等差数列性质教学设计
教学设计5：2.2.1 等差数列 第2课时 等差数列的性质
2.2.1 等差数列第2课时 等差数列的性质[教材·要点]等差数列的常用性质(1)对称性：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…；(2)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；(3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列；(4)a n ＝a m ＋(n －m )d ；(5)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p ，q ∈R )；(6)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列；(7){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列；(8){a n }的公差为d ，若d ＞0⇔{a n }为递增数列；d ＜0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[问题·引入]1．如果等差数列{a n }中，m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，那么a m ＋a n ＝2a w 是否成立？[提示] 如果等差数列的项的序号成等差数列，那么对应的项也成等差数列，事实上，若m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝[a 1＋(m －1)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]＝2[a 1＋12(m ＋n －2)d ] ＝2[a 1＋(w －1)d ]＝2a w .2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，能利用等差数列的性质求a 3＋a 9的值吗？[提示] ∵a 3＋a 9＝a 2＋a 10＝2a 6.∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2×13＝23. 探究一 等差数列性质的应用例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，求a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值．(2)已知{a n }为等差数列，a 10＝5，a 30＝20，求a 50.解 (1)由已知条件得a 3＋a 15＝6＝2a 9，解得a 9＝3.因此a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝5a 9＝15.(2)法一：∵{a n }为等差数列，∴a 10，a 20，a 30，a 40，a 50也成等差数列，设其公差为d ，∴a 30＝a 10＋2d ，∴d ＝152，a 50＝a 30＋2d ＝35. 法二：∵a 30为a 10和a 50的等差中项，∴2a 30＝a 10＋a 50，∴a 50＝35.法三：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝5，a 30＝a 1＋29d ＝20， 解得⎩⎨⎧ a 1＝－74，d ＝34.∴a 50＝a 1＋49d ＝35.规律总结 等差数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列；偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列；(3)若{k n }成等差数列，则{ak n }也是等差数列．变式训练1．(1)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，求a 37＋b 37；(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解 (1)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝17.又a 2·a 5＝52，∴a 2＝13，a 5＝4或a 2＝4，a 5＝13.当a 2＝13，a 5＝4时，d ＝－3；当a 2＝4，a 5＝13时，d ＝3.探究二 等差数列的运算例2 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 (1)法一：设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意，3a ＋3d ＝6，且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24，整理得4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，所以，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.规律总结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．变式训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为 ________．【解析】法一：设a 1＝－1，a 5＝7.∴7＝－1＋(5－1)d ⇒d ＝2.∴所求的数列为－1,1,3,5,7.法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.【答案】1,3,53．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． 解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.∴a ＝1，d ＝±23. 所以当d ＝23时，这5个数分别是 －13，13，1，53，73. 当d ＝－23时，这5个数分别是 73，53，1，13，－13. 探究三 等差数列的实际应用 例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N ＋.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．规律总结求解与等差数列有关的应用性问题，最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型，将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解．变式训练4．