教学楼经济疏散数学模型
数学建模：建筑物人员疏散方案的数学模型研究
第32卷 第11期2010年6月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNA L OF WUHAN UNIVERSIT Y OF TECHN OLOG Y Vol.32 No.11 J un.2010DOI :10.3963/j.issn.167124431.2010.11.038建筑物人员疏散方案的数学模型研究王卫华1,吴淑娴2,程 建3(1.三峡大学理学院,宜昌443002;2.三峡大学应急管理研究所,宜昌443002;3.三峡大学机械与材料学院,宜昌443002)摘 要: 研究了在险情发生时如何在最短时间内组织人员逃出某建筑物这类应急处理问题。
为了寻求到最佳的疏散方案,建立了人流疏散数学模型,该模型考虑到人流速度与人流密度之间的关系,以疏散时间最短为目标函数。
根据此模型求解得到了某教学楼人员快速疏散的优化方案。
通过对模型的检验,对有关部门提出了若干建设性意见。
关键词: 疏散方案; 疏散模型; 人流密度; 人流速度中图分类号: TU 972+.4文献标识码: A 文章编号:167124431(2010)1120155204Mathematical Model of Evacuation Program in a BuildingW A N G Wei 2hua 1,W U S hu 2xian 2,CH EN G Jian 3(1.School of Science ,China Three G orges University ,Y ichang 443002,China ;2.Research Center for Emergency Management ,China Three G orges University ,Y ichang 443002,China ;3.School of Mechanical and Materials ,China Three G orges University ,Y ichang 443002,China ;Abstract : This article researches that how to organize personnel to escape of a building in the shortest time.In order to find out the best evacuation program ,this paper establishes a mathematical model of flow of people to evacuate.The model takes the relationship between flow velocity and flow density into account to evacuate the shortest of the objective function.According to this model solution we get a quickly evacuate optimization program of a classroom building.Through the model tests ,the au 2thorities make a number of constructive comments.K ey w ords : evacuation program ; evacuation model ; flow density ; flow velocity收稿日期:2010201210.作者简介:王卫华(19662),男,讲师.E 2mail :zhangliliwwh @进入21世纪以来,各类突发事件层出不穷。
网格化教学楼应急疏散模型设计与应用
网格化教学楼应急疏散模型设计与应用随着教学楼的规模不断扩大和学生人数的增加，应急疏散模型的设计与应用变得尤为重要。
网格化教学楼应急疏散模型是一种基于网格化的疏散模型，通过对教学楼内部的空间进行网格化划分，建立起准确的空间模型，再结合人员流动规律和应急状况，设计出相应的应急疏散模型，帮助管理者快速、有效地进行应急疏散。
本文将围绕网格化教学楼应急疏散模型的设计与应用进行深入探讨。
1.网格化划分针对教学楼的平面及立体结构，采用合适的网格化划分方法进行划分，将教学楼的每个空间用网格进行标识，标注每个网格的特征及空间信息，确保每个网格的尺寸合适，并且能够准确反映实际情况，以便后续模型的建立和计算。
2.空间模型建立在完成网格化划分后，需要建立起准确的空间模型，包括教学楼的布局、空间分布、出入口位置等。
