可测函数的定义与性质
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
问题4 可否用E{x|α≤f(x)<β} E{x|α≤f(x)<β}的可测性作 问题4：可否用E{x|α≤f(x)<β}的可测性作 为可测函数的定义？ 为可测函数的定义？ 问题5： 是可测函数 是可测函数， 问题 ：若f是可测函数，则 E{f(x)=±∞}是 ± 是 否可测？ 否可测？
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
命题2 若 f ( x )是E上的可测函数，则
E{ x | f ( x ) = +∞} 及 E{ x | f ( x ) = −∞}
都是可测集。 ∞ 证明 由 E{ x | f ( x ) = +∞} = I E{ x | f ( x ) > n}
E{ x | f ( x ) = −∞} = I E{ x | f ( x ) < − n}
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
E{ x ∈ E | d ≤ f ( x ) < c}
的集合这可测性,假如对一切的d , c ∈ R 上 述集合都是可测的，则下面的和式
1
∑ ci m E{ x ∈ E | ci ≤ f ( x ) < ci +1}
就有意义了（见本书的引言），从而可 以讨论其极限的存在性，本章的目的， 就是研究使得集合E{ x ∈ E | d ≤ f ( x ) < c}
记 χ E 为 E i 的特征函数，则显然有
i
ϕ( x ) = ∑ C i χ E i ( x ).
i= i =1
n
命题1 对任意可测集E，E上的简单函数 是可测的。 n 证明：设 ϕ( x ) = ∑ C i χ E ( x ) 是E上的简单函 i =1 数，不失一般性，假设C1 < C 2 < LC n
定理2 设是Rn中可测集E个的函数，则
f ( x ) 在E上可测当且仅当下列条
件之一成立。 (i)对任意常数a, E{ x | f ( x ) ≥ a} 可测； (ii)对任意常数a, E{ x | f ( x ) < a} 可测；
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
(iii)对任意常数a,E{ x | f ( x ) ≤ a}可测； 证明：因为
测集的并，它当然可测。证毕。
n =1
∞
n=1
立得证明。
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
二．可测函数的性质 （1）几乎处处相等的函数 下面讨论可测函数的基本性质。 S 一般地，如果E是可测集，( x )( x ∈ E )是 与x 有关的命题，且存在E的零测子集E0， 使得对任意 x ∈ E − E 0 ，命题成立，则说 S (x ) 在E上几乎处处成立。
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其 性质，掌握常见的一些可测函数。 重点与难点：可测函数的引入，性质的证 明。
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
基本内容： 一．可测函数的定义 为了定义新的积分，我们已经对Rn中 的一般集合定义了测度概念，但同时也 看到了，Rn中的 确存在一些集合，它们 是不可测的，因此，有必要对定义于Rn 中某个可测子集E上的函数f，考察形如
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
性质1 如果两个函数 f ( x )与 g ( x ) 在E ⊂ R 上几乎处处相等，则当其中一个在E上可 测时，另一个也可测。 证明：假设 f ( x ) 可测，则对任意实数 a , E{ x | f ( x ) > a} 是可测集，由于 E{ x | f ( x ) ≠ g ( x )} 是零测集，且
= [ E{ x | f ( x ) > a} I E{ x | f ( x ) = g ( x )}] U [ E{ x | f ( x ) ≠ g ( x )} I E{ x | g ( x ) > a}] 故E{ x | g ( x ) > a} 是可测集 E{ x | f ( x ) > a} I E{ x | f ( x ) = g ( x )}与一个零
E{ x | a ≤ f ( x ) > b} = E{ x | f ( x ) ≥ a} − E{ x | f ( x ) ≥ b}
k =1 ∞
也是可测的。
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
对任意正整数m及 k = 0,1L, m 2 m − 1,令
k k +1 E m , k = E{ x | m ≤ f ( x ) < m } 2 2 E m ,m 2 = E{ x | f ( x ) ≥ m}
i
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
对一切 d , c ∈ R 都可测的函数 f 之结构。 （1）关于∞的运算 由于我们允许函数值取± ∞ ，所以需作一 些规定，我们所讨论的函数都是指单值 实函数，并且规定 （i）(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞。 （ii）对任意 a ∈ R , a + (+∞ ) = +∞
i
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