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大的利润？(设最低档次为第一档次)解 设在相同的时间内，从低到高每档产品生产件数分别为a 1，a 2，…，a 10.对应每档产品的利润分别为b 1，b 2，…，b 10.则{a n }，{b n }均为等差数列且a 1＝60，d ＝－3，b 1＝8，d ′＝2.所以a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6.所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864.∵n ＝1,2， (10)∴当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.故在相同时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润.[随堂体验落实]1．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A ．3B ．±3C ．－33D ．－3【解析】由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.【答案】D2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升 【解析】设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升． 【答案】B3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 【答案】C4．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________.【解析】由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.【答案】35．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 8.解 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋9d ＋a 1＋10d＝4a 1＋22d ＝36，∴2a 1＋11d ＝18，∴a 5＋a 8＝2a 1＋11d ＝18.法二：∵a 2＋a 11＝a 3＋a 10＝a 5＋a 8，∴2(a 5＋a 8)＝36， ∴a 5＋a 8＝18.[感悟高手解题]已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，a 10是第一个比1大的项，求此等差数列公差d 的取值范围．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＞1，a 9≤1.即⎩⎨⎧ 125＋9d ＞1，125＋8d ≤1.解得⎩⎨⎧ d ＞875，d ≤325.，∴875＜d ≤325. 故公差d 的取值范围为⎝⎛⎦⎤875，325.[点评] 将题设误解为a 10＞1，而忽视了“a 10是第一个比1大的项”，即“a 9≤1”，从而造成条件遗漏．这是容易出错的地方．。
《等差数列》教案优秀3篇
《等差数列》教案优秀3篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学等差数列教案（精选10篇）
数学等差数列教案数学等差数列教案（精选10篇）作为一名老师，就难以避免地要准备教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
快来参考教案是怎么写的吧！以下是小编为大家整理的数学等差数列教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
数学等差数列教案篇1[教学目标]1.知识与技能目标：掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。
2.过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。
通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。
2.教学难点：(1)对等差数列中“等差”两字的把握;(2)等差数列通项公式的推导。
[教学过程]一.课题引入创设情境引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子)二、新课探究(一)等差数列的定义1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
(1)定义中的关健词有哪些?(2)公差d是哪两个数的差?(二)等差数列的通项公式探究1:等差数列的通项公式(求法一)如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示?呢?根据等差数列的定义可得：因此等差数列的通项公式就是:，探究2:等差数列的通项公式(求法二)根据等差数列的定义可得：将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:，三、应用与探索例1、(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项。
(2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401?(2)、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。
等差数列的性质教案
第7-8课时【教学题目】§6.2等差数列的性质 【教学目标】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式；3.掌握等差数列的前n 项和公式；4.理解等差数列的性质.【教学内容】1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的前n 项和公式；4.理解等差数列的性质.【教学重点】理解等差数列的性质.【教学难点】理解等差数列的性质.【教学过程】一、知识点梳理（一）等差数列的定义1n n a a d +-=；（二）等差数列的递推公式1n n a a d +=+；（三）等差数列的通项公式()11n a a n d =+-；（四）等差数列的前n 项和公式二、新授———等差数列的性质（一）等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； （二）等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；()11.2n n n S na d -=+()12n n n a a S +=（三）等差中项1.