利用建筑平面图和立体结构图，结合实地勘测，对教学楼的各个空间进行三维模型的建立，确保空间模型的准确性和真实性，为后续的模型应用提供准确的空间信息。
3.人员流动规律分析通过对教学楼内部的人员流动规律进行分析，包括人员的密集区域、交通瓶颈、疏散路径等，了解人员在应急状况下的行为特征和疏散规律，为疏散模型的建立提供依据。
4.疏散模型建立基于空间模型和人员流动规律分析，设计出合适的应急疏散模型，包括模拟人员疏散路径、疏散时间、拥堵情况等，通过建立数学模型和仿真模拟，对不同应急情况下教学楼内的疏散情况进行模拟和评估，确保应急疏散的有效性和快速性。
1.危险源分析通过建立好的网格化教学楼应急疏散模型，对教学楼内部的危险源进行分析，包括火灾、爆炸、物体坠落等，通过模拟不同危险源的发生情况，评估其对教学楼内人员和设施的影响及危害程度，为制定相应的安全预防和应急处理措施提供科学依据。
2.灾害风险评估借助网格化教学楼应急疏散模型，对不同灾害风险进行评估，包括火灾风险、地震风险、气象灾害风险等。
通过模拟不同灾害发生时的疏散情况，评估疏散时间、逃生路径、避难地点等，为灾害风险评估提供可靠的数据支撑，指导教学楼的灾害防范工作。
网格化教学楼应急疏散模型设计与应用
( ) ｍ
ｔ＝∑
ｐｉ·ｗｐ ＋ｌ１／２＋( ｉ－１) ｌ２
ｉ＝１ ｗｅ·ρ·ｖ( ρ)
ｖ( ρ)
（２）
要解出最短的疏散时间，数学模型中已经反应出受疏散人
员密度 ρ的影响，通过求解 ｄｔ／ｄρ＝０此时的人员密度 ρ０ 时，最 小的疏散时间为 ｔ( ρ０) 。
３网格化数学模型的应用
以某大学的教学楼为例，教学楼有 ５层，１楼有个安全出口
主要表现在三个方面的研究。一是基于网格划分，根据建筑结
构划分网格，在由根据疏散特点定义网格之间的人员流动，以
此计算疏散时间，优点是网格划分可以进行合适调整，有利于
大型建筑物应急疏散，疏散结果的误差也相对大一些。二是利
. Al用l方R程i式g，h基t于s个R体e行s为er建v立e运d.动方程，由个体自发的运动来 构成整体运动，最后计算整体时间，这种疏散理论优点是计算
科技风 ２０２０年 ５月
科技创新 ＤＯＩ：１０．１９３９２／ｊ．ｃｎｋｉ．１６７１７３４１．２０２０１３００７
网格化教学楼应急疏散模型设计与应用
郭小林
四川铁道职业学院 四川成都 ６１１７３２；四川省应急管理学会 四川成都 ６１００７２
摘 要：本文研究教学楼应急疏散从网格化出发，按教学楼功能划分为大网格，疏散人员在网格之间流动，按照学生群体特点 建立了数学模型。模型经过求解后，利用高校教学楼的教学楼数据和师生数据进行了模拟运算，发现了应急疏散不能片面追求个 体疏散速度，要适当控制疏散密度，本文还给应急疏散提出了三点合理建议。
度大，安全隐患大，安全保障措施相对不足，教学楼一旦发生紧
急情况，需要疏散大量的学生到安全区域。需要一种安全有保
障的最佳疏散方案，以最短的时间疏散教学楼的所有人员，保
数学模型方向详解
数学模型方向详解流程图：数学模型方向：先建立好一栋教学楼（如华农教三、广州某中学教学楼）应急疏散模型，然后将其抽象化，建立教学楼应急疏散抽象模型，然后单独讨论各因素（如楼梯数目、楼梯位置、楼梯宽度、各层人员数目、教学楼层数等等）对安全高效地疏散的影响程度。
数学模型作用：1、得出“同时跑”方式的一些信息：疏散时间、疏散时（因人多密集）的风险程度，指出教学楼应急疏散可能存在的问题，便于改进设计，及利于外围救援人员掌握信息和作出决策等。
可考虑对对风险程度做分级评价，如：2、分析猜想比较“调度方案”与“同时跑”的优劣。
主要是从疏散时间、疏散时风险程度比较。
数学模型目标：撤离时间少与风险程度低两个目标数学模型相关要点：1、最初考虑较简单的模型，如假定该楼虽发生意外但并未封闭任一层楼梯（例如没有楼梯因火灾被封闭了），A1A2,B1B2,C1C2,D1D2,E1E2教室的人员还是从左边楼梯下楼，A3A4,B3B4,C3C4,D3D4,E3E4教室的人员从右边楼梯下楼，且假定人员疏散是有序的。
下考虑左边大楼，右边大楼类似。
问题1：日常生活中，若发生意外需疏散的话，人们普遍做法是同时马上冲向楼梯口（忽略有些获知稍迟的），然后所有人挤在一起撤退。
这个撤离方式暂称为“同时跑”。
对于撤离时间目标，通过群集理论可以基本估算出撤离所需时间T。
参见《群集理论在酒店应急疏散中的应用》。
另若要从调查数据上分析可参考《对学校教学楼疏散人数及疏散速度的调查研究》。
不难。
对于风险程度目标的分析，涉及人员密度、人员流量、人员疏散速度等（详细参见附录文件《人员流速、人群速度与密度关系》），如以人员密度D 为基础的水平步行速度V 的经验计算公式：其中V e 就是紧急情况下人员通过楼梯时的步行速度。
