201x届九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第1课时知能演练提升新版北师大版

3.正方形的性质与判定
第一课时
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.
如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F.若
DE=4,BF=3,则CD的长为()
A.4
B.5
C.6
D.7
2.
如图,四边形OABC是正方形,边长为6,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D 的坐标为(2,0),P是OB上一动点,则PA+PD的最小值为()
A.2
B.
C.4
D.6
3.
把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D',边BC与D'C'交于点O,则四边形ABOD'的周长是()
A.6
B.6
C.3
D.3+3
4.
如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A 出发,在线段AB,BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为.
5.
如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点,连接AG,DE⊥AG于点E,BF∥DE交AG于点F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由.
6.
如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证:
(1)EA是∠QED的平分线;
(2)EF2=BE2+DF2.
7.
如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)求证:∠BAE=∠FEC;
(2)求证:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面积.
创新应用
8.(1)如图①,以△ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.
(2)园林小路,曲径通幽,如图②,小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知小路中间的所有正方形的面积之和是a m2,内圈的所有三角形的面积之和是b m2,求这条小路的占地面积.
答案：
能力提升
1.B
2.A
3.A
4.(2,4)或(4,2)
5.解线段AF,BF,EF之间的数量关系是AF=BF+EF.
理由如下:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠DAE=90°.∵DE⊥AG,∴∠DEA=90°.∴∠DAE+∠ADE=90°.
∴∠BAF=∠ADE.
又∵∠DEF=90°,BF∥DE,∴∠BFA=90°.
∴△DAE≌△ABF.∴AE=BF.
∴AF=AE+EF=BF+EF.
6.证明 (1)由题意可知△ADF≌△ABQ,
∴∠DAF=∠BAQ,AF=AQ.
∵∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=90°,∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=45°.∴∠BAQ+∠BAE=45°,
即∠EAQ=45°.
在△AEQ与△AEF中,
∴△EAQ≌△EAF.∴∠AEQ=∠AEF,即EA是∠QED的平分线.
(2)由(1)可知EQ=EF.
∵△ADF≌△ABQ,
∴DF=BQ,∠ADF=∠ABQ.
在正方形ABCD中,∠ADB=∠ABD=45°,
∴∠ABQ+∠ABD=90°,即∠DBQ=90°.
在Rt△BEQ中,EQ2=BE2+BQ2,
∴EF2=BE2+DF2.
7.(1)证明∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠FEC.
(2)证明∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,
∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180°-45°=135°.
又∵CF是∠DCH的平分线,∴∠ECF=90°+45°=135°.在△AGE和△ECF中,∠GAE=∠FEC,AG=EC,∠AGE=∠ECF,
∴△AGE≌△ECF.
(3)解由△AGE≌△ECF,得AE=EF.
又∵∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形.
由AB=a,BE=a,知AE=a,
∴S△AEF=a2.
创新应用
8.解(1)△ABC与△AEG面积相等.理由如下:过点C作CM⊥AB于点M,过点G作GN⊥EA,交EA 的延长线于点N(图略),则∠AMC=∠ANG=90°.∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形,∴∠BAE=∠CAG=90°,AB=AE,AC=AG.∴∠BAC+∠EAG=180°.
又∵∠EAG+∠GAN=180°,
∴∠BAC=∠GAN.
∴△ACM≌△AGN.
∴CM=GN.
又∵S△ABC=AB·CM,S△AEG=AE·GN,
∴S△ABC=S△AEG.
(2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和,所以这条小路的占地面积为(a+2b)m2.
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