（若 C i = C j ，则将 E i U E j 看作某个Ek ）， 往证对任意 a ∈ R1 , E{ x | ϕ( x ) > a} 是可测 集。显然，
∅ 当a ≥ Gn E{ x | ϕ( x ) > a} = E 当a ≥ G1 n U E j当C i ≤ a < C i +1 ( i = 1,L, n − 1), j = i +1
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
（5）一般可测函数的等价定义 而对一般的实值函数，可以作的正负部 分解：
f ( x) f + ( x) = 0 − f ( x) f − ( x) = 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) < 0 f ( x) < 0 f ( x) ≥ 0
∞
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
E{ x | f ( x ) > a} = E − E{ x | f ( x ) ≤ a}
故 f ( x ) 可测⇒(i)⇒(ii)⇒(iii)⇒ f ( x )可测。 证毕。 问题3 可否用E{x|f(x)=α}(α∈R)的可测 问题3：可否用E{x|f(x)=α}(α∈R)的可测 E{x|f(x)=α}(α∈R) 性作为可测函数的定义？为什么？ 性作为可测函数的定义？为什么？
可测集，但
E{ x | f ( x ) > a} = U E{ x | ϕ m ( x ) > a}
m =1
∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故E{ x | f ( x ) > a}是可测集。 (i)⇒(ii) 假设f 是E上的非负可测函数，即
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
任意实数a, E{ x | f ( x ) > a} 是可测集,不难看 到 E{ x | f ( x ) ≥ a} = U E{ x | f ( x ) > a − 1 / K } 故 E{ x | f ( x ) > a} 是可测集，于是对任意常 数a，b，集合
1
1
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
a + (−∞) = −∞
（iii）对任意 b > 0, C < 0，
b ⋅ +∞ = +∞, b ⋅ (−∞) = −∞ ξ ⋅ +∞ = −∞, c ⋅ (−∞) = +∞
（iv） (+∞) ⋅ (−∞) = (−∞) ⋅ (+∞) = −∞
(−∞) ⋅ (−∞) = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞
n
E{ f ( x ) > a}∆{ x | x ∈ E , f ( x ) > a}
都是可测集，则称f是E上的可测函数。
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
问题1 为了定义函数的Lebesgue积分， Lebesgue积分 问题 1 ： 为了定义函数的 Lebesgue 积分 ， 须要求这些函数满足什么条件？ 须要求这些函数满足什么条件？ 问题2 列举几类可测函数的例子？ 问题2：列举几类可测函数的例子？
但是 (+∞) − (+∞), (+∞) + (−∞), (−∞) − (−∞), (−∞) + (+∞)
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
及 0 ⋅ (±∞) 是没有意义的，因此，不允许 作这种运算。 （2）定义 f 定义1 假设 E ⊂ R 是可测集， ( x ) 是E上 的函数，如果对任意常数a，集合
m →∞
ϕ m ( x ) = ∑ C i( m ) χ E ( x )
i =1
(m) i
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
是E上的非负简单函数，满足
ϕ m ( x ) ≤ ϕ m +1 ( x ), m = 1,2,L 则对任意实数a及任意m, E{ x | ϕ m ( x ) > a} 是
1 E{ x | f ( x ) ≥ a} = U E{ x | f ( x ) > a − } k k =1 E{ x | f ( x ) < a} = E − E{ x | f ( x ) ≥ a} ∞ 1 E{ x | f ( x ) ≤ a} = U E{ x | f ( x ) > a + } k k =1
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
所以 E{ x | ϕ( x ) > a}是可测集。证毕。 （4）非负函数可测性的等价定义 如果可测函数f ( x ) ≥ 0 ，则称其为非负 可测函数。 定理1 如果f ( x )是可测集上的非负函数， 则下列各陈述相互等价：
第二讲 可测函数
是可测集E
x E , x E ,
n
上的一列可测函数，
g ( x) : sup f n ( x),
n
h( x) : inf f n ( x),
n n
( x) lim sup f n ( x) inf sup f n ( x),
k n
x E,
都是E上的可测函数。
设E是实数集R的一个勒贝格可测子集，记 E ( f a ) x E : f ( x ) a ,
E( f a) x E : f ( x) a, E( f a) x E : f ( x) a,
E ( f )
E ( f k ), E ( f k ).