另需分析人员拥挤模型（可简单引用即可），主要分为成拱现象，异向群集，异质群集等。
针对具体场景分析评价风险，风险评价相关数学公式：在风险计量方面，传统的经济学方法是将风险表达为实际收益率与期望收益率的离差。
我校教学楼疏散模型
摘 要：近年来我国高等教育事业迅速发展，各高校不断扩招，学生人数不断增多。
教学楼人口密度的增多给突发事件时人员的疏散带来了不便，故人员疏散为高校防火、防震工作的重中之重。
本文以我校教学主楼为例，对如何在最短的时间内进行紧急疏散进行分析讨论。
由实际勘察得知主楼每层教室分布极不对称，各区楼层数参差不齐，每层疏散难度都各不相同。
所以我们针对每一层的疏散列出模型.在进行问题讨论时我们是按各教室人员在出教室之前已经排好队这个理想状态下进行分析的，其中一楼、二楼部分、和四楼运用等时和均分原则；三楼运用等时原则；五楼假设暂时不考虑F05剩余人员进行疏散时运用等时、均分原则；六层通过电梯疏散的人有60人，其余人员通过楼梯通道疏散。
分析中我们坚持楼梯通道内在疏散过程中都是本楼梯通道所能容纳的最大列数并且每列没有间断的原则。
通过计算可得全部人员安全疏散需要时间为=总T 162.91s.，此结果较为理想。
通常情况下人的反应时间为s 4.0~15.0，我们取青少年反应时间s 2.0=反T ，则我们对疏散过程中的人员间距进行了调整，m L V T L P 24.0*=+=反, 行走过程中m m m d p 49.024.025.0=+=。
对平均厚度p d 进行调整后，我们得出全部人员安全疏散需要时间 s 33.261 此结果较为贴近实际。
另外我们对校园教学主楼紧急疏散情况进行了总结，提出了合理的建议。
关 键 字：公共安全； 疏散模型； 疏散时间； 平均等时原则；目录第一部分问题提出的背景∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3）第二部分提出问题∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3）第三部分问题重述∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4）第四部分问题分析∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4）第五部分模型假设∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4）第六部分定义与符号说明∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5）第七部分模型建立∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6）第八部分模型实例∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8）1、一楼疏散模型∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8）2、二楼疏散模型∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11）3、三楼疏散模型∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13）4、四楼疏散模型∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13）5、五楼疏散模型∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13）6、六楼疏散模型∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14）第九部分总结及建议∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15）第十部分参考文献∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16）第十一部分附件∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17）一、问题提出的背景：近年来, 全球陆续发生了多次震惊世界的大地震, 数以万计人的生命受到威胁, 以最短时间安全疏散问题已引起广泛关注[1-3] 。
数学建模-教学楼快速撤离地数学模型研究