如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2．2.等差中项数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a ． 3.等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+． （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项．()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）．（四）等差数列的判定方法1.定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．2.等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．3.数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）．4.数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）． （五）等差数列的证明方法1.定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．2.等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． （六）提醒：1.等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列的教学设计(合集5篇)
等差数列的教学设计(合集5篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列性质教案
等差数列性质教案2篇等差数列性质教案（一）导语：数学是一门抽象而又具体的学科，它包含了许多重要的概念和性质。
等差数列正是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
本教案将介绍等差数列的性质，帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列的定义1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差相等的数列。
这个相等的差值称为等差数列的公差，用d表示。
2. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，若已知第一项a1和公差d，那么可以通过通项公式an=a1+(n-1)d来求得任意一项的值。
3. 等差数列的常用表示方法：等差数列也可以用{an}或{an}来表示。
二、等差数列的性质1. 常数数列是等差数列的一种特殊情况，其中公差d=0。
对于常数数列{an}=a1，其每一项的值都相等。
2. 等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和Sn是等差数列的前n项的和，可以用公式Sn=n(a1+an)/2来计算。
3. 等差数列的性质之一：等差数列的相邻项之和等于该项前面所有项的和。
即an + an+1 = 2an+2。
4. 等差数列的性质之二：等差数列的中间项等于该项前面和后面项的平均值。
即an = (an-1 + an+1)/2。
5. 等差数列的性质之三：等差数列的任意三项构成一个等差数列。
即an-1, an, an+1是一个等差数列。
三、等差数列的应用等差数列在实际生活中有着广泛的应用，如下所示：1. 计算天数：如果已知某个事件从第一天开始发生，且每天处理的数量保持等差数列增长，我们可以利用等差数列的通项公式来计算到达某个特定天数时的处理数量。
2. 财务管理：等差数列可以应用于财务规划中，如利息计算、还款计划等。
3. 构建模型：等差数列可以用来构建一些数学模型，如人口增长模型、环境污染模型等。
4. 数学推理：等差数列常常出现在数学推理题中，通过观察数列的性质和规律，可以帮助我们解答问题。
综上所述，等差数列是数学中一个重要的概念，具有其独特的定义和性质。
等差数列教学设计及教案
教案：等差数列教学设计及教案第一章：等差数列的概念1.1 引入通过实际例子（如计算连续自然数的和）引入等差数列的概念。
1.2 等差数列的定义引导学生理解等差数列的定义，即每一项与前一项的差是一个常数。
解释等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
1.3 等差数列的性质探讨等差数列的性质，如相邻两项的差是常数，首项和末项的关系等。
第二章：等差数列的求和2.1 等差数列的前n项和公式引导学生理解等差数列的前n项和的概念，即前n项的和。
解释等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an)，其中Sn表示前n项的和。
2.2 等差数列的求和应用通过例题引导学生运用前n项和公式计算等差数列的和。
探讨等差数列求和的其他方法，如分组求和、错位相减等。
第三章：等差数列的通项公式3.1 等差数列的通项公式的推导引导学生理解等差数列的通项公式，并解释如何推导出该公式。
利用等差数列的性质和数学归纳法推导出通项公式。
3.2 等差数列的通项公式的应用通过例题引导学生运用通项公式计算等差数列的特定项的值。
探讨等差数列的特定项的性质，如第n项的值与首项和公差的关系。
第四章：等差数列的性质和求和4.1 等差数列的性质引导学生理解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数，首项和末项的关系等。
利用性质解决问题，如找出等差数列中的特定项的值。
4.2 等差数列的求和引导学生运用前n项和公式计算等差数列的和。
探讨等差数列求和的其他方法，如分组求和、错位相减等。
第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列的应用问题通过实际问题引导学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算工资、统计数据等。
5.2 等差数列的综合练习提供一些综合练习题，让学生运用等差数列的知识解决问题。
分析和解答练习题，帮助学生巩固等差数列的知识。
第六章：等差数列的图像和性质6.1 等差数列的图像引导学生绘制等差数列的图像，展示等差数列的单调性。
等差数列教学设计及教案
等差数列教学设计及教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，理解数列的顺序性和连续性。
引入等差数列的定义，解释公差的概念。
1.2 等差数列的性质探讨等差数列的性质，如相邻两项的差为常数，首项和末项的关系等。