因此无论a取何值，E ( f a)总是可测集，从而f ( x)是E上 的可测函数。
1, x E, 例3.一个集合E的特征函数定义为 E ( x)= 0, x E
集合E是可测集当且仅当其特征函数E ( x)是可测函数。
例4 设f 是实数集 上的单调函数，则f 是可测的。
证明：不妨设f 是单调增加的，对任意实数a，令 va inf x R : f ( x) a (可以是 ), 约定 inf +.
如果完成了以上三步的证明，则证明了E ( F ( f , g ) a)是可 列个可测集的并，从而也是可测的。
江西财经大学信息管理学院 制作人：杨寿渊 13/51
实变函数课件
第二讲 可测函数
i)利用连续函数的局部保号性容易证明，详细过程由读者 完成；
下面我们证明ii)：如果H a =R ，则H a
我们对 的运算作如下规定：设a为非零的有限数，则 () ,
可测函数的应用
可测函数的应用一、什么是可测函数可测函数是指定义在测度空间上的函数，其预像集合在该空间的σ代数中可测。
简单来说，就是对于任意一个可测集合，其原像也是可测的。
二、可测函数的性质1. 可测函数的线性组合仍然是可测函数。
2. 可测函数的积仍然是可测函数。
3. 可测函数的极限仍然是可测函数。
4. 可测函数在任意一个区间上都有界。
5. 可测函数可以用简单函数逼近。
三、可测函数在实际应用中的作用1. 概率论中的应用在概率论中，随机变量就是一种特殊的实值映射。
而随机变量是否为可测变量则决定了它是否能够作为概率空间上的一个有效对象。
因此，可测性质成了概率论中非常重要的一部分。
2. 实现数学分析中的应用在实现数学分析中，通过研究不同类别之间映射关系，可以发现很多问题都可以转化为对于某个特定区域内是否存在某种特定类型映射来进行研究。
而这个问题的解决，就需要通过可测函数来实现。
3. 图像处理中的应用在图像处理中，可测函数可以用来描述图像的灰度变化。
而对于一张图像的分析，则可以通过对其灰度分布进行可测函数分析来实现。
四、可测函数在实际问题中的具体应用1. 可测函数在信号处理中的应用在信号处理领域中，可测函数被广泛应用于模拟信号和数字信号之间的转换。
通过将模拟信号转换成数字信号，并对其进行可测性分析，可以得到更精确和稳定的数字信号。
2. 可测函数在金融风险评估中的应用在金融风险评估领域中，可测函数被广泛应用于不同类别之间风险程度的比较。
通过对不同类别之间映射关系进行可测性分析，可以得到更准确和稳定的风险评估结果。
3. 可测函数在遥感图像处理中的应用遥感图像是一种非常特殊和复杂的图像类型。
而对于遥感图像进行处理，则需要先将其转化为数字信号，并通过对其灰度分布进行可测性分析来实现。
五、结语综上所述，可测函数是一种非常重要的数学概念，其在实际应用中具有广泛的应用前景。
通过对可测函数的深入研究和分析，可以为各个领域的问题提供更准确和稳定的解决方案。
实变函数课件第四章可测函数 (2)
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
可测函数的定义及其简单性质
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：只要证 a
R, E[
f ga]
E[ f
可测，
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) = i (ai ,bi )
g
1
(i (ai
,
bi
))
(
i
g
1
xo
x
n
1
n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数.
利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发 散点全体是可测集.