A题：C教快速撤离的数学模型研究C教快速撤离的数学模型研究摘要：结合我校C教学楼的具体情况,在实际考察的前提下，测量出了各个楼梯、楼道及各个出口的宽度等实际数据。
由于C教学楼有五个出口，以就近原则，把整个教学楼分成五个逃生通道（分法在图上以及下文已经阐明）。
首先，在理想模型下，在不考虑进入教学楼的人流影响下，运用Pauls的经验公式和Predtechnskii等人的观测资料计算出人员流动密度 以及人员流动速度V,求出人体流量Q。
通过对Q的分析，间接地引入了人流股数的概念。
在计算逃生时间时，每个通道的逃生都分为了稳定状态和混乱状态（定义的两个概念）。
总时间有三个部分构成，反应时间、稳定状态时间和混乱状态持续时间。
在求稳定状态时间和混乱时间的时候以人流股数为基础，以每层的楼道所能容纳的人数为一个定值，建立了一个动态流水模型。
求混乱状态持续时间时候，由于处于混乱状态，理论速度与实际速度不服，根据实际情况可以将剩余教学楼内的所有人员视为均匀、连续的流体更科学、更切合实际，所以以稳定状态和混乱状态两个阶段为基础，建立数学模型来解决C教学楼失火问题。
[1][2]其次，在计算完每个通道的逃生时间后，又以一楼、二楼为整体，求解出逃生时间，以及各个逃生通道需要逃生的人数来优化C教逃生模型。
与优化前以就近原则为基础的逃生方案划分作比较。
在理想假设和就近原则前提下，对人员拥挤的逃生通道的人数作出合理的调整。
最后，建立数学模型理论的计算出在发生火灾的情况下，有组织的撤离时最有效的快速逃生方案和最少的的逃生时间。
关键字：快速逃生、就近原则、人流股数、稳定状态、混乱状态一、问题的提出近年来，诸如地震、火灾等突发事件时常发生。
当灾难发生在某一特定的建筑物的时候,如果不能迅速让建筑物内的人员有组织、有秩序地疏散撤离将会造成严重的人员伤亡,严重威胁公众的生命安全。
对于一个特定的建筑物,应急疏散是事关多数人生命的重大问题。
当险情发生时,要在尽可能短的时间内有组织、有秩序的组织人员疏散撤离,必须制定处最佳的疏散和撤离方案。
教学楼经济疏散数学模型
教学楼经济疏散数学模型摘要研究在险情发生时如何在最短时间内组织人员逃出某建筑物这类应急处理问题，是为了寻求到最佳的疏散方案，建立了人流疏散数学模型，该模型考虑到人流速度与人流密度之间的关系，以疏散时间最短为目标函数。
根据此模型求解得到了2号教学楼人员快速疏散的优化方案。
问题一：假设只有单行和双行两种方式。
而人流速度主要与人员密度有关，0.80v v ρ-=-。
通过分析知流量随人流密度的增加先增后减，单行流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。
经分析得出：540.800.8110[([/1])/2]*/[(2[1/1])]([1/1])ij i j l t N l d c v d v d --==⎧⎫=+-+-+⎨⎬-+⎩⎭∑∑问题二：在问题一的基础上，给出符合实际情况的数据，经求解得出： 当V 0=4.0m/s 时，t=158.18s ；当V 0=3.0m/s 时，t=216.25s得出最佳撤离方案：即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤出三至五层楼的人员。
问题三：为方便紧急撤离，我们给出五个改进措施，并画出教学楼的设计图。
为使模型简化，给出了一些合理的假设，简化和数据，从而得出疏散时各楼层的模拟图。
最终列出模型方程：5440.80.810111'[()/3]/[2(1/1)]ij j i j j t N N c l v d --===⎧⎫=-*+-+⎨⎬⎩⎭∑∑∑代入问题二中的数据，得到：当V 0=4.0m/s 时，t=48.6059s ；当V 0=3.0m/s 时，t=65.3174s与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。
故我们的改进方案可行性较强。
关键词: 人员疏散 疏散方案 疏散模型 人流密度 人流速度1.问题的重述1.1问题的背景学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，当发生地震、火灾等安全事故，或晚自习突发停电等突发事件时，师生需要尽快撤离事故现场，由于学校教学楼开放的安全通道有限，加上缺少合理的人员疏散方案，造成师生上下课时的楼道拥堵。
数学建模--教学楼人员疏散