引导学生通过观察和归纳总结等差数列的性质。
第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式的推导引导学生回顾数列的通项公式的概念，理解通项公式与数列的关系。
通过示例和引导学生推导等差数列的通项公式。
2.2 等差数列的通项公式的应用探讨等差数列的通项公式在解决实际问题中的应用，如求指定项的值等。
引导学生通过练习题目的方式，加深对通项公式的理解和应用。
第三章：等差数列的前n项和3.1 等差数列的前n项和的定义引导学生回顾数列的前n项和的概念，理解前n项和的含义。
引入等差数列的前n项和的定义，解释首项和末项的关系。
3.2 等差数列的前n项和的公式探讨等差数列的前n项和的公式，引导学生理解和记忆公式。
通过示例和练习题目，引导学生应用前n项和公式解决问题。
第四章：等差数列的求和性质4.1 等差数列的求和性质引导学生回顾数列的求和性质，如等差数列的求和与项数的关系等。
引入等差数列的求和性质，如等差数列的求和与首项和末项的关系。
4.2 等差数列的求和性质的应用探讨等差数列的求和性质在解决实际问题中的应用，如求特定项的和等。
引导学生通过练习题目的方式，加深对求和性质的理解和应用。
第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列在实际问题中的应用通过实际问题引入等差数列的综合应用，如人口增长模型、投资收益等。
引导学生运用等差数列的知识解决实际问题。
5.2 等差数列在数学竞赛中的应用探讨等差数列在数学竞赛中的重要性，引导学生了解等差数列在竞赛中的应用。
提供一些数学竞赛题目，引导学生挑战自我，提高解题能力。
第六章：等差数列的图像与性质6.1 等差数列的图像引导学生回顾数列图像的基本知识，如数列的点表示等。
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等差数列性质教学设计浙江省桐乡市茅盾中学倪树平在人教版《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》中，3.2等差数列概念、性质及应用必须用2课时完成，本文从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈第2课时的教学设计。
1 教材分析1.1教材的地位与作用数列是高中数学的重要内容之一，数列又是培养学生数学学习能力的好素材。
本章内容首先从学习数列的概念开始，又学习等差数列和等比数列两种特殊的数列。
数列在实际生活中有着广泛的应用，如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识。
同时，数列又起着承前启后的作用，数列与前面学习的函数知识紧密联系，又为进一步学习数列的极限等作好准备。
等差数列是一种最基本的数列，研究它的性质，需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现。
因此，在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法，提高数学再创造学习的能力。
掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用。
1.2教学的重点与难点本节课的教学重点是在理解等差数列概念的基础上探究等差数列性质。
难点是怎样用等差数列的概念及通项公式来证明其性质。
2 教学目标分析2.1知识与技能:让学生去探究、去发现等差数列的性质，并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明，掌握性质及运用性质解决一些简单问题；通过优化问题设计，探究等差数列的性质，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。
2.2过程与方法:通过经历和体验等差数列性质的探索过程，让学生体会过程的重要性，并在探索的过程中学会学习、学会探究；同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法。
2.3情感态度与价值观：注重教学过程中师生间、生生间情感交流，鼓励学生大胆尝试、发现规律，培养他们积极进取的探索精神，激发学生学习数学的兴趣，增强解决问题的信心，并获得成功的积极情感体验。
3 学情分析3.1学生学习本课内容的基础学生已经学习了集合与函数的初步知识，掌握了数列的基本知识，理解数列是定义域为正整数的函数。
通过第一课时，学生已经学习了等差数列的概念、通项公式，并理解等差数列中项与项之间的关系。
本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质。
对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说，学习本课并不是太难。
3.2学生学习本课内容的能力学生通过对高中数学中集合与函数的学习，初步具有对数学问题自主探究的意识与能力。
高一学生思维活跃，积极性高，但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异，表现出不同的学习状态。
3.3学生学习本课内容的心理高一学生是一个特殊的学习群体。
根据皮亚杰(J.Piaget)关于心理发展的阶段学说，他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段，即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段，高一学生处于形式运算阶段．认知水平从形象向抽象过渡，思维能力的提高是一个转折期；高一学生的自我意识不断增强，好胜心、进取心进一步提高，他们富有激情，感情丰富，爱冲动，爱幻想。
3.4学法分析高一学生已经具备了一定的观察、猜想、分析和归纳的能力，但是学生的抽象思维能力还不是很强，此时学生已掌握了等差数列的概念及其简单应用。
教材没有对等差数列的性质进行分析与探究，而在例题与习题中有所体现，因而学生在解题中会碰到一些盲点。
因此，本课的教学设计旨在搭设台阶，降低坡度，引导学生从等差数列的概念出发，通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质，为我所用，激发学生自主探究的学习热情，让学生在探究中学生会学习、学会合作、学会创造。