证明：发散点全体为
E[lim n
fn
lim
n
fn ]
收敛点全体为
E[lim n
fn
lim
n
fn ]
若 0, 0, 使得f (O(x0 , ) E) O( f (x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f (x)在x0 (a,b)处连续
若 lim xx0
可测函数小结
可测函数（一）可测函数的定义1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：∀a∈R, 有{x |f(x) > a}可测，则f(x) 可测；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},满足limφn = f (x) , 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n→∞通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。
2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。
简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。
通过简单函数，对可测函数及L 积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。
3、可测函数列的等价条件。
（二）可测函数列的收敛性由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。
实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。
对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。
可测函数列{f n (x) }处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。
(x) }几乎处处收敛（2）若{f n (x) }依测度收敛f(x)，则必有子列{f ni于f (x)。
（3）几乎一致收敛函数列{f n(x)}一定依测度收敛于同一函数；反之，若{fn (x) }依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x) 。
（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。
鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。
可测函数的定义及其简单性质
可测函数是指函数的值对应的集合在 测度空间中是可测的。
实值函数的可测性
实值可测函数
如果对于每个 $x$，集合 ${y: f(x)=y}$ 是可测的，则称 $f$ 是实值可测函数。
解释
实值可测函数是指函数的值域在实数轴上对应的集合是可测的。
函数可测的充要条件
充要条件
如果 $f$ 是从 $(X,Sigma,mu)$ 到 $(Y,Gamma)$ 的函数，则 $f$ 是可测的充 要条件是对于每个 $y in Y$，集合 ${x: f(x)=y}$ 是可测的。
重要性及应用领域
可测函数在实变函数理论中占据重要 地位，它是研究积分、微分等数学概 念的基础。
可测函数的应用领域非常广泛，包括 概率论、统计学、微分方程、积分方 程等领域，是现代数学的重要分支之 一。
02 可测函数定义
定义
定义
如果对于每个 $x$，集合 $A_x$ 是可 测的，则称 $f$ 是可测函数。
未来可测函数的研究将更加注重与其他数学分支的交叉融合，
03
如分析、几何、拓扑等，以推动数学学科的发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
可测函数在研究函数的可导性方面也有着重要的应 用，例如在研究函数的导数和极值时。
动态系统的行为
可测函数在研究动态系统的行为方面也有着 重要的应用，例如在研究系统的稳定性时。
05 结论
可测函数的重要性和意义
1
可测函数是概率论和统计学中的基本概念，它对 于描述随机现象和预测未来事件具有重要意义。
2
可测函数的定义基于可测集的概念，通过将样本 空间划分为可测集，可以更好地理解随机现象的 内在规律和性质。
详细描述
borel 可测函数
borel 可测函数引言在数学中，可测函数是一个重要的概念。
而在可测函数的理论中，Borel 可测函数则是一个特殊的概念，起到了重要的作用。
本文将对 Borel 可测函数进行全面、详细、完整且深入地探讨。
一、可测函数的定义可测函数最早起源于测度论的研究。
假设给定一个测度空间（X, Σ, μ），其中X 是一个非空集合，Σ 是 X 的一个σ-代数，μ 是定义在Σ 上的一个测度。
那么一个函数f : X → ℝ（或者是f : X → ℂ）被称为可测函数，如果对于任意的实数 a，有集合{x ∈ X : f(x) > a} 在σ-代数Σ 中。
换句话说，可测函数是一个这样的函数，其反像集在给定的σ-代数中。
二、Borel 可测函数的概念Borel 可测函数是可测函数的一种特殊情况，其定义如下：如果一个函数 f : X → ℝ（或者是 f : X → ℂ）的每一个实数 a 的反像集{x ∈ X : f(x) > a} 都属于所给测度空间的Borel σ-代数，那么这个函数被称为 Borel 可测函数。
三、Borel 可测函数的性质Borel 可测函数有许多重要的性质，下面将介绍其中的一些性质。
1. Borel 可测函数的基本性质Borel 可测函数的一个重要性质是：任意两个 Borel 可测函数的和、差、积、商（当分母不为零时）仍然是 Borel 可测函数。
这个性质可以从 Borel 可测函数的定义中直接推导出来，并且在实际应用中非常有用。