数学建模--教学楼人员疏散--获校数学建模二等数学建模人员疏散本题是由我和我的好哥们张勇还有我们区队的学委谢菲菲经过数个日夜的精心准备而完成的,指导老师沈聪.摘要文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点，结合我校1号教学楼的设定火灾场景人员的安全疏散，对该建筑物火灾中人员疏散的设计方案做出了初步评价，得出了一种在人流密度较大的建筑物内，火灾中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法，并提出了采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散。
关键字人员疏散流体模型距离控制疏散过程问题的提出教学楼人员疏散时间预测学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，而且具有较大的火灾荷载和较多的起火因素，一旦发生火灾，火灾及其烟气蔓延很快，容易造成严重的人员伤亡。
对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别，结合1号教学楼的结构形式，对教学楼的典型的火灾场景作了分析，分析该建筑物中人员疏散设计的现状，提出一种人员疏散的基础，并对学校领导提出有益的见解建议。
前言建筑物发生火灾后，人员安全疏散与人员的生命安全直接相关，疏散保证其中的人员及时疏散到安全地带具有重要意义。
火灾中人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短，火灾中的人员安全疏散指的是在火灾烟气尚未达到对人员构成危险的状态之前,将建筑物内的所有人员安全地疏散到安全区域的行动。
人员疏散时间在考虑建筑物结构和人员距离安全区域的远近等环境因素的同时，还必须综合考虑处于火灾的紧急情况下，人员自然状况和人员心理这是一个涉及建筑物结构、火灾发展过程和人员行为三种基本因素的复杂问题。
随着性能化安全疏散设计技术的发展，世界各国都相继开展了疏散安全评估技术的开发及研究工作，并取得了一定的成果(模型和程序)，如英国的CRISP、exodus、STEPS、Simulex，美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89，HAZARDI，澳大利亚的EGRESSPRO、firewind，加拿大的FIERA system和日本的EVACS等，我国建筑、消防科研及教学单位也已开展了此项研究工作，并且相关的研究列入了国家“九五”及“十五”科技攻关课题。
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教学楼经济疏散数学模型摘要研究在险情发生时如何在最短时间内组织人员逃出某建筑物这类应急处理问题，是为了寻求到最佳的疏散方案，建立了人流疏散数学模型，该模型考虑到人流速度与人流密度之间的关系，以疏散时间最短为目标函数。
根据此模型求解得到了2号教学楼人员快速疏散的优化方案。
问题一：假设只有单行和双行两种方式。
而人流速度主要与人员密度有关，0.80v v ρ-=-。
通过分析知流量随人流密度的增加先增后减，单行流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。
经分析得出：540.800.8110[([/1])/2]*/[(2[1/1])]([1/1])ij i j l t N l d c v d v d --==⎧⎫=+-+-+⎨⎬-+⎩⎭∑∑问题二：在问题一的基础上，给出符合实际情况的数据，经求解得出： 当V 0=4.0m/s 时，t=158.18s ；当V 0=3.0m/s 时，t=216.25s得出最佳撤离方案：即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤出三至五层楼的人员。
问题三：为方便紧急撤离，我们给出五个改进措施，并画出教学楼的设计图。
为使模型简化，给出了一些合理的假设，简化和数据，从而得出疏散时各楼层的模拟图。
最终列出模型方程：5440.80.810111'[()/3]/[2(1/1)]ij j i j j t N N c l v d --===⎧⎫=-*+-+⎨⎬⎩⎭∑∑∑代入问题二中的数据，得到：当V 0=4.0m/s 时，t=48.6059s ；当V 0=3.0m/s 时，t=65.3174s与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。
故我们的改进方案可行性较强。
关键词: 人员疏散 疏散方案 疏散模型 人流密度 人流速度1.问题的重述1.1问题的背景学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，当发生地震、火灾等安全事故，或晚自习突发停电等突发事件时，师生需要尽快撤离事故现场，由于学校教学楼开放的安全通道有限，加上缺少合理的人员疏散方案，造成师生上下课时的楼道拥堵。
