2.2等差数列教案

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高中数学2.2.2等差数列的前n项和教案新人教B版必修5

2．2.2 等差数列的前n项和整体设计教学分析本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题．等差数列求和公式的推导，是由计算工厂堆放的钢管数这一实例引入的，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法．第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻，并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成．通过探究一些特殊数列求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用．在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究．在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识．三维目标1．通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值．2．学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展．通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．3．通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题．重点难点教学重点：掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题．教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根？求图2共有多少朵花？当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，但有没有更好的方法呢？若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花数，那么你怎样求呢？这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课．图1图2思路 2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加 1 000元；二是每半年结束时加300元．请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．因为一年加1 000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1 000＋2 000＝3 000(元)；而第二种方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2 100(元)，总数也是3 000元．但到第三年，第一种方案可得1 000＋2 000＋3 000＝6 000(元)，第二种方案则为300＋600＋900＋1 200＋1 500＋1 800＝6 300(元)，比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案．以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)教师出示幻灯投影1.印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征．陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)(2)教师出示幻灯投影2.高斯是伟大的数学家、天文学家．高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1＋2＋…100＝？”过了两分钟，正当大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1＋2＋3＋…＋100＝5 050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？(3)根据问题(1)(2)你能探究出等差数列的求和公式吗？(4)等差数列的前n项和公式有什么结构特征？(5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题？活动：教师引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题(1)，另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣．高斯是18世纪德国著名的数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，的确思维非凡．可见作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．今天我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习，实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法．也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50个101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5 050了．高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n 项和问题．现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到下图，则下图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就好首尾配成对了．高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行．则三角形中的宝石个数就是 1＋21 ×212.这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是： 1＋2＋3＋...＋21， 21＋20＋19＋ (1)这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．探究了以上两个实际问题的求和，学生对数学求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的闪现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究1＋2＋3＋…＋n 的问题，得到如下算式： 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n －1 ＋ n n ＋ n －1 ＋ n －2 ＋ … ＋ 2 ＋ 1 (n ＋1)＋(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1)＋(n ＋1)可知1＋2＋3＋…＋n ＝ n＋1 ×n 2.再进一步探究，等差数列{a n }的前n 项和的问题，让学生明白S n 就表示{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，根据倒序相加法可得如下算式： S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a n ， S n ＝ a n＋a n －1＋a n －2＋… ＋ a 1， 2S n ＝(a 1＋a n ) ＋ (a 2＋a n －1) ＋ (a 3＋a n －2) ＋…＋(a n ＋a 1).根据上节课等差数列的性质有a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1. 