2. 可测函数的逼近性质对于一个 Borel 可测函数，可以用简单函数逼近它。
简单函数是指一个形式为有限个指示函数之和的函数形式。
具体而言，对于一个 Borel 可测函数 f : X → ℝ，可以找到一个递增的简单函数序列{φ_n}，使得它们逐点收敛到 f。
3. Borel 可测函数的连续性性质Borel 可测函数在某些情况下具有连续性。
例如，如果 f 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的 Borel 可测函数，且对于该区间上的任意一个点 x，存在一个开邻域 U_x，使得 f 在 U_x 上连续，那么 f 在区间 [a, b] 上是连续的。
第四章可测函数
§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造 §4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可 测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号：一个定义在 E Rn 上的实函数 f (x) 确定了E的一组
子集
E f a x | xE, f (x) a
不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设f (x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a,b (a b)
f (x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）Ea f b 都可测。
推论：设 f (x)在E上可测，则 E f a 总可测，不论 a 是有 限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
函数 n 的极限函数，其中 1(x) 2(x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集 M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
可测函数的定义与性质
1
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
a + (−∞) = −∞
（iii）对任意 b > 0, C < 0，
b ⋅ +∞ = +∞, b ⋅ (−∞) = −∞ ξ ⋅ +∞ = −∞, c ⋅ (−∞) = +∞
（iv） (+∞) ⋅ (−∞) = (−∞) ⋅ (+∞) = −∞
(−∞) ⋅ (−∞) = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞
1 E{ x | f ( x ) ≥ a} = U E{ x | f ( x ) > a − } k k =1 E{ x | f ( x ) < a} = E − E{ x | f ( x ) ≥ a} ∞ 1 E{ x | f ( x ) ≤ a} = U E{ x | f ( x ) > a + } k k =1
i
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
（若 C i = C j ，则将 E i U E j 看作某个Ek ）， 往证对任意 a ∈ R1 , E{ x | ϕ( x ) > a} 是可测 集。显然，
∅ 当a ≥ Gn E{ x | ϕ( x ) > a} = E 当a ≥ G1 n U E j当C i ≤ a < C i +1 ( i = 1,L, n − 1), j = i +1
= [ E{ x | f ( x ) > a} I E{ x | f ( x ) = g ( x )}] U [ E{ x | f ( x ) ≠ g ( x )} I E{ x | g ( x ) > a}] 故E{ x | g ( x ) > a} 是可测集 E{ x | f ( x ) > a} I E{ x | f ( x ) = g ( x )}与一个零
14、可测函数定义及简单性质(一)
ⅱ）f(x)在集合E上连续
注3
ⅰ’）定义在集合E 上的实函数 f(x) 在一点连续的定义 设f(x)为E上有限实函数， 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得f ( N （x0，δ） ∩ E) ⊂ N （f (x0 )，ε）
思考
若集合 E是孤立点集, 则定义在集合 E上的实函数 f(x)在E上连续吗?说明理由. 当E=(a，b)时,与数分中连续的定义一样
注1 由定义，函数可测讨论的是集合可测——实函中函数的讨论方法主要是集合分析法
)，若 ∀a ∈ R, E[ f ≥ a] 可
2、 可测函数举例
例1(104页7) 设f(x)是 R 1 中的可测子集E上的单调函数，证明： f(x) 在E上 可测。
证：不妨设f ( x)单增，对∀a ∈ R, 则 inf { x | f ( x) ≥ a, x ∈ E} = xa
3）证明定理3 当f(x)既是 E1 上又是 E2 的可测函数， f(x)也是 E1 ∪ E上 的可测函数 2
证明：
记E = E1 ∪ E2
由E[ x | f ( x) ≥ a] = E1[ x | f ( x) ≥ a] ∪ E2 [ x | f ( x) ≥ a]
可知E[ x | f ( x) ≥ a]也为可测集
5、定理5 定义在可测集 E上的可测函数列的上下确界函数、上下极限函数必可测。 6、定理5推论2 可测函数列的极限函数若存在，则也必可测。
7、定理6 定义在可测集 E上的函数可测充要条件是它的的正部与负部函数均可测。
总结
可测函数对四则运算、绝对值运算、上下确界运算、 上下极限运算、极限运算、正负部运算等均封闭。
由 f 单调增知下面的集合为可测集
存在