4 教学过程设计4.1提出问题串，创设学习情境问题1：等差数列{a n}中，通项公式为a n=a1+(n-1)d，我们怎样将其写成另一种形式?问题2：已知数列的通项公式是a n=pn+q，其中p，q是常数，且p≠0，那么这个数列是不是等差数列？如果不是，请说明理由；如果是，其首项和公差分别是什么？问题3：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件?反之，A满足什么条件才能使a，A，b成等差数列?追问1：等差数列{a n}中，项a n，a n+1，a n+2之间有什么关系？追问2：我们怎样判断一个数列是否为等差数列？你能说出几种方法吗？问题4：等差数列{a n}中，公差为d，则项a n与a m之间有什么关系？问题5：等差数列{a n}中，m,n,p,q∈N*，若m+n=p+q，我们能找出a m,a n,a p,a q之间的关系吗？追问1：等差数列{a n}中，m,n,p∈N*，若m+n=2p，a m,a n,a p之间关系又是怎样？追问2：如果数列{a n}是项数为n的等差数列，从问题5的结论中还能得到什么启示吗？问题6：在等差数列{a n}中，公差为d，我们能否从原数列中取出一些数构成等差数列，若能，怎样取，公差是什么？问题7：已知{a n}，{b n}是项数相同的等差数列，能不能构造出一些与{a n}，{b n}中的项有关的新等差数列？这些新的等差数列是什么？公差怎样?教师在这里精心设计了问题串，创设了数学问题情境，学生面对上述问题，有一种渴望解决问题的强烈心情，这样已经激发了学生自主探究的热情。
4.2引导思考，自主探究面对一系列的问题，学生的求知欲望高涨，教师给予分析和引导，引导学生深入思考，开展讨论。
下面是在讨论问题6时，教师引导学生进行探究的过程。
S1：我认为先用特殊值法取几个数列看看，再证明。
如取一个简单的数列，通项为a n=n，1，2，3，4，5，6，7，…；T：能不能从原数列中取出一些数构成等差数列？S1：取出数列：1，3，5，7，9，…，公差为2的等差数列；S2：取出数列：1，5，9，13，17，…，公差为4的等差数列；T：取出来的项在原数列中的位置有什么关系？S3：是原数列中下标成等差数列的项；T：我们能否对原数列中下标成等差数列的项组成的数列作出猜想？S4：从原数列中取出下标成等差数列的项组成的数列也是等差数列。
教师对学生的回答给予充分肯定和鼓励，学生的积极性高涨，此时教师再提醒学生仅凭直观还只是猜想，教师再反问：T：我们从特殊情况猜想的结论一定正确吗？怎样证明S5得出的结论？S5：设下标的公差为m，原数列的公差为d，∴a k+m-a k=a1+(k+m-1)d-a1-(k-1)d=md.在教师的启发引导下，通过对上述问题的讨论，学生们畅所欲言，流露了自己的思想，对这些问题也形成了自己的思想方法，加深了对问题的理解，提升了学生分析问题、解决问题和自主探究的能力。
4.3反思结论，归纳总结在学生自主探究，讨论反思的基础上，通过归纳总结，得出等差数列的有关性质：性质1、等差数列{a n}通项公式的另一形式a n=pn+q，首项为p+q，公差为p；性质2、等差中项的概念：A是a与b的等差中项⇔2A=a+b；等差数列的判定方法：1、a n+1-a n=d(常数)⇔{a n}是等差数列；2、2a n+1=a n+a n+2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；3、a n=pn+q(p,q为常数)⇔{a n}是等差数列；性质3、等差数列{a n}中，a n=a m+(n-m)d，公差为d；性质4、等差数列{a n}中，m,n,p,q∈N*，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；推论1、等差数列{a n}中，m,n,p∈N*，若m+n=2p，则a m+a n=2a p；推论2、数列{a n}是项数为n的等差数列，与首末两项“距离”相等的两项和等于首末两项的和，即a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…；性质5、等差数列{a n}中，公差为d，下标成等差数列且公差为m的项a k,a k+m,a k+2m,…组成的数列仍是等差数列，且公差为md；性质6、已知{a n}，{b n}是项数相同的等差数列，则{pa n+qb n}（p,q为常数）也是等差数列。
4.4题组练习，能力升华题组一、性质的应用1.等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3+a11+a12=36.(1)求a3+a11和a7；(2)求{a n}的公差d；(3)求通项公式a n；(4)若a k=17,求k的值。
2.已知{a n}，{b n}都是等差数列，且a1=5，b1=10，a2+b2=25，求a10+b10的值.3.若两个等差数列：5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？分析:这两个数列中相同的项按原来的顺序排列后仍成等差数列,且公差为12,设从第一个数列中取出下标成等差数列且与第二个数列中相同的项构成的数列为{c n}，则{c n}为等差 ，又两个数列的最后一项分别为302，399，数列，c1=11，d=12,1=kk+c)112(2111--=k302112≤-=k c k 4101≤∴k ，又∈k N *，25max =∴k ，所以它们相同的项有25项. 题组二、综合拓展应用4.已知{a n }的首项为a 1=1,其前n 项和S n 与a n 之间的关系满足1222-=n n n S S a （n ≥2）. (1)求证：数列}1{nS 为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式。
答案：(1)数列}1{n S 是以1为首项,2为等差数列；(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥---==)2()32)(12(1)1(1n n n n a n . 教学设想：本题设计目的是让学生加深对等差数列概念的理解，应用定义来判定等差数列，理解数列中S n 与a n 之间的关系，学会求通项。
本题是等差数列概念、通项、前n 项和的综合拓展应用，在激活学生思维，培养学生探究能力方面是一道好题。
5 教学设计说明高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
建构主义学习理论认为，数学知识应以各种有待探索的问题形式与学生的经验世界发生联系和作用。
本课设计的基本理念正是在教师的指导下，创设数学学习情境，让学生自主探究等差数列的性质，使他们能积极主动地参与到数学学习的活动之中，当教师呈现出问题串时，学生表现出强烈的求知欲望，在教师的指导下，学生积极思考，展开讨论，突破了一个又一个的难题，学生的积极性空前高涨。
在整个问题讨论的过程中，建立了师生对等交流的平台，营造了和谐民主的教学氛围，激发了学生再创造的动机，从而引导学生寻求再创造的途径和方法，促进学生的再创造学习。
整个课堂实际上就是学生再创造学习的过程，这样学生所获得的知识和能力，远远比被动接受，教师传授来得透彻、牢固，同时让学生也感受到数学再创造活动的无比快乐和成就感，使学生始终处于一种主动参与、积极创造的状态。