所以，2S n ＝n(a 1＋a n )．由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2这就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半．将等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 代入上式，可得等差数列{a n }前n 项和的另一公式：S n ＝na 1＋n n－12d以上两种推导过程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n 项和公式．从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的，从结构特征看，前一个公式反映了等差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质；后一个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a 1和n ，不同点是前者还需知a n ，后者还需要知道d.从方程角度看两公式共涉及5个元素：a 1，d ，n ，a n ，S n ，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a 1，d 称为基本元素．因为等差数列的首项a 1，公差d 已知，则此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a 1和d 的问题，这往往要根据已知条件列出关于a 1，d 的方程组，再解这个方程组求出a 1，d.讨论结果：(1)～(3)略．(4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底＋下底)×高÷2相类比，上底就是等差数列的首项a 1，下底是第n 项a n ，高是项数n ；后一个公式是二次函数的形式．(5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路．应用示例例1计算：(1)1＋2＋3＋…＋n ； (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)； (3)2＋4＋6＋…＋2n ；(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n －1)－2n.活动：对于刚学完公式的学生来讲，直接解答课本上的例1跨度太大．因此先补充了这样一个直接运用公式的题目．目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n 公式求解？若不能，应如何解答？引导学生观察，本小题中的数列共有2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n 2－n(n ＋1)＝－n.有的学生可能观察得很快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.解：(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n n＋12；(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 1＋2n －1 2＝n 2；(3)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2n＋22＝n(n ＋1)；(4)原式＝－n.点评：本例前3小题直接利用等差数列求和公式，对于(4)小题给我们以启示：在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法．注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解．变式训练已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 答案：C解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可解得d ＝3，a 1＝－4，∴a 10＝a 1＋9d ＝23， ∴S 10＝a 1＋a 102×10＝95.例2(教材本节例2)活动：通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系．并结合边注引导学生探究数列中项的性质问题．教学中应引起高度重视，可让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：求使S n 最小的序号n 值的方法很多，可鼓励学生课后进一步探究．例3已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？活动：教师与学生一起探究，本例的已知条件是在等差数列{a n }中，S 10＝310，S 20＝1 220.由前面我们所学知道，将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得两个关于a 1与d 的关系式，它们都是关于a 1与d 的二元一次方程，解这个二元一次方程组可求得a 1与d ，a 1与d 确定了，那么就可求出这个等差数列的前n 项和公式．解：方法一：由题意可知 S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n n－12d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220.解这个关于a 1与d 的方程组，得到a 1＝4，d ＝6，所以S n ＝4n ＋n n －1 2×6＝3n 2＋n.方法二：由S 10＝a 1＋a 102×10＝310，得a 1＋a 10＝62，①S 20＝a 1＋a 202×20＝1 220.所以a 1＋a 20＝122.②②－①，得10d ＝60，所以d ＝6.代入①，得a 1＝4，所以有S n ＝a 1n ＋n n －1 2d ＝3n 2＋n.点评：本例的给出方式是设问“由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和吗”，而不是“求这个数列的前n 项和”．这就更深了一层，让学生领悟到a 1与d 一旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟等差数列中a 1与d 是所给5个量中的基本量.5个量中已知3个量则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题．教学时教师要充分利用本题的训练价值，使学生熟练地掌握这一基本题型．解完后教师要再引领学生反思总结．变式训练设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，求S 9. 解：由S 4＝14，S 10－S 7＝30，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14， 10a 1＋45d － 7a 1＋21d ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝7，a 1＋8d ＝10.解得a 1＝2，d ＝1，∴S 9＝9a 1＋36d ＝54.例4已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？活动：这是一道合作探究题．教学时给出一定的时间让学生对本题进行思考探究．本题给出了一个数列的前n 项和的式子，来判断它是否是等差数列．解题的出发点是从所给的和的公式去求出通项．那么通项与前n 项和的公式有何种关系呢？由S n 的定义可知，当n ＝1时，S 1＝a 1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.这种由已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的．本题即用这种方法求出的通项a n ＝2n －12，我们从中知道它是等差数列，这时当n＝1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n ＝1时，a n ＝S n －S n －1满足呢？