在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能有组织、有秩序地撤离是有关人身安全保障的大问题。
对于一个特定的建筑物，管理人员最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案。
这个问题可以通过反复的实际演习来解决。
但多次反复的演习实际上是不可能的。
理想的办法是通过理论上的分析得到。
1.2问题的提出现在考虑学校的2号教学楼，共5层，其中每层楼有两排教室，一层共4间，2至5层各5间，如图1,2：图1 1楼原平面图图2 2至5楼原平面图为了发行方便对其进行简化处理，即将A、B、C、D、E五间教室都各划分为两间小教室，每间小教室对应一个门，如图3,4：图4 1楼简化平面图图3 2至5楼简化平面图楼里的师生们可以沿教室外的走廊一直走到楼梯间下楼，完成下面的问题：1.用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间；2.根据建立的数学模型给出最佳撤离方案；3.为方便紧急撤离，结合实际，就教学楼的设计方案给出合化的建议；若教学楼按你预计的方案建设，考虑到不同年龄的学生的运动能力不同，为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案。
2.模型假设1.楼道中与楼梯上无障碍物；2.疏散时走道左右两边教室的人员各自排成一行独立有序行进，互不影响；3.撤离人员间隔均匀且行进速度保持不变;4.全部人员的反应时间是一样的；5.地震时，老师与学生都在教室中；6.队列中人的身体厚度相同；7.在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；8.个体始终朝出口方向移动，不考虑心理层面对个体的行为的影响；9.忽略卡死与跌倒现象；10.到一楼楼梯底即为逃脱。
3.符号说明与名词解释3.1符号说明为第i层楼第j个教室中的人数；1.Nij2.Li为第i个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离；3.D为教室门的宽度；4.H为楼房的层高；5.v是人流移动速度；v是不发生拥挤时自由移动速度；6.7.ρ是人流密度；8.b为肩宽；c为步长；e为身体厚度；9.楼梯宽度w；楼梯长度l；10.走廊宽度f；=-；11.d为相邻个体间距，d c e12.l为相邻楼层间的楼梯长度；13.人流的宽度：[/]D b。
3.2名词解释1.单行：人员排成一列行走；2.双行：人员排成两列行走；3.人行流(人流)：运动的人员视为连续流动的介质，即人流。
4.模型的准备4.1人行流(人流)的基本函数人流密度反应了人流内人员分布的稠密程度，通常是指单位面积内分布的人员的数目。
Fegress认为人流密度指单位面积的疏散走道上的人员的水平投影面积，它是一个分数值，其大小为p = nf／｛［(n-1)d0+nw］b/2｝其中，n为一定面积的总人数，f为单位水平投影面积(m2)，d人流间的间距(m)，w为人流间的厚度(m)，b为疏散通道宽度(m)。
式中的单位水平投影面积反映整个人流内人员投影面积的综合水平。
Fegress将人流内的人员按不同的年龄段分为3类人：青年人、中年人、老年人，各类人员的投影面积可按实际测量得出取平均值，然后按各类人员在人流中的百分比求加权平均值，即f = xa + yb + zc式中，f为单位水平投影面积(m2)，x、y、z分别为青年人、中年人、老年人平均的单人水平投影( m2)；a、b、c分别为青年人、中年人、老年人在人流中的百分比。
人流速度是指人流整体的行进速度，其值为人流首段的行进速度。
研究表明，人流速度是人流密度的函数：v = f ( p )，一般说来，由于性别、年龄、身体条件的不同，疏散人员的能力也各有不同。
为简化起见，Fegress将楼栋里的人群视为人流处理，并具有一定的密度、速度及流量，而不单独考虑人流内各个人员的具体特征。
图5显示了在不同疏散路线上人员行走速度与人员密度的关系：图5 人员行走速度与人员密度的关系4.2安全队列数安全队列数是指在保证安全不拥挤的前提下,疏散通道宽度一定时,最多允许同时通过的人员列数。
m = int[(b 0-0.238)/b *]其中，b *为人自由行走时所需的最小宽度，int 表示取整。
4.3行走速度人在紧急状态下行走速度会比正常情况下快。
