k 1
c0 T0 k 1 2 1 M c T 2
2.讨论
一元等熵气流各参数沿程的变化趋势 M<1 渐缩管 渐扩管 M>1 渐缩管 渐扩管
流动参数
流速v
压强p 密度ρ 温度T
增大
减小 减小 减小
减小
增大 增大 增大
减小
增大 增大 增大
增大
减小 减小 减小
dv与dp、dρ、dT异号
（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑
2 由于 M 1 1
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k
p
dp c k
p
kRT
讨论： （1）音速与本身性质有关 （2） c
1 d dp
d / dp 越大，越易压缩，c越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数 （3） c f T f p,V , T （4）空气 c 1.4 287T 当地音速
压强下降
扩压管
解题思路：状态（过程）方程、 连续性方程、能量方程
流体力学_09一元气体动力学基础
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
一元气体动力学基础讲解学习
解：喷口处 akRT 31.5m 2/s
Mv 2500.8 a 31.25
k
1 .4
p 0 p 1 k2 1 M 2 k 1 1 1 0 1 .0 4 2 1 0 .8 2 1 .4 1 1.4 5 k2 P pa
h u p ——焓
（4）多变过程
p c n
n c cp c cv
——多变指数
n p v2 c
n1 2
可压缩理想气体的能量方程
n=0
等压过程
n=1
等温过程
n=k
绝热过程
n→±∞ 等容过程
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
一元气体动力学基础
安徽建筑工业学院环境工程系 王造奇
INDEX 理想气体一元恒定流动的基本方程 可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
理想气体一元恒定流动的基本方程
可压缩气体 密度变化 1.连续性方程
积分形式 vAc 微分形式 ddvdA0
可压缩气流的几个基本概念
1.音速 声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
aA d d ta dA vdt
略去高阶微量，得
addv
动量方程
pdA pp A aAdv
得 dpadv
解得 a dp d
——音速定义式
液体： E dpa E
d
气体：视作等熵过程
p k
c
微分： dpkpdpa kp kRT
p k
c
k cp cv
一元气体动力学基础
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M·c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系
由连续性方程
d dv dA 0 vA
9-3-2
欧拉微分方程 dp vdv 0
9-1-1
及 c2 dp
d
M v c
p RT
p
k
常数
得 dA M 2 1 dv
A
v
dA M 2 1 dp
A
kM2 p
dA M 2 1 d
A
M2
dA
M 2 1 dT
A k 1M 2 T
9-3-3
2.讨论 一元等熵气流各参数沿程的变化趋势
M<1 流动参数
渐缩管 渐扩管
流速v 压强p 密度ρ 温度T
增大 减小 减小 减小
减小 增大 增大 增大
M>1
渐缩管 渐扩管
减小 增大 增大 增大
3000m高空的温度为 T 269K 所以驻点温度为
T
T
1
k
1 2
M
2 a
269 1
数
声音的传播是一种小扰动波
连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得 dp cdv
解得 c dp
d
——音速定义式
液体： E dp c E
d
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k p dp c k p kRT
解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K
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例9-1：求空气绝热流动时（无摩擦损失）， 两断面间流速与绝对温度的关系。已知：空 气的绝热指数k=1.4,气体常数R=287J/kg.k。
解：应用公式： k p v2 C
k 1 2
将k=1.4代入上式：得3.5 p
v2 2
CLeabharlann pRTv2 3.5RT C
2
20T 11 v1 0 220T21v0 2 2
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
例9-2：为获得较高空气流速，使煤气与空
气充分混合，使压缩空气流经图示喷嘴。
在1、2断面上测得高压空气参数为：
p1=12*98100N/m2, p2=10*98100N/m2,v1=100m/s,t1=27 ℃.试求喷嘴出口速度v2为多少？
1
2
煤气
压缩空气
煤气 2
pk ck
k p1 kp
11
k1
k
k
1
p
k
k p v2 C
k 1 2
1 p p v2
将上式变化为：
C
k1 2
1p
与不可压缩理想气体相比多出一项 k 1
从热力学可知，该多出项正是绝热过程中， 单位质量气体所具有的内能。
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
证明:单位质量气体具有的内能为 u 1 p 证明：从热力学可知，对理想气体有：k 1
➢ 实际的流动过程均为多变流动，其运动方