请同学们来探究一下．解：根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)，可知当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32.也满足①式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可知，数列{a n }是一个首项为32，公差为2的等差数列．点评：如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列．实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项．通过本例，教师应提醒学生注意：这实际上给出了已知数列前n 项和求其通项公式的一个方法，即已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.这种已知数列S n 来确定a n 的方法对于任何数列都是可行的，但要强调a 1不一定满足由S n －S n －1＝a n 求出的通项表达式．因此最后要验证首项a 1是否满足已求出的a n .这点要引起学生足够的注意．变式训练已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件，知当n ＝1时，a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n)－[－32(n －1)2＋2052(n －1)]＝－3n ＋104.把n ＝1代入上式也适合．∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n∈N *)．知能训练1．等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝5，a n ＝95，n ＝10，求S n ； (2)已知a 1＝100，d ＝－2，n ＝50，求S n . 2．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．答案：1．解：由等差数列求和公式，直接求得：(1)S n ＝500；(2)S n ＝2 550.2．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n n－1 2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.课堂小结1．本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前n 项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？2．你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？作业课本习题2—2 A 组8、9.设计感想本教案设计力求突出实际背景的教学，以大量的日常生活实例及古今中外的数列故事来铺垫学生学习等差数列的本质内涵．除了本教案设计的几个实例，教学时还可根据实际情况再补加一些实例背景．本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．说到底，学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密．本节的思考与探究没有涉及，设计的意图是留给学有余力的学生课后选做．鉴于习题2—2B 组中3,4,5,6都有一定的难度，因此也设计为选做．(设计者：周长峰)第2课时导入新课思路 1.上一节课我们一起探究推导了等差数列的求和公式，得到了求和公式的两种形式．我们知道以前在公式的学习过程中，不仅要会对公式正用、逆用及变形用，还要从运动、变化的观点来认识公式，从函数及数列结合的角度透彻理解公式．这里公式S n ＝na 1＋n n－12d 表明S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，那么你能看出点列(n ，S n )均在同一条抛物线上吗？这样的抛物线有什么特点？由此展开新课．思路 2.上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的很重要的公式，我们也知道等差数列有着十分丰富的有趣性质，那么根据等差数列的特点，你能探究出等差数列的哪些重要结论呢？比如单调性、奇偶性、最大值等．教师引导学生由此导入新课．推进新课新知探究提出问题错误!活动：教师与学生一起回忆上节课我们用倒序相加法探究的等差数列的两个求和公式：S n ＝n a 1＋a n 2，S n ＝na 1＋n n－1 2 d.在公式涉及的5个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，知三可求其二．其中a 1，d 是最基本的两个量．我们称为基本元素，在等差数列的不少问题中，我们往往都转化为这两个量来求．当然如果熟悉并掌握一些常用结论及性质，往往能找到简洁明快、轻盈优美的灵活解题技巧，提高我们的解题速度．下面我们探究等差数列求和的一些性质问题．从等差数列的两个求和公式中我们可以看出，公式里不含常数项．教师引导学生进一步探究，如果a 1，d 是确定的，那么S n ＝na 1＋n n－1 2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n.可以看出当d≠0时，S n 是关于n 的二次式．从图象角度看(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx(A≠0)的图象上．所以当d≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 图象上的一群孤立点，这样我们就可以借助于二次函数的有关性质(如单调性、最值等)来处理等差数列前n 项和S n 的有关问题．若d ＝0，则S n ＝na 1.因此我们可以得出这样的结论：数列{a n }为等差数列的充要条件是：数列{a n }的前n 项和可以写成S n ＝an 2＋bn 的形式(其中a 、b 为常数)且公差为2a.结合二次函数图象与性质我们还可得到：当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0a m ＋1≤0⇒S m 为最大值；当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≤0a m ＋1≥0⇒S m 为最小值．通过具体例子验证、猜想并推广到一般，我们还可得到：设等差数列{a n }的前n 项和为A ，紧接着n 项的和为B ，再紧接着n 项的和为C ，…，则A ，B ，C ，…也成等差数列．通过以上这些探究，我们在处理等差数列有关和的问题时可有更多的选择余地，而且有些解法更加简单、快捷，提高了我们解题的质量和效果．如下例：已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10，则可这样解：∵S 5＝5a 3＝40，∴a 3＝8，a 2＋a 5＝a 3－d ＋a 3＋2d ＝2a 3＋d ＝16＋d ＝19，得d ＝3.∴a 10＝a 3＋7d ＝29.此解法比常规解法优越得多，这类解题技巧在等差数列中比比皆是，让学生在解题探究中细心领悟．讨论结果：(1)(4)(5)略．(2)等差数列求和公式中共有5个量，其中a 1，d 是基本量．(3)等差数列求和公式可看作n 的二次函数式，上节课的例题中初步涉及了这一思想，本节将作进一步的探究．应用示例例1已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．活动：本例目的是让学生在上节初步理解的基础上，对等差数列求和公式的二次函数特征做进一步的螺旋提升．我们知道，等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，所以S n 可以看成函数y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x(x∈N *)当x ＝n 时的函数值．