根Predtechenskii Milinskii 的研究，正常情况下水平通道内的人流速度：v = (112p 4-380p 3+434p 2-217p+57)/60其中，p ≤0.92，当人流密度达到或超过这一数值时，人流便会现拥挤或堵塞。
在紧急情况下人流在水平通道内的行走速度为： v 1 = vu 1式中，u1= 1.49 - 0.36p 。
在紧急情况下人流在斜直方向(下楼梯)速度近似为：V 2 = u 1v研究对象是在无穷长的路上沿单向运动的一条人流假定不允许任何人超前行走，路上也没有岔路，在路上选定一个坐标原点，记作0x =。
以人流运动方向作为x 轴的正向，于是路上任一点用坐标x 表示。
对于每一时刻t 和每一点x ，引入3个基本函数：流量(,)q x t 一时刻t 单位时间内通过点x 的人数；密度(,)x t ρ一时刻t 点x 处单位长度内的人数；速度(,)u x t 一时刻t 通过点x 的人流速度。
将人流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流员、密度和速度。
注意：这里速度(,)u x t 不表示固定的哪一个人的速度。
3个基本函数之间存在着密切关系。
首先可以知道，单位时间内通过的人数等于单位长度内的人数与人流速度的乘积，即(,)(,)(,)q x t u x t x t ρ= (1)其次，经验告诉我们，人流速度u 总是随着人流密度ρ的增加而减小的当一个人前面没有人时，它将以最大速度行走，可描述为0ρ=时m u u =(最大使)：当人首尾相接造成堵塞时，人无法前进，可记为m ρρ=(最大使)时0u =，不妨简化地假设u 是ρ的线性函数，即(1)m mu u ρρ=- (2) 再由(1)式可得： (1)m m q u ρρρ=-(3) 表明流量随人流密度的增加先增后减，在''/2m ρρ=处达到最大使m q (图6)。
应该指出，(2)、(3)式是在平衡状态下,u ρ和q 之间的关系，即假定所有人的速度相同，路上各处人的人流密度相同。
图65.问题的分析5.1 问题一的分析由于本教学楼的楼道是对称双向的，故可简化为两个单边教室单向出口的形式。
人员疏散时间不仅与人员密度、出口通量、人员疏散速度有关系,还与建筑结构形式有关。
我们把运动的人员视为连续流动介质。
这里我们令[/]D b =1，2w =，即人员从门通过时是单行，楼梯最多并行两个人；且楼梯长度l 小于2L 。
由模型的准备可知流量随人流密度的增加先增后减，单行的流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。
单行速度1v ，双行速度2v ，如图7：图7 二楼人员刚出来时一楼的情况因为12v v >且2l L <，故二楼的1N 中第一个跑出的人员与一楼人员相遇。
如图8：图8 二楼人员与一楼人员相遇时一楼的情况忽略一些特殊情况，如图9： 此段当作双行图9 人员运动过程中的特殊情况n个人员单行，其余的都双行，故我由于人员都是连续的人流，故只有前面1们可以得出：疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间5.2问题二的分析根据假设，在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理。
在等待过程中，如果出现以下情况，如图10：图10 等待中出现的情况则可以自动调整为以下情况，如图11：图11 调整后的情况在问题一的基础上，在人员疏散过程中，我们设定以下规则：1.当不拥挤时，人员单行出楼时，无需等待，直接出楼；2.当拥挤时，人员按照排队理论，先到的人行流先行；3.若出现图10的情况时，自动转变为图11；4.即使不是在同一人行流中，到出口时，可以互相“组队”形成双行，使楼梯利用率最大。
我们模拟地震逃亡，给出一些符合实际的模拟数据，给出最佳撤离方案。
5.2问题三的分析为方便紧急撤离，我们就教学楼的设计方案给出以下建议：1.把楼梯建于四个教室的中间；2.使所有门建于靠近楼梯的一端；3.一楼无走廊，一楼的人员可以直接从门里逃脱出去；5.适当拓宽门、走廊和楼梯；6.在面积不变的情况下，减小五个楼层的教室的Li。
5.3问题四的分析为方便说明，不妨设运动能力(年龄由大到小)为A 、B 、C 、D 、E(A>B>C>D>E)。
明显，我们先把运动能力为E 的人员安排在一楼。
下面讨论运动能力为A 、B 、C 、D 的人员的安排情况。
由经验可知：5423(*)/2ij i j c N l ==>∑∑以及5221(*)/2ij i j c N l ==>∑∑故可以认为人流不间断，且都是以最大流量从出口出去。