程式为： n p v2 C
n1 2
多变过程p，ρ的
关系为：
p1
1n
p2
n 2
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
p
n
c
p1
1n
p2
n 2
特殊流动时，多变指数为：
➢ 等温流动： n 1 ➢ 绝热流动： nk
➢ 定容流动：n
➢ 定压流动： n0
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
绝热流动有两种不同的情况：
➢ 在喷管中的流动，具有较高的速度，较短 行程，气流与壁面接触时间短，来不及进 行热交换，摩擦损失亦可忽略。可理解为 等熵过程。
➢ 需要热力学的知识。
➢ 压强、温度用绝对压强和开尔文温度。
第一节 理想气体一元恒定流动运动方程
从微元流束中沿轴线s任取ds段,由理想流
体欧拉运动微分方程:S1 p sddsvtvtsvssd dst 对于恒定一元流动: pdp,vs dvs,vs 0
s ds s ds t
当质量力仅为重力，气体在
气体一元绝热流动
➢ 在无能量损失且与外界无热量交换的情况， 为可逆的绝热过程，又称等熵过程。
p
k：绝热指数
k c
k=cp/cv为定压比 热与定容比热之比。
(p)1k
1
pk
1
c k
c
将上式代入
dp
d(v2 2
)
0
并积分：
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
dpc1 k
1
1
pkdpck
1
11 1
第九章 一元气体动力学基础
气体动力学 研究可压缩 流体运动规 律及其在工 程实际中的 应用。
➢ 当气体的流动速度较高，压差较大时， 气体的密度发生了显著变化，必须考虑 气体的可压缩性，即必须考虑气体密度 随压强和温度的变化而变化的情况。
➢ 研究可压缩流体的动力学不只是流速， 压强问题，还有密度和温度问题。
同介质中流动，浮力和重力平
衡，不计质量力S，并去掉角
标s，则得： 1 dpv dv0
v
ds ds
p
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
p p ds s
1 dpv dv0
ds ds
于是：
dp vdv 0
dp v2 d( ) 0
2
微分形式的伯努利方程： dp d(v2 ) 0
2
➢ 上式确定了气体一元流动的p,v,ρ之间 的函数关系。
➢ 等温过程是指气体在温度T不变条 件下所进行的热力过程。
➢ 等温流动是指气体温度T保持不变 的流动。
p RT c
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
p RT c
1c p
将上式代入 dp d(v中2 ) ，0 积分得：
2
cln
p
v2 2
c2
又知：cRT
RTlnpv2 2
c2
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
1
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
解：因速度较高，气流来不及与外界 进行热量交换，且当忽略能量损失时， 可按等熵流动处理。应用上例结果：
2010T1v12 2010T2v22
1
2
煤气
T1 27327300K 压缩空气
煤气
1R p T 111 2 2 8 79 8 3 1 0 0 0 013.67K g/m 3 1
2
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
1
1
p 1 1 kp 2 2 k 21 p p 1 2 K 1 3 .6 7 1 1 0 2 1 .4 1 2 .0 1 kg/m 3
T2p22 R1 12 0. 01 9 81 20 80 7284K
将各值代入得
V 22 0 1 0 3 0 0 2 8 4 1 0 0 2 2 1 0 m /s
ucv T
由理想气体状态方程式可得：T
p R
气体常数R为 Rcp cv
k cp
cv
cv
ucvTcv(cppcv)cpc vcvpcpc vcvpk1 1p
cv cv
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
1 p pv2 C
k1 2
u p v2 C
2
➢ 上式表明：气体等熵流动，即理想气 体绝热流动，沿流任意断面上，单位 质量气体所具有的内能、压能、动能 三项之和均为一常数。
p v2 C
2
p v2 C
2g
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
➢此式即不可压缩理想流体元流能量 方程式，忽略质量力的形式。
p v2 C
2g
➢ 方程意义是：沿流各断面上单位质量 或重量理想气体的压能与动能之和守 恒，两者并可互相转换。
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
气体一元等温流动
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
气体动力学中，常用焓i这个热力 学参数来表示绝热流动全能方程。
iu p
i v2 C 2
v2 cpT 2 C
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
➢ 气体绝热指数k取决于气体分子结构。空 气k=1.4，干饱和蒸汽k=1.135，过热蒸 汽k=1.33。
➢ 要积分上式，必须给出气体的p, ρ之 间的函数关系，必须借助热力学过程 方程式。
§ 9.1理想气体一元恒定流动运动方程
气体一元定容流动
➢ 定容过程是指气体在容积不变，或比容 不变的条件下进行的热力过程。
➢ 定容流动是指气体容积不变的流动，即
密度不变的流动。
dp d(v2 ) 0
2
在ρ=常数时：