另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点，因此我们可以利用二次函数来求n 的值．解：由题意知，等差数列5,427，337，…的公差为－57，所以S n ＝n 2[2×5＋(n －1)(－57)]＝75n －5n214＝－514(n －152)2＋1 12556.于是，当n 取与152最接近的整数7或8时，S n 取得最大值．点评：我们能否换一个角度再来思考这个问题呢？由已知，它的首项为5，公差为－57.因为它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当该数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下先求出它的通项，求得结果是a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－57n ＋407.令a n ＝－57n ＋407≤0，得到了n≥8，这样就可以知道a 8＝0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7＝S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8＝0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大．这就是上节课留给学生课后探究的问题．教师与学生一起归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和S n 有最大值，可通过⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0求得n 的值．②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和S n 有最小值，可以通过⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0求得n 的值．有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就可从通项与求和两个角度入手解决：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值．变式训练已知a n ＝1 024＋lg21－n(lg2＝0.301 0)，n∈N *.问前多少项之和最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1 024＋ 1－n lg2≥0a n ＋1＝1 024－nlg2＜01 024lg2＜n≤1 024lg2＋1 3 401＜n ＜3 403.所以n ＝3 402. (2)S n ＝1 024n ＋n n－1 2(－lg2)，当S n ＝0或S n 趋近于0时其绝对值最小，令S n ＝0，即1 024＋n n－1 2(－lg2)＝0，得n ＝2 048lg2＋1≈6 804.99.因为n∈N *，所以有n ＝6 805.例2等差数列{a n }中，a 1＜0，S 9＝S 12，求该数列前多少项的和最小？活动：写出前n 项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路．教学时，教师充分让学生合作讨论此题，从不同角度来探究此题的解法，教师只是给予必要的点拨．解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得9a 1＋12×9×(9－1)·d＝12a 1＋12×12×(12－1)·d，即3a 1＝－30d ，∴d＝－110a 1.又∵a 1＜0，∴d＞0.∴S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2(n －212)2－2128d.∵d＞0，∴S n 有最小值．又∵n∈N *，∴当n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋ n－1 d≤0，a n ＋1＝a 1＋nd≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－110n－1 ≥0，1－110n≤0，解得10≤n≤11.∴取n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，即a 1＋a 2＋…＋a 9＝a 1＋a 2＋…＋a 12， ∴a 10＋a 11＋a 12＝0，即3a 11＝0.又∵a 1＜0，∴前10项或前11项的和最小．点评：解完本题后教师引领学生对以上三种解法进行反思总结．本题的三种解法从三个不同的视角说明了等差数列前n 项和的最值问题，方法迥异，殊途同归，由此看出等价转化思想在简化运算中的作用，其中第一种解法运算量偏大，不容易进行到底，即便做对了，所花时间也较多，要让学生深刻领悟这一点．事实上，本题还能探究出另一种解法——图象法．∵S 9＝S 12，∴S n 的图象所在的抛物线的对称轴为x ＝9＋122＝10.5，又∵a 1＜0，∴数列{a n }的前10项或前11项和最小．例3(教材本节例3)活动：本例是教材等差数列部分的最后一个例题，目的是让学生通过学到的等差数列知识，解决实际问题．教学时，教师引导学生分析题中的数量关系，观察教育储蓄的规律．通过分析知李先生的每个100元的利息依次可组成等差数列，然后得出算式求解．点评：解决本例的关键是建立等差数列的数学模型．例4已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)由通项公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c. 活动：让学生自己探究本题(1)，对(2)教师可引导学生充分利用等差数列的特征，可由学生合作探究，教师仅给予必要的点拨．解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14. 又a 2·a 3＝45，∴a 2，a 3是方程x 2－14x ＋45＝0的两实根．又公差d ＞0，∴a 2＜a 3.∴a 2＝5，a 3＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5a 1＋2d ＝9 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n·1＋n n－1 2×4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，即b 1＋b 3＝2b 2. ∴2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c.解之，得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－nn －12＝2n.易知{b n }是等差数列，c ＝－12.例52000年11月14日，教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？活动：这是一道实际应用题，从题中给出的信息我们发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a 1，公差为50，记为d ，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了．解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中 a 1＝500，d ＝50.那么，到2010年(n ＝10)投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10× 10－1 2×50＝7 250(万元)．答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．点评：反思本例的解题过程，关键是将实际问题转化为等差数列模型，用刚学到的等差数列求和公式解之．变式训练一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，。

高中数学《2.2.2 等差数列(二)》教案新人教A版必修5

2.2.2 等差数列（二）教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：在等差数列{}n a 中, 若 32a = 813a =-，求公差d 及14a .2. 提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？二、讲授新课：1. 教学等差中项的概念：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=；反之，若2b a A +=，则A-a =b -A. 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列.例1：求下列两个数的等差中项①5+2,34a b a b +-.2. 生活中的等差数列：例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元/吨的标准收取水费. 如果己知某户居民该月用水量为18吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练→学生演板→教师点评）例3、某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变观测结果记录如下表：00 7999请（1）如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变为多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造80002hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于22910hm ⨯？3. 小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的关系，等差数列的性质及其应用.三、巩固练习：1. 有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？2. 作业：教材P46 第4、5题。

教学设计6：2.2 等差数列

2.2 等差数列教学目标一、知识与技能1.明确等差中项的概念;2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.二、过程与方法1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教具准备多媒体及课件教学过程导入新课师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).师对，我再找同学说一说等差数列{a n}的通项公式的内容是什么？生1 等差数列{a n}的通项公式应是a n=a1+(n-1)d.生2 等差数列{a n}还有两种通项公式：a n=a m+(n-m)d或a n=pn+q(p、q是常数).师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③mn a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？生 3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).合作探究探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？师本题在这里要求的是什么?生当然是要用a ，b 来表示数A .师对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?生由定义可得A -a =b -A ，即2b a A +=. 反之，若2b a A +=，则A -a =b -A , 由此可以得⇔+=2b a A a ,A ,b 成等差数列.推进新课我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.方法引导等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列2A =a +b ，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列. 合作探究师在等差数列{a n }中，d 为公差，若m ,n ,p ,q ∈N *且m +n =p +q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生我得到了一种关系a m +a n =a p +a q .师能把你的发现过程说一下吗？生受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7.从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则a m+a n=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,a p+a q=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q.师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q.同样地，我们还有：若m+n=2p,则a m+a n=2a p.这也是等差中项的内容.师注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?生我举常数列就可以说明了.师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件.例题剖析：例1：在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.生 2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.例2：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.师为什么？生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.师这个等差数列的首项和公差分别是多少?生分别是11.2，1.2.师好，大家计算一下本题的结果是多少?生需要支付车费23.2元.(教师按课本例题的解答示范格式)评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.课堂练习1.在等差数列{a n}中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m,求a5+a6.解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6,a8=15,求a14.解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.解：等差数列{a n}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.2.让学生完成课本练习.教师对学生的完成情况作出小结与评价.方法引导此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本习题A组第4、5题.预习内容：课本.预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.板书设计2.2 等差数列等差中项例题在等差数列{a n}中,若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q。

高一数学必修5系列教案：2.2等差数列第一课时等差数列

(2) 求数列 an 的通项公式 .
练习：
(1) 已知等差数列 an 的第一、第二项分别是 8 和 5；求 a100 和数列的通项公式；
学生模仿例题，应用通项公式解决简单问题。
通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。
巩
(2) 已知等差数列 an 中 a1 12 ， a6 27
固
练
2、通项公式： an a1 (n 1)d
3、数学方法：归纳、类比、累加 4、数学思想：方程思想、函数思想
学生活动倾听
观察分析，发表各自的意见
设计意图课堂引入
引向课题
《公共基础知识》考试中的数字推理题：
5， 8， 11， ( ) ， 17， 20
①
[ 引例 1] 有机化学中甲烷、乙烷、丙烷、丁烷、
戊烷、己烷的化学结构式中氢原子数量分别是
:
4， 6， 8， 10， 12， 14
②
[ 引例 3] 假设重力加速度 g=10，则自由落体运动
§2.2 等差数列（第一课时）
教
学
情境设计和学习任务
环
节
创上节课我们学习了数列定义及表示。在日常生活设中，许多实际计算问题（比如：购房贷款）都需
情要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学景习一类特殊的数列。
由学生观察分析并得出答案：
[ 引例 1] 公务员《行政能力测试》和事业单位
后生，现要将 1200 人按中考成绩分成 20 个班级，
探每班 60 人。响应国家政策，此次分班不设重点
究班。请你设计一个分班的方案，要求操作简单，
分班公平。请写出你的步骤。
1、等差数列的定义： an an 1 d

等差数列第二课时教案

2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、新知探究（一）等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时叫做和的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二）等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列是等差数列, 公差为 .若 >0,则是递增数列；若 <0,则是递减数列；若 =0,则是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列中, 若 ,则一定成立吗?特别地, ,则成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。

教学设计4：2.2.2 等差数列的前n项和

2.2.2 等差数列的前n 项和●教学目标知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值；过程与方法：经历公式应用的过程；情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

●教学重点熟练掌握等差数列的求和公式●教学难点灵活应用求和公式解决问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=. 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. Ⅱ.讲授新课一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++.当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+. 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p.对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=可化成式子： 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式. 范例讲解：例1：在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 解：(1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. 解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4.由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.例2：在等差数列{a n }中，(1)已知 a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝16，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15，∴S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用n a :当n a >0，d <0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值. 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）利用n S ：由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭利用二次函数配方法求得最值时n 的值. Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的首项是1a p q r =++，公差是d =2p. 通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=⎧=⎨-=-+≥⎩当时当时.2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当n a >0，d <0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值. 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭利用二次函数配方法求得最值时n 的值. Ⅴ.课后作业课本习题.。

2.2.2等差数列的性质

学情分析
教
学法指导会一数有关研究等差数列的性质.
学
目
法情
标
教学重教学教学教学法等差数列性质的应 .
教学教学环节所时间教学教活学生活 1、 an = am + ( n − m) d 2、等差中项等差中项的是数的，如组等差数列，设教学
d=
an − am n−m
＝( a1 ＋ a9 )＋( a 2 ＋ a8 )＋( a3 ＋ a 7 )＋( a 4 ＋ a 6 )＋ a5 ＝9 a5 ＝810. 例 4 已知 a、b、c 的倒数成等差数列，求证：
a b ，， b+c−a c+a−b
c 的倒数也成等差数列 a+b−c 分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数 x、y、 z 成等差数列的充要条件：x+y=2z 证明：因为 a、b、c 的倒数成等差数列 2 1 1 ∴ = + ，即 2ac=b(a+c) b a c
a + ( m − 1)d = n, a n = a1 + ( n − 1)d ，∴ 1 相减得 a1 + ( n − 1)d = m,
( m − n )d = n − m ， ∴d = −1 ， a1 = m + n − 1 ， ∴ a m+ n = a1 + ( m + n − 1)d = m + n − 1 + ( m + n − 1)( −1) = 0 .
a3 , a6 , a9 , a12 仍成等差数
(m
≠ n ) ，则
a m+n 等于________.
分析：分析：已知等差数列的两项，等差数列便确定了，利用通项公式可以求得任意一项.数列确定后，数列的图像也确定了，利用图形也可求解. 解一：解一：设此数列的首项为 a1 ，公差为 d ，则 a m = a1 + ( m − 1)d ，

高中数学 2.2等差数列教学案新人教版必修5

一、课前预习： 1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。

2、预习内容：（1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d 表示。

（2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的，即=A 2 或=A 。

（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。

（4）、等差数列的通项公式：=n a 。

二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：49)3()120(820-=-⨯-+=a2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。

例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。

4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a 例3：数列53-=n a n 是等差数列吗？变式练习：已知数列｛na ｝的通项公式qpn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？（指定学生求解）解：取数列｛na ｝中任意两项na 和1-n a )2(≥n[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1pq p pn q pn =+--+=)(它是一个与n 无关的常数，所以｛na ｝是等差数列？并且：q p a +=1 p d =三、课后练习与提高在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 求n a=已知,2,21,31===d a a n 求=n已知,27,1261==a a 求=d已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（）A 3B 2 C31D 213、2000是等差数列4，6，8…的（）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项 4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（） A 第13项 B 第14项 C 第15项 D 第16项 5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是 8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}na中，21,aa为方程0432=+-axax的跟，求{}na的通项公式。

苏教版高中数学(必修5)2.2《等差数列》教案5篇

2.2 .1等差数列的概念七、教学过程（一）创设情景，引入概念（设计意图：通过对实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程）情景1：把班上学生学号从小到大排成一列：如：1，2，3，4，…，63，64.问题1：请学生归纳出上一个数列的通项公式),521(,+∈≤≤=N n n n a n 。

问题2：把上面的数列各项依次记为64321,,,,a a a a ，学生填空：()()()1,,1,163642312+=+=+=a a a a a a问题3：上面的数列有什么特点，你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？(教师引导，学生完成）11+=-n n a a （2≥n ），或者写成 11=--n n a a （2≥n ）.注：强调2≥n ，原因在于1-n 有意义。

问题4：提问学生，能用普通语言概括上面的规律吗？数列后一项等于前一项加“1”，或者数列后一项与前一项的差为“1”. 上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。

情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）： 48，53，58，63.（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。

如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：10072， 10144， 10216， 10288， 10360.（4）全国统一鞋号中，成年女鞋的尺码最小的是21码，相邻两个鞋号间隔0.5码，最大的是25码，组成的数列：21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25.问题5：请学生写出上面的数列，观察这些数列的特点，并用数学语言（符号）描述这些特点:（1）51=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（2）5.21-=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（3）721=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（4）5.01=--n n a a ，2≥n ，+∈N n 问题6：观察并归纳上面这些数列的共同特征，用数学语言（符号）描述这些特点:1n n a a d --=（d 是常数），（2≥n ，+∈N n ）满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？）--等差数列。

必修5教案2.2等差数列的概念(二)

§2.2第2课时等差数列的通项公式教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念；（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。

教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。

教学过程一．问题情境1．复习：等差数列的定义、通项公式；2．问题：（1）已知12312,,,,,,n n n a a a a a a + 是公差为d 的等差数列。

①121,,,,n n a a a a - 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？2462,,,n a a a a 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。

①将数列{}n a 中的每一项都乘以常数a ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？②由数列{}n a 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{}n c 是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）已知数列{}n a 是等差数列，当m n p q +=+时，是否一定有m n p q a a a a +=+？（4）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？二．学生活动与学生一起讨论得出结论。

三．建构数学1．等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=．2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+四．数学运用1．例题：例1．已知等差数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，求首项1a 和公差d 。

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2.2等差数列教案2．2 等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念]对于以上几组数列我们称它们为等差数列。

请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有2ba A +=由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，73645142,a a a a a a a a+=++=+ 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+[等差数列的通项公式]对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。

下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。

由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是n a n 5=② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(548-+=n a n③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.218--=n a n④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(7210072-+=n a n⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项1a 和公差d ，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳： ,12d a a =-,23d a a=- ,34d a a =- …所以 ,12d a a+= ,23d a a+= ,34d a a += ……思考：那么通项公式到底如何表达呢？,12d a a += ,2)(123d a d d a d a a+=++=+= ,3)2(134d a d d a d a a +=++=+= ……得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以1a为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+= 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a和公差d ，那么这个等差数列的通项n a 就可以表示出来了。

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =--（n-1）个等式,21d a a n n =---,32d a a n n =--- …… ,12d a a =- 两边分别相加得,)1(1d n a a n -=- 所以d n a a n )1(1-+= （迭代法）：}{n a 是等差数列，则有d a a n n +=-1 d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-…… d n a )1(1-+=所以 d n a a n )1(1-+=[例题分析]例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。

首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。

要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。

解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-⨯-+=a⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n an 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于n a 、1a 、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列}{na 来计算车费.令1a =11.2，表示4km 处的车费，公差d=1.2。

那么当出租车行至14km 处时，n=11，此时需要支付车费)(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a答：需要支付车费23.2元。

例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。

（放投影片）思考例题：例 3 已知数列}{na 的通项公式为,q pn an +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定}{na 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。

解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1），求差得 pq p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1 它是一个与n 无关的数.所以}{na 是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项pd q p a =+=公差,1。

由此我们可以知道对于通项公式是形如q pn an +=的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

[探究]引导学生动手画图研究完成以下探究：⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n an 的数列的图象。

这个图象有什么特点？⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列q pn a n +=与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。

分析：⑴n 为正整数，当n 取1，2，3，……时，对应的na 可以利用通项公式求出。

经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。